1.1.4 两条直线的平行与垂直-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版2019）

1.4　两条直线的平行与垂直 [学习目标] 知识 层面 1．理解并掌握两条直线平行、垂直的条件．　2．能根据已知条件判断两直线的平行或垂直．　3．能运用两直线平行垂直时的斜率关系解决相应的几何问题. 素养 层面 通过对两条直线平行或垂直的应用，培养数学运算与直观想象素养；通过判断两直线的平行与垂直，培养逻辑推理素养. 知识点一　两条直线平行 问题1　如图所示，设直线l1与l2的倾斜角分别为α1与α2，斜率分别为k1与k2，若l1∥l2，则α1与α2之间有什么关系？k1与k2之间有什么关系？ 提示：若l1∥l2，α1与α2之间的关系为α1＝α2； 对于k1与k2之间的关系，当α1＝α2≠90°时，k1＝k2，当α1＝α2＝90°时，k1与k2不存在． 问题2　对于两条不重合的直线l1与l2，若k1＝k2，是否一定有l1∥l2？为什么？ 提示：一定有l1∥l2.因为k1＝k2，所以tan α1＝tan α2，所以α1＝α2，所以l1∥l2. 设两条不重合的直线l1，l2，倾斜角分别为α1，α2，斜率存在时斜率分别为k1，k2.则对应关系如下： 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇐两直线斜率都不存在 图示 (链教材P17例16)判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)l1：y＝2x＋3，l2：2x－y＋5＝0； (2)l1：y＝2x＋1，l2：x－2y＝0； (3)l1：x＝3，l2：x＝10； (4)l1：y＝2x＋1，l2：2x－y＋1＝0. 解：设两直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，在y轴上的截距分别为b1，b2. (1)k1＝k2＝2，b1＝3，b2＝5，b1≠b2， 所以l1∥l2. (2)k1＝2，k2＝，k1≠k2， 所以l1与l2不平行． (3)由两直线的方程可知，l1∥y轴， l2∥y轴，且两直线在x轴上的截距不相等， 所以l1∥l2. (4)因为k1＝k2＝2，b1＝b2＝1， 所以l1与l2重合． 规律方法 对点练1．根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2的位置关系： (1)l1经过点A(2，1)，B(－3，5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)； (2)l1的倾斜角为60°，l2经过点M(3，2)，N(－2，－3)． 解：(1)由题意知k1＝＝－， k2＝＝－， 所以l1与l2平行或重合． 需进一步研究A，B，C，D四点是否共线， 因为kBC＝＝－≠－， 所以A，B，C，D四点不共线， 所以l1∥l2. (2)由题意知k1＝tan 60°＝， k2＝＝， 因为k1＝k2，所以l1∥l2，或l1与l2重合． 学生用书第15页 知识点二　两条直线垂直 问题3　平面中，两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则两条直线的方向向量分别为v1＝(1，k1)，v2＝(1，k2)，当两条直线互相垂直时，可以得出什么结论？ 提示：k1·k2＝－1. 类型 斜率存在 其中一条斜率不存在 前提条件 |α2－α1|＝90° α1＝0°，α2＝90° 对应关系 l1⊥l2⇔k1·k2＝－1 l1斜率为0，l2斜率不存在 图示 (链教材P18例18)判断下列各组直线是否垂直，并说明理由： (1)l1：y＝－3x＋2，l2：y＝x＋5； (2)l1：4x＋3y＝10，l2：3x－4y＝5； (3)l1：y＝2 024，l2：x＝2 023. 解：(1)因为k1＝－3，k2＝， 所以k1k2＝－1，则l1⊥l2. (2)法一：因为k1＝－，k2＝， 所以k1k2＝－1，则l1⊥l2. 法二：由两直线方程可得它们的一个法向量分别为n1＝(4，3)，n2＝(3，－4)． 因为n1·n2＝0， 所以l1⊥l2. (3)l1的斜率为0，l2的斜率不存在，所以l1⊥l2. 规律方法 判断两条直线是否垂直的方法 1．在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可；若有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直． 2．若两直线的法向量互相垂直，则这两条直线也垂直． 对点练2．(多选题)下列各对直线互相垂直的是(　　) A．l1过点M(1，1)，N(1，2)，l2过点P(1，5)，Q(3，5) B．l1的斜率为－，l2过点P(1，1)，Q C．l1的倾斜角为30°，l2过点P(3，)，Q(4，2) D．l1过点M(1，0)，N(4，－5)，l2过点P(－6，0)，Q(－1，3) 答案：ABD 解析：对于A，l1与x轴垂直，l2与x轴平行，故两直线垂直；对于B，l2过点P(1，1)，Q，kPQ＝，－×＝－1，故两条直线垂直；对于C，kPQ＝，kl1＝，kl1·kPQ≠－1，故l1与l2不垂直；对于D，l1过点M(1，0)，N(4，－5)，kMN＝－，l2过点P(－6，0)，Q(－1，3)，kPQ＝，kMN·kPQ＝－1，故两条直线垂直．故选ABD. 应用一　利用两直线平行、垂直求直线方程 (链教材P17例17，P18例19)已知点A(2，2)和直线l：3x＋4y－20＝0，求： (1)过点A和直线l平行的直线方程； (2)过点A和直线l垂直的直线方程． 解：法一：因为直线l的方程为3x＋4y－20＝0， 所以kl＝－. (1)设过点A与直线l平行的直线为l1， 因为kl＝kl1，所以kl1＝－. 所以l1的方程为y－2＝－(x－2)， 即3x＋4y－14＝0. (2)设过点A与直线l垂直的直线为l2， 因为kl·kl2＝－1，所以·kl2＝－1， 所以kl2＝. 所以l2的方程为y－2＝(x－2)，即4x－3y－2＝0. 法二：(1)设所求直线方程为3x＋4y＋C＝0， 因为点(2，2)在直线上， 所以3×2＋4×2＋C＝0，所以C＝－14. 所以所求直线方程为3x＋4y－14＝0. (2)设所求直线方程为4x－3y＋λ＝0， 因为点(2，2)在直线上，所以4×2－3×2＋λ＝0， 所以λ＝－2，即所求直线方程为4x－3y－2＝0. [变式探究] 　(变条件)本例中条件“l：3x＋4y－20＝0”改为“l：x＝1”，求相应的直线方程． 解：(1)设所求直线为x－m＝0，因为过点(2，2)，则m＝2， 所以所求直线方程为x－2＝0. (2)易知l：x＝1的斜率不存在，所以所求直线的斜率k＝0， 所以所求直线方程为y＝2，即y－2＝0. 学生用书第16页 规律方法 1．根据两直线的位置关系求出所求直线的斜率，用点斜式求解，或利用待定系数法求解． 2．直线方程的常用设法 (1)过定点P(x0，y0)，可设点斜式y－y0＝k(x－x0)(斜率存在)；斜率不存在时，x＝x0； (2)知斜率k，设斜截式y＝kx＋b； (3)与直线Ax＋By＋C＝0平行，设为Ax＋By＋m＝0； (4)与直线Ax＋By＋C＝0垂直，设为Bx－Ay＋n＝0. 对点练3．(1)已知直线l的方程为4x－3y－12＝0，求过点(－1，3)，且与l平行的直线l′的方程； (2)求经过点A(2，1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程． 解：(1)法一：l的方程可化为y＝x－4， 所以l的斜率为， 因为l′∥l，所以l′的斜率为， 又l′过点(－1，3)， 所以由点斜式得直线l′的方程为y－3＝(x＋1)， 即4x－3y＋13＝0. 法二：因为l′∥l， 可设l′的方程为4x－3y＋m＝0(m≠－12)， 将(－1，3)代入得m＝13， 所以所求直线的方程为4x－3y＋13＝0. (2)法一：设直线l的斜率为k， 因为直线l与直线2x＋y－10＝0垂直， 所以k·(－2)＝－1，所以k＝， 又因为直线l经过点A(2，1)， 所以所求直线l的方程为y－1＝(x－2)， 即x－2y＝0. 法二：设与直线2x＋y－10＝0垂直的直线方程为x－2y＋m＝0. 因为直线l经过点A(2，1)， 所以2－2×1＋m＝0，所以m＝0. 所以所求直线l的方程为x－2y＝0. 应用二　利用两直线平行、垂直关系求参数值或范围 已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0. (1)若这两条直线垂直，求k的值； (2)若这两条直线平行，求k的值． 解：(1)根据题意，得(k－3)×2(k－3)＋(4－k)×(－2)＝0，解得k＝. 所以若这两条直线垂直，则k＝. (2)根据题意，得(k－3)×(－2)－2(k－3)×(4－k)＝0，解得k＝3，或k＝5.经检验，均符合题意． 所以若这两条直线平行，则k＝3，或k＝5. 规律方法 1．利用斜率研究两直线的平行和垂直关系时，要分斜率存在、不存在两种情况进行讨论． 2．当直线是一般式方程时，也可利用以下结论研究两直线的平行和垂直关系： 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0. (1)l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)； (2)l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 对点练4． 若直线l1：ax＋4y－2＝0，l2：x＋ay＋1＝0，求a取何值时，l1∥l2，l1⊥l2. 解：将直线l1化成斜截式方程y＝－x＋， 当a＝0时，l2的方程为x＝－1， l1的方程为y＝，此时l1⊥l2； 当a≠0时，l2的斜截式方程为y＝－x－. 若即a＝2时，l1∥l2； 若－·＝－1，即＝－1，矛盾， 故l1与l2在a≠0时不垂直． 综上，当a＝2时，l1∥l2；当a＝0时，l1⊥l2. 应用三　两条直线平行与垂直的综合应用 已知四边形ABCD的顶点B(6，－1)，C(5，2)，D(1，2)．若四边形ABCD为直角梯形，求A点坐标． 解：若∠A＝∠D＝90°，如图①所示，由已知AB∥DC，AD⊥AB，而kCD＝0，故A(1，－1)． 若∠A＝∠B＝90°，如图②所示． 设A(a，b)，则kBC＝－3，kAD＝，kAB＝. 由AD∥BC⇒kAD＝kBC，即＝－3；　① 由AB⊥BC⇒kAB·kBC＝－1， 即·(－3)＝－1.　② 解①②，得故A. 综上所述，A点坐标为(1，－1)或. 学生用书第17页 规律方法 1．利用两条直线平行或垂直判定几何图形形状的步骤 2．利用图形中的平行和垂直求点的坐标的方法 对点练5．已知矩形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0，1)，B(1，0)，C(3，2)，求第四个顶点D的坐标． 解：设第四个顶点D的坐标为(x，y)， 因为AD⊥CD，AD∥BC，所以kAD·kCD＝－1， 且kAD＝kBC. 所以解得 所以第四个顶点D的坐标为(2，3)． 知识 1．两直线平行的条件.2．两直线垂直的条件 方法 分类讨论、数形结合、化归与转化 易错 误区 研究两直线平行时，忽略两直线重合的情况；研究两直线垂直时忽略直线斜率为0或斜率不存在的情况 1．过点(1，2)和点(－3，2)的直线与x轴的位置关系是(　　) A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直 答案：B 解析：过点(1，2)和(－3，2)的直线的斜率k＝＝0，所以直线的方程为y＝2，故直线与x轴平行．故选B. 2．(2024·山东淄博高二质量检测)过点(－1，2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直的直线方程为(　　) A．3x＋2y＋7＝0 B．3x＋2y－1＝0 C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0 答案：B 解析：法一：直线2x－3y＋4＝0的斜率为，所以与直线2x－3y＋4＝0垂直的直线斜率为－，故由点斜式可得y－2＝－，即3x＋2y－1＝0.故选B. 法二：与直线2x－3y＋4＝0垂直的直线方程可设为3x＋2y＋m＝0 ，又所求直线过点(－1，2)，则3×(－1)＋2×2＋m＝0，即m＝－1，所以所求直线方程为 3x＋2y－1＝0.故选B. 3．(2024·安徽芜湖高二质量监控)已知直线l1：x＋2ay－1＝0与直线l2：(2a－1)x－ay－1＝0互相平行，则实数a为(　　) A． B． C．0或 D．0或 答案：C 解析：当直线l1：x＋2ay－1＝0与直线l2：(2a－1)x－ay－1＝0不相交时，2a(2a－1)－1·(－a)＝0，解得a＝0，或a＝，当a＝0时，直线l1：x－1＝0与l2：－x－1＝0平行，当a＝时，直线l1：x＋y－1＝0与l2：－x－y－1＝0平行，所以实数a为0或.故选C.4.已知A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)四点，若顺次连接ABCD四点，则图形ABCD的形状为 ． 答案：直角梯形 解析：由题意知，A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图所示，由斜率公式可得，kAB＝＝，kCD＝＝，kAD＝＝－3，kBC＝＝－.所以kAB＝kCD，由图可知，AB与CD不重合，所以AB∥CD，又kAD≠kBC，所以AD与BC不平行．又因为kAB·kAD＝×(－3)＝－1，所以AB⊥AD，故四边形ABCD为直角梯形． 课时测评5　两条直线的平行与垂直 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．(2024·山东东营高二质量监测)已知直线l1：y＝x－2，l2：y＝kx＋2 024，若l1∥l2，则实数k＝(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．1 答案：D 解析：已知直线l1：y＝x－2，l2：y＝kx＋2 024，因为l1∥l2，所以k＝1.故选D. 2．(多选题)如果直线l1的斜率为a，l1⊥l2，那么直线l2的斜率可能为(　　) A． B．a C．－ D．不存在 答案：CD 解析：当a≠0时，由l1⊥l2，得kl2＝－，当a＝0时，由l1⊥l2，得l2的斜率不存在．故选CD. 3．下列直线中，与已知直线y＝－x＋1平行，且不过第一象限的直线的方程是(　　) A．3x＋4y＋7＝0 B．4x＋3y＋7＝0 C．4x＋3y－42＝0 D．3x＋4y－42＝0 答案：B 解析：先看斜率，A、D选项中斜率为－，排除掉；直线与y轴交点需在y轴非正半轴上，才能使直线不过第一象限，只有B选项符合．故选B. 4．以A(－1，1)，B(2，－1)，C(1，4)为顶点的三角形是(　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．以A点为直角顶点的直角三角形 D．以B点为直角顶点的直角三角形 答案：C 解析：因为kAB＝－，kAC＝，所以kAB·kAC＝－1，即AB⊥AC.故选C. 5．“λ＝－1”是“直线l1：x＋λy＋9＝0与l2：(λ－2)x＋3y＋3λ＝0平行”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：λ＝－1时，直线l2：－3x＋3y－3＝0即x－y＋1＝0，与直线l1：x－y＋9＝0平行，充分性成立；直线l1：x＋λy＋9＝0与l2：(λ－2)x＋3y＋3λ＝0平行，有λ(λ－2)＝3，解得λ＝－1，或λ＝3，其中λ＝3时，两直线重合，舍去，故λ＝－1，必要性成立．“λ＝－1”是“直线l1：x＋λy＋9＝0与l2：(λ－2)x＋3y＋3λ＝0平行”的充要条件．故选A. 6．如图所示，在平面直角坐标系中，以O(0，0)，A(1，1)，B(3，0)为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是(　　) A．(－3，1) B．(4，1) C．(－2，1) D．(2，－1) 答案：A 解析：如图所示，因为经过三点可构造三个平行四边形，即□AOBC1，□ABOC2，□AOC3B.根据平行四边形的性质，可知B，C，D分别是点C1，C2，C3的坐标．故选A. 7．若直线l1：2x－5y＋20＝0，l2：mx－2y－10＝0与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数m的值为 ． 答案：－5 解析：l1，l2与坐标轴围成的四边形有外接圆，则四边形对角互补．因为坐标轴垂直，故l1⊥l2，即2m＋10＝0，所以m＝－5. 8．已知A(3，1)，B(－1，－1)，C(2，1)，则△ABC的BC边上的高所在的直线方程为 ． 答案：3x＋2y－11＝0 解析：kBC＝＝，所以BC边上的高所在直线的斜率k＝－，所以所求直线方程为y－1＝－(x－3)，即3x＋2y－11＝0. 9．已知直线l1：x＋(1＋m)y＋m－2＝0与直线l2：mx＋2y＋8＝0平行，则经过点A(3，2)且与直线l2垂直的直线方程为 ． 答案：2x－y－4＝0 解析：因为直线l1：x＋(1＋m)y＋m－2＝0与直线l2：mx＋2y＋8＝0平行，所以m(1＋m)＝1×2，解得m＝1，或m＝－2，当m＝－2时l1：x－y－4＝0，l2：－2x＋2y＋8＝0，则l1与l2重合，舍去；当m＝1时l1：x＋2y－1＝0，l2：x＋2y＋8＝0，所以l1与l2平行，符合题意，设与直线l2垂直的直线方程为2x－y＋n＝0，则2×3－2＋n＝0，解得n＝－4，所以所求直线方程为2x－y－4＝0. 10．(12分)已知A(－m－3，2)，B(－2m－4，4)，C(－m，m)，D(3，3m＋2)，若直线AB⊥CD，求m的值． 解：因为A，B两点纵坐标不相等， 所以AB与x轴不平行． 因为AB⊥CD，所以CD与x轴不垂直，－m≠3，m≠－3. ①当AB与x轴垂直时，－m－3＝－2m－4， 解得m＝－1.而m＝－1时，C，D纵坐标均为－1， 所以CD∥x轴，此时AB⊥CD，满足题意． ②当AB与x轴不垂直时，由斜率公式 kAB＝＝， kCD＝＝. 因为AB⊥CD， 所以kAB·kCD＝－1， 即·＝－1， 解得m＝1， 综上，m的值为1，或－1. (11，12每小题5分，共10分) 11．(多选题)设点P(－4，2)，Q(6，－4)，R(12，6)，S(2，12)，下面四个结论中正确的是(　　) A．PQ∥SR B．PQ⊥PS C．PS∥QS D．RP⊥QS 答案：ABD 解析：由斜率公式知：kPQ＝＝－，kSR＝＝－，kPS＝＝，kQS＝＝－4，kPR＝＝，所以PQ∥SR，PS⊥PQ，RP⊥QS.而kPS≠kQS，所以PS与QS不平行，故A、B、D正确． 12．直角坐标平面上，一机器人在行进中始终保持到两点A(a，0)(其中a∈R)和B(0，1)的距离相等，且机器人也始终接触不到直线l：y＝x＋1，则a的值为 ． 答案：1 解析：根据题意可知机器人在线段AB的中垂线上运动，且轨迹与直线l：y＝x＋1平行，由此可得AB⊥l，即kAB·kl＝－1，所以×1＝－1(a≠0)，解得a＝1. 13．(13分)已知集合A＝，集合B＝{(x，y)|ax－y－2＝0}，当a取何值时，A∩B＝∅？ 解：由＝2可得2x－y－1＝0(x≠2)， 故A＝{(x，y)|2x－y－1＝0，x≠2}， 故集合A表示的是直线2x－y－1＝0上除点(2，3)外的点构成的集合． ①当直线ax－y－2＝0与直线2x－y－1＝0平行时，满足A∩B＝∅，此时a＝2； ②当直线ax－y－2＝0过点(2，3)时，满足A∩B＝∅，则2a－5＝0，解得a＝. 综上所述，a＝2，或a＝. 14．(5分)(新角度)(多选题)在平面直角坐标系中，设M(x1，y1)，N(x2，y2)为不同的两点，直线l的方程为ax＋by＋c＝0，设δ＝，其中a，b，c均为实数．则下列结论正确的是(　　) A．存在实数δ，使点N在直线l上 B．若δ＝1，则过M，N两点的直线与直线l重合 C．若δ＝－1，则直线l经过线段MN的中点 D．若δ＞1，则点M，N在直线l的同侧，且直线l与线段MN的延长线相交 答案：CD 解析：若点N在直线l上，则ax2＋by2＋c＝0，所以不存在实数δ，使点N在直线l上，故A错误；若δ＝1，则ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c，当b≠0时，即＝－，所以kMN＝kl；当b＝0，a≠0时，x1＝x2，又由A知过M，N两点的直线与直线l不重合，则过M，N两点的直线与直线l平行，故B错误；若δ＝－1，则ax1＋by1＋c＋ax2＋by2＋c＝0，即a＋b＋c＝0，所以直线l经过线段MN的中点，故C正确；若δ＞1，则ax1＋by1＋c＞ax2＋by2＋c＞0，或ax1＋by1＋c＜ax2＋by2＋c＜0，即点M，N在直线l的同侧，且直线l与线段MN不平行，故D正确．故选CD.15.(15分)已知M(1，－1)，N(2，2)，P(3，0)． (1)求点Q的坐标，满足PQ⊥MN，PN∥MQ； (2)若点Q在x轴上，且∠NQP＝∠NPQ，求直线MQ的倾斜角． 解：(1)设Q(x，y)，由已知得kMN＝3， 由PQ⊥MN，可得kPQ·kMN＝－1， 即×3＝－1.① 由已知得kPN＝－2，由PN∥MQ，可得kPN＝kMQ， 即＝－2.② 联立①②，解得x＝0，y＝1，即Q(0，1)． (2)设Q(x，0)，因为∠NQP＝∠NPQ， 所以kNQ＝－kNP. 又因为kNQ＝，kNP＝－2， 所以＝2，即x＝1， 所以Q(1，0)． 又因为M(1，－1)，所以MQ⊥x轴， 故直线MQ的倾斜角为90°. 学科网（北京）股份有限公司 $$