2.1.1 椭圆及其标准方程-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版2019）

§1　椭圆 1.1　椭圆及其标准方程 [学习目标] 知识层面 1．理解并掌握椭圆的定义．　2．掌握椭圆的标准方程的推导．　3．会求简单的椭圆的标准方程. 素养层面 通过对椭圆、焦点、焦距等概念的学习，逐步形成数学抽象素养；借助求椭圆的标准方程，培养数学运算素养. 知识点一　椭圆的定义 问题1　取一条定长的细线，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1，F2，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？ 在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？ 提示：椭圆，笔尖到两个定点的距离的和等于常数． 定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作椭圆 焦点 两个定点叫作椭圆的焦点 焦距 两个焦点间的距离叫作椭圆的焦距 集合 语言 Q＝{P||PF1|＋|PF2|＝2a，2a＞|F1F2|} [微提醒]　(1)椭圆上的点到两焦点距离之和为定值．(2)定值必须大于两定点的距离．(3)当距离的和等于|F1F2|时，点的轨迹是线段．(4)当距离的和小于|F1F2|时，点的轨迹不存在． (链教材P49例1)如图所示，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点．线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？ 解：如图所示，连接QA. 由已知，得|QA|＝|QP|， 所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r. 又因为点A在圆内，所以|OA|＜|OP|. 根据椭圆的定义得，点Q的轨迹是以O，A为焦点的椭圆． 规律方法 椭圆定义的双向运用 判断 符合定义中到两定点的距离之和为常数(大于两定点的距离)这一条件的点的轨迹为椭圆 求值 椭圆上的点一定满足定义中的条件即到两定点的距离之和等于常数(大于两定点间的距离) 对点练1．一动圆过定点A(2，0)，且与定圆x2＋4x＋y2－32＝0内切，则动圆圆心M的轨迹是什么？为什么？ 解：将圆的方程化为标准形式为(x＋2)2＋y2＝62，可知圆心坐标为B(－2，0)，半径为6， 如图所示，设动圆圆心M的坐标为(x，y)， 由于动圆与已知圆相内切，设切点为C. 所以已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆心的距离，即|BC|－|MC|＝|BM|，而|BC|＝6， 所以|BM|＋|CM|＝6，又|CM|＝|AM|， 所以|BM|＋|AM|＝6， 根据椭圆的定义知M的轨迹是以点B(－2，0)和点A(2，0)为焦点，线段AB的中点O(0，0)为中心的椭圆． 学生用书第43页 知识点二　椭圆的标准方程 问题2　观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单． 提示：观察可以发现椭圆具有对称性，而且过两焦点的直线是它的对称轴，所以我们以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴， 建立平面直角坐标系，如图所示．设椭圆的焦点分别为F1(－c，0)和F2(c，0)，P(x，y)为椭圆上任意一点，由椭圆的定义可知，|PF1|＋|PF2|＝2a.因为|PF1|＝，|PF2|＝，所以＋＝2a.① 即＝2a－.② 对方程②两边平方， 整理，得a2－cx＝a，③ 对方程③两边平方， 整理，得(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)，④ 将方程④两边同除以a2(a2－c2)， 得＋＝1，⑤ 由椭圆的定义可知2a＞2c＞0，即a＞c＞0， 所以a2－c2＞0.令b＝， 那么方程⑤就是＋＝1(a＞b＞0)．⑥ 我们将方程⑥称为焦点在x轴上的椭圆方程． 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 图形 焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 b2＝a2－c2 [微提醒]　(1)椭圆上的点到两焦点的距离的和为2a.(2)x2项和y2项谁的分母大，焦点就在谁的轴上． 角度1　求椭圆的标准方程 (链教材P51例2)求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点坐标为(－3，0)和(3，0)，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10； (2)焦点坐标为(0，－2)和(0，2)，且经过点(3，2)； (3)经过点P，Q. 解：(1)由于椭圆的焦点在x轴上，故可设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)． 由椭圆的定义知2a＝10，所以a＝5. 又因为c＝3，所以b2＝a2－c2＝25－9＝16. 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. (2)由于椭圆的焦点在y轴上，故可设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)． 已知焦点坐标及椭圆上一点(3，2)，由椭圆的定义可知2a＝＋＝5＋3＝8， 所以a＝4. 又因为c＝2，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12. 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. (3)法一：①当椭圆焦点在x轴上时， 可设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)． 由题意，有解得 由a＞b＞0，知不合题意，故舍去； ②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为 ＋＝1(a＞b＞0)． 由题意，有解得 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 法二：设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)． 则解得 所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1， 所以椭圆的标准方程为＋＝1. 规律方法 确定椭圆标准方程的方法 1．定位：是指确定在坐标系中的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式． 2．定量：是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程(组)求解． 对点练2．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过两点(2，－)，； (2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同的焦点． 解：(1)设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)． 将两点(2，－)，代入， 得解得 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. (2)因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16. 设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)． 因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.① 又点(，－)在椭圆上，所以＋＝1，即＋＝1.②由①②得b2＝4，a2＝20， 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 角度2　点与椭圆的位置关系 已知直线mx＋ny－5＝0与圆x2＋y2＝5没有公共点，则点P(m，n)与椭圆＋＝1的位置关系是(　　) A．点在椭圆内 B．点在椭圆外 C．点在椭圆上 D．点不确定 答案：A 解析：因为直线mx＋ny－5＝0与圆x2＋y2＝5没有公共点，所以＞，即m2＋n2＜5，所以m2＜5，n2＜5.又因为＋＜＋＝＜1，所以点P(m，n)在椭圆内部．故选A. 规律方法 点与椭圆的位置关系的判断方法 1．定义法判断： |PF1|＋|PF2|＜2a⇔点P在椭圆内部； |PF1|＋|PF2|＝2a⇔点P在椭圆上； |PF1|＋|PF2|＞2a⇔点P在椭圆外部． 2．方程法判断： 点P(x0，y0)在椭圆外⇔＋＞1； 点P(x0，y0)在椭圆内⇔＋＜1； 点P(x0，y0)在椭圆上⇔＋＝1. 对点练3．若点P(0，1)在焦点在x轴上的椭圆＋＝1的内部，则m的取值范围是 ． 答案：(1，5) 解析：由题意知＋＜1，所以m＞1，又椭圆的焦点在x轴上，所以m＜5，故m的取值范围是(1，5)． 学生用书第44页 椭圆中的焦点三角形问题 已知椭圆＋＝1中，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积． 解：由＋＝1， 可知a＝2，b＝， 所以c＝＝1， 从而|F1F2|＝2c＝2. 在△PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos ∠PF1F2， 即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|.　① 由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4.　② 由①②联立可得|PF1|＝. 所以S△PF1F2＝|PF1||F1F2|sin ∠PF1F2＝××2×＝. [变式探究] 1．(变条件)本例中，把“∠PF1F2＝120°”改为“∠PF1F2＝90°”，求△PF1F2的面积． 解：由椭圆方程＋＝1，知a＝2，c＝1，由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，且|F1F2|＝2，在△PF1F2中，∠PF1F2＝90°， 所以|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2. 从而(4－|PF1|)2＝|PF1|2＋4， 则|PF1|＝， 因此S△PF1F2＝|F1F2||PF1|＝. 故所求△PF1F2的面积为. 2．(变条件、变设问)本例中方程改为“＋＝1(a＞b＞0)”，且“∠PF1F2＝120°”改为“∠F1PF2＝120°”，若△PF1F2的面积为，求b的值． 解：由∠F1PF2＝120°，△PF1F2的面积为，可得|PF1||PF2|·sin ∠F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝，所以|PF1||PF2|＝4. 根据椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a，再利用余弦定理可得4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 120°＝(|PF1|＋|PF2|)2－|PF1|·|PF2|＝4a2－4， 所以b2＝1，即b＝1. 规律方法 1．焦点三角形的概念 如图所示，设P是椭圆上一点，F1，F2为椭圆的焦点，当点P，F1，F2不在同一条直线上时，它们构成一个三角形——焦点三角形． 2．关于椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义列出|PF1|＋|PF2|＝2a，利用这个关系式转化求解，所以回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法．在求解过程中要灵活运用勾股定理、正弦定理、余弦定理等． 3．焦点三角形的常用公式 (1)焦点三角形的周长L＝2a＋2c； (2)在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ； (3)焦点三角形的面积S△F1PF2＝|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan .(选择题、填空题可直接应用此公式求解) 对点练4．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆E上，∠F1PF2＝2θ. (1)求△F1PF2的面积S； (2)研究△PF1F2的内角∠F1PF2的变化规律． 解：(1)如图所示，由椭圆的定义，可得|PF1|＋|PF2|＝2a. 由余弦定理，可得 |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 2θ＝(|PF1|＋|PF2|)2－2·|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|·cos 2θ＝4a2－2|PF1|·|PF2|·(1＋cos 2θ)＝4c2， 所以|PF1|·|PF2|＝. 所以S＝|PF1|·|PF2|·sin 2θ＝··sin 2θ＝·b2＝b2tan θ. (2)因为2θ为△PF1F2的内角， 所以2θ∈(0，π)，即θ∈. 令点P顺时针方向由点A向点B运动，则△PF1F2的边F1F2不变，但F1F2上的高逐渐增大，故S逐渐增大，从而tan θ逐渐变大．由θ∈可知，θ也逐渐变大．由此可见，点P的纵坐标的绝对值越大，2θ也越大，当点P与点B重合时，∠F1PF2达到最大值． 知识 1．椭圆的定义.2．椭圆的标准方程.3．点与椭圆的位置关系.4．椭圆定义的应用 方法 定义法、待定系数法、转化与归纳 易错 误区 忽视椭圆定义中a，b，c的关系；混淆不同坐标系下椭圆的两种标准方程；求参数范围时，忽视焦点所在的坐标轴而致错 学生用书第45页 1．设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝6，则动点P的轨迹是(　　) A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段 答案：D 解析：因为|PF1|＋|PF2|＝6＝|F1F2|，所以动点P的轨迹是线段．故选D. 2．已知椭圆＋＝1上一点P，它到左焦点F1的距离为2，则它到右焦点F2的距离为(　　) A．4 B．6 C．30 D． 答案：B 解析：由定义|PF1|＋|PF2|＝8，知|PF2|＝6.故选B. 3．若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是(　　) A．－9＜m＜25 B．8＜m＜25 C．16＜m＜25 D．m＞8 答案：B 解析：由题意知解得8＜m＜25.故选B. 4．(开放题)(2024·江苏苏州高二质量调研)在平面直角坐标系xOy中，已知菱形ABCD的边长为2，一个内角为60°，顶点A，B，C，D均在坐标轴上，以A，C为焦点的椭圆Γ经过B，D两点，请写出一个这样的Γ的标准方程： ． 答案：＋y2＝1(答案不唯一) 解析：根据题意，顶点A，B，C，D均在坐标轴上，则该菱形对角线的交点为坐标原点．如图：假设A，C在x轴上，B，D在y轴上，∠BCD＝60°，由菱形的性质得∠BCA＝30°，又由菱形ABCD的边长为2，则OB＝1，BC＝2，OC＝，即b＝1，c＝，则a2＝b2＋c2＝4，故椭圆Γ一个标准方程为＋y2＝1(答案不唯一)． 课时测评13　椭圆及其标准方程 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．已知椭圆C：＋＝1，点A(1，1)，则点A与椭圆C的位置关系是(　　) A．点在椭圆上 B．点在椭圆内 C．点在椭圆外 D．无法判断 答案：B 解析：因为＋＝＜1，所以点A在椭圆C内部．故选B. 2．(多选题)对于曲线C：＋＝1，下面说法正确的是(　　) A．曲线C不可能是椭圆 B．“1＜k＜4”是“曲线C是椭圆”的充分不必要条件 C．“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3＜k＜4”的必要不充分条件 D．“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“1＜k＜2.5”的充要条件 答案：CD 解析：对于A，当1＜k＜4且k≠2.5时，曲线C是椭圆，故A错误；对于B，当k＝2.5时，4－k＝k－1，此时曲线C是圆，故B错误；对于C，若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则解得2.5＜k＜4，所以“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3＜k＜4”的必要不充分条件，故C正确；对于D，若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则解得1＜k＜2.5，故D正确．故选CD. 3．(2021·新高考Ⅰ卷)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　) A．13 B．12 C．9 D．6 答案：C 解析：由椭圆C：＋＝1，得|MF1|＋|MF2|＝2×3＝6，则|MF1|·|MF2|≤＝32＝9，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时等号成立．故选C. 4．若已知椭圆＋＝1，焦点在x轴上，若焦距为4，则m等于(　　) A．4 B．5 C．7 D．8 答案：A 解析：椭圆焦点在x轴上，所以a2＝10－m，b2＝m－2.又c＝2，所以(10－m)－(m－2)＝4，所以m＝4.故选A. 5．设P为椭圆＋＝1上一点，F1，F2为椭圆的左、右焦点，且|PF1|＝4|PF2|，则(　　) A．△PF1F2为锐角三角形 B．△PF1F2为钝角三角形 C．△PF1F2为直角三角形 D．P，F1，F2三点构不成三角形 答案：D 解析：由题意可知，a＝5，b＝4，则c＝3，又|PF1|＋|PF2|＝10，|PF1|＝4|PF2|，所以|PF1|＝8，|PF2|＝2，且|F1F2|＝6，则6＋2＝8，即P，F1，F2三点共线，构不成三角形．故选D. 6．(2024·湖南长沙高二期末)△ABC的两个顶点为A(－3，0)，B(3，0)，△ABC的周长为16，则顶点C的轨迹方程为(　　) A．＋＝1(y≠0) B．＋＝1(y≠0) C．＋＝1(y≠0) D．＋＝1(y≠0) 答案：A 解析：由题意知点C到A，B两点的距离之和为10＞6，故点C的轨迹为以A(－3，0)，B(3，0)为焦点的椭圆，故2a＝10，c＝3，b2＝a2－c2＝16，又△ABC中A，B，C三点不能共线，所以点C的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．故选A. 7．椭圆8x2＋3y2＝24的焦点坐标为 ． 答案：(0，－)，(0，) 解析：方程可化为＋＝1，所以a2＝8，b2＝3，且焦点在y轴上，又c＝＝，所以其焦点坐标为(0，－)，(0，)． 8．(2021·全国甲卷)已知F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为 ． 答案：8 解析：根据椭圆的对称性及|PQ|＝|F1F2|可以得到四边形PF1QF2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF1QF2为矩形．设|PF1|＝m，则|PF2|＝2a－|PF1|＝8－m，则|PF1|2＋|PF2|2＝m2＋(8－m)2＝2m2＋64－16m＝|F1F2|2＝4c2＝4(a2－b2)＝48，得m(8－m)＝8，所以四边形PF1QF2的面积为|PF1|×|PF2|＝m(8－m)＝8. 9．在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆＋＝1上的一个动点，点A(1，1)，B(0，－1)，则|PA|＋|PB|的最大值为 ． 答案：5 解析：易知B为椭圆的一个焦点，设椭圆的另一焦点为B′，则B′(0，1)，如图，连接PB′，AB′，根据椭圆的定义得|PB|＋|PB′|＝2a＝4，所以|PB|＝4－|PB′|，因此|PA|＋|PB|＝|PA|＋(4－|PB′|)＝4＋|PA|－|PB′|≤4＋|AB′|＝4＋1＝5，当且仅当点P在AB′的延长线上时，等号成立，所以|PA|＋|PB|的最大值为5. 10．(12分)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程． 解：由已知得圆M的圆心为M(－1，0)，半径r1＝1； 圆N的圆心为N(1，0)，半径r2＝3. 设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R. 动圆P与圆M外切并且与圆N内切， 所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4＞|MN|. 由椭圆定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点的椭圆(点(－2，0)除外)，且a＝2，c＝1，b＝， 其方程为＋＝1(x≠－2)． (11，12每小题5分，共10分) 11．(多选题)设椭圆＋＝1的右焦点为F，直线y＝m(0＜m＜)与椭圆交于A，B两点，则(　　) A．|AF|＋|BF|为定值 B．△ABF的周长的取值范围是[6，12] C．当m＝时，△ABF为直角三角形 D．当m＝1时，△ABF的面积为 答案：ACD 解析：设椭圆的左焦点为F′，则|AF′|＝|BF|，所以|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF′|＝6为定值，故A正确；△ABF的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|，因为|AF|＋|BF|为定值6，|AB|的取值范围是(0，6)，所以△ABF的周长的取值范围是(6，12)，故B错误；将y＝与椭圆方程联立，可解得A，B，又因为F(，0)，所以·＝＋＝0，所以AF⊥BF，所以△ABF为直角三角形，故C正确；将y＝1与椭圆方程联立，解得A(－，1)，B(，1)，所以S△ABF＝×2×1＝，故D正确．故选ACD. 12．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝ ；∠F1PF2的大小为 ． 答案：2　120° 解析：由题意知a＝3，b＝，c＝.由椭圆定义得，|PF1|＋|PF2|＝6.因为|PF1|＝4，所以|PF2|＝2.又因为|F1F2|＝2，在△F1PF2中，由余弦定理可得cos∠F1PF2＝－，所以∠F1PF2＝120°. 13．(13分)设F1，F2分别为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，B为椭圆上的点且坐标为(0，－1)． (1)若P是该椭圆上的一个动点，求|PF1|·|PF2|的最大值； (2)若C为椭圆上异于B的一点，且＝λ，求λ的值； (3)设P是该椭圆上的一个动点，求△PBF1的周长的最大值． 解：(1)因为椭圆的方程为＋y2＝1， 所以a＝2，b＝1，c＝， 即|F1F2|＝2，又因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝4， 所以|PF1|·|PF2|≤＝＝4，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝2时取“＝”， 所以|PF1|·|PF2|的最大值为4. (2)设C(x0，y0)，B(0，－1)，F1(－，0)， 由＝λ得x0＝，y0＝－. 又＋y＝1，所以＋＝1， 化简得λ2＋6λ－7＝0， 解得λ＝－7，或λ＝1， 因为点C异于点B，所以λ＝－7. (3)因为|PF1|＋|PB|＝4－|PF2|＋|PB|≤4＋|BF2|， 所以△PBF1的周长≤4＋|BF2|＋|BF1|＝8， 所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时，△PBF1的周长最大，最大值为8. 14．(5分)已知F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为 ． 答案： 解析：如图所示，由＋＝1，知a2＝9，b2＝7，c2＝2.所以a＝3，b＝，c＝.所以|F1F2|＝2.设|AF1|＝x，则|AF2|＝6－x.因为∠AF1F2＝45°，|AF2|2＝|AF1|2＋|F1F2|2－2|AF1||F1F2|·cos∠AF1F2，所以(6－x)2＝x2＋8－4x·，所以x＝.所以S△AF1F2＝|AF1||F1F2|sin∠AF1F2＝××2×＝. 15．(15分)某海域有A，B两个岛屿，B岛在A岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C，有渔船在距A岛、B岛距离和为8海里处发现鱼群，以A，B所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示． (1)求曲线C的标准方程； (2)某日，研究人员在A，B两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同)，A，B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3，你能否确定P处的位置(即点P的坐标)? 解：(1)由题意知曲线C是以A，B为焦点且2a为8的椭圆，又2c＝4， 则c＝2，a＝4，故b＝2， 所以曲线C的方程＋＝1. (2)由于A，B两岛收到鱼群反射信号的时间比为5∶3，因此设鱼群此时距A，B两岛的距离比为5∶3，即鱼群分别距A，B两岛的距离为5海里和3海里，设P(x，y)，B(2，0)，由|PB|＝3，得＝3， 所以解得或 所以点P的坐标为(2，3)或(2，－3). 学科网（北京）股份有限公司 $$