1.1.6 第2课时 点到直线的距离公式、两条平行直线间的距离公式-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版2019）

第2课时　点到直线的距离公式、两条平行直线间的距离公式 [学习目标] 知识 层面 1．探索并掌握点到直线的距离公式和两条平行直线间的距离公式．　2．会求点到直线的距离与两平行直线间的距离. 素养层面 通过研究点到直线的距离公式和两条平行直线间的距离公式，提升数学抽象、数学运算及逻辑推理素养. 知识点一　点到直线的距离公式 问题1　如图所示，在平面直角坐标系中，已知点P(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不全为0)，求点P到直线l的距离． 提示：设过点P且垂直于直线l的直线为l′，垂足为Q(图略)．易求直线l′的方程，并与l的方程联立方程组即得交点Q，故而求出|PQ|. 点到直线的距离 定义 点到直线的垂线段的长度 公式 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝(其中A，B不全为0) [微提醒]　(1)利用公式时直线的方程必须是一般式．(2)分子含有绝对值．(3)若直线方程为Ax＋By＋C＝0，则当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解． (1)点P(－1，2)到直线2x＋y－10＝0的距离为 ． (2)已知坐标平面内两点A(3，2)和B(－1，4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则实数m的值等于 ． 答案：(1)2　(2)－6或 解析：(1)由点到直线的距离公式得＝2. (2)依题意得＝，所以|3m＋5|＝|m－7|，所以3m＋5＝m－7，或3m＋5＝7－m，所以m＝－6，或m＝. 规律方法 点到直线的距离的求解方法 1．求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式，直接利用点到直线的距离公式即可． 2．若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列出关于参数的方程即可． 对点练1．(1)点P(0，1)到直线x－y－1＝0的距离等于(　　) A． B．1 C． D．2 (2)(多选题)若点P(3，a)到直线x＋y－4＝0的距离为1，则a的值为(　　) A． B．－ C． D．－ 答案：(1)C　(2)AD 解析：(1)点P(0，1)到直线x－y－1＝0的距离等于＝.故选C. (2)由题意得＝＝1，解得a＝，或a＝－.故选AD. 知识点二　两条平行直线间的距离 问题2　怎样求两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离(其中A，B不全为0，且C1≠C2)? 提示：在直线Ax＋By＋C1＝0上任取一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C2＝0的距离，就是这两条平行直线间的距离，即d＝，因为点P(x0，y0)在直线Ax＋By＋C1＝0上，所以Ax0＋By0＋C1＝0，即Ax0＋By0＝－C1，因此d＝＝＝(其中A，B不全为0，且C1≠C2)． 定义 夹在两条平行直线间的公垂线段的长 公式 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(其中A，B不全为0，且C1≠C2)之间的距离d＝ [微提醒]　(1)两条平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离．(2)运用两条平行直线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相同． 学生用书第23页 (1)两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为 ． (2)到直线3x－4y＋1＝0的距离为3，且与此直线平行的直线方程为 ． 答案：(1)　(2)3x－4y＋16＝0，或3x－4y－14＝0 解析：(1)由题意，得＝，所以m＝2，将直线3x＋y－3＝0化为6x＋2y－6＝0，由两平行线间的距离公式，得＝＝. (2)设所求直线方程为3x－4y＋m＝0，由两平行线间的距离公式得＝3，解得m＝16，或m＝－14.故所求的直线方程为3x－4y＋16＝0，或3x－4y－14＝0. [变式探究] (变条件)把本例(2)改为“直线l与直线3x－4y＋1＝0平行且点P(2，3)到直线l的距离为3”，求直线l的方程． 解：由直线l平行于直线3x－4y＋1＝0，可设l的方程为3x－4y＋c＝0， 又点P到l的距离为3，所以＝3， 解得c＝21或c＝－9，故所求直线方程为3x－4y＋21＝0或3x－4y－9＝0. 规律方法 求两条平行直线间的距离的两种思路 1．利用化归思想将两条平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．由于这种求法与点的选择无关，因此，选点时，常选取一个特殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算． 2．利用两条平行直线间的距离公式求解． 对点练2．若两条平行直线l1：x－2y＋m＝0(m＞0)与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是 ，则m＋n＝(　　) A．0 B．1 C．－2 D．－1 答案：C 解析：因为l1∥l2，所以＝，解得n＝－4，即直线l2：x－2y－3＝0，所以两平行直线间的距离d＝＝，解得m＝2，或m＝－8(舍去)，所以m＋n＝－2.故选C. 利用距离公式解决最值问题 两条互相平行的直线分别过A(6，2)和B(－3，－1)两点，如果两条平行直线间的距离为d，求： (1)d的取值范围； (2)当d取最大值时，两条直线的方程． 解：(1)如图所示，当两条平行直线与AB垂直时，两平行直线间的距离最大，为d＝|AB|＝ ＝3； 当两条平行线各自绕点B，A逆时针旋转时，距离逐渐变小，越来越接近于0，所以0＜d≤3，即所求的d的取值范围是(0，3]． (2)当d取最大值3时，两条平行线都垂直于AB，它们的斜率k＝－＝－＝－3. 故所求的直线方程分别为y－2＝－3(x－6)，或y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0，或3x＋y＋10＝0. 规律方法 应用数形结合思想求最值 1．解决此类问题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决． 2．数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到．当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围． 对点练3． 已知△ABC的顶点坐标为A(1，1)，B(m，)，C(4，2)，1＜m＜4.当m为何值时，△ABC的面积S最大？ 解：|AC|＝＝， 直线AC的方程为＝，即x－3y＋2＝0. 因为点B(m，)到直线AC的距离d＝， 所以△ABC的面积S＝|AC|·d＝|m－3＋2|＝. 因为1＜m＜4，所以1＜＜2， 所以0＜≤，0＜S≤. 所以当＝，即m＝时，△ABC的面积S最大． 知识 1.点到直线的距离公式的推导过程.2.点到直线的距离公式.3.两条平行直线间的距离公式.4.与距离公式有关的最值问题 方法 公式法、数形结合法、解方程(组)法 易错误区 1.设直线方程时忽略斜率是否存在.2.运用两条平行直线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相同 学生用书第24页 1．(多选题)已知点(a，1)到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值可能为(　　) A．1 B．－1 C． D．－ 答案：CD 解析：由题意知＝1，即|a|＝，所以a＝±.故选CD. 2．两条直线y＝x，6x－4y＋13＝0之间的距离为(　　) A． B． C． D．13 答案：B 解析：两条直线的方程分别为3x－2y＝0，3x－2y＋＝0，所以两条直线之间的距离d＝＝.故选B. 3．已知点M(1，2)，点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，则|MP|的最小值是(　　) A． B． C． D．3 答案：B 解析：点M到直线2x＋y－1＝0的距离，即为|MP|的最小值，所以|MP|的最小值为＝.故选B. 4．直线3x－4y－27＝0上到点P(2，1)距离最近的点的坐标是 ． 答案：(5，－3) 解析：由题意知过点P作直线3x－4y－27＝0的垂线，设垂足为M，则|MP|最小，直线MP的方程为y－1＝－(x－2)，解方程组得所以所求点的坐标为(5，－3)． 课时测评8　点到直线的距离公式、两条平行直线间的距离公式 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．已知点P是x轴上的点，且点P到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点P的坐标为(　　) A．(－6，0) B．(－12，0) C．(－12，0)或(8，0) D．(－6，0)或(6，0) 答案：C 解析：设P(x，0)．由点P到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，得＝6，即|3x＋6|＝30，解得x＝8，或x＝－12.所以点P的坐标为(8，0)，或(－12，0)．故选C. 2．已知直线5x＋12y－3＝0与直线10x＋my＋20＝0平行，则它们之间的距离是(　　) A．1 B．2 C． D．4 答案：A 解析：由两条直线平行可得＝，解得m＝24.即5x＋12y＋10＝0，由两条平行直线间的距离公式得d＝＝1.故选A. 3．若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与直线6x＋8y＋1＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：因为＝≠－，所以两直线平行．直线方程3x＋4y－12＝0可化为6x＋8y－24＝0，所以|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即＝＝.故选D. 4．已知点A(0，0)和B(1，1)，点C为直线l：x－y＋2＝0上一点，则△ABC的面积为(　　) A．1 B． C．2 D．4 答案：A 解析：由点A(0，0)和B(1，1)，可得|AB|＝，直线AB：x－y＝0，又点C为直线l：x－y＋2＝0上一点，所以AB∥l，所以点C到直线AB的距离为＝，所以△ABC的面积为××＝1.故选A. 5．已知A(－2，－4)，B(1，5)两点到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为(　　) A．－3 B．3 C．－1 D．－3或3 答案：D 解析：由题意得＝，解得a＝－3，或3.故选D. 6．(多选题)定义点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的有向距离为d＝.设点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2，则下列选项正确的有(　　) A．若d1－d2＝0，则直线P1P2与直线l平行 B．若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l可能重合 C．若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l垂直 D．若d1d2＜0，则直线P1P2与直线l相交 答案：BD 解析：设点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则d1＝，d2＝，若d1－d2＝0，则d1＝d2，即＝，所以Ax1＋By1＋C＝Ax2＋By2＋C，若d1＝d2＝0，即Ax1＋By1＋C＝Ax2＋By2＋C＝0，则点P1，P2都在直线l上，此时直线P1P2与直线l重合，故A、C错误，B正确；当d1d2＜0时，P1，P2在直线l的两侧，则直线P1P2与直线l相交，故D正确．故选BD. 7．分别过点A(－2，1)和点B(3，－5)的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离d是 ． 答案：5 解析：两条直线的方程分别为x＝－2，x＝3，所以这两条直线间的距离d＝|3－(－2)|＝5. 8．已知直线l：kx＋y＋2－k＝0过定点M，点P(x，y)在直线2x－y＋1＝0上，则|MP|的最小值是 ． 答案： 解析：由kx＋y＋2－k＝0得y＋2＝k(1－x)，所以直线l过定点M(1，－2)，依题意可知|MP|的最小值就是点M到直线2x－y＋1＝0的距离，由点到直线的距离公式可得|MP|min＝＝. 9．经过两直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点，且和原点相距为1的直线的条数为 ． 答案：2 解析：设所求直线的方程为x＋3y－10＋λ(3x－y)＝0，即(1＋3λ)x＋(3－λ)y－10＝0，因为原点到直线的距离d＝＝1，所以λ＝±3，即直线方程为x＝1或4x－3y＋5＝0，所以经过两直线交点，且和原点相距为1的直线的条数为2. 10．(12分)已知直线l过点A(2，4)，且被平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y－1＝0所截的线段中点M在直线x＋y－3＝0上，求直线l的方程． 解：法一：因为点M在直线x＋y－3＝0上， 所以设点M坐标为(t，3－t)，则点M到l1，l2的距离相等， 即＝， 解得t＝，所以M. 又l过点A(2，4)，由两点式得 ＝，即5x－y－6＝0， 故直线l的方程为5x－y－6＝0. 法二：设与l1，l2平行且距离相等的直线l3：x－y＋C＝0， 由两平行直线间的距离公式得＝， 解得C＝0，即l3：x－y＝0. 由题意得中点M在l3上，且点M在x＋y－3＝0上． 解方程组得 所以M. 又l过点A(2，4)， 故由两点式得直线l的方程为5x－y－6＝0. (11，12每小题5分，共10分) 11．(2020·全国Ⅲ卷)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为(　　) A．1 B． C． D．2 答案：B 解析：法一：由点到直线的距离公式知点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离d＝＝＝＝.当k＝0时，d＝1；当k≠0时，d＝＝，要使d最大，需k＞0且k＋最小，所以当k＝1时，dmax＝.故选B. 法二：记点A(0，－1)，直线y＝k(x＋1)恒过点B(－1，0)，当AB垂直于直线y＝k(x＋1)时，点A(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离最大，且最大值为|AB|＝.故选B. 12．(新定义)(多选题)已知平面上一点M(5，0)，若直线l上存在点P使|PM|＝4，则称该直线为点M的“相关直线”，下列直线是点M的“相关直线”的是(　　) A．y＝x＋1 B．y＝2 C．4x－3y＝0 D．2x－y＋1＝0 答案：BC 解析：点M到直线y＝x＋1的距离d＝＝3＞4，即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4，所以该直线上不存在点P，使|PM|＝4，故A中的直线不是点M的“相关直线”；点M到直线y＝2的距离d＝|0－2|＝2＜4，即点M与该直线上的点的距离的最小值小于4，所以该直线上存在点P，使|PM|＝4，故B中的直线是点M的“相关直线”；点M到直线4x－3y＝0的距离d＝＝4，所以直线上存在点P，使|PM|＝4，故C中的直线是点M的“相关直线”；点M到直线2x－y＋1＝0的距离d＝＝＞4，故D中的直线不是点M的“相关直线”．故选BC. 13．(13分)如图所示，射线OA所在直线的方向向量为d1＝(1，k)(k＞0)，点P在∠AOx内，PM⊥OA于点M. (1)若k＝1，P，求|OM|的值； (2)若P(2，1)，△OMP的面积是，求k的值． 解：(1)因为P，所以|OP|＝.若k＝1，则d1＝(1，1)，所以OA的方程为y＝x，即x－y＝0，则点P到直线OA的距离为＝， 所以|OM|＝＝. (2)因为直线OA的方程为kx－y＝0， 所以点P(2，1)到直线OA的距离d＝， 所以|OM|＝， 所以△OMP的面积为××＝， 解得k＝，或k＝2. 14．(5分)如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形的面积为4，则直线l2的方程为 ． 答案：x＋y－3＝0 解析：设直线l2的方程为y＝－x＋b(b＞1)，由题图知A(1，0)，D(0，1)，B(b，0)，C(0，b)．所以AD＝，BC＝b.梯形的高h就是两平行直线l1与l2间的距离，故h＝＝(b＞1)，由梯形面积公式得×＝4，所以b2＝9，b＝±3.又b＞1，所以b＝3.所以所求直线l2的方程是x＋y－3＝0. 15．(15分)已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a＞0)，直线l2：4x－2y－1＝0和直线l3：x＋y－1＝0，且l1和l2间的距离是. (1)求a的值； (2)能否找到一点P，使得点P同时满足下列三个条件：①点P是第一象限内的点；②点P到l1的距离是点P到l2的距离的一半；③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶.若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由． 解：(1)l2的方程可化为2x－y－＝0， 所以l1和l2间的距离d＝＝， 所以＝，因为a＞0，所以a＝3. (2)设点P(x0，y0)，若点P满足条件②，则点P在与l1和l2平行的直线l′：2x－y＋c＝0上，且＝×，得c＝，或c＝. 所以2x0－y0＋＝0，或2x0－y0＋＝0. 若点P满足条件③，则＝·，所以x0－2y0＋4＝0，或3x0＋2＝0. 若点P也满足条件①，则3x0＋2＝0不合题意．由解得 此时点P不满足条件①，应舍去． 由解得此时点P也满足条件①. 所以P为同时满足三个条件的点. 学科网（北京）股份有限公司 $$