专题06 数列中的绝对值和奇偶项问题（2大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（人教A版2019选择性必修第二册）

专题06 数列中的绝对值和奇偶项问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 题型一、数列绝对值求和 2 题型二、数列奇偶项问题 3 压轴能力测评（12题） 5 一、数列绝对值求和 1、对于首项小于0而公差大于0的等差数列加绝对值后得到的数列求和,设的前项和为 的前项和为,数列的第项小于0而从第项开始大于或等于0,于是有 2、对于首项大于0而公差小于0的等差数列加绝对值后得到的数列求和,设的前项和为 的前项和为,数列的第项大于0而从第项开始小于或等于0,于是有 。 二、数列奇偶项问题 1、项数问题 ①数列项数是2n项，那么奇数和偶数分别是n项； ②数列项数是2n+1项，那么奇数为n+1项，偶数为n项； ③当项数是n项时，要分n为奇数和n为偶数； 2、常见类型 ①，求的值；则 ②，求的值 （1）n为奇数时，有个奇数项，有个偶数项，则 （2）n为偶数时，有个奇数项，有个偶数项，则 【题型一 数列绝对值求和】 一、单选题 1．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知数列的通项公式为，前n项和为，则（    ） A．数列为等差数列，公差为 B．数列为等差数列，公差为8 C．当时，数列的前n项和为 D．当时，数列的前n项和为 2．（2024·内蒙古包头·一模）已知等差数列中，，，设，则（    ） A．245 B．263 C．281 D．290 二、解答题 3．（22-23高二上·河北邯郸·期末）已知等差数列的前项和为，再从条件：①，②，③中选择两个作为已知，并完成解答. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前10项的和． 4．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）在等差数列中，的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)求取最大值时的值； (3)设，求． 5．（23-24高三上·河南·期中）已知等差数列的公差为整数，，设其前n项和为，且是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 6．（23-24高二下·山东潍坊·期中）已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式，判断这个数列是否是等差数列，并说明理由; (2)记数列的前项和为，若，求. 【题型二 数列奇偶项问题】 一、单选题 1．（22-23高二上·陕西西安·阶段练习）等差数列 共2n+1个项，且奇数项和为165，偶数项和为150，则n=（    ） A．10 B．13 C．11 D．22 2．（23-24高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）在数列中，，，，则的前20项和（    ） A．621 B．622 C．1133 D．1134 3．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”．比如取正整数，根据上述运算法则得出．递推关系如下：数列满足，若，则所有可能的取值集合是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（23-24高二上·江苏镇江·阶段练习）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程．已知大衍数列满足，则（    ） A． B． C． D．数列的前项和为 三、填空题 5．（24-25高二上·全国·课堂例题）若等比数列共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为 ，项数为 ． 6．（22-23高二下·全国·课后作业）等差数列共有项，所有的奇数项之和为，所有的偶数项之和为，则等于 ． 7．（2024高二·全国·专题练习）等比数列共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比 . 四、解答题 8．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知是各项均为正数的等差数列，其前项和为，满足对任意的成立． (1)求的通项公式； (2)令，记为数列的前项和．证明：当时，． 9．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列满足，且． (1)设，证明：是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)设数列的前n项和为，求使得不等式成立的n的最小值． 10．（24-25高三上·内蒙古包头·开学考试）已知正项数列的前n项和为，且． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前2n项和． 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1012，偶数项之和为2024，则这个数列的公比为（   ） A．8 B． C．4 D．2 2．（22-23高二下·河南周口·期中）一个等差数列共100项，其和为80，奇数项和为30，则该数列的公差为（     ） A． B．2 C． D． 3．（23-24高二下·江苏南京·开学考试）已知等比数列共有项，其和为，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比（    ） A． B．2 C． D． 4．（2024·重庆·模拟预测）已知数列满足：，则（    ） A．511 B．677 C．1021 D．2037 5．（23-24高二上·陕西榆林·阶段练习）已知等差数列的项数为其中奇数项之和为 偶数项之和为 则(    ) A． B． C． D． 二、解答题 6．（23-24高二下·广东广州·期末）设数列 的前 项和为 ，已知，且成等差数列. (1)求 的通项公式； (2)设求数列 的前 项和 . 7．（23-24高二下·陕西宝鸡·阶段练习）已知数列满足，且. (1)设，求数列的通项公式； (2)求数列的前30项的和. 8．（23-24高二上·甘肃定西·阶段练习）已知等差数列的前项和为，与的等差中项为，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 9．（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）在递减等比数列中，，公比为，且，2是与的等比中项. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 10．（22-23高二上·陕西咸阳·阶段练习）已知数列满足，且当时，有. (1)求证：数列为等差数列； (2)令，求数列的前项和. 11．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知为数列的前项和，且，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 数列中的绝对值和奇偶项问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 题型一、数列绝对值求和 2 题型二、数列奇偶项问题 6 压轴能力测评（12题） 13 一、数列绝对值求和 1、对于首项小于0而公差大于0的等差数列加绝对值后得到的数列求和,设的前项和为 的前项和为,数列的第项小于0而从第项开始大于或等于0,于是有 2、对于首项大于0而公差小于0的等差数列加绝对值后得到的数列求和,设的前项和为 的前项和为,数列的第项大于0而从第项开始小于或等于0,于是有 。 二、数列奇偶项问题 1、项数问题 ①数列项数是2n项，那么奇数和偶数分别是n项； ②数列项数是2n+1项，那么奇数为n+1项，偶数为n项； ③当项数是n项时，要分n为奇数和n为偶数； 2、常见类型 ①，求的值；则 ②，求的值 （1）n为奇数时，有个奇数项，有个偶数项，则 （2）n为偶数时，有个奇数项，有个偶数项，则 【题型一 数列绝对值求和】 一、单选题 1．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知数列的通项公式为，前n项和为，则（    ） A．数列为等差数列，公差为 B．数列为等差数列，公差为8 C．当时，数列的前n项和为 D．当时，数列的前n项和为 【答案】D 【分析】首先判断数列是等差数列，从而求得，即可判断AB；写出数列的前n项和，并去绝对值，即可判断CD. 【详解】对于A，由，得，， 可知数列是首项为8，公差为的等差数列， 则，则， 所以，所以数列为等差数列，公差为，故A错误； 对于B，， 而，所以数列为等差数列，公差为9，故B错误； 对于CD，当时，；当时，；当时，； 所以 ，故C错误，D正确. 故选：D 2．（2024·内蒙古包头·一模）已知等差数列中，，，设，则（    ） A．245 B．263 C．281 D．290 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出等差数列的公差及通项公式，判断正数、负数项，再求出. 【详解】等差数列中，由，，得公差， 则，显然当时，，当时，， 所以 . 故选：C 二、解答题 3．（22-23高二上·河北邯郸·期末）已知等差数列的前项和为，再从条件：①，②，③中选择两个作为已知，并完成解答. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前10项的和． 【答案】(1) (2)68 【分析】（1）根据所选条件，求出等差数列的首项和公差，可求数列通项； （2）由数列中各项的符号，利用分组求和求数列的前10项的和． 【详解】（1）设等差数列的公差为， 若选择①②，由①，②， 则等差数列首项，公差， ； 若选择①③，由①，③，则，公差， 所以等差数列首项，公差， ； 若选择②③，由②，③，得， 所以等差数列首项，公差， ； （2）令，得，则前2项为负数，从第3项起为正数， . 4．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）在等差数列中，的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)求取最大值时的值； (3)设，求． 【答案】(1) (2)6 (3) 【分析】（1）求出等差数列的公差和首项，即可求得通项公式； （2）利用等差数列的前n项和公式，即可求得答案； （3）判断数列的项的正负情况，讨论n的取值，结合等差数列的前n项和公式，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知在等差数列中，，设公差为d， 则，则， 故，故通项公式． （2）结合（1）可得， 当时，取最大值． （3）， 由，得， 即时有，时有， 若，， 若时， ， 综合上述． 5．（23-24高三上·河南·期中）已知等差数列的公差为整数，，设其前n项和为，且是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的性质即可求解公差，进而可求解， （2）分情况，即可根据等差数列求和公式求解. 【详解】（1）设的公差为d，依题意得， 所以，即， 化简得，解得或（舍去）， 故， （2）依题意，． 当时，，故； 当时，， 故． 故 6．（23-24高二下·山东潍坊·期中）已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式，判断这个数列是否是等差数列，并说明理由; (2)记数列的前项和为，若，求. 【答案】(1)，数列是等差数列，理由见解答 (2) 【分析】（1）当时，求得，当时，利用，可求得，进而可得数列是等差数列； （2）令，解得且，分与两种情况计算可得的值. 【详解】（1）当时，， 当时，有， 又因为，所以当时，也成立， 因此数列的通项公式为， 数列是等差数列，理由如下： 因为， 所以数列是等差数列； （2）令，解得且， 当时，， 可得； 所以，又因为，所以， 当时，， 可得 ， 令，解得或（舍去）， 所以. 【题型二 数列奇偶项问题】 一、单选题 1．（22-23高二上·陕西西安·阶段练习）等差数列 共2n+1个项，且奇数项和为165，偶数项和为150，则n=（    ） A．10 B．13 C．11 D．22 【答案】A 【分析】结合等差数列前项和公式求得正确答案. 【详解】等差数列 共2n+1个项， 其中奇数项有个，偶数项有个， 设等差数列的公差为， 奇数项和 ①， 偶数项和 ②， ①-②得， 则. 故选：A 2．（23-24高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）在数列中，，，，则的前20项和（    ） A．621 B．622 C．1133 D．1134 【答案】C 【分析】设，.根据已知可推得为等差数列，为等比数列，求出的表达式.然后分组，根据等差数列以及等比数列前项和公式求解，即可得出答案. 【详解】设，，则，. 由已知可得， ，即， 所以为以2为首项，2为公差的等差数列，. ，即， 所以为以1为首项，2为公比的等比数列，. 所以，的前20项和. 故选：C. 3．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”．比如取正整数，根据上述运算法则得出．递推关系如下：数列满足，若，则所有可能的取值集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，且，逆向推理求解. 【详解】解：因为，且， 则，则，则或； 当时，则，或，或； 当时，则或（舍去）， 当时，则，或， 所以所有可能的取值集合是， 故选：D 二、多选题 4．（23-24高二上·江苏镇江·阶段练习）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程．已知大衍数列满足，则（    ） A． B． C． D．数列的前项和为 【答案】AC 【分析】分为奇数或偶数即可判断A选项；直接由递推公式求出即可判断B选项；分为奇数或偶数结合累加法即可判断C选项；由分组求和法即可判断D选项. 【详解】对于A，当为奇数时，为偶数，则，，可得； 当为偶数时，为奇数，则，，可得，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，当为奇数且时，， 累加可得 ，时也符合； 当为偶数且时，， 累加可得 ； 则，C正确； 对于D，设数列的前项和为，则， 又，，D错误. 故选：AC. 三、填空题 5．（24-25高二上·全国·课堂例题）若等比数列共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为 ，项数为 ． 【答案】 2 9 【分析】利用等比数列奇数项和与偶数项和的关系，及前n项和公式列式计算即可得解. 【详解】在等比数列中，由，得，解得， 设这个数列共有项，则，解得，所以这个等比数列的项数为9. 故答案为：2；9 6．（22-23高二下·全国·课后作业）等差数列共有项，所有的奇数项之和为，所有的偶数项之和为，则等于 ． 【答案】 【分析】利用等差数列的基本性质以及等差数列的求和公式可得出，即可求得的值. 【详解】因为等差数列共有项， 所有奇数项之和为， 所有偶数项之和为， 所以，，解得. 故答案为：. 7．（2024高二·全国·专题练习）等比数列共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比 . 【答案】/ 【分析】结合题意列方程组分别求出，，再由等比数列的性质求出结果即可. 【详解】设等比数列的奇数项的和、偶数项的和分别为，. 由题意可得 解得 所以． 故答案为：. 四、解答题 8．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知是各项均为正数的等差数列，其前项和为，满足对任意的成立． (1)求的通项公式； (2)令，记为数列的前项和．证明：当时，． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据得到首项和公差，得到通项公式； （2）在（1）基础上，得到，先得到当为偶数时，，作差法得到当且为偶数时，，再考虑当为奇数时，，作差法得到当且为奇数时， ，从而证明出结论. 【详解】（1）当时，，解得或0， 是各项均为正数的等差数列，故， ①， 当时，②， 则①-②得， 故， 因为，所以，则， 则的公差为1，则， 经检验，满足要求，故通项公式为； （2），， ， 当为偶数时， ， 当且为偶数时，， 故； 当为奇数时，， 当且为奇数时， ， 综上，当时，． 9．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列满足，且． (1)设，证明：是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)设数列的前n项和为，求使得不等式成立的n的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)20. 【分析】（1）由已知条件，用表示出，得出，再用表示出，得出，联立得出，通过构造得出，检验，即可得出证得结论. （2）由（1）求出，再求出即可求出数列的通项公式. （3）由（2）的结论，探讨数列的单调性，再计算判断即得. 【详解】（1）由，得，，， 则，又，于是，解得， 又，则，解得， 因此，整理得，即， 由，得，则，， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）知，，即，，， 所以数列的通项公式是. （3）由（2）知，，则， ，，因此数列是递增数列， 而，， 所以使得不等式成立的n的最小值是20. 【点睛】关键点睛：涉及求数列最大项问题，探讨数列的单调性是解题的关键，可以借助作差或作商的方法判断单调性作答. 10．（24-25高三上·内蒙古包头·开学考试）已知正项数列的前n项和为，且． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前2n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用 来求得的通项公式. （2）利用分组求和法、裂项求和法等求和方法来求得数列的前2n项和． 【详解】（1）依题意，，， 当时，，解得，（舍去）. 当时，由得， 两式相减得， 即，由于， 所以，所以数列是首项为， 公差为的等差数列，所以（也符合）. （2）由（1）得， 所以 . 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1012，偶数项之和为2024，则这个数列的公比为（   ） A．8 B． C．4 D．2 【答案】D 【分析】根据题意结合等比数列的性质运算求解. 【详解】由题意可知：， 所以． 故选：D. 2．（22-23高二下·河南周口·期中）一个等差数列共100项，其和为80，奇数项和为30，则该数列的公差为（     ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】 根据等差数列的项的关系及和的性质列式求解即可. 【详解】 设等差数列的公差为，则由条件可知： 数列的奇数项之和为，① 偶数项之和为，② 由②-①，得，所以，即该数列的公差为. 故选：D. 3．（23-24高二下·江苏南京·开学考试）已知等比数列共有项，其和为，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】设奇数项和为,偶数项和为,再根据题意利用等比数列性质求解即可. 【详解】设等比数列的奇数项和为,偶数项和为,则，解得， 而奇数项与偶数项的项数相同，所以公比. 故选：B 4．（2024·重庆·模拟预测）已知数列满足：，则（    ） A．511 B．677 C．1021 D．2037 【答案】B 【分析】由题意可得，，结合所给条件计算即可得. 【详解】 . 故选：B. 5．（23-24高二上·陕西榆林·阶段练习）已知等差数列的项数为其中奇数项之和为 偶数项之和为 则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列的性质，知等差数列的奇数项、偶数项分别成等差数列，故奇数项、偶数项的和直接代入等差数列的前项和公式，结合等差中项的性质化简即可. 【详解】项数为的中奇数项共有项, 其和为 项数为的中偶数项共有项, 其和为 所以解得 故选: A. 二、解答题 6．（23-24高二下·广东广州·期末）设数列 的前 项和为 ，已知，且成等差数列. (1)求 的通项公式； (2)设求数列 的前 项和 . 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可知，结合由求解得； （2）根据（1）得到，再结合分组求和、裂项相消和等差数列求和计算得到. 【详解】（1）因为成等差数列，所以. 当时，，因为，所以， 当时，，两式相减得 ， 所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列， 因此. （2）由（1）可得 数列 的前 项和 . 7．（23-24高二下·陕西宝鸡·阶段练习）已知数列满足，且. (1)设，求数列的通项公式； (2)求数列的前30项的和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意要得，，所以得，从而可得数列是以2为首项，2为公比的等比数列，进而可求出数列的通项公式； （2）由（1）得，然后利用分组求和法可求得数列的前30项的和. 【详解】（1）因为，所以， 因为， 所以， 所以， 又，所以，所以， 又，所以， 所以， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，即； （2）由（1）可知， 所以 . 8．（23-24高二上·甘肃定西·阶段练习）已知等差数列的前项和为，与的等差中项为，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用条件，列出关于首项和公差的方程组，即可求解； （2）根据（1）的结果，分和两种情况，去绝对值，再求. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为， 由题意可知，，， 所以，解得：，， 所以； （2）由（1）可知，，，当时，， 所以当时， ， 当时， ， ， ， 所以. 9．（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）在递减等比数列中，，公比为，且，2是与的等比中项. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由条件可得，从而求得，，即可求得，再由等比数列的通项公式，即可得到结果； （2）根据题意，由（1）可得，然后分与，结合等差数列的前项和公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）在等比数列中，，且， 所以，，即，则， 因为2是与的等比中项，所以，， 因为数列是递减数列，则，则，所以，，， 所以，， 所以，； （2）因为， 当时，，. 当时，， . 综上所述，. 10．（22-23高二上·陕西咸阳·阶段练习）已知数列满足，且当时，有. (1)求证：数列为等差数列； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）由题可知，从而数列为等差数列； （2）根据的奇偶性可得，从而可得. 【详解】（1）证明：由题易知数列的各项都不为0， 当时，， ∴. ∴数列是首项，公差的等差数列. （2）由（1）得， ∴. ， ， … ，其中. ∴当为偶数时，； 当为奇数时，为偶数， ∴. 11．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知为数列的前项和，且，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用数列递推式求数列的通项公式，结合累乘法求解； （2）分，两种情况，利用等差数列的求和公式求解. 【详解】（1）由， 得（）， 两式相减得， 即（）， 所以当时，， 经检验也符合上式， 故； （2）由题意， 记，则数列的前项和， 所以，当时，， 当时，， 综上， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$