5.3.2 组合数及其性质 课件-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件围绕组合数及其性质展开，从排列与组合的对比切入，通过具体实例（如从4个元素中取2个）引导学生理解组合的本质是“不考虑顺序”，进而推导出组合数公式，并结合实际问题（如三角形计数、人员选拔）深化概念应用，构建了由浅入深、层层递进的学习支架。 其亮点在于融合数学眼光、数学思维与数学语言三大核心素养，突出抽象能力与逻辑推理。例如，用“选6人参赛”与“选4人不参赛”的等价关系体现数学思维中的对称性，借助几何直观解释组合数性质1，再以概率计算题展示数学语言表达现实问题的能力。这种教学设计既帮助学生建立清晰的知识结构，又提升其解决实际问题的能力，教师可直接用于课堂探究活动，增强教学实效性。

5.3.2 组合数及其性质 一般地，从n个不同元素中，任取m（m≤n，且m，n∈N+）个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合（combination）． 排列与组合之间的相同与不同点 都是从不同元素中取. 两个排列相同 ①元素完全相同 ②元素的排列顺序也相同 排列需要考虑顺序，组合不需要考虑顺序. 相同点： 不同点： 两个组合相同 元素完全相同 组合数：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示. 从a.b,c,d这4个元素中取出2个元素,共有多少种可能? 解法2 第1步,从a ,b,c,d这4个不同元素中取出2个元素,共有种取法; 第2步,将取出的2个元素进行排列,共有种排法. 因此,根据分步乘法计数原理,×,从而===6. 一般地,考虑与的关系;把“从n个不同元素中取出m (m≤n,且mn ∈ N)个元素进行排列”这件事,可以分解成以下2个步骤: 第1步,从n个不同元素中取出m个元素,共有种取法﹔ 第2步,将取出的m个元素进行排列,共有种排法. 因此,根据分步乘法计数原理,我们得到“从n个不同元素中取出m(m≤n且.mn ∈N.)个元素进行排列”共有种排法,即= . 由此,我们得到;从n个不同元素中取出m个元素的组合数为 ， 组合数公式 ： ==， 规定： 将代入得， 计算：（1） ;（2） 解:（1） （2）= =35 （3） ; （4） （3） （4） 例2 已知平面内有12个点,任何3个点均不在同一直线上,以每3个点为顶点画一个三角形,一共可以画多少个三角形? 分析﹐已知“任何3个点均不在同一直线上”,所以在12个点中任取3个点都可以构成一个三角形,且这3个点不必考虑顺序,如△ABC,△ACB,△BAC,ECA,△CAB,△CBA都表示同一个三角形.因此,这是一个从12个不同元素中取出3个元素的组合问题. 解: 依题意知以平面内12个点中的每3个点为顶点画三角形,可画的三角形的个数，就是从12个不同元素中取出3个元素的组合数,即 = 因此,一共可以画220个三角形. 分别计算“从10人中选出6人参加比赛”与“从10人中选出4人不参加比赛”的方法数？ 从10人中选出6人参加比赛： 从10人中选出4人不参加比赛： “从10人中选出6人参加比赛”与“从10人中选出4人不参加比赛”含义相同： “从个元素中选出个元素” 等价于 “从个元素中不选剩余的个元素”. 组合数性质1: 从10名普通战士和1名班长中选出5名参加军事比武大赛,共有多少种方案? 分析一方面,从11名中选出5名参加军事比武大赛,共有种方案. 另一方面,选出的5名可以分成以下2类: 第1类,含有班长,再从10名普通战士选4人共有种方案; 第2类,不含班长,共有种方案. 因此,根据分类加法计数原理,共有+）种方案. 由此,我们得到:= . 从(n＋1)个不同的小球中取出m个小球的组合数. 现将这(n十1)个小球看成n个红球和1个黑球,从中取出m个球.所有取法可以分成以下2类: 第1类,不取黑球,从n个红球中,取出m个球,方法数为; 第2类,取出1个黑球和(m-1)个红球,因此,取出的方法数相当于从n个红球中,取出（m-1)个球,方法数为. 因此,根据分类加法计数原理,共有（+)种取法.由此,我们得到:=+. 组合数性质2: 某商家在春节前开展商品促销活动，凡购物金额满50元的顾客，均可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件．1．若有4名顾客都领取一件礼品，一共有多少种领取方式？ 2．若这4名顾客都领取了一件礼品，他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率应如何计算？ 提示：1．第1名顾客领取一件礼品，有3种，第2名顾客领取一件礼品，有3种，第3名顾客领取一件礼品，有3种，第4名顾客领取一件礼品，有3种，一共有34＝81种领取方式． 2. 他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同，第一步从4名顾客中任选2人组成一组，第二步，这一组与另外二人，再分别选不同的礼品有，有＝36种领取方式， 某商家在春节前开展商品促销活动，凡购物金额满50元的顾客，均可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件．1．若有4名顾客都领取一件礼品，一共有多少种领取方式？ 2．若这4名顾客都领取了一件礼品，他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率应如何计算？ 如图，一个正方形花圃被分成5份． （1）若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，现有红、黄、蓝、绿4种颜色的花，问有多少种不同的种植方法？ A B C D E （2）若在这5个部分放入7个不同的盆栽，要求每个部分都有盆栽，问有多少种不同的放法？ 解析： （1）先对A部分种植，有4种不同的种植方法；再对B部分种植，有3种不同的种植方法；对C部分种植，进行分类： ①若C与B的颜色相同，则D有2种不同的种植方法，E有2种不同的种植方法，共有4×3×1×2×2＝48种不同的种植方法； ②若C与B的颜色不同，则C有2种不同的种植方法，D有1种不同的种植方法，E有2种不同的种植方法，共有4×3×2×1×2＝48种不同的种植方法． 综上，共有48＋48＝96种不同的种植方法． 如图，一个正方形花圃被分成5份． （1）若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，现有红、黄、蓝、绿4种颜色的花，问有多少种不同的种植方法？ A B C D E （2）若在这5个部分放入7个不同的盆栽，要求每个部分都有盆栽，问有多少种不同的放法？ 解析： （2）将7个盆栽分成5组，有2种分法： ①分成2、2、1、1、1，有 种分法； ②分成3、1、1、1、1，有 种分法， 则一共有 　　　　 ＝16 800种放法． 组合数公式：， 性质1： 性质2： $