5.3 组合的应用(习题课)-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版2019）

组合的应用(习题课) [学习目标] 知识层面 1．掌握具有限制条件的排列、组合问题的解决方法．　2．理解排列、组合中的多面手、分组分配等问题. 素养层面 通过解决有关组合的实际问题，培养数学建模素养. 题型一　有限制条件的组合问题 在某地的抗震救灾中，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴赈灾前线，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问： (1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？ (2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？ (3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？ 解：(1)分步：首先从4名外科专家中任选2名，有C种选法，再从除外科专家外的6人中选取4人，有C种选法， 所以共有C·C＝90(种)抽调方法． (2)法一(直接法)：按选取的外科专家的人数分类 ①选2名外科专家，共有C·C种选法； ②选3名外科专家，共有C·C种选法； ③选4名外科专家，共有C·C种选法； 根据分类加法计数原理，共有C·C＋C·C＋C·C＝185(种)抽调方法． 法二 (间接法)：不考虑是否有外科专家，共有C种选法，考虑选取1名外科专家参加，有C·C种选法；没有外科专家参加，有C种选法， 所以共有C－C·C－C＝185(种)抽调方法． (3)“至多2名”包括“没有”、“有1名”、“有2名”三种情况，分类解答． ①没有外科专家参加，有C种选法； ②有1名外科专家参加，有C·C种选法； ③有2名外科专家参加，有C·C种选法． 所以共有C＋C·C＋C·C＝115(种)抽调方法． 规律方法 解决有限制条件的组合问题的策略 1．与解决有约束条件的排列问题的方法一样，都是遵循“谁特殊谁优先”的原则，在此前提下，或分类或分步或用间接法． 2．要正确理解题中的关键词，如“至少”“至多”“含”“不含”等的确切含义，正确分类，合理分步． 3．要谨防重复或遗漏，当直接法中分类较复杂时，可考虑用间接法处理，即“正难则反”的策略． 对点练1．课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？ (1)至少有一名队长当选； (2)至多有两名女生当选； (3)既要有队长，又要有女生当选． 解：(1)至少有一名队长当选含有两种情况：有一名队长当选和两名队长当选， 故共有C·C＋C·C＝825(种)．或采用排除法有C－C＝825(种)． (2)至多有两名女生当选含有三种情况：有两名女生、只有一名女生、没有女生当选， 故共有C·C＋C·C＋C＝966(种)． (3)分两种情况：第一类，女队长当选，有C种； 第二类，女队长不当选，有(C·C＋C·C＋C·C＋C)种， 故共有C＋C·C＋C·C＋C·C＋C＝790(种)． 题型二　与几何图形有关的组合问题 已知平面α∥β，在α内有4个点，在β内有6个点． (1)过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同平面？ (2)以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？ (3)上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积？ 解：(1)所作出的平面有三类：①α内1点，β内2点确定的平面，有C·C个；②α内2点，β内1点确定的平面，有C·C个；③α，β本身． 所以所作的平面最多有C·C＋C·C＋2＝98(个)． (2)所作的三棱锥有三类：①α内1点，β内3点确定的三棱锥，有C·C个；②α内2点，β内2点确定的三棱锥，有C·C个；③α内3点，β内1点确定的三棱锥，有C·C个． 所以最多可作出的三棱锥有：C·C＋C·C＋C·C＝194(个)． (3)因为当等底面积、等高的情况下三棱锥的体积相等，且平面α∥β， 所以体积不相同的三棱锥最多有C＋C＋C·C＝114(个)． 规律方法 解答与几何有关的组合问题的策略 1．几何图形组合问题主要考查组合的知识和空间想象能力，题目多以立体几何中的点、线、面的位置关系为背景．这类问题情境新颖，多个知识点交汇在一起，综合性强． 2．解答几何图形组合问题的思考方法与一般的组合问题基本一样，只要把图形的限制条件视为组合问题的限制条件即可． 学生用书第125页 3．计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在限制条件较多的情况下，需要分类计算符合题意的组合数． 对点练2．四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，有多少种不同的取法？ 解：如图所示，含顶点A的四面体的3个面上，除点A外都有5个点，从中取出3个点必与点A共面，共有3C种取法； 含顶点A的三条棱上，除点A外都有2个点，它们与所对棱的中点共面，共有3种取法． 根据分类加法计数原理，与顶点A共面的3个点的取法有3C＋3＝33(种)． 题型三　分组、分配问题 6本不同的书，分为3组，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ (1)每组2本； (2)一组1本，一组2本，一组3本； (3)一组4本，另外两组各1本． 解：(1)每组2本，均分为3组的分组方法种数为＝＝15. (2)一组1本，一组2本，一组3本的分组方法种数为CCC＝20×3＝60. (3)一组4本，另外两组各1本的分组方法种数为＝＝15. 将6个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子，求下列放法的种数． (1)每个盒子都不空； (2)恰有一个空盒子． 解：(1)先把6个相同的小球排成一行，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，故共有C＝10(种)放法． (2)恰有一个空盒子，第一步先选出一个盒子，有C种选法，第二步在小球之间5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，由分步乘法计数原理得，共有C·C＝40(种)放法． [变式探究] 1．(变条件)若将例题改为“已知不定方程x1＋x2＋x3＋x4＝12”，求不定方程正整数解的组数． 解：问题相当于将12个完全相同的小球放入4个不同的盒子，且每个盒子中至少放入1个小球，使用“隔板法”得不定方程正整数解的组数为C＝165. 2．(变结论)若求不定方程自然数解的组数，如何求解？ 解：令X1＝x1＋1，X2＝x2＋1，X3＝x3＋1，X4＝x4＋1，则X1＋X2＋X3＋X4＝16，Xi∈N＋(i＝1，2，3，4)，问题相当于将16个完全相同的小球放入4个不同的盒子，且每个盒子中至少放入1个小球，使用“隔板法”得不定方程自然数解的组数为C＝455. 规律方法 分组、分配问题的规律方法 1．分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种： (1)完全均匀分组，每组的元素个数均相等，均匀分成n组，最后必须除以n！； (2)部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后则需除以n！； (3)完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象． 2．分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以先分组后分配． 3．相同元素分配问题的处理策略 (1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”．每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称为隔板法．隔板法专门解决相同元素的分配问题； (2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有C种方法．可描述为(n－1)个空隙中插入(m－1)块隔板． 对点练3．(1)某同学有同样的画册2本、同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(　　) A．4种 B．10种 C．18种 D．20种 (2)某社区服务站将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分别去三个不同的社区宣传肾脏日的主题：“尽快行动，尽快预防”，则不同的分配方案有________种(用数字作答)． 答案：(1)B　(2)90 解析：(1)可分为两种情况：①画册2本，集邮册2本，则不同的赠送方法有C＝＝6(种)．②画册1本，集邮册3本，则不同的赠送方法有C＝4(种)．所以共有6＋4＝10(种)．故选B. (2)·A＝90(种). 题型四　排列与组合的综合问题 有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，分别求符合下列条件的选法数： (1)某女生一定担任语文课代表； (2)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表； (3)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表． 解：(1)再选4人任课代表，先选后排有C·A＝840(种)选法． (2)先选后排，先安排该男生有C·C·A＝3 360(种)选法．(3)先从除去该男生和该女生的6人中选3人有C种，再安排该男生有C种，其余3人全排列有A种，共有C·C·A＝360(种)选法． 学生用书第126页 规律方法 解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列． 对点练4．从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为(　　) A．300 B．216 C．180 D．162 答案：C 解析：依题意知，可以分两类：第一类，不取0，从1，2，3，4，5中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为CA＝72.第二类：取数字0，取2和4中的一个数字，再取2个奇数，组成无重复数字的四位数有CCCA＝108(个)．由分类加法计数原理，组成没有重复数字的四位数共有72＋108＝180(个)．故选C. 知识 1．有限制条件的排列、组合问题.2．与几何图形有关的组合问题.3．分组、分配问题.4．排列与组合的综合问题 方法 分类讨论、插空法、隔板法、均分法 易错 误区 分类不当；平均分组理解不到位 1．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有(　　) A．70种 B．80种 C．100种 D．140种 答案：A 解析：组队方案共有两类：2男1女和2女1男，故N＝C·C＋C·C＝70种．故选A. 2．(2024·山东日照高二测试)2024年贺岁片，《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》引爆了电影市场，小明和他的同学一行四人决定去看这三部电影，则恰有两人看同一部影片的选择共有(　　) A．9种 B．36种 C．38种 D．45种 答案：B 解析：分两步，先将4人分成3组，即2、1、1三组，则有C(种)分组方法，再将分好的三组全排列，对应三部电影，有A(种)情况，则有CA＝6×6＝36(种)不同的安排方式．故选B. 3．空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内(无三点共线)，其余点无三点共线，无四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为(　　) A．205 B．110 C．204 D．200 答案：A 解析：法一：可以按从共面的5个点中取0个、1个、2个、3个进行分类，则得到构成四面体的个数为CC＋CC＋CC＋CC＝205.故选A. 法二：从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面的5个点的情况，得到所有构成四面体的个数为C－C＝205.故选A. 4．将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有________种． 答案：10 解析：将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，分情况讨论：①1号盒子中放1个球，其余3个放入2号盒子，有C＝4(种)方法；②1号盒子中放2个球，其余2个放入2号盒子，有C＝6(种)方法；则不同的放球方法有10种． 课时测评35　组合的应用(习题课) (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法种数为(　　) A．85 B．56 C．49 D．28 答案：C 解析：可分类计算：第一类是甲、乙两人有1人入选，有CC＝42(种)选法；第二类是甲、乙都入选，有CC＝7(种)选法，由分类加法计数原理可知，符合题设的方法共有42＋7＝49(种)．故选C. 2．(2021·全国乙卷)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有(　　) A．60种 B．120种 C．240种 D．480种 答案：C 解析：根据题设中的要求，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，可分两步进行安排：第一步，将5名志愿者分成4组，其中1组2人，其余每组1人，共有C种分法；第二步，将分好的4组安排到4个项目中，有A种安排方法．故满足题意的分配方案共有C·A＝240(种)．故选C. 3．6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法有(　　) A．40种 B．50种 C．60种 D．70种 答案：B 解析：先分组再排列，一组2人一组4人有C＝15(种)不同的分法；两组各3人共有＝10(种)不同的分法，所以共有(15＋10)×2＝50(种)不同的乘车方法．故选B. 4．如图是由6个正方形拼成的矩形图案，从图中的12个顶点中任取3个顶点作为一组．其中可以构成三角形的组数为(　　) A．208 B．204 C．200 D．196 答案：C 解析：任取的3个顶点不能构成三角形的情形有3种：一是3条横线上的4个点，其组数为3C；二是4条竖线上的3个点，其组数为4C；三是4条对角线上的3个点，其组数为4C，所以可以构成三角形的组数为C－3C－8C＝200.故选C. 5．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有(　　) A．8种　　 B．14种 C．20种 D．116种 答案：B 解析：按照甲是否在天和核心舱划分，①若甲在天和核心舱，天和核心舱需要从除了甲、乙之外的三人中选取两人，剩下两人去剩下两个舱位，则有C·A＝6(种)安排方案．②若甲不在天和核心舱，甲进入问天实验舱和梦天实验舱中的一个，剩下四人中选取三人进入天和核心舱，则有C·C＝8(种)安排方案．根据分类加法计数原理，共有6＋8＝14(种)安排方案．故选B. 6．(多选题) (2024·山东东营高二质量监测) 现有带有编号1，2，3，4，5的五个球及四个不同的盒子，则下列表述正确的有(　　) A．全部投入4个不同的盒子里，共有45种放法 B．全部投入2个不同的盒子里，每盒至少一个，共有C·A种放法 C．将其中的4个球投入4个盒子里的一个(另一个球不投入)，共有C·C种放法 D．全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，共有C·A种不同的放法 答案：ACD 解析：对于A，将5个小球全部投入4个不同的盒子里，共有4×4×4×4×4＝45种放法，故A正确；对于B，将5个球全部投入2个不同的盒子里，第一步选2个盒子有C种选法，第二步将5个球分为两组，若两组球个数之比为1∶4有C种分法；若两组球个数之比为2∶3有C种分法，第三步将两组排给两个盒子有A种排法，因此共有C(C＋C)A＝180，故B不正确；对于C，将其中的4个球投入4个盒子里的一个(另一个球不投入)，第一步选4个球有C种选法，第二步选一个盒子有C种选法，共有C·C种放法，故C正确；对于D，全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，第一步将5球分成2∶1∶1∶1的四组共有C种分法，第二步分给四个盒子有A种排法，故共有C·A种放法，故D正确．故选ACD. 7．某校有4个社团向高一学生招收新成员，现有3名同学，每人只选报1个社团，恰有2个社团没有同学选报的报法有________种(用数字作答)． 答案：36 解析：第一步，选2名同学报名某个社团，有C·C＝12种报法；第二步，从剩余的3个社团里选一个社团安排另一名同学，有C·C＝3(种)报法．由分步乘法计数原理得共有12×3＝36(种)报法． 8．从正方体ABCD -A′B′C′D′的8个顶点中选取4个作为四面体的顶点，可得到的不同的四面体的个数为________． 答案：58 解析：从8个顶点中任取4个有C种方法，从中去掉6个面和6个对角面，所以有C－12＝58(个)不同的四面体． 9．用1，2，3，4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的四位数的个数为________． 答案：8 解析：首先排两个奇数1，3，有A种排法，再在2，4中取一个数放在1，3之间，有C种排法，然后把这3个数作为一个整体与剩下的另一个偶数全排列，有A种排法，即满足条件的四位数的个数为ACA＝8. 10．(12分)某县医院联合专家去农村义务会诊，其中有5人只精通中医，4人只精通西医，还有2人既精通中医又精通西医，现从这11位专家中选4名中医4名西医，有多少种不同的选法？ 解：法一：按选西医的人数分三类： 第一类，只精通西医的4人都入选，则可从其余7人中任选4人作中医，有C种； 第二类，只精通西医的4人选3人，则从均精通的两位专家中选1人作西医，余下6人选4人作中医，有CCC种； 第三类，只精通西医的4人选2人，则均精通的两位专家作西医，余下5人选4人作中医，有CC.故由分类加法计数原理知，共有C＋CCC＋CC＝185(种)选法． 法二：按均精通的专家分类： 第一类，两人均不参加，有CC种； 第二类，两人有一人参加，有C(CC＋CC)种； 第三类，两人均参加，有(CC)×2＋CC＋CC种． 由分类加法计数原理知，共有CC＋[C(CC＋CC)]＋[(CC)×2＋CC＋CC]＝185(种)选法． (11，12每小题5分，共10分) 11．把甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名同学，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法种数为(　　) A．24 B．30 C．36 D．81 答案：B 解析：根据题意，总的分法种数为CA＝36.若甲、乙两人分在同一个班，则分法种数为A＝6，所以甲、乙两名学生不能分到同一个班的分法种数为36－6＝30.故选B. 12．从6双不同的鞋子中任取4只，恰是两双的选法有________种，恰有一双的选法有________种． 答案：15　240 解析：恰是两双的选法有C＝15种，对于恰有一双的情形，可先选一双完整的，再从剩下的5双中选两双，然后在这两双中各选一只，共有CCCC＝240(种)选法． 13．(13分)甲、乙、丙三位教师指导五名学生a，b，c，d，e参加全国高中数学联赛，每位教师至少指导一名学生． (1)若每位教师至多指导两名学生，求共有多少种分配方案； (2)若教师甲只指导其中一名学生，求共有多少种分配方案． 解：(1)5名学生分成3组，人数分别为2，2，1， 所以分配方案有＝90(种)． (2)从5名学生任选1名学生分配给甲教师指导，剩下4名学生分成2组，人数分别为2，2或3，1， 所以分配方案有C＝70(种)． 14．(5分)(多选题)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数可能为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：BD 解析：任意两位同学之间交换纪念品共要交换C＝15(次)，如果都完全交换，每个人都要交换5次，也就是每人得到5份纪念品．现在6位同学总共交换了13次，少交换了2次，这2次若不涉及同一人，则收到4份纪念品的同学有4人，若涉及同一个人，则收到4份纪念品的同学有2人．故选BD. 15．(15分)在∠MON的边OM上有5个异于O点的点，边ON上有4个异于O点的点，以这10个点(含O点)为顶点，可以得到多少个三角形？ 解：法一 (直接法)：分几种情况考虑： O为顶点的三角形中，必须另外两个顶点分别在OM，ON上，所以有C·C个； O不为顶点的三角形中，两个顶点在OM上，一个顶点在ON上，有C·C个；一个顶点在OM上，两个顶点在ON，上有C·C个． 因为这是分类问题，所以用分类加法计数原理，共有C·C＋C·C＋C·C＝5×4＋10×4＋5×6＝90(个)． 法二(间接法)：先不考虑共线点的问题，从10个不同元素中任取三点的组合数是C，但其中OM上的6个点(含O点)中任取三点不能得到三角形，ON上的5个点(含O点)中任取3点也不能得到三角形．所以共可以得到C－C－C，即C－C－C＝120－20－10＝90(个)． 学科网（北京）股份有限公司 $$