专题19 指数与指数函数（6大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教A版2019必修第一册）

专题19 指数与指数函数 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 题型一、指数式的化简与求值 3 题型二、指数函数的图像 6 题型三、指数（型）函数过定点问题 9 题型四、指数（型）函数的定义域与值域 10 题型五、指数（型）函数的单调性与最值 12 题型六、指数（型）函数与不等式 17 压轴能力测评（13题） 22 一、n次方根的定义 1、定义：一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中，且 2、个数： （1）当n是奇数时，，的值仅有一个，记为； （2）当n是偶数，①时，的有两个值，且互为相反数，记为； ②时，不存在 二、根式 1、定义：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． 2、性质： a；（，且） 三、分数指数幂的意义 1、分数指数幂的意义 （1）正分数指数幂：规定： （2）负分数指数幂：规定： （3）性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 2、分数指数幂的注意事项： （1）分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂不可理解为个相乘，它是根式的一种新的写法．在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已． （2）把根式化成分数指数幂的形式时，不要轻易对进行约分． （3）在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂， 如有意义，但就没有意义． 四、无理数指数幂 一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数． 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 【注意】（1）对于无理数指数幂，我们只需要了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果． （2）定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围． 五、实数指数幂的运算性质 ①． ②． ③． 六、指数幂运算的一般原则 1、有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算； 2、先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数； 3、底数是分数，先确定符号；底数是小数，先化为分数；底数是带分数，先化成为假分数。 4、若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答。 七、指数函数的概念 1、定义：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． 2、注意事项：指数函数的底数规定大于0且不等于1的理由： （1）如果，当 （2）如果，如，当时，在实数范围内函数值不存在． （3）如果，是一个常量，对它就没有研究的必要． 为了避免上述各种情况，所以规定且． 八、指数函数的图象与性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 九、比较指数幂的大小 比较幂的大小的常用方法： （1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断； （2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断； （3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较． 十、简单指数不等式的解法 1、形如的不等式，可借助的单调性求解； 2、形如的不等式，可将化为为底数的指数幂的形式，再借助的单调性求解； 3、形如的不等式，可借助两函数，的图象求解。 【题型一 指数式的化简与求值】 一、单选题 1．（2023高一上·安徽芜湖·专题练习）若实数满足等式，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】移项化简得，根据非负性求解即可. 【详解】由条件知，根据非负性可知，所以， 故选：A. 二、多选题 2．（22-23高一上·福建厦门·期中）已知实数满足，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】运用幂的乘方公式，完全平方公式以及立方和公式建立，，，以及之间的内在联系即可求得. 【详解】因为，所以， 对于A选项，由，可得，故A项错误； 对于B选项，，故B项正确； 对于C选项，由，又，所以，则，故C项正确； 对于D选项，因故D项正确. 故选：BCD. 三、填空题 3．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用基本不等式直接求解最值即可. 【详解】因为是正数，，所以， 当且仅当时取等号，即当时，的最小值为. 故答案为： 四、解答题 4．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）化简：； （2）化简：； （3）已知，求的值. 【答案】（1）112；（2）；（3）23 【分析】（1）利用指数幂和根式的运算法则化简求解； （2）利用指数幂的运算法则化简求解； （3）根据指数幂的运算法则，利用平方即可求解. 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）因为， 两边同时平方得，， 整理得，， 所以. 5．（23-24高一上·江苏连云港·期中）已知，求下列各式的值. (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)6 (3) 【分析】（1）根据指数幂的运算，结合完全平方公式即可求解， （2）根据指数幂的运算，结合立方和的公式即可化简求解， （3）由立方差的公式，化简即可求解. 【详解】（1）由，可知， 因为，故. （2）. （3）由（1）知，所以， 又因为，所以， 所以. 【题型二 指数函数的图像】 一、单选题 1．（22-23高一上·河南南阳·期中）函数与的图象如图所示，则实数a的值可能是（    ）． A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】利用指数函数与幂函数的图像性质判断得a的可能取值. 【详解】观察图像①与②可知，图像①是指数函数，图像②是幂函数， 因为图像①单调递减，由指数函数的图像性质可知，排除D； 再由图像②存在的图像，由幂函数的图像性质可知的分母为奇数，排除AC； 综上：满足a的取值要求，故a的可能取值为. 故选：B. 2．（23-24高一上·河北张家口·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先分析题意，根据指数函数性质进行判断即可. 【详解】，故为偶函数，图象关于y轴对称.观察可知函数在为增函数，增长方式上应与指数函数相似. .故选：D. 3．（23-24高一上·重庆·期中）已知函数的图象如下图所示，则的图象可能是（    ）      A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】由二次函数性质即可得，再由指数函数性质及图象即可判断得出结果. 【详解】根据函数的图象可知， 再由指数函数图象及性质可知，为单调递增，可排除AB， 且与轴交点为，又，所以，即交于轴正半轴上，排除D，可知C正确； 故选：C 二、填空题 4．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）已知函数的图象不过第二象限，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用指数函数图象性质可知至少向下平移个单位长度才能满足题意，即可求得. 【详解】由已知可知在上单调递增， 已知函数的图象如下图所示： 故若要符合题意需满足，可得 故答案为：. 5．（23-24高一上·全国·单元测试）若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|＋1(a＞0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论交点的情况即可. 【详解】 当a＞1时，通过平移变换和翻折变换可得如图（1）所示的图象，则由图可知1＜2a＜2，即＜a＜1，与a＞1矛盾； 当0＜a＜1时，同样通过平移变换和翻折变换可得如图（2）所示的图象，则由图可知1＜2a＜2，即＜a＜1.综上可知，＜a＜1. 故答案为：. 【题型三 指数（型）函数过定点问题】 一、单选题 1．（23-24高一上·云南昭通·阶段练习）已知函数，且恒过定点，且满足，其中是正实数，则的最小值是（    ） A．16 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】通过可得定点，代入等式得，然后通过展开可求最小值. 【详解】令 ，得，此时，为， . ， 当且仅当， 即时，等号成立， 故选：A. 二、填空题 2．（23-24高一上·江西九江·期末）若函数，且的图象过定点 A，且点 A在幂函数 上，则 . 【答案】 【分析】求出幂函数解析式，根据指数函数的性质求得定点坐标，代入幂函数解析式可得． 【详解】是幂函数，则，∴， 中，令，得，，∴定点为， ∴，又，∴． 故答案为：． 3．（23-24高一上·福建泉州·期末）对于任意且 ，函数 的图象恒过定点 . 若 的图象也过点，则 . 【答案】 【分析】由题意首先得，然后代入得，由此即可得解. 【详解】因为函数 的图象恒过定点，所以，所以， 所以， 又的图象也过点， 所以，又，解得， 所以. 故答案为：. 【题型四 指数（型）函数的定义域与值域】 一、单选题 1．（2024高三·全国·专题练习）设函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出的定义域后可求的定义域， 【详解】因为，所以，故， 故的定义域为， 令，则，故的定义域为. 故选：D. 二、解答题 2．（2023高一·江苏·专题练习）求下列函数的定义域和值域： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)定义域，值域为且 (2)定义域为，值域为 (3)定义域为R，值域为 (4)定义域为R，值域为 【分析】（1）由得定义域，求出的范围，结合函数的性质可得值域； （2）由被开方数非负得定义域，由指数函数性质结合二次根式得值域； （3）定义域为实数集，求出的最小值（取值范围后，由指数函数性质得值域）； （4）配方得，再利用二次函数的图象和性质求解. 【详解】（1）要使函数式有意义，则，解得. 所以函数的定义域为. 因为，所以，即函数的值域为且. （2）由题意知，所以，所以， 所以函数的定义域为. 因为，所以，所以，即， 所以函数的值域为. （3）由题意知函数的定义域为R. 因为，所以， 又，所以函数的值域为. （4）由题意易知函数的定义域为R， 因为， 又，所以，故函数的值域为. 3．（23-24高一·上海·课堂例题）已知，.求证：对任意给定的实数，. 【答案】证明见解析 【分析】利用指数式的非负性结合基本不等式证明 【详解】由指数函数的性质可知，时，，故， 由基本不等式，， 注意到，故，即基本不等式中， 故等号取不到，则， 于是得证. 【题型五 指数（型）函数的单调性与最值】 一、单选题 1．（23-24高一上·浙江温州·期中）若正数，满足，则的最小值为（    ） A．27 B．81 C．6 D．9 【答案】B 【分析】利用基本不等式结合指数函数的单调性求解最小值. 【详解】因为，可得，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为，所以. 故选：B 2．（23-24高一上·福建福州·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数、指数函数的单调性判定大小即可. 【详解】易知， 又定义域上单调递减，，所以， 易知单调递增，， 则， 综上. 故选：A 3．（23-24高一上·贵州·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式可构造函数，再利用函数单调性可得，由指数函数单调性即可得. 【详解】由可得， 令函数，易知在上单调递增， 由可得，即可得； 因此，即. 故选：A 4．（23-24高一上·河南南阳·期末）已知函数，若，，则实数的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】令，根据单调性可求出的取值范围，将转化成在上恒成立，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增，所以， 令， 因为恒成立，所以恒成立，亦即恒成立， 又，当且仅当时，等号成立， 故，所以. 故选：B 二、填空题 5．（23-24高一上·重庆·阶段练习）已知函数在区间上的最大值是7，则 . 【答案】或 【分析】设，把函数化为关于的一元二次函数，分离讨论的范围，根据函数最大值建立方程，解出即可. 【详解】设，又， 若，则， 函数， 对称轴为， 则，即时，， 解得或（舍）； 若时，， 函数， 对称轴为， 则，即时，， 解得或（舍）； 故答案为：或. 6．（23-24高一下·湖南长沙·开学考试）若函数，若在区间上既有最大值，又有最小值，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据给定的分段函数，分段探讨函数的取值，再利用函数在开区间上既有最大值，又有最小值，列式求解即得. 【详解】当时，函数在上单调递减，， 当时，，函数在上单调递增， 则， 函数在上单调递减，则，此时函数的值域为， 当时，由，得， 当时，由，得，      由在既有最大值，又有最小值，得，， 则，由不等式的基本性质可得. 因此，的取值范围是. 故答案为：. 三、解答题 7．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知（且）是偶函数. (1)求的值； (2)若在上的最大值比最小值大，求的值. 【答案】(1)0. (2)或. 【分析】（1）根据偶函数的定义建立方程，根据方程恒成立得解； （2）分和两种情况讨论，由指数函数的单调性求最值即可得解. 【详解】（1）若为偶函数，则恒成立， 所以，即恒成立，解得. 故的值为0. （2）由（1）可得（且）. 当时，在上单调递增，，解得. 当时，在上单调递减，，解得. 故的值为或. 8．（23-24高一上·湖北荆州·期末）已知函数 (1)求的值域; (2)判断并证明的单调性. 【答案】(1) (2)函数在上为减函数，证明见解析 【分析】（1）分离常数，结合指数函数的值域求复合型指数函数的值域即可. （2）直接由函数单调性的定义结合指数函数单调性证明即可. 【详解】（1） 的值域为， 的值域为， 的值域为的值域为. （2），不妨设，则 ． ， 从而， 即， 在上为减函数． 9．（23-24高一·上海·课堂例题）设t是实数，且．求函数，的最小值． 【答案】 【分析】先将函数去绝对值符号化为分段函数并求其单调性，进而可求得参数的不同取值对函数 单调性的影响，从而依据单调性即可求得函数最值. 【详解】令， 所以函数， 又因为是增函数，所以函数在上单调递减，在上单调递增，如图： 所以当时，函数在上单调递增， 此时函数的最小值为； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时函数的最小值为. 所以函数，的最小值为. 【题型六 指数（型）函数与不等式】 一、解答题 1．（23-24高一上·北京通州·期末）函数，. (1)若为偶函数，求的值及函数的最小值； (2)当时，函数的图象恒在轴上方，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用偶函数定义，带入函数计算，利用换元法，结合基本不等式进行最小值的求解即可. （2）由于函数图像恒在轴上方，所以函数，进行参数分离，得到恒成立，结合换元法进行讨论即可. 【详解】（1）因为函数为偶函数. 所以恒成立，即恒成立. 即恒成立，解得， 所以，令， ，当且仅当，即时，等号成立. 所以函数的最小值为. （2）当时，函数的图象恒在轴上方， 故当时恒成立. 即恒成立. 令，令，. 因为，对称轴为， 故当即时，取最大值4，故. 2．（23-24高一上·广东湛江·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且． (1)求的值，并求出的解析式； (2)若在上恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)． 【分析】（1）由，求得，再结合函数的奇偶性，求得时，，进而求得函数的解析式； （2）由（1），把在上恒成立，转化为，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）解：因为是偶函数，所以，解得， 当时，可得，可得， 所以函数的解析式为. （2）解：由（1）知，当时，， 因为在上恒成立， 即， 又因为， 当且仅当时，即时等号成立， 所以，即的取值范围是． 3．（23-24高一下·湖南张家界·阶段练习）已知函数为奇函数． (1)求的值； (2)判断函数的单调性，并加以证明； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)函数在定义域上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）由奇函数的性质可得出，求出实数的值，然后利用函数奇偶性的定义检验即可； （2）判断出函数为上的增函数，然后利用函数单调性的定义证明即可； （3）利用奇函数的性质将所求不等式变形为，利用函数的单调性可得出对任意的恒成立，由可求得实数的取值范围. 【详解】（1）解：对任意的，，则函数的定义域为， 则，解得，此时，， 所以，， 所以，当时，函数为奇函数. （2）解：由（1）知：， 则函数在定义域上单调递增，证明如下： 设任意的，则 因为，则，则， 又，，所以，，即， 所以，函数在定义域上单调递增. （3）解：因为不等式对任意的恒成立， 所以，对任意的恒成立， 因为函数为上的奇函数，且为增函数，则， 则对任意的恒成立，所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 4．（23-24高一上·浙江·阶段练习）已知函数. (1)当时，解关于的方程； (2)当时，恒有，求实数的取值范围； (3)解关于的不等式. 【答案】(1)或； (2)； (3)答案见解析； 【分析】（1）将代入即可解出方程的根为或； （2）将不等式恒成立问题转化为，再利用函数单调性即可得满足题意； （3）对参数的取值进行分类讨论，结合不等式即可求得其解集. 【详解】（1）当时，方程即为， 解得或； （2）当时，不等式可化为， 依题意可知，需满足， 由于函数在上单调递增，函数在上单调递增； 所以函数在上单调递增，因此， 即实数的取值范围是； （3）由可得， ①当时，可得，不等式等价为，此时不等式解集为； ②当时，方程有两根，即，且； 此时不等式解集为； ③当时，方程仅有一根，即，此时不等式解集为； ④当时，方程有两根，即，且； 此时不等式解集为； 5．（23-24高一上·山东济宁·期中）设函数，是定义域为的奇函数. (1)确定的值. (2)若，判断并证明的单调性； (3)若，使得对一切恒成立，求出的范围. 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据奇函数的性质计算可得； （2）首先求出的值，即可得到函数解析式，再利用单调性的定义证明即可； （3）依题意可得对恒成立，由，即可得到，从而得解. 【详解】（1）因为是定义域为的奇函数， 则， 而，解得， 所以的值是. （2）由（1）得，是定义域为的奇函数， 又，则，即，又，解得， 则 所以函数在上单调递增，证明如下： 设且， 则， 因为，则，即，， 于是得，即， 所以函数在定义域上单调递增. （3）当时，， 因为，， 因为函数在上单调递增，所以， 所以，解得，所以的取值范围为. 一、单选题 1．（23-24高一上·浙江杭州·期中）函数的图象可能为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】由排除D；由排除C；由排除B，即得答案. 【详解】解：因为， ，，故排除D； 又因为，，故排除C； 又因为， ， 所以， 即， 符合题意的只有A，故排除B. 故选：A. 2．（23-24高二下·浙江·期中）已知，则使成立的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数的单调性，再根据函数的单调性得出不等式，最后解一元二次不等式求解. 【详解】因为,所以是单调递增函数， 又因为，所以, 所以, 所以x的取值范围为. 故选：A. 3．（24-25高三上·江西九江·开学考试）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数在上单调递减，列出相应的不等式组，即可求解. 【详解】当时，， 因为和都是减函数，所以在上单调递减， 当时，，要使其在上单调递减，则， 所以，解得，故D正确. 故选：D. 二、多选题 4．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）设，，且，则下列关系式中一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据指数函数的单调性即可比较AB,作出函数的图像，借助函数图象结合选项逐一判断CD. 【详解】，故可作出的图象如图所示，    由图可知，要使且成立，则有且， 故必有且， 又，即为，所以． 由于函数为单调递增函数，且，所以，故AD可能，CB不可能， 故选：BC． 三、填空题 5．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为 . 【答案】9 【分析】先根据指数运算求出，代入中，再利用基本不等式可得最小值. 【详解】，可得，又，所以， 当且仅当，即时取得最小值. 故答案为： 6．（23-24高一下·湖南·期中）已知，函数的值域为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据分段函数解析式，求出在对应区间上的值域，分类讨论解不等式即可求出的取值范围. 【详解】当时，在上单调递增，所以时，； 当时，， 当时，在上单调递减，所以时， 即时，， 因为函数的值域为， 所以时，且. 由不等式，解得 不等式等价于时，， 设， 因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增，又， 所以时，等价于，即， 由不等式，解得， 所以时，的解集为， 综上，的取值范围是， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据指数函数和二次函数单调性求得该分段函数值域，再利用值域间的包含关系解不等式可得结果. 四、解答题 7．（23-24高一下·全国·随堂练习）已知函数，求的值域； 【答案】 【分析】利用换元法,借助二次函数单调性来求得的值域. 【详解】，令， 则在区间上单调递增，， 所以的值域为. 8．（23-24高一上·江西南昌·期中）已知． (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】根据指数幂的性质和完全平方公式即可求出结果. 【详解】（1）， 因为，所以. （2）由（1）得，， 所以. 9．（24-25高一上·全国·课前预习）设，函数是定义域为R的偶函数． (1)求实数a的值； (2)求在上的值域． 【答案】(1)． (2)． 【分析】（1）由偶函数定义即可求解； （2）利用单调性定义和指数函数的单调性可以判断在上单调递增，进而可得在上的值域. 【详解】（1）由，得， 即， 所以， 根据题意，可得， 又，所以． （2）由（1）可知， 设任意的，且， 则． 因为，又指数函数增函数，所以， 所以． 又因为，所以，所以， 所以，即． 所以函数在上单调递增． 所以函数在上的最大值为； 最小值为． 故在上的值域为． 10．（23-24高一上·黑龙江牡丹江·期末）已知函数. (1)若函数是上的奇函数，求实数的值； (2)若函数在上的最小值是4，救实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用函数奇偶性的性质即可得解； （2）利用换元法，分类讨论的取值范围，结合基本不等式即可得解. 【详解】（1）若函数是上的奇函数， 则，即，此时， 经检验满足，符合题意，故； （2）令，则，原函数可化为， 因为函数在上的最小值是4， 即在时的最小值为4，故， 当时，在上单调递增，此时没有最小值，不符合题意； 当时，，当且仅当，即时取等号， 所以，即. 11．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并用函数单调性的定义证明； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】 （1）由奇函数性质即可得解，并注意检验； （2）结合指数函数单调性以及单调性的定义即可得证； （3）由奇函数的性质、以及函数单调性可等价转换表达式为一元二次不等式，由此即可顺利得解. 【详解】（1）由题意，函数定义域为R，则，解得， 当时，，定义域为全体实数，且， 所以函数是奇函数，满足题意； （2）由（1）可知单调递增，理由如下： 不妨设，则， 因为，所以， 所以，即， 所以函数单调递增； （3）由题意， 所以实数的取值范围为. 12．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的定义域为． (1)设，求的取值范围； (2)若恒成立，求的范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据指数函数的单调性求出函数的值域； （2）依题意在上恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可得解. 【详解】（1）∵，，在上单调递增， ∴当时，取最小值为，当时，取最大值为2， ∴的取值范围为． （2）∵在上恒成立， 又，当且仅当即时取等号， ∴的最小值为，∴． 13．（22-23高一上·河北保定·期末）设是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)解关于的不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据奇函数，利用换元法求出当时解析式，即可得到函数在R上的解析式； （2）分别对，，三种情况解不等式. 【详解】（1）当时，， 当时，，所以， 因为是定义在R上的奇函数，所以， 所以， 当时，有，从而， 所以. （2）由（1）知，当时，因为，，所以， 当，，所以当时，， 而当时，，所以不等式在上无解； 当时，不等式为，所以. 记函数，， 因为，所以函数，均为R上的单调增函数， 所以函数为R上的单调增函数. 又， 所以当时，不等式的解集为． 从而关于x的不等式的解集为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题19 指数与指数函数 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 题型一、指数式的化简与求值 3 题型二、指数函数的图像 4 题型三、指数（型）函数过定点问题 6 题型四、指数（型）函数的定义域与值域 6 题型五、指数（型）函数的单调性与最值 6 题型六、指数（型）函数与不等式 7 压轴能力测评（13题） 8 一、n次方根的定义 1、定义：一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中，且 2、个数： （1）当n是奇数时，，的值仅有一个，记为； （2）当n是偶数，①时，的有两个值，且互为相反数，记为； ②时，不存在 二、根式 1、定义：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． 2、性质： a；（，且） 三、分数指数幂的意义 1、分数指数幂的意义 （1）正分数指数幂：规定： （2）负分数指数幂：规定： （3）性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 2、分数指数幂的注意事项： （1）分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂不可理解为个相乘，它是根式的一种新的写法．在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已． （2）把根式化成分数指数幂的形式时，不要轻易对进行约分． （3）在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂， 如有意义，但就没有意义． 四、无理数指数幂 一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数． 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 【注意】（1）对于无理数指数幂，我们只需要了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果． （2）定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围． 五、实数指数幂的运算性质 ①． ②． ③． 六、指数幂运算的一般原则 1、有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算； 2、先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数； 3、底数是分数，先确定符号；底数是小数，先化为分数；底数是带分数，先化成为假分数。 4、若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答。 七、指数函数的概念 1、定义：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． 2、注意事项：指数函数的底数规定大于0且不等于1的理由： （1）如果，当 （2）如果，如，当时，在实数范围内函数值不存在． （3）如果，是一个常量，对它就没有研究的必要． 为了避免上述各种情况，所以规定且． 八、指数函数的图象与性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 九、比较指数幂的大小 比较幂的大小的常用方法： （1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断； （2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断； （3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较． 十、简单指数不等式的解法 1、形如的不等式，可借助的单调性求解； 2、形如的不等式，可将化为为底数的指数幂的形式，再借助的单调性求解； 3、形如的不等式，可借助两函数，的图象求解。 【题型一 指数式的化简与求值】 一、单选题 1．（2023高一上·安徽芜湖·专题练习）若实数满足等式，则（    ） A． B． C． D．4 二、多选题 2．（22-23高一上·福建厦门·期中）已知实数满足，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 3．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为 . 四、解答题 4．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）化简：； （2）化简：； （3）已知，求的值. 5．（23-24高一上·江苏连云港·期中）已知，求下列各式的值. (1) (2) (3) 【题型二 指数函数的图像】 一、单选题 1．（22-23高一上·河南南阳·期中）函数与的图象如图所示，则实数a的值可能是（    ）． A． B． C． D．3 2．（23-24高一上·河北张家口·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·重庆·期中）已知函数的图象如下图所示，则的图象可能是（    ）      A．   B．   C．   D．   二、填空题 4．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）已知函数的图象不过第二象限，则实数的取值范围是 . 5．（23-24高一上·全国·单元测试）若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|＋1(a＞0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是 ． 【题型三 指数（型）函数过定点问题】 一、单选题 1．（23-24高一上·云南昭通·阶段练习）已知函数，且恒过定点，且满足，其中是正实数，则的最小值是（    ） A．16 B．6 C． D． 二、填空题 2．（23-24高一上·江西九江·期末）若函数，且的图象过定点 A，且点 A在幂函数 上，则 . 3．（23-24高一上·福建泉州·期末）对于任意且 ，函数 的图象恒过定点 . 若 的图象也过点，则 . 【题型四 指数（型）函数的定义域与值域】 一、单选题 1．（2024高三·全国·专题练习）设函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 二、解答题 2．（2023高一·江苏·专题练习）求下列函数的定义域和值域： (1)； (2)； (3)； (4). 3．（23-24高一·上海·课堂例题）已知，.求证：对任意给定的实数，. 【题型五 指数（型）函数的单调性与最值】 一、单选题 1．（23-24高一上·浙江温州·期中）若正数，满足，则的最小值为（    ） A．27 B．81 C．6 D．9 2．（23-24高一上·福建福州·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·贵州·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·河南南阳·期末）已知函数，若，，则实数的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 二、填空题 5．（23-24高一上·重庆·阶段练习）已知函数在区间上的最大值是7，则 . 6．（23-24高一下·湖南长沙·开学考试）若函数，若在区间上既有最大值，又有最小值，则的取值范围是 . 三、解答题 7．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知（且）是偶函数. (1)求的值； (2)若在上的最大值比最小值大，求的值. 8．（23-24高一上·湖北荆州·期末）已知函数 (1)求的值域; (2)判断并证明的单调性. 9．（23-24高一·上海·课堂例题）设t是实数，且．求函数，的最小值． 【题型六 指数（型）函数与不等式】 一、解答题 1．（23-24高一上·北京通州·期末）函数，. (1)若为偶函数，求的值及函数的最小值； (2)当时，函数的图象恒在轴上方，求实数的取值范围. 2．（23-24高一上·广东湛江·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且． (1)求的值，并求出的解析式； (2)若在上恒成立，求的取值范围． 3．（23-24高一下·湖南张家界·阶段练习）已知函数为奇函数． (1)求的值； (2)判断函数的单调性，并加以证明； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 4．（23-24高一上·浙江·阶段练习）已知函数. (1)当时，解关于的方程； (2)当时，恒有，求实数的取值范围； (3)解关于的不等式. 5．（23-24高一上·山东济宁·期中）设函数，是定义域为的奇函数. (1)确定的值. (2)若，判断并证明的单调性； (3)若，使得对一切恒成立，求出的范围. 一、单选题 1．（23-24高一上·浙江杭州·期中）函数的图象可能为（    ） A．   B．   C．   D．   2．（23-24高二下·浙江·期中）已知，则使成立的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·江西九江·开学考试）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）设，，且，则下列关系式中一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为 . 6．（23-24高一下·湖南·期中）已知，函数的值域为，则的取值范围是 ． 四、解答题 7．（23-24高一下·全国·随堂练习）已知函数，求的值域； 8．（23-24高一上·江西南昌·期中）已知． (1)求； (2)求． 9．（24-25高一上·全国·课前预习）设，函数是定义域为R的偶函数． (1)求实数a的值； (2)求在上的值域． 10．（23-24高一上·黑龙江牡丹江·期末）已知函数. (1)若函数是上的奇函数，求实数的值； (2)若函数在上的最小值是4，救实数的值. 11．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并用函数单调性的定义证明； (3)若，求实数的取值范围. 12．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的定义域为． (1)设，求的取值范围； (2)若恒成立，求的范围． 13．（22-23高一上·河北保定·期末）设是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)解关于的不等式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$