假期作业(6)-【玩转假期】2024年高一数学寒假作业

玩转假期·高一数学 2.由性质7:如果a>>0,那么q”> 他决定下山到市集购买日用品,出门 (nN且n1). 前他先上紧机械表的发条,并看了当时的 拓展为开方性质:如果a>6>0,那么 时间是上午6:35(时间已经是不准了),途 >.(nN且n2). 中会经过电信局,电信局的时钟是很准的, 【证明】假设0<. 猎人看了钟并记下时间,上午9:00,到市集 采购完,又绕原路经过电信局,看了当时电 由性质7得()"()” 信局的时钟指在上午10:00,回到家时,手 ..a<b与a>b矛盾: 上的表指着上午10;35. .V>. 猎人如何调校出正确的时间呢?此时 [典例]已知a>b0,求证、 的标准时间应该是多少? 【证明】·:a=(ā)②,b-(). 【答案】 由ab得:(ā)>()0 2小时 0.5小时 .>. 1.5小时 集市 电信局 阅读实践-拓视野 如图,猎人从家到集市一个来回用时4 猎人的手表 小时,所以单趟用时2小时,从电信局到集 一个住在深山中的猎人,他只有一只 市用时1小时,单趟用时0.5小时,所以从 机械表挂在手上,这天,表因忘了上发条而 家到电信局单趟用时1.5小时,所以到家 停了,附近又没有地方可以校对时间 的准确时间应为11时30分. 假期作业(六) 【摘要】1.基本不等式 2.利用基本不等式求最值 3.基本不等式的应用 简问速答-抗忘 3.利用基本不等式证明不等式的思路? 1.什么是重要不等式和基本不等式? T综合训练·提考能 一、选择题 1.已知a>0,b>0,a+b-2,则y- 2 ,_ 的最小值是 ~ 2. 利用基本不等式求最值,必须遵循的 原则? B.4 D.5 2.若a.都是正数,则(1+)·(1+)的 。 最小值为 ) A.7 B.8 C.9 D.10 .10· 第一部分 快乐假期轻松学 3.已知0<x<1,则x(3-3x)取得最大值 ( 时x的值为 ) ## 3x)的最大值 4.若实数a,b满足1+2 -Vab,则ab的最 a #+# 小值为 ( ) A./2 B.2 C.2/2 D.4 5.若正实数x,y,z满足x{}-3xy+4y{}-z [自主探究·培素养 最大值为 ( ) 千变万化,不离其宗 A.0 B.1 基本不等式的几种常见变形及结论 #.# D.3 (1)a+b>2ab(a>0,b>0). #2)-# 2 -(a,bR). ( 则a的取值范围是 ) ## #4)## (ab60).# ## ## C.# (5)>2、(a>0,<>0).# 7.(多选题)已知a,bE(0,十o),且a十b十 115,则a十的 _ __ #+6 A.最大值是3 B.最大值是4 都是正实数). C.最小值是2 D.最小值是1 [典例]已知a,b,cER,a十b十c=1,求 二、填空题 证:ab十ac十vbc<1. x+8y bc 【证明】 8.已知正数x·v满足x+2y=2,则 #.vab<a+## 23 的最小值为 一a十c 2(a十b+c)-1. xy .ab十ac十/bc< 2 xy关0).当x>0,y>0时,xy十(2) 故原不等式成立, x的最小值为 阅读实践·拓视野 三、解答题 *+5x+4 的 三角形结构的稳定性 10.(1)已知x>0,求函数y一 椅子或凳子坏了,木匠师傅常常这样去 最小值; 修理,用一根木条让它跟凳脚或坐板相交并构 ·11· 玩转假期·高一数学 成一个三角形,在接头的地方,钉上三枚铁钉, 有一种特殊的性质:只要三边的长度确定 让它们也分布成三角形,这样修理之后,凳子 了,三角形的形状、大小也就不能再改变, 就会相对牢固些 这种性质,我们叫做三角形的稳定性,许多 为什么不顺着凳脚钉呢?为什么用三 桥梁或屋顶常常用一个个的三角形构成支 枚钉子就足够了呢?原来这是因为三角形 架,也正是由于这个缘故, 假期作业(七) 【摘要】 1.一元二次不等式 2.一元二次方程、二次函数和一元不等式 3.分式不等式 4.不等式恒成立问题 C. 简问速答:抗遗忘 D.xx-2或x>2 1.一元二次不等式的定义? 3.不等式ax②}十bx十20的解集是 #{2##),则t的值是# ( _ A.10 B.-14 2.二次函数与一元二次方程、不等式的解 C.14 D.-10 的对应关系? 4.已知集合M-(xlx2<4),N-(x|x2- 2x-3<0),则集合MON等于() A.x:<一2) B.(xx3) C.(x|-1<x2D.(x2<x<3 5.关于x的不等式-2ax-8a②<0(a>0)的 3.对于一元二次不等式ax^{*}十bx十c>0恒 解集为(x|xxx),且x-x=15,则 成立的条件? ( ) # 6.不等式(a-2)x+2(a-2)x-40,对一切 TI综台训练·提考能 xR恒成立,则实数a的取值范围 ( 一、选择题 ) A./ala2 B.(a|-2<a<2 1.(多选题)下列不等式中是一元二次不等 C.a-2<a<2) D.aa2 式的是 ( 一 A.(m十1)x2>x B.-2+5x十60 等式行)对 C.(x十a)(x十a十1)0 D.2x2-x>2 任意实数x恒成立,则实数a的( ) 2十十1 B.最小值是-2 A.xx关-2 D.最大值是2 B.R .12.参考答案 10,【解】0)由题意，知m=产-x=(-）'- 作差：(a+3)(a+4)-(a+2)(a十5)=12-10=2>0，所 以p<g. 由-1<1，得me[-2):故M=[-子2) 6.A由-1<9<1，得-1<-B<1,又-1<a<1,所以 -2<a-B<2,而a<8,所以-2<a-B<0. (2)由x∈N是x∈M的必要条件，知MCN. ①当a>2-a,即a>1时，N=(2-a,a), 元A周为a+}-(6+名)=-D。 a ab 2-a<-4 1 则a≥2 解得a>是 所以若a>6>1显塔。+日-(6+若)- la>1, a-bg-》>0,时充分性成主：当a-号6=号时 ab ②当a<2-a,即a<1时，N=(a,2-a), a<1, 显然不等式a十日>b十方成立，但>b>1不成立，所 尉{a<-子，解得a<-号 以必要性不成立 8.【解析】因为x-(.x-x十1)=x-x2十x-1=x(x 2-a≥2. -1)+(x-1)=(x-1)(x2+1). ③当a=2-a,即a=1时，V=☑，不满足M二N. 又因为x>1.故(x-1)(x2+1)>0,所以x-(x2-x+ 综上可得ae(-e,-)》U(号+∞)： 1)>0,即x3>x2-x+1. 【答案】x>x2-x十1 假期作业（五） 9.【解析】对于①，若ah>0a>b.则a>b>0或0>a>b,所 【简问速答·抗遗忘】 以。<右所以①正确： 1.【答案】如果a-b是正数，那么a>b:如果a一b等于 对于②，不妨令a=2,b=1,e=-1,d=一3，则a一c=3, 零，那么a=b:如果a一b是负数，那么a<b.反过来也 h-d=4. 对.这个基本事实可以表示为：a>b台a一b>0,a=b曰a 所以a一c>b-d不成立，②错误： -b=0,a<b=a-b<0. 对于③，对于正数a,b,m, 2.【答案】①如果a>b,那么<a:如果b<a,那么a>b. 若a<b,则am<bn,所以ab+十am<ab十bmn,即a(b+m) 即a>b=b<a. ②如果a>b,b>c,那么a>c.即a>b,b>c→a>c. <a+m),将以号<册 ③如果a>b,那么a十c>b十c. 综上，正确的命题序号是①③ ④如果a>b,c>0,那么ac>bc:如果a>b.c<0,那么ac 【答案】①③ , 10.【证明】因为c<d<0,所以-c>-d>0. ⑤如果a>b,c>d,那么a十c>b十d. 又因为a>b>0,所以a-c>b-d>0. ⑥如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd. 所以(a-c)>(b-d)2>0. ⑦如果a>b>0,那么a">b(n∈N,n≥2). 所以0< 3.【答案】作差法比较大小的一般步骤 (a-c)(h-d) 第一步：作差； 第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段， 又周为t<0,所以a>0 将“差”化成“积”： 假期作业（六） 第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0（不 确定的要分情况讨论 【简问速答·抗遗忘】 最后得结论. L.【答案】重要不等式：a,b∈R,有a+b≥2ab,当且仅 概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是 当a=b时，等号成立，特别地，基本不等式：如果a>0,b 关键. >0,我们用√a,√万分别代替上式中的a,b,可得√ab≤ 【综合训练·提考能】 1.D根据题意知，500x十400y≤20000，即5x十4y≤200. ,当且仅当a=6时等号度立.通常称此不等式为基 2C由<6<0，可得0>a>,所以1a<a:故D0 本不等式， 2.【答案】必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即： 不成立：所以a十b<0<ab,a>b都成立，故③④一定 正确， ①一正：符合基本不等式“士>Va成立的前提条件，口 3.AM-(-5)=x2+y+4x-2y+5=(x+2)2+ >0,b>0. (y-1),因为x≠-2，y≠1，所以(x+2)2>0,(y-1)2 ②二定：化不等式的一边为定值。 >0,因此(x+2)”+(y-1)>0,故M>-5. ③三相等：必须存在取“=”号的条件，即“=”号成立. 4.ABCa+b<0知a<0,且|a>|b,当b>≥0时，a+b 以上三点缺一不可. <0成立，当b<0时，a十b<0成立，所以a十b<0. 3.【答案】利用基本不等式证明不等式时，要先观察题中 5.A因为p=Wa+2+√a+5, 要证明的不等式的结构特征，若不能直接使用基本不等 式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之 则p=2a+7+2√(a+2)(a+5) 达到能使用基本不等式的形式：若题目中还有已知条 因为q=√a+3+va+4, 件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已 则g2=2a+7+2√(a+3)(a+4). 知条件中含有“1“时，要注意“1”的代换.另外，解题时要 比较p,q的大小只需要比较(a十2)(a十5)与(a十3)(a十4). 时刻注意等号能否取到. ·37· 玩转假期·高一数学 【综合训练·提考能】 1.Cy=2a+b(日+合)=(6+0+2)≥号 (2)因为0<行，所以1-3>0. 所以y=x(1-3)= 1 ·3r(1-3x) 2.C周为a,6都是正数，所以(1+台)(1+光)=5+日 十老≥5十3√会·识=9，当且仅当6=2a时取等， 当且仅当3x=1-3x,即x= 时，等号成立 3.C图为0<x<1,所以x·(3-3)=号·3x(3 3x分·（十8-）-，当3x=8-,中g 所以当=言时，画数取得最大值立 2 假期作业（七） 之时x(3-3红)取得最大值是 【简问速答·抗遗忘】 .C由俪=+号≥2√层得b≥2，当且仅当 1.【答案】一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知 数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。一元 =时取= 二次不等式的一般形式是a.r2+bx十c>0或a.x”十b.r+ c<0,其中a,b,c均为常数，a≠0. 5.B由已知得=x2-3xy十4y2,(*) 2.【答案】 1 是=x-3y+4y工+y-3 ≤1，当且仅当.x=2y A>0 △=0 △<0 y 时取等号，把x=2y代入()式，得=22，所以2十 y=ax'+bx+c (a>0)的图象 有两个不相等 有两个相等 6.A周为对任意>0，十3r十≤a恒成立，所以对x ar2+br+e=0 的实数根x1, 的实数根x 没有实数根 e0.+.a≥(+x+）】 (a>0)的根 ,而对x∈(0，十∞)， x(r1<:) =:= 2a 1 1 x2+3x+1 r++32 5·当且仅当 ax+br+c>0 xx<x1,或x xx 1 +3 R x (a>0)的解集 >x2} b 2a/ 上时等号成立，所以a>了 1 T= ax?+bx+c<0 {xx1<r< 0 ☑ 7.D圆为a+6++方=a+b(1+)=5,又ab (a>0)的解集 3.【答案】对于一元二次不等式a.x十bx十c>0,它的解 ∈(0，+∞)，所以a+b=5 5 一，当且仅 集为R的条件为A=-一<0 【综合训练·提考能】 当a=b时，等号成立，即(a十b)2-5(a+b)十4≤0，解得 1.BCD由一元二次不等式的定义可知，BCD为一元二次 1≤a十b≤4. 不等式， &【解标】图为”=)+是=（仔+）生 2.A因为x十x十1>0恒成立，所以原不等式台x2-2x -2<2x2+2x+2曰x2+4x+4>0曰(x+2)2>0. =(10+号+1)≥(10+2V而)=9，当且仅当 所以x≠一2.所以不等式的解集为{xx≠一21. 子-1，中=号=号时取等号，所以的最小 3.B 因为不等式ax2十bx十2>0的解集是 y ry 值为9. {<<号)》所以-名，号是方程a+缸+2 【答案】9 9.【解析】因为x>0,y>0,所以x②y十(2y)⑧x= =0的两个实数核，且@<0，所以一合=一号十甘，号 a +--(传+）≥.且 ry 2xy 2xy =一名×号，解得a=-12,6=-2.所以a+b=-14. 仅当1-y,即x=2y时取等号.故x⑧y十(2y)②x 4.C由已知，集合M=(xx2<4)={x-2<r<2,N= {xx2-2.x-3<0}={x-1<x<3}, 的最小值为√② 所以M∩N={x-1<x<2. 【答案】√2 5.A由条件知x1,x2为方程r2-2a.r-8a=0的两根， 10.【解】0)周为y=工+5x+4=r+4+5≥24+5 则x1十x=2a,xx2=一8a2.故(x-x1)=(x1十x2) x -4=(2a)-4X(-8a)=36a2=153,得a=号 9,当且仅当=，即7=2时等号成立 所以y=+5r+4(x>0)的最小值为9. 6.B因为：20：所以-2<a<2芳a=2时，原式化 x 为一40，不等式恒成立，所以一2<a≤2. ·38·