专题28 指数函数与对数函数9大压轴考法-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教A版2019必修第一册）

专题28 指数函数与对数函数9大压轴考法 题型1 指数幂的运算、求值 一、单选题 1．（24-25高一上·江苏南京·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·浙江·期末）常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为（单位：天）．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的，则满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（24-25高一上·陕西榆林·期中）已知正数a，b满足，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 4．（24-25高一上·全国·课后作业）若，则 . 5．（25-26高一上·上海·单元测试）若， ，，则 ． 题型2 指数不等式问题 一、单选题 1．（23-24高一上·四川成都·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·浙江·期中）已知，则使成立的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·江苏徐州·开学考试）已知函数，则使得成立的正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、解答题 4．（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）已知函数满足，其中且. (1)求的解析式； (2)若，求函数的定义域； (3)讨论的值域. 5．（22-23高一上·河南新乡·阶段练习）已知函数且的图象经过点. (1)设函数，求的定义域； (2)若对任意恒成立，求的取值范围. 题型3 对数及其运算、求值 一、单选题 1．（23-24高三上·陕西榆林·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）设方程的两实根是a和b，则等于（    ）． A．1 B．－2 C． D．－4 3．（2024·陕西西安·模拟预测）设a，b，c都是正数，且，那么（   ）． A． B． C． D． 4．（23-24高二下·北京昌平·期末）把液体放在冷空气中冷却，如果液体原来的温度是，空气的温度是，则min后液体的温度可由公式求得．把温度是的液体放在的空气中冷却，液体的温度冷却到和所用时间分别为min，min，则的值约为（    ） （参考数据） A．2.7 B．3.7 C．4.7 D．5.7 5．（24-25高一上·上海·期中）农业农村部于2021年2月3日发布信息：全国按照主动预防、内外结合、分类施策、有效处置的总体要求，全面排查蝗灾隐患.为了做好蝗虫防控工作，完善应急预案演练，专家假设蝗虫的日增长率为，最初有只，则大约经过（    ）天能达到最初的1800倍. A．129 B．150 C．197 D．199 6．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型4 对数不等式问题 一、单选题 1．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023·贵州黔东南·模拟预测）已知函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知实数x满足不等式，则函数最大值是 ． 三、解答题 4．（24-25高三上·山西忻州·阶段练习）已知函数是且的反函数，且函数. (1)若，求及的值； (2)若函数在上有最小值，最大值7，求的值. 5．（23-24高三上·河北邢台·期中）已知，且的图象过点，又. (1)若成立，求的取值范围； (2)若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 题型5 指对数函数的复合函数及其应用 一、单选题 1．（23-24高一上·重庆·期末）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·河北保定·期末）若函数的定义域为，则的值域为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·全国·阶段练习）已知函数的值域为R，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2024高一·全国·专题练习）设函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高三上·河北·期末）高斯是德国数学家､天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德､牛顿并列，同享盛名.用他名字命名的高斯函数也称取整函数，记作，是指不超过实数的最大整数，例如，该函数被广泛应用于数论､函数绘图和计算机领域.若函数，则当时，的值域为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·湖北·期中）若关于的函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知函数是定义在上的偶函数.，，且，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型6 指对幂比较大小 一、单选题 1．（2024·江苏南京·三模）已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·云南昆明·期中）已知函数，记，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏南通·一模）设，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·河北衡水·阶段练习）是定义在R上的偶函数，在上单调递增，，，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·安徽安庆·阶段练习）设，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知，，，则实数的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 题型7 函数的零点、个数、参数问题 一、单选题 1．（2024高三·全国·专题练习）若函数的图象与函数的图象交点的横坐标所在的区间为，则整数k可能为（　　） A． B．0 C．1 D．2 2．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）设，函数的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·广西·阶段练习）偶函数满足，当时，，则方程在上所有的实数根之和为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知定义在上的函数满足:对任意，都有.若函数的零点个数为有限的n(n∈N)个，则n的最大值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（24-25高三上·天津北辰·期中）已知函数，，若关于的方程恰有三个不相等的实数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·湖北·期中）已知函数，那么在下列区间中含有函数零点的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·河北保定·期中）已知函数若关于的方程至少有5个不等的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·江苏南京·期中）已知，若关于的方程恰好有三个互不相等的实根，则实数的取值范围为（） A． B． C．或 D．或 题型8 函数模型及其应用 一、解答题 1．（23-24高一下·贵州毕节·期末）如图，居民社区要建一个休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的成轴对称的“”形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为2100元；在两个相同的矩形和上铺花岗岩地坪，造价为210元；在两个三角形和上铺草坪，造价为40元.设总造价为（单位：元），长为（单位：）.    (1)设长为（单位：），写出关于的函数解析式； (2)当为何值时，最小？并求出这个最小值. 2．（23-24高一上·广东深圳·期中）在国家大力发展新能源汽车产业政策影响下，我国新能源汽车的产销量高速增长，某地区2021年底新能源汽车保有量为1500辆，2022年底新能源汽车保有量为2250辆，2023年底新能源汽车保有量为3375辆． (1)设从2021年底起经过年后新能源汽车保有量为辆，根据以上数据，试从且和且两种函数模型中选择一个最恰当的模型来刻画新能源汽车保有量的增长趋势，并说明理由，求出新能源汽车保有量关于的函数关系式； (2)2021年底该地区传统能源汽车保有量为50000辆，且传统能源汽车保有量每年下降，若每年新能源汽车保有量按（1）中求得的函数模型增长，试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量．（参考数据：） 3．（24-25高一上·辽宁·期中）如今中国已经成为全球最大的新能源汽车消费市场，并且建成了高效的协同产业体系，2024年上半年新能源汽车销售469万辆，同比增长29.7%.某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，每生产x（千辆）获利（万元），关系如下：，该公司预计2024年全年其他成本总投入为万元.由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求.记2024年的全年利润为（单位：万元）. (1)求函数的解析式； (2)当2024年产量为多少千辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由. 4．（24-25高一上·湖北黄冈·阶段练习）某企业现有，两条生产线，根据市场调查，生产线的利润（单位：万元）与投入金额（单位：万元）的关系式为，，生产线的利润（单位：万元）与投入金额（单位：万元）的关系式为，．假定且． (1)求实数，，的值； (2)该企业现有万元资金全部投入，两条生产线中，问：怎样分配资金，才能使企业获得最大利润？并求出最大利润． 5．（23-24高二下·浙江·期中）生物钟（昼夜节律）是生物体内部的一个调节系统，控制着生物的日常生理活动．研究显示，人体的某些荷尔蒙（如皮质醇）在一天中的分泌量会随着时间的不同而发生变化，从而影响人的活力和认知能力．假设人体某荷尔蒙的分泌量（单位：）与一天中的时间（单位：小时，以午夜0点为起点）的关系可以通过以下分段函数来描述： ●在夜间，荷尔蒙分泌量保持在较低水平，可以近似为常数． ●在早晨，随着人醒来和太阳升起，荷尔蒙分泌量线性增加，其关系为，当时，分泌量达到最大值 ●在下午和晚上，荷尔蒙分泌量逐渐降低，可以用指数衰减模型描述，即． 已知午夜时荷尔蒙分泌量为，峰值分泌量为 (1)求参数，和的值以及函数的解析式； (2)求该同学一天内荷尔蒙分泌量不少于的时长． 6．（23-24高二下·宁夏银川·期末）2023年金年中国新能源汽车产销量分别达到958.7万辆和949.5万辆，比分别增长和；我国新能源汽车产销量占全球比重超过，连续9年位居世界第一位．新能源汽车出口120.3万辆、同比增长，均创历史新高．2024年中国数家车企推出多款电动新能源汽车，引起市场轰动，电动新能源汽车还逐步成为人们购车的热门选择．有关部门在高速公路上对某型号电动汽车进行测试，得到了该电动汽车每小时耗电量P（单位：）与速度v（单位：）的数据如下表所示： v 60 70 80 90 100 110 120 P 8 10.4 13.2 16.4 20 24 28.4 为描述该电动汽车在高速公路上行驶时每小时耗电量P与速度v的关系，现行以下两种函数模型供选择：①，②． (1)请选择你认为最符合表格中所列数据的函数模型（不需要说明理由），并求出相应的函数解析式； (2)李华驾驶一辆同型号电动汽车从银川出发经高速公路（最低限速，最高限速）匀速行驶到距离为的甘肃省天水市秦安县．出发前汽车电池存量为，汽车到达秦安县后至少要保留的保障电量（假设该电动汽车从静止加速到速度为v的过程中消耗的电量与行驶的路程都忽略不计）．已知该高速公路上服务区有功率为的充电桩（充电量=充电功率×充电时间），若不充电，该电动汽车能否到达秦安县？并说明理由；若需要充电，求该电动汽车从银川到达秦安县所用时间（即行驶时间与充电时间之和）的最小值（结果保留一位小数） 题型9 函数新定义问题 一、解答题 1．（23-24高一上·安徽·期末）对于定义域为D的函数，若同时满足下列条件：①在D内单调递增或单调递减，②存在区间，使在上的值域为.则我们把称为闭函数，且区间称为的一个“好区间”，其中. (1)若是函数的好区间，求实数m，n的值； (2)若函数为闭函数，求实数k的取值范围. 2．（23-24高一上·上海长宁·期末）设函数在区间上有定义，若对任意，都存在使得：，则称函数在区间上具有性质. (1)判断函数在上是否具有性质，并说明理由； (2)若函数在区间上具有性质，求实数的取值范围； (3)设，若存在唯一的实数，使得函数在上具有性质，求的值. 3．（24-25高一上·上海闵行·期中）定义：若对定义域内任意，都有（为正常数），则称函数为“距”增函数. (1)若，，判断是否为“1距”增函数，并说明理由； (2)若，是“距”增函数，求实数的取值范围； (3)若，，其中（）为常数，如果是“2距”增函数，求实数的取值范围及的最小值. 4．（24-25高一上·四川成都·期中）经研究，函数为奇函数的充要条件是函数图象的对称中心为点，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，由得函数关于点成中心对称图形的充要条件是． (1)已知函数，且，求的值； (2)证明函数图象的对称中心为； (3)已知函数，求的值． 5．（24-25高一上·江西上饶·阶段练习）若函数Q在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数Q是在上的“平稳函数”． (1)函数①；②；③，其中函数______是在上的“平稳函数”（填序号）； (2)已知函数． ①当时，函数Q是在上的“平稳函数”，求的值； ②已知函数，若函数Q是在（为整数）上的“平稳函数”，且存在整数，使得，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题28 指数函数与对数函数9大压轴考法 题型1 指数幂的运算、求值 一、单选题 1．（24-25高一上·江苏南京·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用完全平方公式，平方差公式结合指数运算可得. 【详解】由得，即， 故， 故 故. 故选：C 2．（23-24高二下·浙江·期末）常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为（单位：天）．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的，则满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，可得512天后甲，乙的质量，根据题意列出等式即可得答案． 【详解】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1， 则512天后甲的质量为：, 乙的质量为：， 由题意可知，， 所以. 故选：A. 二、多选题 3．（24-25高一上·陕西榆林·期中）已知正数a，b满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式判断A、B；应用基本不等式及指数幂的运算性质判断C、D. 【详解】A，因为，，当且仅当时等号成立， 所以，即，正确； B，，当且仅当时等号成立， 因为，，所以，正确； C，，当且仅当时等号成立， 所以，所以，错误； D，，当且仅当时等号成立， 所以，正确． 故选：ABD 三、填空题 4．（24-25高一上·全国·课后作业）若，则 . 【答案】 【分析】根据算术平方根可解得，，代入即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以 所以，， 所以. 故答案为：. 5．（25-26高一上·上海·单元测试）若， ，，则 ． 【答案】 【分析】由指数运算法则可得证. 【详解】， ， ， 所以，原式， 故答案为： 题型2 指数不等式问题 一、单选题 1．（23-24高一上·四川成都·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】函数的定义域满足，解得答案. 【详解】函数的定义域满足，解得且. 故答案为：D 2．（23-24高二下·浙江·期中）已知，则使成立的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数的单调性，再根据函数的单调性得出不等式，最后解一元二次不等式求解. 【详解】因为,所以是单调递增函数， 又因为，所以, 所以, 所以x的取值范围为. 故选：A. 3．（24-25高三上·江苏徐州·开学考试）已知函数，则使得成立的正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析函数的奇偶性，单调性，利用函数的单调性求解不等式即可. 【详解】由题意可知的定义域为，且， 所以为偶函数． 当时，，可知函数在上单调递减，且． 对于不等式成立，则，解得或， 又因为，所以，即正实数的取值范围是． 故选：C． 二、解答题 4．（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）已知函数满足，其中且. (1)求的解析式； (2)若，求函数的定义域； (3)讨论的值域. 【答案】(1)，其中且 (2) (3)见解析 【分析】（1）利用换元法即可求解， （2）根据指数函数的单调性即可求解不等式得解， （3）对分类讨论，即可结合二次函数以及指数函数的性质求解. 【详解】（1）令，则 故，其中且 （2）当时，，则， 故，则，解得,解得， 故的定义域为 （3）由于，故 当时，故值域为， 当时，故值域为 5．（22-23高一上·河南新乡·阶段练习）已知函数且的图象经过点. (1)设函数，求的定义域； (2)若对任意恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意求得，令，得到，进而求得函数的定义域； （2）化简，结合二次函数的性质，求得，把对任意恒成立，转化为，即可求解. 【详解】（1）解：函数且的图象经过点， 可得，解得或（舍去），即 令，即，可得或，解得或， 所以函数的定义域为. （2）解：令， 则， 因为，所以， 又因为对任意恒成立， 所以，解得，所以的取值范围为. 题型3 对数及其运算、求值 一、单选题 1．（23-24高三上·陕西榆林·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】，得，再根据换底公式及对数的运算性质即可得解. 【详解】由，得， 则. 故选：A. 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）设方程的两实根是a和b，则等于（    ）． A．1 B．－2 C． D．－4 【答案】C 【分析】解方程得出，，再由换底公式计算即可. 【详解】方程可化为，即， 解得或，不妨设， . 故选：C 3．（2024·陕西西安·模拟预测）设a，b，c都是正数，且，那么（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将指数式化为对数式，根据对数换底公式、对数运算法则逐项验证即可． 【详解】依题意设，则，，， 所以， 则，故A，C错误； 则，故B错误； 则，故D正确. 故选：D. 4．（23-24高二下·北京昌平·期末）把液体放在冷空气中冷却，如果液体原来的温度是，空气的温度是，则min后液体的温度可由公式求得．把温度是的液体放在的空气中冷却，液体的温度冷却到和所用时间分别为min，min，则的值约为（    ） （参考数据） A．2.7 B．3.7 C．4.7 D．5.7 【答案】B 【分析】根据题目给的温度公式，代入计算即可. 【详解】由已知，， 所以，， 所以. 故选：. 5．（24-25高一上·上海·期中）农业农村部于2021年2月3日发布信息：全国按照主动预防、内外结合、分类施策、有效处置的总体要求，全面排查蝗灾隐患.为了做好蝗虫防控工作，完善应急预案演练，专家假设蝗虫的日增长率为，最初有只，则大约经过（    ）天能达到最初的1800倍. A．129 B．150 C．197 D．199 【答案】A 【分析】设经过天后蝗虫数量达到原来的倍，列出方程，结合对数的运算性质即可求解. 【详解】由题意可知，蝗虫最初有只且日增长率为， 设经过天后蝗虫数量达到原来的倍， 则， ，， ，大约经过天能达到最初的倍． 故选：A 6．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，，根据指数和对数的运算性质可得和是方程的根，又由和均大于可得，即可求解的值. 【详解】令，则， 所以由得，等号两边同除得， 整理得， 令，则， 所以由得，等号两边同除得， 整理得， 所以和是方程的根， 由解得， 又因为，均大于，且函数单调递减，所以，， 所以， 故选：B 题型4 对数不等式问题 一、单选题 1．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数的定义域及单调性得出参数范围即可. 【详解】因为对数的定义域，得或， 又因为,所以, 因为，所以可得, 因为，可得, 所以. 故选：B. 2．（2023·贵州黔东南·模拟预测）已知函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出函数的定义域，即可判断函数的奇偶性与单调性，根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】函数，则，即，解得， 所以的定义域为，且， 所以为奇函数， 又函数在上单调递减， 所以在上单调递减，则在上单调递减， 所以不等式，即， 等价于，解得，即实数的取值范围是. 故选：D 二、填空题 3．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知实数x满足不等式，则函数最大值是 ． 【答案】/ 【分析】先根据一元二次不等式的解法求出的范围，再根据二次函数的性质即可得解. 【详解】由，解得， ， 当时，取得最大值. 故答案为：. 三、解答题 4．（24-25高三上·山西忻州·阶段练习）已知函数是且的反函数，且函数. (1)若，求及的值； (2)若函数在上有最小值，最大值7，求的值. 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）由题意可得，，结合题意解得，进而可得，结合换底公式运算求解； （2）换元令，根据二次函数值域结合的值域特征分析可得，列式求解即可. 【详解】（1）因为函数是且的反函数，则， 即， 则，解得或（舍）， 可得，即，， 又因为，即， 所以. （2）由（1）可知：，且， 令，则时)或时）， 可得， 若函数在上有最小值，最大值7， 可知的最小值，最大值7， 令，解得； 令，解得或； 且与互为相反数，可知， 则或，解得或， 综上所述，或. 5．（23-24高三上·河北邢台·期中）已知，且的图象过点，又. (1)若成立，求的取值范围； (2)若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由对数函数的性质可得，解不等式即可得出答案. （2）由题意可得对于任意恒成立等价于，利用换元法求出即可得出答案. 【详解】（1）因为的图象过点， 所以，所以，因为， 所以，所以，又因为， 而在上单调递减， 由可得： 所以解得， 所以的取值范围为. （2）因为， 所以对于任意恒成立等价于， 因为 . 令，则， 所以， 当，即，即时，， 所以. 题型5 指对数函数的复合函数及其应用 一、单选题 1．（23-24高一上·重庆·期末）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出函数的定义域，再利用复合函数的单调区间的求法，即可求出结果. 【详解】由得到或， 令，则， 因为在定义域上是减函数， 又的开口向上且对称轴为， 易知，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以的单调递增区间为， 故选：B. 2．（22-23高一上·河北保定·期末）若函数的定义域为，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出的定义域，结合对数函数、二次函数的性质，采用换元法求解即可. 【详解】解：因为， 由，可得， 所以的定义域为， 所以， 又， 设， 将原问题转化为求的值域， 由二次函数性质可知在上单调递增， 所以. 故选：A. 3．（23-24高三上·全国·阶段练习）已知函数的值域为R，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的函数值集合，再由分段函数值域的意义求出a的范围作答. 【详解】当时，，而函数在上单调递增，又是增函数， 因此函数在上单调递增，，即函数在上的值域为， 当时，函数的值域为，而函数的值域为R，因此， 而当时，，必有，解得， 所以a的取值范围是. 故选：C 4．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由复合函数的单调性可知，函数在上单调递减，且，再根据二次函数的性质即可求解. 【详解】设， 由题意可知，函数在上单调递减，且， 函数的对称轴为， 所以，解得. 故选：. 5．（2024高一·全国·专题练习）设函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数及复合函数的单调性计算即可. 【详解】易知，显然在上单调递增， 在上单调递减， 因为在区间上单调递增，结合复合函数的单调性可知，且， 所以. 故选：A 6．（23-24高三上·河北·期末）高斯是德国数学家､天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德､牛顿并列，同享盛名.用他名字命名的高斯函数也称取整函数，记作，是指不超过实数的最大整数，例如，该函数被广泛应用于数论､函数绘图和计算机领域.若函数，则当时，的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定函数的定义域，结合复合函数的单调性判断在时的单调性，即可求得的值域，根据取整函数的定义，即可求得答案. 【详解】由，得，解得， 则的定义域为， 当时，令，函数在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的值域为，所以的值域为， 故选：C. 7．（24-25高三上·湖北·期中）若关于的函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据定义域为实数集，转化为且恒成立， 结合二次不等式恒成立求解即可. 【详解】由题意，，且对任意， ，① 且，② 对于①，，结合，得. 若，由②知对任意，矛盾； 若，由②知对任意，即， 则，得， 综上，当时，对任意，①②同时成立. 故选：C 8．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知函数是定义在上的偶函数.，，且，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意关于直线对称，且在上单调递增，在上单调递减，注意到，且，从而原不等式等价于，由此即可得解. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，所以关于轴对称， 由向左平移1个单位得到，所以关于直线对称， ，，且，都有， 在上单调递增， ∴在上单调递减， ∵，且，而， ∴，∴，解得， ∴原不等式的解集为. 故选：B. 题型6 指对幂比较大小 一、单选题 1．（2024·江苏南京·三模）已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合对数函数单调性分析判断即可. 【详解】因为，可得， 且，则，可得，所以； 又因为，则，所以； 综上所述：. 故选：C 2．（24-25高三上·云南昆明·期中）已知函数，记，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定函数的奇偶性与单调性，利用奇偶性转化，结合对数函数与指数函数性质比较大小,再利用单调性得结论． 【详解】是偶函数，在上是增函数， ， ，， 即，所以，即， 故选：B． 3．（2025·江苏南通·一模）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用中间值法，再结合指数函数和对数函数的单调性即可比较大小. 【详解】由，，，知，， 又，所以，故， 又，故，所以， 因此可得. 故选：C. 4．（24-25高三上·河北衡水·阶段练习）是定义在R上的偶函数，在上单调递增，，，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数运算及偶函数的定义将括号内的自变量转换到上，进行自变量的大小比较，再根据在上单调递增可得到对应函数值的大小关系，即可得到结果. 【详解】由于是定义在R上的偶函数，所以有， 所以， 因为，， 所以，又因为在上单调递增， 所以，即. 故选：C. 5．（24-25高三上·安徽安庆·阶段练习）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数单调性得到，再利用换底公式和作差法得到，比较出大小关系. 【详解】， 其中，，所以， 故，所以. 故选：D. 6．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知，，，则实数的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用中间变量法得到，利用构造函数法得到即可. 【详解】因为，， 所以，而，， 故我们构造指数函数，得到， 由指数函数性质得在上单调递减， 因为，所以，综上可得，故C正确. 故选：C 题型7 函数的零点、个数、参数问题 一、单选题 1．（2024高三·全国·专题练习）若函数的图象与函数的图象交点的横坐标所在的区间为，则整数k可能为（　　） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】作出函数与的大致图象，设，求出、的正负可得答案． 【详解】作图易知函数的图象与函数的图象 在y轴两侧各有一个交点， 设， 则，， ，， 故，， 所以函数的零点所在区间是，． 故或． 故选：C.    2．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）设，函数的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意分别为函数与函数图象交点的横坐标，作出函数的图象，结合函数图象即可得解. 【详解】分别令， 则， 则分别为函数与函数图象交点的横坐标， 分别作出函数的图象，如图所示，    由图可知，. 故选：A. 3．（24-25高三上·广西·阶段练习）偶函数满足，当时，，则方程在上所有的实数根之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件得时，，且，从而可得出在区间上的图象，结合图象及函数的性质，即可求解. 【详解】当时，，当时，，则， 又是偶函数，则，所以时，， 又，所以的周期，其在区间上的图象如图所示， 不妨设与在区间上的交点分别为， 由图可知，， 则方程在上所有的实数根之和为， 故选：C. 4．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知定义在上的函数满足:对任意，都有.若函数的零点个数为有限的n(n∈N)个，则n的最大值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】设函数的零点为，结合题设可得，进而求解. 【详解】由题意，对任意，都有， 设函数的零点为， 则，即， 所以，即， 设， 则函数为开口向上，对称轴为，且，， 所以函数在上有2个零点， 即函数的零点个数最多为2个. 故选：B. 5．（24-25高三上·天津北辰·期中）已知函数，，若关于的方程恰有三个不相等的实数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，则的图象可由的图象上下平移得到，作出函数与的图象，由题意，原问题等价于与的图象有三个不同的交点，结合图象列出不等式组求解即可得答案． 【详解】解：设，作出函数和的图象如图， 则的图象可由的图象上下平移得到， 要使方程恰有三个不相等的实数解， 等价于与的图象有三个不同的交点， 由图象可知，只须满足，即，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D． 【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤： （1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题； （2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式； （3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围． 6．（24-25高三上·湖北·期中）已知函数，那么在下列区间中含有函数零点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】我们将通过计算区间端点的函数值的正负来判断函数在哪个区间存在零点. 【详解】因为在上均单调递减， 则在上单调递减， 对A，可得. 因为幂函数在上单调递增，所以， 且函数在上连续不间断， 则在上无零点，故A错误； 对B，因为在上单调递减， 则，则，且函数在上连续不间断， 故在上存在零点，故B正确； 对C，因为，且函数在上连续不间断， 则在上无零点，故C错误； 对D,计算， 且函数在上连续不间断，则在上无零点，故C错误； 故选：B. 7．（24-25高三上·河北保定·期中）已知函数若关于的方程至少有5个不等的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求的解析式，然后画出的图象，根据图象确定正确答案. 【详解】当时，， 当时，，所以， 当时，，所以 ， 当时，，所以 ， 画出、的图象如图所示， 问题转化为函数的图象与直线的至少有5个公共点， 由图可知，故的范围是B正确.    故选：B 【点睛】关键点睛： 图象的精确绘制：绘制函数的图象是解题的关键，通过准确的图象确定直线与曲线的交点个数，进而得到解的数量． 交点数量与参数的关系：通过分析图象，确定直线与函数图象的交点个数，进而得到参数的范围，这是解题的突破口． 8．（24-25高一上·江苏南京·期中）已知，若关于的方程恰好有三个互不相等的实根，则实数的取值范围为（） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分方程的两根是否相等，结合的函数图象讨论即可. 【详解】记方程的两根为， 当时，恰好有三个互不相等的实根， 等价于与和共有三个不同的交点， 由图可知，此时有， 即，得； 当时，，恰好有三个互不相等的实根， 等价于与有三个不同的交点， 由图可知，此时，即，得. 综上，实数的取值范围为或. 故选：D    【点睛】方法点睛：一般地，判断形如的嵌套函数的零点个数或根据函数的零点求参数的取值范围时，可采用换元法，先令，求解当时的值，然后根据函数的图象及性质确定当时，x的值的个数即为的零点个数．解答时注意数形结合，侧重对函数与图象性质的分析. 题型8 函数模型及其应用 一、解答题 1．（23-24高一下·贵州毕节·期末）如图，居民社区要建一个休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的成轴对称的“”形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为2100元；在两个相同的矩形和上铺花岗岩地坪，造价为210元；在两个三角形和上铺草坪，造价为40元.设总造价为（单位：元），长为（单位：）.    (1)设长为（单位：），写出关于的函数解析式； (2)当为何值时，最小？并求出这个最小值. 【答案】(1) (2)， 元. 【分析】（1）由题意得，求出即可； （2）根据题意表示出每一部分的面积，再乘以相应的每平方米的造价，然后相加可得，化简后利用基本不等式可求出其最小值. 【详解】（1）由题意得， 解得， 由于，得， 所以； （2）由题意得， 所以， ， 当且仅当，即时取“ 所以当时，最小，且元. 2．（23-24高一上·广东深圳·期中）在国家大力发展新能源汽车产业政策影响下，我国新能源汽车的产销量高速增长，某地区2021年底新能源汽车保有量为1500辆，2022年底新能源汽车保有量为2250辆，2023年底新能源汽车保有量为3375辆． (1)设从2021年底起经过年后新能源汽车保有量为辆，根据以上数据，试从且和且两种函数模型中选择一个最恰当的模型来刻画新能源汽车保有量的增长趋势，并说明理由，求出新能源汽车保有量关于的函数关系式； (2)2021年底该地区传统能源汽车保有量为50000辆，且传统能源汽车保有量每年下降，若每年新能源汽车保有量按（1）中求得的函数模型增长，试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量．（参考数据：） 【答案】(1)应选函数模型是且，理由见解析， (2)2030年底 【分析】（1）由于新能源汽车保有量每年增长得越来越快，所以应该选择指数模型，然后将和代入函数中可求出，从而可求得关于的函数关系式； （2）设从2021年底起经过年后传统能源汽车保有量为辆，则有，由题意得，化简后两边取对数可求得结果. 【详解】（1）由于新能源汽车保有量每年增长得越来越快， 因此应该选择指数模型，应选函数模型是且， 由题意得，解得， 所以． （2）设从2021年底起经过年后传统能源汽车保有量为辆，则有， 令， 即， 化简得， 解得， 故从2021年底起经过9年后，即2030年底新能源汽车的保有量将超过传统能源汽车的保有量． 3．（24-25高一上·辽宁·期中）如今中国已经成为全球最大的新能源汽车消费市场，并且建成了高效的协同产业体系，2024年上半年新能源汽车销售469万辆，同比增长29.7%.某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，每生产x（千辆）获利（万元），关系如下：，该公司预计2024年全年其他成本总投入为万元.由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求.记2024年的全年利润为（单位：万元）. (1)求函数的解析式； (2)当2024年产量为多少千辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由. 【答案】(1)； (2)当2024年产量为4千辆时，该企业利润最大，最大利润是480万元. 【分析】（1）根据给定的信息，由求出解析式即得. （2）按分段求出最大值，再比较大小即得. 【详解】（1）依题意，，而， 所以函数的解析式为，即. （2）当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，； 当时， ，当且仅当，即时取等号， 而，则当时，， 所以当2024年产量为4千辆时，该企业利润最大，最大利润是480万元. 4．（24-25高一上·湖北黄冈·阶段练习）某企业现有，两条生产线，根据市场调查，生产线的利润（单位：万元）与投入金额（单位：万元）的关系式为，，生产线的利润（单位：万元）与投入金额（单位：万元）的关系式为，．假定且． (1)求实数，，的值； (2)该企业现有万元资金全部投入，两条生产线中，问：怎样分配资金，才能使企业获得最大利润？并求出最大利润． 【答案】(1)， (2)生产线投资万元，生产线投资万元时，企业获得最大利润，利润的最大值为为万元. 【分析】（1）由，，列关于的方程，解方程可得结论； （2）设生产线投入万元，由条件求企业获得的总利润，再求其最大值. 【详解】（1）因为，， ，， 所以，，， 所以， 所以，， （2）设生产线投入万元，则生产线投入万元，设企业获得利润为, 则，， 所以， 所以， 所以， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 所以， 所以，当且仅当时等号成立， 所以生产线投资万元，生产线投资万元时，企业获得利润最大，利润的最大值为为万元. 5．（23-24高二下·浙江·期中）生物钟（昼夜节律）是生物体内部的一个调节系统，控制着生物的日常生理活动．研究显示，人体的某些荷尔蒙（如皮质醇）在一天中的分泌量会随着时间的不同而发生变化，从而影响人的活力和认知能力．假设人体某荷尔蒙的分泌量（单位：）与一天中的时间（单位：小时，以午夜0点为起点）的关系可以通过以下分段函数来描述： ●在夜间，荷尔蒙分泌量保持在较低水平，可以近似为常数． ●在早晨，随着人醒来和太阳升起，荷尔蒙分泌量线性增加，其关系为，当时，分泌量达到最大值 ●在下午和晚上，荷尔蒙分泌量逐渐降低，可以用指数衰减模型描述，即． 已知午夜时荷尔蒙分泌量为，峰值分泌量为 (1)求参数，和的值以及函数的解析式； (2)求该同学一天内荷尔蒙分泌量不少于的时长． 【答案】(1)，，， (2)10个小时 【分析】（1）根据求出，再根据和分别求出，即可得出函数解析式； （2）分和两种情况解不等式即可. 【详解】（1）根据题意得，午夜时荷尔蒙分泌量，， 在早晨，荷尔蒙分泌量满足关系式：， 当时，分泌量达到峰值即，即， 解得：， 因此早晨时段的荷尔蒙分泌量关系为， 在下午和晚上时段，荷尔蒙分泌量满足：， 所以，解得， 所以荷尔蒙分泌量为， 综上，荷尔蒙分泌量的函数关系为； （2）①当时，， 解得，所以， ②当时，， ，， ，， 综上所述， 该同学一天之内荷尔蒙分泌不少于的时长为10个小时. 6．（23-24高二下·宁夏银川·期末）2023年金年中国新能源汽车产销量分别达到958.7万辆和949.5万辆，比分别增长和；我国新能源汽车产销量占全球比重超过，连续9年位居世界第一位．新能源汽车出口120.3万辆、同比增长，均创历史新高．2024年中国数家车企推出多款电动新能源汽车，引起市场轰动，电动新能源汽车还逐步成为人们购车的热门选择．有关部门在高速公路上对某型号电动汽车进行测试，得到了该电动汽车每小时耗电量P（单位：）与速度v（单位：）的数据如下表所示： v 60 70 80 90 100 110 120 P 8 10.4 13.2 16.4 20 24 28.4 为描述该电动汽车在高速公路上行驶时每小时耗电量P与速度v的关系，现行以下两种函数模型供选择：①，②． (1)请选择你认为最符合表格中所列数据的函数模型（不需要说明理由），并求出相应的函数解析式； (2)李华驾驶一辆同型号电动汽车从银川出发经高速公路（最低限速，最高限速）匀速行驶到距离为的甘肃省天水市秦安县．出发前汽车电池存量为，汽车到达秦安县后至少要保留的保障电量（假设该电动汽车从静止加速到速度为v的过程中消耗的电量与行驶的路程都忽略不计）．已知该高速公路上服务区有功率为的充电桩（充电量=充电功率×充电时间），若不充电，该电动汽车能否到达秦安县？并说明理由；若需要充电，求该电动汽车从银川到达秦安县所用时间（即行驶时间与充电时间之和）的最小值（结果保留一位小数） 【答案】(1)选择函数模型②，解析式为 (2)该车不在服务区充电不能到达秦安县；小时 【分析】（1）由表格中的数据，由增长速度可知，选择函数模型②，代入数据计算系数可得函数解析式； （2）设耗电量为，则， 由单调性的定义可得在区间单调递增，的，所以该车不在服务区充电不能到达秦安县；设行驶时间与充电时间分别为，总和为，由，可得，利用基本不等式即可求得所用时间的最小值. 【详解】（1）由表格中所列数据，与的函数关系，在定义域内单调递增， 由增长速度可知，选择函数模型②， 由题意有：解得： 所以. （2）设耗电量为，则， 任取， ， 由，，，， 则有，即， 所以函数在区间单调递增， ， 即最小耗电量大于电池存量减去保障电量，所以该车不在服务区充电不能到达秦安县； 又设行驶时间与充电时间分别为，总和为，若能到达秦安县， 则初始电量+充电电量-消耗电量保障电量， 即，解得， 所以总时间， 当且仅当，即时取等，所以该汽车到达秦安县的最少用时约为小时. 【点睛】方法点睛： 函数模型的选择有： 一、观察法寻找自变量与函数值的变化规律，如线性关系较明确的，可直接待定系数法求出解析式； 二、对于规律不明显的，则要先作出散点图（作图要恰当选择单位等），再观察散点图的特征，看这些点的分布最近接哪类初等函数，一般有直线型的，指数型的，正（余）弦波型的等，选一个或2个模型带入比较，最后确定一个误差较小的． 在解决一般应试题时，一定要仔细研读题意，并且注意联系实际生活常识（或现有理论）等，一步到位的选择模型． 题型9 函数新定义问题 一、解答题 1．（23-24高一上·安徽·期末）对于定义域为D的函数，若同时满足下列条件：①在D内单调递增或单调递减，②存在区间，使在上的值域为.则我们把称为闭函数，且区间称为的一个“好区间”，其中. (1)若是函数的好区间，求实数m，n的值； (2)若函数为闭函数，求实数k的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据题意，分为增函数和减函数两种情况讨论，构造关于、的方程组，解可得答案；（2）根据题意，分析的单调性，可得和是方程，即的两根，利用换元法分析可得方程有两个不等的正根，利用二次函数的性质分析可得答案． 【详解】（1）若是函数的好区间， 分2种情况讨论： 若在上单调递增．则，解可得， 此时 在上单调递增，符合条件； 若在上单调递减，则，解可得， 此时，符合题意， 综合可得：或. （2）函数为闭函数，易得在定义域上单调递增， 则有，故和是方程，即的两根， 令，原方程等价于， 则方程有两个不等的正根， 则有，解可得，即的取值范围为． 2．（23-24高一上·上海长宁·期末）设函数在区间上有定义，若对任意，都存在使得：，则称函数在区间上具有性质. (1)判断函数在上是否具有性质，并说明理由； (2)若函数在区间上具有性质，求实数的取值范围； (3)设，若存在唯一的实数，使得函数在上具有性质，求的值. 【答案】(1)不具有性质,理由见解析 (2), (3)，． 【分析】（1）原式可化为对任意，都存在使得，即函数的值域为值域的子集即可， （2）根据的值域为值域的子集即可列不等式求解， （3）根据的值域为值域的子集即可分类讨论求解， 【解答】解：由已知得对任意，都存在使得，即函数，的值域为，值域的子集， 【详解】（1）由可得， 因为的值域为，的值域为，显然不是的子集，即函数在上不具有性质； （2）函数在区间,的值域为,，函数在,上的值域为,， 要使函数具有性质,只需，解得，即的取值范围为,； （3）由题意的值域为,， 因为,，所以的对称轴,，且开口向下， 所以的最大值为，又，， 当，即时，的值域为,，要满足题意，只需，解得，，符合题意； 当，即时，的值域为,，要满足题意，只需，解得，所以符合题意， 综上，的取值为，． 3．（24-25高一上·上海闵行·期中）定义：若对定义域内任意，都有（为正常数），则称函数为“距”增函数. (1)若，，判断是否为“1距”增函数，并说明理由； (2)若，是“距”增函数，求实数的取值范围； (3)若，，其中（）为常数，如果是“2距”增函数，求实数的取值范围及的最小值. 【答案】(1)为“1距”增函数. (2). (3) 【分析】（1）根据题设中的新定义可证，故可判断为“1距”增函数. （2）根据函数新定义可得在上恒成立，根据判别式可求参数的范围； （3）根据函数新定义可得在上恒成立，分类讨论后可求参数的范围. 【详解】（1）因为，故， 故为“1距”增函数. （2）由题设可得在上恒成立即， 整理得到：在上恒成立， 若，因不成立，故舍， 故，解得. （3）因为是“2距”增函数，故， 整理得到：在上恒成立， 故恒成立且恒成立， 故且， 故. 4．（24-25高一上·四川成都·期中）经研究，函数为奇函数的充要条件是函数图象的对称中心为点，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，由得函数关于点成中心对称图形的充要条件是． (1)已知函数，且，求的值； (2)证明函数图象的对称中心为； (3)已知函数，求的值． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）由知，，根据易求的值； （2）根据题意，要证函数图象的对称中心为    ，只需证，其中是奇函数； （3）通过待定系数法求出函数的对称中心，得到，进而利用倒序相加法求得解. 【详解】（1）∵，∴， ∴，∴，∴； ∵函数为奇函数，∴函数的图象关于点对称， ∴，∴，∴； （2）∵， 令，则 ∵，定义域关于原点对称，， ∴为奇函数. ∴函数图象的对称中心为 （3）假设函数图象有对称中心且对称中心为， 则，∴， ∴，∴∴，， ∴函数有对称中心，∴， 令，， 相加得， ∴． 5．（24-25高一上·江西上饶·阶段练习）若函数Q在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数Q是在上的“平稳函数”． (1)函数①；②；③，其中函数______是在上的“平稳函数”（填序号）； (2)已知函数． ①当时，函数Q是在上的“平稳函数”，求的值； ②已知函数，若函数Q是在（为整数）上的“平稳函数”，且存在整数，使得，求的值． 【答案】(1)① (2)①或；② 【分析】（1）根据“平稳函数”的定义逐个分析判断即可； （2）①求出二次函数的对称轴，然后分，，和四种情况求函数在给定范围上的最值，然后利用列方程可求出的值； ②由二次函数的性质可知当时，随的增大而增大，从而可求出，，然后由为整数可求出，再由列方程可求出. 【详解】（1）对于①在上单调递增 当时，，当时，， ∴，符合题意； 对于②在上单调递增 当时，，当时，， ∴，不符合题意； 对于③在上单调递增 当时，，当时，， ∴，不符合题意； 故①是在上的“平稳函数”； （2）①二次函数为，对称轴为直线， 在上单调递增，在上单调递减， 当，， 当时，， 当时，． 若，在上单调递增， 则，解得（舍去）； 若，在上单调递减，在上单调递增， 则，解得（舍去），； 若，在上单调递减，在上单调递增， 则，解得，（舍去）； 若，在上单调递减， 则，解得（舍去）．综上所述，或； ②易知，二次函数对称轴为直线， 又，且 ，， 当时，在上单调递增 当时取得最大值，时取得最小值， ∴ ，为整数，且，，即的值为5， 又∵，，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$