假期作业(9)-【玩转假期】2024年高一数学寒假作业

玩转假期·高一数学 牵牛花是一种蔓生 爬高，可它自己枝干非常细弱，无法爬得高， 植物，它常缠绕在其他直 于是只有缘着别的植物枝干向上爬.而一般 立较粗壮的植物主干上 植物主干近似圆柱形，所以牵牛花在这种主 向上爬，形成一条圆柱螺 干上爬出来的曲线就是一条圆柱形螺旋线， 旋线，牵牛花为什么要按 展开圆柱侧面，就可以看到主千上圆柱螺旋 圆柱螺旋线去向上爬呢？ 线的一个“周期”正好是侧面展开矩形的对 因为植物生物需要阳光，只有长得更快，爬 角线.因为两点间以连结这两点的线段为最 得更高，才能不被其他植物遮在下面，获得 短，所以可以看出牵牛花也是按照数学最小 较多的阳光.牵牛花也是这样，它也要爬快 值的原理来达到自己的目的的 假期作业（九） 【摘要】1.函数的单调性2.函数的奇偶性3.函数的最值 简问速答.抗遗忘 3.函数f(x)=+2a十3为奇函数，则实数 x2+8 1.增函数、减函数的概念？ a ( A.-1 B.1 c-多 n号 2.什么是函数的最大值？ 4.下列函数中，既是偶函数又在(0，十∞) 上单调递增的函数是 ( A.y=x B.y=|x+1 3.偶函数的定义与图象特征？ C.y=-x2+1 D.y=-2 5.(多选题)已知函数y=f(x)是定义在R 上的奇函数，则下列函数中是偶函数的 是 ( 综合训练.提考能 A.y=f(|x|) B.y=f(x) C.y=x·f(x) D.y=f(x)+x 一、选择题 6.(多选题)函数f(x)=4x一m.x十5在区间 1.下列四个函数中在(0，十∞)上为增函数 [一2，十∞)上是增函数，则下列选项正确 的是 ( 的是 ( A.f(x)=8-x B.f(x)=(x-2)2 A.f(1)≥25 B.f(-1)≤-7 C.=+ D.f(x)=x2+2x C.f(1)≤25 D.f(-1)≥>-7 2.下列函数中在（一∞，0）上单调递减的是 7.函数f(x)=4x2一mx十5在区间[一2， ( 十∞)上是增函数，设f(x),x∈R最小值 为t,则 A.y-+1 B.y=1-x2 A.t≤-11 B.t=-11 C.y=x2+x D.y=1-x C.t≥11 D.t≤11 16 第一部分快乐假期轻松学 二、填空题 【解】 因为f(x)是奇函数且f(x)在[0， 8.函数y=x十√/1一x的值域是 2]上是减函数， 9.已知f(x)是R上的偶函数，且在[0， 所以f(x)在[一2,2]上是减函数. +∞)上单调递减，f(1)=0,则不等式 所以不等式f(1一m)<f(m)等价于 f(x)>0的解集为 1-m>m, 三、解答题 -2≤m≤2， 10.已知函数f(x)对于任意x,y∈R都有 -2≤1-m≤2， f(x)十f(y)=f(x+y),且当x>0时 f)0.又fI)=-号 解得-1<m< 阅读实践.拓视野 (1)求证：f(x)在R上是减函数： (2)求f(x)在[一3,3]上的最大值和最 微积分与函数的单调性 小值. 函数的单调性是函数性质里最重要的 一条，但是判断函数单调性的方法相对来 说是有限的.比如f(x)=x2+4的单调性 就不容易判断.数学家菜布尼茨创立的微 积分为研究函数的单调性提供了一种新的 思路和方法， 在菜布尼茨的学说中，非常重要的一 个概念就是变化率，如果我们重新考察函 数单调性的定义，对于增函数：当x<x2时 自主探究·培素养 有f(x,)<f(x2),实际上定义等价于(x2 单调性与奇偶性珠联璧合的妙用 x1)·[f(x2)-f(x1)]>0或 (1)将函数的奇偶性与单调性相结合， f)一f》0:对于减函数：当工< 可知： x2-x1 ①奇函数在（一b,一a)和(a,b)上有相 时有f(x1)>f(x2),等价于（x2一x1) 同的单调性 [f)-fx)]<0或f)-f<0. ②偶函数在（一b,一a)和(a,b)上有相 x2一x] 反的单调性， 这里出现的)一x)就称为函数 这里，区间（一b,一a)和(a,b)都在函数 x2-x1 定义域内。 f(x)从x1到x2的平均变化率.菜布尼茨 因此，若函数具有奇偶性，研究单调性 的方法的核心就是让x1与x2无限接近，观 或最值或作图象等问题，只需在非负值范 察此时的平均变化率（通常称为平均变化 围内研究即可，在负值范围内由对称性 率的极限)的符号，据此判断函数的单 可得. 调性 (2)研究函数的单调性、奇偶性必须在 另外，高中阶段我们研究函数的单调 定义域上进行，如果没有给出定义域，则需 性时，定义中要么是f(x1)<f(x2),要么是 先求出 f(x1)>f(x2).在高等数学中，单调性可以 [典例]设定义在[一2,2]上的奇函数 拓展为f(x1)≤f(x2)或f(x1)≥f(x2).相 f(x)在区间[0,2]上是减函数，若f(1 对于高等数学中的定义，称现在单调函数 m)<f(m),求实数m的取值范围. 为严格单调函数 17玩转假期·高一数学 假期作业（九） 7.A因为函数f(x)的对称轴为x= 8,所以f(x)在 【简问速答·抗遗忘】 1.【答案】一般地，设函数(.x)的定义域为1，区间D二I: [贺，十∞)上是增画教，所以贺≤-2，所以m≤-16， ①如果Vx1x∈D,当x1<x2时，都有f(x,)<f(),那么 f(r) 就称函数f(x)在区间D上单调递增（如图①）. 16 特别地，当函数∫(x)在它的定义域上单调递增时，我们 8.【解析】设1=√1一7，所以x=1一，所以y=-十1 就称它是增函数 十1(1>0)，结合二次函数图象可知当1=之时取得最大 =f（ y-f(x) 值，所以为(-0，] 57 f》 【答案】 (] 0 0 9.【解析】根据题意，由于f(1)=0,则f(x)>0→f(x)> f(1),f(x)是R上的偶函数，且在[0，+∞)上单调递诚， 图① 图②@ ②如果Hx1∈D,当x1<x2时，都有f(x1)>f(),那么 则f(x)>f(1)→f(|x|)>f(1)→1x<1,解得-1<x 就称函数f(x)在区间D上单调递减（如图②） <1,则不等式f(x)>0的解集为{x|-1<x<1}, 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们 【答案】{x-1<x<1} 就称它是减函数 10.(1)【证明】因为对任意x,y∈R,f(x)+f(y)= 2.【答案】一般地，设函数y=f(x)的定义域为I,如果存 f(x十y),所以令x=y=0,得f(0)=0,再令y=一x得 在实数M满足： f(-x)=-f(x),任取x1<x:,则x2一x1>0, ①Hx∈I,都有f(x)≤M: f(x2)-f(x1)=f(x)+f(-x1)=f(r2-x,)<0, ②3xm∈1，使得f(x6)=M 即f(x)<f(x:) 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值. 因此f(x)在R上为减函数】 3.【答案】①定义：一般地，设函数f(x)的定义域为1，如 (2)【解】f(x)在[一3,3]上也是减函教，所以f(x)在 果Hx∈I,都有一x∈I,且f(一x)=f(x),那么函数 [-3,3]上的最大值，最小值分别为f(-3)和f(3). f(x)就叫做偶函数. f(3)=3f(1)=-2,f(-3)=-f(3)=2. ②图象特征：图象关于y轴对称。 所以f(x)在[一3,3]上的最大值为2，最小值为一2. 【综合训练·提考能】 假期作业（十） 1.DA在R上为减函数，B在(0,2)上为减函数，C在(0 十o∞)上为减西数2. 【简问速答·抗遗忘】 2.DA中y南=1-h在(-0，-10，(-1.+∞)上 1 1.【答案】 一般地，函数y=x叫做幂函数，其中x是自 变量，a是常数 是增函数：B中y=1一x2在（一o∞，0）上是增函数：C中y 2.【答案】 =产+r=(x+号)）-在(-©，-)上是减画数， 幂函数y= y=r? y=r y=rt y=x-1 (-9,0)U 在（一号十）上是增画数：D中y-1-x在R上是减 定义城 个 R [0,+∞) (0,+o0) 函敢，故选D, 值域 R [0,十0) R [0,+o) yyER且 3.C由题得f(r)是奇函数，则f0)=0,即0+2a+3=0 y≠01 0=-受，此时，)=千8为奇画数 奇偶性 沙 型 奇 非奇非偶 奇 r∈[0. 4.B根据西数的奇偶性知A、D是奇函数，B、C是偶西 xE(0. +0∞)， 数，当x>0时，y=|x十1=r+1,所以在(0，+∞)上单 十0∞)，减 单调性 增 增 增 增 调递增，y=一x2十1在(0，十o∞)上单调递减. x∈(-o, x∈(-oo 5.ABC因为f(x)的定义战为R,又因为f(|一x|)= 0],减 0).减 f(x),所以A是偶函数： 令F(x)=f(x),则F(-x)=f((-x)2)=f(x2)= 公共点 都经过点(1,1) F(x),所以F(x)是偶函数，即B是偶函数： 3.【答案】二次函数y=a.x2十bx十c的图象和性质由开口 令M(x)=x·f(x),则M(-x)=-x·f(-x)=x· 方向、对称轴及顶点位置决定.a决定抛物线的开口方 f(x)=M(x),所以M(x)是偶函数，即C是偶函数： 向，直线x= 令N(.x)=f(x)+x,则N(-x)=f(-x)-x=一f(.x) 会决定对称轴的位置，如。决定顶点 x=一[f(x)十x]=一N(x).所以N(x)是奇函数，即D 的纵坐标.另外其单调性由开口方向及对称轴决定 是奇函数. 【综合训练·提考能】 6.AB国为画数fx)的对称轴为x=受，所以f(x)在 1.B函数y=5是指数函数，不是幂函数：函数y=5.是 正比例函数，不是幂函数：函数y=(x十1)3的底数不是 [贺十∞)上是递增的.所以智≤-2，所以m≤-16 自变量x,不是暴函数：函数y=x是幂函数. 则f(1)=4-m+5=9-m≥25.f(-1)=4十m+5=9 2.Ay=为锅画数，国象关于y轴对称，又>1，在第 十m一7. 一象限内，图象为下凸递增的。 。40