精品解析：福建省三明市列东中学2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题

列东中学2024-2025学年第一学期期中质量检测 八年级数学试卷 （满分150分，考试时间：120分钟） 卷面要求：整洁，无涂改 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 点在第二象限,则点在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 6、7、10 B. 12、16、20 C. 1、2、3 D. 4. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 关于函数，下列结论错误的是（ ） A. 图象必经过点 B. 图象经过第一、三、四象限 C. 图象与直线平行 D. 函数值y随x的增大而减小 7. 一个直角三角形有两条边分别是3cm，4cm，则第三条边的长度是( ) A. 5cm B. cm C. 5cm或cm D. 以上都不对 8. 一个正方体的体积是100，估计它的棱长的大小在（ ） A. 3与4之间 B. 4与5之间 C. 5与6之间 D. 6与7之间 9. 已知直线上横、纵坐标都是整数的点的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 不少于2个但有限个 D. 无数个 10. 如图，直线分别与、轴交于点、，点在线段上，线段沿翻折，点落在边上的点处．以下结论：①；②点；③直线的解析式为；④正确的结论是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ①③④ 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 若式子有意义，则的取值范围是____． 12. 比较大小： ______ （填 、或） 13. 点M到x轴的距离为5，到y轴的距离为3，且在第四象限内，点M的坐标为______． 14. 已知点，在一次函数的图象上，则与的大小关系为_____． 15. 若直线（k，b是常数，），过点，则关于x的方程的解为__________． 16. 如图，已知等腰直角中，，．现有两动点和，动点从到运动，从到运动，并且两动点速度相同，则在运动的过程中的最小值为______． 三、解答题（共86分） 17. 计算 （1） （2） （3） （4） 18. 已知的立方根是2，的算术平方根是3． （1）求，的值； （2）求的平方根． 19. 如图，已知在一平面直角坐标系中，和的坐标分别是，．解答下列问题： （1）请在示意图中建立平面直角坐标系； （2）通过计算说明在和这两个地点中，哪个地点离坐标原点更远． 20. 如图，在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H，（A，H，B在一条直线上），并修一条路CH．测得千米，千米，千米． （1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明． （2）求原来的路线AC的长． 21. 如图，平面直角坐标系中，顶点分别是，，． （1）在图中作出关于y轴对称的； （2）直接写出对称点坐标 ， ； （3）在图中第一象限格点中找出点D，使，且同时．（无需计算过程，请把点画清楚一些） （4）四边形的面积 ． 22. 已知A，B两地相距225千米，甲，乙两车都从A地出发，沿同一条高速路前往B地，甲比乙早出发1小时，如图所示的分别表示甲，乙两车相对于出发地A距离y（千米）与乙车行驶时间x（小时）之间的关系， 根据图象提供的信息，回答下列问题． （1）表示 （甲或乙）车相对与出发地A的距离和乙车行驶时间之间的关系，分别求出对应的两个一次函数表达式． （2）求乙车追上甲车时，乙车行驶了多长时间． 23. 观察下列各式，并解答下列问题： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． …… （1）写出第4个等式：______． （2）猜想第n个等式：______． （3）根据上述规律，计算． 24. 综合与实践 【问题情境】 在平面直角坐标系中，有不重合的两点和点，若，则轴，且线段的长度为：若，则轴，且线段的长度为． 【知识应用】 （1）若点，，则轴，的长度为________； 【拓展延伸】 我们规定：平面直角坐标系中，任意不重合的两点，之间的折线距离为．例如：图1中，点与点之间的折线距离为． 【问题解决】 （2）如图2，已知，若，则________； （3）如图2，已知，，若，则t的值为________； （4）如图3，已知，，点P是的边上一点，若，求点P的坐标． 25. 如图，点，点分别为轴正半轴、轴负半轴上的点，以点为直角顶点在第二象限作等腰． （1）如图1，若、满足，求点的坐标； （2）在x轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，点在上，点在的延长线上，，探究线段、和之间的关系，并加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 列东中学2024-2025学年第一学期期中质量检测 八年级数学试卷 （满分150分，考试时间：120分钟） 卷面要求：整洁，无涂改 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数．常见的无理数的表现形式有、带根号但开方开不尽的数、形如等的数．熟练掌握无理数的定义是解题的关键．根据无理数的定义依次判断即可． 【详解】解：，是整数，属于有理数，不是无理数， 是分数，属于有理数，不是无理数， 0是整数，属于有理数，不是无理数， 是无理数， 故选：D． 2. 点在第二象限,则点在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中象限内的点的坐标的符号特征：第一象限 ；第二象限；第三象限；第四象限． 首先点在第二象限的坐标性质，进而得出Q点的位置． 【详解】点在第二象限，第二象限内点的横坐标为负，纵坐标为正，因此有：； ∴ ， ∴在第三象限， 故选：C . 3. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 6、7、10 B. 12、16、20 C. 1、2、3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股数问题，若三个正整数满足两个较小数的平方和等于最大数的平方，那么这三个正整数是勾股数，据此求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴6，7，10不是勾股数，不符合题意； B、∵， ∴12、16、20是勾股数，符合题意； C、∵， ∴1，2，3不是勾股数，不符合题意； D、∵都不是正整数， ∴不是勾股数，不符合题意； 故选：B． 4. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用平方根和算术平方根的定义运算．根据“()的平方根为，算术平方根为”求解即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：C． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 6. 关于函数，下列结论错误的是（ ） A. 图象必经过点 B. 图象经过第一、三、四象限 C. 图象与直线平行 D. 函数值y随x的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质：当，图象经过第一、三象限，随增大而增大；当，图象经过第二、四象限，随增大而减小；当，图象与轴的交点在的上方；当，图象经过原点；当，图象与轴的交点在的下方． 根据一次函数的性质对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、当，，则点在函数图象上，故本选项不符合题意； B、由于，则函数的图象必过第二、四象限，，图象与轴的交点在的上方，则图象还过第一象限，所以图象经过第一、二、四象限，原说法错误，故本选项符合题意； C、由于直线与直线的k值相等且与轴交于不同的点，所以它们相互平行，故本选项不符合题意； D、由于，则随增大而减小，故本选项不符合题意； 故选：B． 7. 一个直角三角形有两条边分别是3cm，4cm，则第三条边的长度是( ) A. 5cm B. cm C. 5cm或cm D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】利用分类讨论的思想可知，此题有两种情况：一是当这个直角三角形的两直角边分别为3cm，4cm时；二是当这个直角三角形的一条直角边为3cm，斜边为4cm时．然后利用勾股定理即可求得答案． 【详解】解：当这个直角三角形的两直角边分别为3cm，4cm时， 则该三角形的斜边的长为：=5（cm）． 当这个直角三角形的一条直角边为3cm，斜边为4cm时， 则该三角形的另一条直角边的长为：=（cm）． 故选：C． 【点睛】此题主要考查学生对勾股定理的理解和掌握，注意分类讨论得出是解题关键． 8. 一个正方体的体积是100，估计它的棱长的大小在（ ） A. 3与4之间 B. 4与5之间 C. 5与6之间 D. 6与7之间 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方体的体积公式可得出相应等式，再开立方等到棱长根据对比比较即可得出相应答案． 【详解】解：设正方体边长为a，由题意可得 ∴ ∵ ，， ， ∴ 故选B． 【点睛】本题主要考查估算无理数大小，常用夹逼法求取值范围． 9. 已知直线上横、纵坐标都是整数的点的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 不少于2个但有限个 D. 无数个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质；由直线，可得，如果直线上存在横、纵坐标都是整数的点，可得，都是整数，即可得，都是偶数，与中13为奇数矛盾，即可求解． 【详解】解：由直线， 得， 如果直线上存在横、纵坐标都是整数的点， 得，都是整数， 得，都是偶数， 与中13为奇数矛盾， 故选：A． 10. 如图，直线分别与、轴交于点、，点在线段上，线段沿翻折，点落在边上的点处．以下结论：①；②点；③直线的解析式为；④正确的结论是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的解析式求出点、点的坐标，由勾股定理求出的长即可判断①；由折叠的性质可得：，，，由勾股定理可求出的长，进而求出点的坐标，可判断②；利用待定系数法可求的解析式，可判断③；由面积公式可求的长，从而得出点的纵坐标，将其代入直线的解析式中即可求出点的坐标，可判断④． 【详解】解：直线分别与、轴交于点、， 点，点， ，， ，故①正确； 线段沿翻折，点落在边上的点处， ，，， ， ， ， ， 点，故②不正确； 设直线的解析式为：， ， ， 直线的解析式为：，故③正确； 如图，过点作于， ， ， ， ， 当时，， ， 点的坐标为，故④不正确． 故选：B． 【点睛】本题是一次函数的综合题、考查了利用待定系数法求解析式，折叠的性质，面积法，勾股定理等知识，灵活应用这些性质解决问题是关键． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 若式子有意义，则的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数大于等于0是解题的关键．根据二次根式的被开方数大于等于0求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 故答案为：． 12. 比较大小： ______ （填 、或） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，比较两个正无理数的大小，通过比较它们的平方值来判断即可 【详解】解：，，且 ， 故答案为： 13. 点M到x轴的距离为5，到y轴的距离为3，且在第四象限内，点M的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征．根据第四象限内的点的坐标第四象限；点到轴的距离是纵坐标的绝对值，到轴的距离是横坐标的绝对值，可得答案． 【详解】解：到轴的距离为5，到轴距离为3，且在第四象限内，则点的坐标为， 故答案为：． 14. 已知点，在一次函数的图象上，则与的大小关系为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据图象的性质来进行解答．根据k确定y的值随x的值增大而增大，再根据x的值进行比较． 【详解】解：∵， ∴y的值都随x的值增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 若直线（k，b是常数，），过点，则关于x的方程的解为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，根据直线过点，得出，把代入方程，整理得出，根据，得出，求出x的值即可． 【详解】解：∵直线过点， ∴， 把代入得：， 整理得：， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 16. 如图，已知等腰直角中，，．现有两动点和，动点从到运动，从到运动，并且两动点速度相同，则在运动的过程中的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理．作，在上截取，证明，求得，当共线时，有最小值，再证明，求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，作，在上截取，连接， 由题意得，， ∴， ∴， 当共线时，有最小值，最小值为线段的长； 如图， ∵，，， ∴， ∴，， 在中，， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（共86分） 17. 计算 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键，整式的乘法的运算公式及运算法则对二次根式的运算同样适应． （1）先逐项化简，再算加减即可； （2）先逐项化简，并计算二次根式的乘法，再算加减即可； （3）首先根据平方差公式计算和计算立方根，然后计算加减； （4）首先根据完全平方公式计算和计算二次根式的除法，然后计算加减． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 18. 已知的立方根是2，的算术平方根是3． （1）求，的值； （2）求的平方根． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的立方根以及算术平方根、平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先求出，再求出，即可作答． （2）把和代入，再求其平方根，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，得，， 解得，； 【小问2详解】 解：由（1）知，，， ， 的平方根为． 19. 如图，已知在一平面直角坐标系中，和的坐标分别是，．解答下列问题： （1）请在示意图中建立平面直角坐标系； （2）通过计算说明在和这两个地点中，哪个地点离坐标原点更远． 【答案】（1） 平面直角坐标系如图所示． （2）D点离坐标原点更远 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系和勾股定理． （1）根据点A和点B的坐标即可解答； （2）根据勾股定理计算和，再进行比较即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据勾股定理可得：， ， ∵， ∴D点离坐标原点更远． 20. 如图，在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H，（A，H，B在一条直线上），并修一条路CH．测得千米，千米，千米． （1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明． （2）求原来的路线AC的长． 【答案】 （1）是； 理由是：在中， ∵， ∴， ∴， ∴CH是从村庄C到河边的最近路； （2）千米 【解析】 【分析】（1）先根据勾股定理逆定理证得是直角三角形，然后根据点到直线的距离中，垂线段最短即可解答； （2）设，则，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）设，则， 在中， ， ∴， 解得：， 答：原来的路线AC的长为千米 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，点到直线的最短距离，灵活应用勾股定理的逆定理和定理是解题的关键． 21. 如图，平面直角坐标系中，顶点分别是，，． （1）在图中作出关于y轴对称的； （2）直接写出对称点坐标 ， ； （3）在图中第一象限格点中找出点D，使，且同时．（无需计算过程，请把点画清楚一些） （4）四边形的面积 ． 【答案】（1） 如图，即为所求； ； （2）， （3） 如图，点即为所求． （4） 【解析】 【分析】本题考查了作轴对称图形，勾股定理，掌握轴对称图形的性质是解题的关键． （）根据关于轴对称的点的坐标特征：纵坐标相同，横坐标互为相反数，得到、、，顺次连接、、，得到，即为所求； （）根据（）即可求解； （）根据勾股定理，即可找到符合条件的点； （4）利用割补法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（）可得，，， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：理由：由勾股定理可得，，， 故点为所要找的点． 【小问4详解】 解：四边形的面积为． 故答案为：． 22. 已知A，B两地相距225千米，甲，乙两车都从A地出发，沿同一条高速路前往B地，甲比乙早出发1小时，如图所示的分别表示甲，乙两车相对于出发地A距离y（千米）与乙车行驶时间x（小时）之间的关系， 根据图象提供的信息，回答下列问题． （1）表示 （甲或乙）车相对与出发地A的距离和乙车行驶时间之间的关系，分别求出对应的两个一次函数表达式． （2）求乙车追上甲车时，乙车行驶了多长时间． 【答案】（1）乙，：；： （2）乙行驶了2小时 【解析】 【分析】（1）根据两车出发的先后顺序即可分析表示乙车相对与出发地A的距离和乙车行驶时间之间的关系，用待定系数法即可求出对应的函数表达式； （2）当乙车追上甲车时，两车形式路程一样，即当的函数值相等时，求出对应x的值即可． 【小问1详解】 解：∵甲比乙早出发1小时， ∴表示乙车相对与出发地A的距离和乙车行驶时间之间的关系， 设直线为，将和代入得： ， 解得： ∴直线的函数表达式为：， 设直线为，将代入得： ， ∴直线的函数表达式为：． 【小问2详解】 由题知：，解得；， ∴乙行驶了2小时． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，解题的关键是会用待定系数法求解函数表达式，能够根据图象和题意得出需要的数据和信息． 23. 观察下列各式，并解答下列问题： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． …… （1）写出第4个等式：______． （2）猜想第n个等式：______． （3）根据上述规律，计算． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了数字的变化类，解题的关键是得出第n个等式为：． （1）根据前三个式子写出第4个式子即可； （2）根据前三个式子猜想、归纳出该类式子的规律即可； （3）根据归纳的规律进行变形计算即可． 【小问1详解】 解：∵第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． …… ∴第4个等式为：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． …… ∴第n个等式为：， 故答案为：； 【小问3详解】 解： ． 24. 综合与实践 【问题情境】 在平面直角坐标系中，有不重合的两点和点，若，则轴，且线段的长度为：若，则轴，且线段的长度为． 【知识应用】 （1）若点，，则轴，的长度为________； 【拓展延伸】 我们规定：平面直角坐标系中，任意不重合的两点，之间的折线距离为．例如：图1中，点与点之间的折线距离为． 【问题解决】 （2）如图2，已知，若，则________； （3）如图2，已知，，若，则t的值为________； （4）如图3，已知，，点P是的边上一点，若，求点P的坐标． 【答案】（1）3；（2）4；（3）2或；（4）或 【解析】 【分析】（1）根据线段的长度为，代入数据即可得出结论； （2）根据两点之间的折线距离公式，代入数据即可得出结论； （3）根据两点之间的折线距离公式，可得，即可求解； （4）分三种情况讨论，结合两点之间的折线距离公式，以及一次函数的图象和性质，即可得出结论． 【详解】解：（1）的长度为， 故答案为：3； （2）∵，， ∴； 故答案为：4； （3）∵，，， ∴， 解得∶ ， 故答案为：2或； （4）设点， 当点P在上时，， ∵，， ∴， 解得：或（舍去）， 此时点P的坐标为； 当点P在上时，， ∵，， ∴， 解得：（舍去）或（舍去）； 当点P在上时， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴， ∴此时点P的坐标为， ∵，， ∴， 解得：或（舍去）， 此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了两点间的距离公式，一次函数的图象和性质，读懂题意并熟练运用两点间的距离及两点之间的折线距离公式是解题的关键． 25. 如图，点，点分别为轴正半轴、轴负半轴上的点，以点为直角顶点在第二象限作等腰． （1）如图1，若、满足，求点的坐标； （2）在x轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，点在上，点在的延长线上，，探究线段、和之间的关系，并加以证明． 【答案】（1）； （2）存在，或或； （3） ，证明如下： 过点作，使，连接、． ， ， 在和中， ，，， ， ，， ， ， 在和中， ，，， ， ，， ， 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、坐标与图形等知识， （1）过点作轴于．求出，，证明， 则，，求出，即可得到答案； （2）设点P的坐标为，则，，求出，分两种情况分别进行解答即可； （3）过点作，使，连接、．证明， 则，，证明， 则，得到，则， 由勾股定理得到，即可得到结论． 【小问1详解】 解：如图：过点作轴于． ， ，， ，， ，， ∵是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ，，， ， ，， ， ； 【小问2详解】 存在，求解如下： 设点P的坐标为，则， ∵，， ∴， 当时，则，得到，解得或（不合题意，舍去） ∴此时点P的坐标为； 当时，，得到，解得或 ∴此时点P的坐标为或； 综上可知，点P的坐标为或或； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $