5.3.1-5.3.2 组合 组合数及其性质-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版2019）

§3　组合问题 3.1　组合 3.2　组合数及其性质 [学习目标] 知识 层面 1．通过实例，理解组合的概念，正确认识组合与排列的区别与联系．　2．能利用计数原理推导组合数公式，掌握组合数公式和组合数的性质．　3．能运用组合数的性质进行计算．　4.会用组合数公式解决一些简单的组合问题. 素养 层面 通过对组合及组合数的概念的学习培养数学抽象素养；借助对组合数公式的应用培养数学运算素养. 知识点一　组合的概念 问题1　排列与组合有什么联系和区别？ 提示：排列与组合都是从n个不同元素中取出m个元素；不同之处是组合选出的元素没有顺序，而排列选出的元素是有顺序的． 1．组合及组合问题 组合 一般地，从n个不同元素中，任取m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素为一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 组合 问题 有关求组合的个数的问题 学生用书第121页 2．排列与组合的异同点 相同点 都是关于从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的计数问题 不同点 排列需考虑元素顺序，组合不需考虑元素顺序，即只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的；只要两个组合的元素相同，不管元素的顺序如何，都是相同的组合 [微提醒]　(1)组合中取出的元素没有顺序．(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同． (多选题)下列四个问题中，属于组合问题的是(　　) A．从3个不同的小球中，取出2个排成一列 B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌 C．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星 D．将3本相同的书分给10人中的3人，每人1本 答案：CD 解析：A、B与顺序有关，是排列问题，而C、D与顺序无关，是组合问题．故选CD. 规律方法 排列与组合问题辨析切入点 1．组合的特点是只选不排，即组合只是从n个不同的元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个不同的元素即可． 2．只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序如何，这两个组合就是相同的组合． 3．判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关，与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题． 对点练1．判断下列问题是组合问题还是排列问题： (1)某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票？ (2)把5本不同的书分给5个学生，每人一本； (3)从7本不同的书中取出5本给某个学生． 解：(1)因为一种火车票与起点、终点顺序有关，如甲→乙和乙→甲的车票是不同的，所以它是排列问题． (2)由于书不同，每人每次拿到的书也不同，有顺序之分，所以它是排列问题． (3)从7本不同的书中，取出5本给某个学生，在每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序，所以它是组合问题． 知识点二　组合数、组合数公式 问题2　组合数C与排列数A有什么关系？你能求出C吗？ 提示：求从4个不同元素中取出3个元素的排列数A，可以分如下两步：①考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有C个；②对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有A种方法．由分步乘法计数原理得，A＝C·A，所以C＝. 组合数、组合数公式 组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的所有组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的组合数，用符号C表示 公式 乘积式 C＝＝ 阶乘式 C＝ 规定 C＝1 [微提醒]　(1)m≤n，m，n∈N＋. (2)C＝＝常用于计算． (3)C＝常用于证明． (链教材P167例1)(1)求值：3C－2C； (2)求值：C＋C； (3)证明：C＝C. 解：(1)3C－2C＝3×－2×＝148. (2)因为所以9.5≤n≤10.5． 因为n∈N＋，所以n＝10， 所以C＋C＝C＋C＝＋＝466. (3)证明：右边＝C＝·＝＝C＝左边． 所以原式成立． 学生用书第122页 规律方法 1．两个组合数公式在使用中的用途有所区别． 2．在解有关组合数的方程或不等式时，必须注意隐含条件，即C中的n为正整数，m为自然数，且n≥m.因此求出方程或不等式的解后，要进行检验，将不符合的解舍去． 对点练2．(1)计算：C－C·A； (2)证明：mC＝nC. 解：(1)原式＝C－A＝－7×6×5＝210－210＝0. (2)证明：mC＝m· ＝ ＝n·＝nC. 知识点三　组合数的性质 问题3　假如我们年级将在月底进行一场篮球比赛．包括体育委员在内的班上篮球运动员有8人，按照篮球比赛规则，比赛时一个球队的上场队员是5人．我们可以形成多少种队员上场方案？我们又可以形成多少种队员不上场方案？这两种方案有什么关系？ 提示：上场的方案有C种，不上场的方案有C种；C＝C＝56(种)． 问题4　从问题3中的这8名篮球运动员中选择5人的时候，可以按照体育委员是否入选进行分类：当体育委员入选时，有C种选法；当体育委员未入选时，有C种选法．这与直接选5人参加的选法一样吗？你能得出什么结论？ 提示：一样，C＝C＋C. 组合数的性质 性质1：C＝C． 性质2：C＝C＋C． [微提醒]　(1)性质1体现了“取法”与“剩法”是一一对应的思想. (2)性质1两边下标相同，上标之和等于下标．(3)性质2下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与大的相同的一个组合数. (4)性质2体现了“含”与“不含”的分类思想． (1)(多选题)若C＝C(n∈N＋)，则n等于(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 (2)C＋C＋C＋C＋…＋C等于(　　) A．C B．C C．C D．C 答案：(1)BD　(2)D 解析：(1)由题意得，2n－3＝n＋2，或2n－3＋n＋2＝20，即n＝5或7.经检验，满足2n－3≤20，且n＋2≤20.故选BD. (2)C＋C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝…＝C＋C＝C＝C.故选D. [变式探究] (变条件)若将式子换成“C＋C＋C＋…＋C”，则其值为多少(不用算出具体数值)? 解：C＋C＋C＋…＋C ＝C＋C＋C＋…＋C－C ＝C＋C＋…＋C－1… ＝C＋C－1＝C－1. 规律方法 1．性质“C＝C”的意义及作用 2．性质2常用于有关组合数式子的化简或组合数恒等式的证明．应用时要注意公式的正用、逆用和变形用．正用是将一个组合数拆成两个，逆用则是“合二为一”，使用变形C＝C－C，为某些项前后抵消提供了方便，在解题中要注意灵活应用． 对点练3． (1)C＋C＋C＋…＋C等于(　　) A．C B．C C．C－1 D．C－1 (2)若C＝C，则C＝________． 答案：(1)B　(2)28 解析：(1)C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝…＝C.故选B. (2)由C＝C，得3n＋6＝4n－2，或3n＋6＋4n－2＝18，同时满足解得n＝2，故C＝28. 学生用书第123页 简单的组合问题 一个口袋内装有7个白球和1个黑球． (1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？ (2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 解：(1)从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是C＝＝＝56(种)． (2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C＝＝＝21(种)． (3)由于所取出的3个球中不含黑球，要从7个白球中取出3个球，取法种数是C＝＝ ＝35(种)． 规律方法 解简单的组合应用问题的策略 1．解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关． 2．要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用． 注意　在分类和分步时，一定要注意有无重复或遗漏． 对点练4．在6名内科医生和4名外科医生中，现要组成5人医疗小组送医下乡，根据下列条件各有多少种选派方法？ (1)有3名内科医生和2名外科医生； (2)既有内科医生，又有外科医生． 解：(1)先选内科医生有C种选法，再选外科医生有C种选法，故有CC＝120(种)选派方法． (2)既有内科医生，又有外科医生，正面思考应包括四种情况，内科医生去1人、2人、3人、4人，有CC＋CC＋CC＋CC＝246(种)选派方法． 若从反面考虑，则有C－C＝246(种)选派方法． 知识 1．组合与组合数的定义.2．排列与组合的区别与联系.3．组合数的计算与证明.4．组合数的两个性质.5．组合数在实际问题中的应用 方法 枚举法、分类讨论、间接法 易错 误区 分不清“排列”还是“组合”．不注意组合数中m与n的限制条件；计算中不能构造组合数性质 1．若C＝36，则n的值为(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 答案：C 解析：因为C＝36，所以n(n－1)＝36，即n2－n－72＝0，所以(n－9)(n＋8)＝0.因为n∈N＋，所以n＝9.故选C. 2．下列问题中是组合问题的个数是(　　) ①从全班50人中选出5名组成班委会； ②从全班50人中选出5名分别担任班长、副班长、团支部书记、学习委员、生活委员； ③从1，2，3，…，9中任取出两个数求积； ④从1，2，3，…，9中任取出两个数求商． A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 解析：①③与顺序无关，属于组合问题；②④与顺序有关，属于排列问题．故选B. 3．某施工小组有男工7名，女工3名，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工小组，不同的选法有(　　) A．C种 B．A种 C．AA种 D．CC种 答案：D 解析：每个被选的人都无顺序差别，是组合问题．分两步完成：第一步，选女工，有C种选法；第二步，选男工，有C种选法．故共有CC种不同的选法．故选D. 4．某单位需同时参加甲、乙、丙三个会议，甲需2人参加，乙、丙各需1人参加，从10人中选派4人参加这三个会议，不同的安排方法有________种． 答案：2 520 解析：从10人中选派4人有C种方法，对选出的4人具体安排会议有CC种方法，由分步乘法计数原理知，不同的选派方法种数为CCC＝2 520.课时测评34　组合　组合数及其性质 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．若A＝6C，则m的值为(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 答案：B 解析：因为A＝CA＝6C.所以6C＝6C，所以C＝C，所以m＝3＋4＝7.故选B. 2．若C－C＝C，则n＝(　　) A．12 B．13 C．14 D．15 答案：C 解析：因为C－C＝C，所以C＝C＋C＝C，所以n＋1＝7＋8，所以n＝14.故选C. 3．集合{0，1，2，3}中含有3个元素的子集的个数是(　　) A．4 B．5 C．7 D．8 答案：A 解析：由于集合中的元素是没有顺序的，一个含有3个元素的子集就是一个从{0，1，2，3}中取出3个元素的组合，这是一个组合问题，组合数是C＝4.故选A. 4．从2，3，…，8中任意取三个不同的数字，组成无重复数字的三位数，要求个位数最大，百位数最小，则这样的三位数的个数为(　　) A．35 B．42 C．105 D．210 答案：A 解析：由于取出三个数字后大小次序已确定，只需把最小的数字放在百位，最大的数字放在个位，剩下的数字放在十位，因此满足条件的三位数的个数为C＝35.故选A. 5．假设200件产品中有3件次品，现在从中任取5件，其中至少有2件次品的抽法种数为(　　) A．CC B．CC＋CC C．C－C D．C－CC 答案：B 解析：分为两类：第一类，取出的5件产品有2件次品3件合格品，有CC种抽法；第二类，取出的5件产品有3件次品2件合格品，有CC种抽法．因此共有(CC＋CC)种抽法．故选B. 6．(多选题)对于m，n∈N＋，关于下列排列组合数，结论正确的是(　　) A．C＝C B．C＝C＋C C．A＝CA D．A＝(m＋1)A 答案：ABC 解析：根据组合数的性质与组合数的计算公式C＝，C＝＝，故A正确；因为C＝，C＋C＝＋＝，所以C＝C＋C，故B正确；因为A＝，CA＝·m！＝，所以A＝CA，故C正确；因为A＝，(m＋1)A＝(m＋1)·≠，故D不正确．故选ABC. 7．(新角度)设A＝{x|x＝C，n∈N}，B＝{1，2，3，4}，则A∩B＝________． 答案：{1，4} 解析：当n＝0时，C＝1；当n＝1时，C＝4；当n＝2时，C＝＝6；当n＝3时，C＝C＝4；当n＝4时，C＝C＝1，所以A＝{x|x＝C，n∈N}＝{1，4，6}．又因为B＝{1，2，3，4}，所以A∩B＝{1，4}． 8．从2，3，5，7四个数中任取两个不同的数相乘，有m个不同的积；任取两个不同的数相除，有n个不同的商，则m∶n＝________． 答案： 解析：因为m＝C，n＝A，所以m∶n＝. 9．7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动，若每天安排不同的3人，则不同的安排方案共有________种(用数字作答)． 答案：140 解析：可分步完成此事，第一步选周六的3人共有C种方法；第二步选周日的志愿者共有C种方法．由分步乘法计数原理可知：不同的安排方案共有C·C＝140(种)． 10．(12分)在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？ (1)任意选5人； (2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加． 解：(1)从中任选5人，共有C＝792(种)不同的选法． (2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需要从另外9人中选2人，共有C＝36(种)不同的选法． (3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C＝126(种)不同的选法． (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有C＝3(种)选法；再从另外9人中选4人，有C种选法．共有CC＝378(种)不同的选法． (11，12每小题5分，共10分) 11．C＋2C＋C＝(　　) A．C B．C C．C D．C 答案：B 解析：C＋2C＋C＝(C＋C)＋(C＋C)＝C＋C＝C.故选B. 12．在同一个平面内有一组平行线共8条，另一组平行线共10条，这两组平行线相互不平行，它们共能构成______个平行四边形，共有________个交点． 答案：1 260　80 解析：第一组中每两条与另一组中的每两条直线均能构成一个平行四边形，故共有CC＝1 260(个)．第一组中每条直线与另一组中每条直线均有一个交点，所以共有CC＝80(个)． 13．(13分)(1)求C＋C＋C＋…＋C的值； (2)求满足＝的n的值． 解：(1)由原式知，n满足3n≤13＋n，且17－n≤2n， 又因为n∈N＋，所以n＝6. 所以原式＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C＝124. (2)原方程可变形为＋1＝，C＝C， 所以＝ ×. 所以n2－3n－54＝0. 所以n＝9，或n＝－6(舍去)，所以n＝9为原方程的解． 14．(5分)某城市纵向有6条道路，横向有5条道路，构成如图所示的矩形道路网(图中黑线表示道路)，则从西南角A地到东北角B地的最短路线共有____条． 答案：126 解析：要使路线最短，只能向右或向上走，途中不能向左或向下走．因此，从A地到B地归结为走完5条横线段和4条纵线段．设每走一段横线段或纵线段为一个行走时段，从9个行走时段中任取4个时段走纵线段，其余5个时段走横线段，共有CC＝126(种)走法，故从A地到B地的最短路线共有126条． 15．(15分)如图所示，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，C3，C4，C5，C6，直径AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4. (1)以这10个点中的3个点为顶点作三角形可作出多少个？其中含点C1的有多少个？ (2)以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？ 解：(1)可分三种情况处理： ①在C1，C2，…，C6这六个点中任取三点构成一个三角形，有C个； ②在C1，C2，…，C6这六个点中任取一点，D1，D2，D3，D4这四个点中任取两点构成一个三角形，有CC个； ③在C1，C2，…，C6这六个点中任取两点，D1，D2，D3，D4这四个点中任取一点构成一个三角形，有CC个． 所以共有C＋CC＋CC＝116(个)． 其中含点C1的三角形有C＝36(个)． (2)构成一个四边形，需要四个点，且无三点共线， 因此可分三种情况处理： ①在C1，C2，…，C6这六个点中任取四点构成一个四边形，有C个； ②在C1，C2，…，C6这六个点中任取三点，D1，D2，D3，D4，A，B这六个点中任取一点构成一个四边形，有CC个； ③在C1，C2，…，C6这六个点中任取两点，D1，D2，D3，D4，A，B这六个点中任取两点构成一个四边形，有CC个． 所以共有C＋CC＋CC＝360(个)． 学生用书第124页 学科网（北京）股份有限公司 $$