1.1.3 第3课时 直线方程的一般式-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版2019）

第3课时　直线方程的一般式 [学习目标] 知识 层面 1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的一般式．　2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)都可表示一条直线．　3.会进行直线方程的五种形式之间的转化. 素养 层面 通过直线方程形式之间的相互转化，培养逻辑推理素养；借助求直线方程，提升数学运算素养与直观想象素养. 问题　直线y＝2x＋1可以化成二元一次方程吗？方程2x－y＋3＝0表示一条直线吗？ 提示：y＝2x＋1可以化成2x－y＋1＝0的形式，可以化为二元一次方程.2x－y＋3＝0可以化为y＝2x＋3，可以表示直线． 1．直线的一般式方程 (1)定义：关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不全为0)表示的是一条直线，称它为直线方程的一般式． (2)适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示． (3)几何意义：①当B≠0时，则－＝k(斜率)，－＝b(y轴上的截距)； ②当B＝0，A≠0时，则－＝a(x轴上的截距)，此时不存在斜率． [微提醒]　直线方程的一般式的结构特征 (1)方程是关于x，y的二元一次方程，方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列．(2)x的系数一般不为分数和负数．(3)虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程．(4)解题时，如无特殊说明，应把求得的直线方程化为一般式． 2．直线方程五种形式的比较 名称 已知条件 方程形式 适用范围 点斜式 点P1(x1，y1)和斜率k y－y1＝k(x－x1) 不垂直于x轴的直线 斜截式 斜率k和在y轴上的截距b y＝kx＋b 不垂直于x轴的直线 两点式 点P1(x1，y1)和点P2(x2，y2) ＝ 不垂直于x，y轴的直线 名称 已知条件 方程形式 适用范围 截距式 在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且截距不为零 ＋＝1 不垂直于x，y轴的直线，不过原点的直线 一般式 两个独立的条件 Ax＋By＋C＝0 A，B不全为零 微思考　当直线满足如下位置关系时，直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C满足什么条件？ (1)与两条坐标轴都相交；(2)直线只与x轴相交； (3)直线只与y轴相交；(4)直线与x轴重合； (5)直线与y轴重合． 提示：(1)当A≠0，B≠0；(2)当A≠0，B＝0，C≠0；(3)当A＝0，B≠0，C≠0；(4)当A＝0，B≠0，C＝0；(5)当A≠0，B＝0，C＝0. (链教材P13例11)根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式： (1)斜率是 ，且经过点A(5，3)； (2)斜率为4，在y轴上的截距为－2； (3)经过A(－1，5)，B(2，－1)两点； (4)在x轴、y轴上的截距分别为－3，－1. 解：(1)由直线方程的点斜式得y－3＝(x－5)， 即x－y－5＋3＝0. (2)由直线方程的斜截式得直线方程为y＝4x－2， 即4x－y－2＝0. (3)由直线方程的两点式得＝， 即2x＋y－3＝0. (4)由直线方程的截距式得直线方程为＋＝1， 即x＋3y＋3＝0. 学生用书第12页 规律方法 1．求直线方程的一般式的策略 在求直线方程时，设一般式有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程(常设的方程有点斜式和斜截式)，然后转化为一般式． 2．直线方程的一般式与其他形式的互化 对点练1．根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式： (1)斜率是－，且经过点A(8，－6)的直线方程为 ； (2)在x轴和y轴上的截距分别是和－3的直线方程为 ； (3)经过点P1(3，－2)，P2(5，－4)的直线方程为 ． 答案：(1)x＋2y＋4＝0　(2)2x－y－3＝0　(3)x＋y－1＝0 与含参数的一般式方程有关的问题 (链教材P14例13)已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0. (1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限； (2)为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围． 解：(1)证明：法一：将直线l的方程整理为y－＝a， 所以直线l的斜率为a，且过定点A， 而点A在第一象限内，故不论a为何值，l恒过第一象限． 法二：直线l的方程可化为(5x－1)a－(5y－3)＝0. 因为上式对任意的a总成立， 必有即即l过定点A.以下同法一． (2)直线OA的斜率为k＝＝3.如图所示，要使l不经过第二象限，需斜率a≥kOA＝3，所以a的取值范围为[3，＋∞)． [变式探究] 1．(变条件)本例中若直线不经过第四象限，试求a的取值范围． 解：由本例(2)可知直线OA的斜率为3，要使直线不经过第四象限，则有0≤a≤3. 所以a的取值范围为[0，3]． 2．(变条件)本例中将方程改为“x－(a－1)y－a－2＝0”，若直线不经过第二象限，则a的取值范围又是什么？ 解：①当a－1＝0，即a＝1时，直线为x＝3，该直线不经过第二象限，满足要求． ②当a－1≠0，即a≠1时，直线化为斜截式方程为y＝x－，因为直线不过第二象限，故该直线的斜率大于等于零，且在y轴的截距小于等于零，即解得所以a＞1. 综上可知a的取值范围为[1，＋∞)． 学生用书第13页 　　规律方法 1．已知含参数的直线的一般式方程求参数的值或取值范围的步骤 2．直线恒过定点的求解策略 (1)将方程化为点斜式，求得定点的坐标． (2)将方程变形，把x，y作为参数的系数，因为此式子对任意的参数的值都成立，故需系数为零，解方程组可得x，y的值，即为直线过的定点． 对点练2．已知直线l：kx－2y－3＋k＝0. (1)若直线l不经过第二象限，求k的取值范围； (2)设直线l与x轴的负半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点B，若△AOB的面积为4(O为坐标原点)，求直线l的方程． 解：(1)因为kx－2y－3＋k＝0， 所以y＝x＋. 若直线l不经过第二象限，则 解得0≤k≤3. 所以k的取值范围为{k|0≤k≤3}． (2)由题意得，A，B，k＜0， 则△AOB的面积为··＝－. 因为△AOB的面积为4， 所以－＝4，即k2＋10k＋9＝0， 解得k＝－9或k＝－1. 当k＝－1时，直线方程是x＋2y＋4＝0； 当k＝－9时，直线方程是9x＋2y＋12＝0. 综上，所求直线方程是x＋2y＋4＝0，或9x＋2y＋12＝0. 知识 1．直线方程的一般式.2．直线方程五种形式的互化 方法 分类讨论法、数形结合法、化归转化 易错误区 忽视直线斜率不存在的情况；忽视两直线重合的情况 1．直线＋＝1化成一般式方程为(　　) A．y＝－x＋4 B．y＝－(x－3) C．4x＋3y－12＝0 D．4x＋3y＝12 答案：C 2．(2024·江苏苏州高二质量调研)在平面直角坐标系中，直线x＋ y＋1＝0的倾斜角是(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：直线斜率k＝－，所以倾斜角为.故选C. 3．若方程Ax＋By＋C＝0表示与两条坐标轴都相交的直线，则应满足的条件是 ． 答案：A≠0，且B≠0 解析：由题意知，直线斜率存在且斜率不为零，所以A≠0，且B≠0. 4．若直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角是，则实数m的值是 ． 答案：3 解析：由已知得所以m＝3. 课时测评4　直线方程的一般式 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．倾斜角为，在y轴上的截距为－1的直线方程是(　　) A．x－y－1＝0 B．x－y＋1＝0 C．x－3y－1＝0 D．x＋3y－1＝0 答案：A 解析：由题意知，直线斜率k＝tan＝，在y轴上的截距为－1，所以直线的斜截式方程是y＝x－1，化为一般式为x－y－1＝0.故选A. 2．已知直线x－ay＝4在y轴上的截距是2，则a等于(　　) A．－ B． C．－2 D．2 答案：C 解析：直线x－ay＝4可化为y＝x－，所以－＝2，得a＝－2.故选C. 3．直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，若直线l过原点和第二、四象限，则(　　) A．C＝0，B＞0 B．A＞0，B＞0，C＝0 C．AB＜0，C＝0 D．AB＞0，C＝0 答案：D 解析：因为直线l过原点和第二、四象限，所以即AB＞0，C＝0.故选D. 4．直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图象大致是(　　) 答案：C 解析：将l1与l2的方程化为l1：y＝ax＋b，l2：y＝bx＋a.对于A，由l1的图象可知，a＜0，b＜0，由l2的图象知b＞0，a＞0，两者矛盾，故A错误；对于B，由l1的图象可知，a＜0，b＞0，由l2的图象知b＞0，a＞0，两者矛盾，故B错误；对于C，由l1的图象可知，a＞0，b＞0，由l2的图象可知，a＞0，b＞0，故C正确；对于D，由l1的图象可知，a＞0，b＜0，由l2的图象可知a＞0，b＞0，两者矛盾，故D错误．故选C. 5．(多选题)下列说法正确的是(　　) A．直线y＝ax－2a(a∈R)必过定点(2，0) B．直线y＋1＝3x在y轴上的截距为1 C．直线x＋y＋1＝0的倾斜角为 D．经过点P(2，1)，且在x，y轴上截距互为相反数的直线方程为y＝x，或x－y－1＝0 答案：AD 解析：对于A项，由直线方程有y＝a(x－2)，故必过点(2，0)，故A正确；对于B，令x＝0得y＝－1，故在y轴上的截距为－1，故B错误；对于C，由直线方程知：斜率为－，则倾斜角为，故C错误；对于D，当直线过原点时，直线方程为y＝x；当直线不过原点时，设直线方程为＋＝1，代入P(2，1)，得a＝1，所以直线方程为x－y－1＝0，故D正确．故选AD. 6．(多选题)下列说法中正确的是(　　) A．平面上任一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示 B．当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示的直线过原点 C．当A＝0，B≠0，C≠0时，方程Ax＋By＋C＝0表示的直线与x轴平行 D．任何一条直线的一般式都能与其他四种形式互化 答案：ABC 解析：A正确，因为在平面直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α，当α≠时，直线的斜率k存在，其方程可写成y＝kx＋b，它可变形为kx－y＋b＝0，与Ax＋By＋C＝0比较，A＝k，B＝－1，C＝b；当α＝时，直线的斜率不存在，其方程可写成x－x1＝0，与Ax＋By＋C＝0比较，A＝1，B＝0，C＝－x1，显然A，B不同时为0，所以A正确；B正确，当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)，即Ax＋By＝0，显然有A·0＋B·0＝0，即直线过原点O(0，0)；C正确，当A＝0，B≠0，C≠0时，方程Ax＋By＋C＝0可化为y＝－，它表示的直线与x轴平行；D错误，当A＝0，B≠0，C≠0时，方程Ax＋By＋C＝0可化为y＝－，它表示的直线与x轴平行，不能用直线的截距式表示，故D错误．故选ABC. 7．斜率为2，且经过点A(1，3)的直线的一般式方程为 ． 答案：2x－y＋1＝0 解析：由直线点斜式方程可得y－3＝2(x－1)，化成一般式为2x－y＋1＝0. 8．已知直线(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x轴上的截距为3，则该直线在y轴上的截距为 ． 答案：－ 解析：把(3，0)代入已知方程，得(a＋2)×3－2a＝0，所以a＝－6，所以直线方程为－4x＋45y＋12＝0，令x＝0，得y＝－. 9．若直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则直线l的斜率为 ． 答案：2或－1 解析：根据题意a≠0，由直线l：ax＋y－2－a＝0，令y＝0，得到直线在x轴上的截距是，令x＝0，得到直线在y轴上的截距是2＋a，根据题意得＝2＋a，即a2＋a－2＝0，解得a＝－2，或a＝1.故直线l的斜率为2或－1. 10．(10分)若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋5＝0表示直线． (1)求实数m需满足的条件； (2)若该直线的斜率k＝1，求实数m的值． 解：(1)由 解得m＝2. 又方程表示直线时，m2－3m＋2与m－2不同时为0，故m≠2. (2)由题意知，m≠2， 由－＝1，解得m＝0. (11，12每小题5分，共10分) 11．(多选题)若直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、二、四象限，则a，b，c应满足(　　) A．ab＞0 B．bc＜0 C．ab＜0 D．bc＞0 答案：AB 解析：易知直线的斜率存在，则直线方程可化为y＝－x－，由题意知所以ab＞0，bc＜0.故选AB. 12．(新角度)已知直线(k＋1)x＋(1－2k)y－3＝0(k∈R)恒过定点A，点A在直线＋＝1(m＞0，n＞0)上，则2m＋n的最小值为 ． 答案：9 解析：由题设，(k＋1)x＋(1－2k)y－3＝k(x－2y)＋x＋y－3＝0，所以当时，方程恒成立，故直线恒过定点A(2，1)，所以＋＝1，则2m＋n＝(2m＋n)·＝5＋＋≥5＋2 ＝9，当且仅当m＝n＝3时等号成立，所以2m＋n的最小值为9. 13．(10分)设直线l的方程为(a＋1)x＋y－a＋2＝0. (1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求l的直线方程； (2)若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围． 解：(1)直线l的方程(a＋1)x＋y－a＋2＝0， 可化为y＝(－a－1)x＋a－2. 当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距均为0， 所以a－2＝0，所以a＝2，此时直线方程为3x＋y＝0； 当直线不过原点时，a≠2，由＝a－2，得a＝0， 所以直线方程为x＋y＋2＝0. 故所求的直线方程为3x＋y＝0，或x＋y＋2＝0. (2)直线l的方程为y＝－(a＋1)x＋a－2，欲使直线l不经过第二象限， 则解得a≤－1. 故所求实数a的取值范围为(－∞，－1]． 14．(10分)已知直线l1：ax－2y－2a＋4＝0和直线l2：2x－(1－a2)y－2－2a2＝0，当实数a的值在区间(0，2)内变化时，求直线l1，l2与两坐标轴围成的四边形面积的最小值． 解：将直线ax－2y－2a＋4＝0化为y－2＝(x－2)，得直线l1恒过定点B(2，2)， 将直线2x－(1－a2)y－2－2a2＝0化为 2x－y－2＋a2(y－2)＝0， 由得 即直线l2恒过定点B(2，2)． 如图，在平面直角坐标系中取点B(2，2)，连接OB，过点B作出直线l1，l2的大致图象，l1与y轴交于点C，l2与x轴交于点A.则在△OAB中OA边上的高为2，在△OBC中OC边上的高为2， 点A的坐标为(1＋a2，0)，点C的坐标为(0，2－a)． 所以S四边形OABC＝S△OAB＋S△OBC ＝×2×(1＋a2)＋×2×(2－a)＝a2－a＋3 ＝＋， 因为0＜a＜2，所以当a＝时，所求四边形OABC的面积最小，最小值为. 15．(15分)(新角度)已知集合A＝，B＝{(x，y)|(a2－1)x＋(a－1)y＝15}，当a取何值时，A∩B＝∅？ 解：集合A，B分别为xOy平面上的点集． 集合A表示l1：(a＋1)x－y－2a＋1＝0(x≠2)， 集合B表示l2：(a2－1)x＋(a－1)y－15＝0. 由l1∥l2即A∩B＝∅，得a＝±1. ①当a＝1时，B＝∅，A∩B＝∅； ②当a＝－1时，集合A表示直线y＝3(x≠2)， 集合B表示直线y＝－，两直线平行，A∩B＝∅； ③由l1可知(2，3)∉A，当(2，3)∈B，即2(a2－1)＋3(a－1)－15＝0时，可得a＝－4，或a＝，此时A∩B＝∅. 综上可知，当a的值为－4，－1，1，时，A∩B＝∅. 学生用书第14页 学科网（北京）股份有限公司 $$