第一章 重点题型强化（一）对称及其应用问题-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

重点题型强化（一） 对称及其应用问题 　 第一章　直线与圆 知识层面 1．学会解决点点、点线、线线对称问题． 2．会应用对称问题解决最值问题和反射问题. 素养层面 通过点点、点线、线线对称的学习，提升直观想象、数学运算、逻辑推理素养. 题型一　几类常见的对称问题 1 题型二　光的反射问题 2 题型三　利用对称解决有关最值问题 3 内容索引 题型一　几类常见的对称问题 返回 已知直线l：y＝3x＋3，求： (1)点P(4，5)关于l的对称点的坐标； 例1 解：设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点在直线l上， 且直线PP′垂直于直线l， 所以点P′的坐标为(－2，7)． (2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程； 在直线y＝x－2上任取一点M(2，0)， 设点M关于直线l的对称点为M′(x0，y0)， 化简得7x＋y＋22＝0，即为所求直线方程． (3)直线l关于点A(3，2)的对称直线的方程． 解：在直线l上取两点E(0，3)，F(－1，0)， 则E，F关于点A(3，2)的对称点分别为E′(6，1)，F′(7，4)． 因为点E′，F′在所求直线上， 所以由两点式得所求直线方程为 ， 即3x－y－17＝0. 规律方法 对称问题的解决方法 1．点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式． 点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P′(2a－x，2b－y)． 2．直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求． 设l的方程为Ax＋By＋C＝0(其中A，B不全为0)和点P(x0，y0)，则l关于P点的对称直线方程为A(2x0－x)＋B(2y0－y)＋C＝0. 3．点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分”． 设P(x0，y0)，l：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不全为0)，P关于l的对称点Q可以通过条件：(1)PQ⊥l；(2)PQ的中点在l上来求得． 4．求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关于直线的对称问题． 对点练1．已知P(－1，2)，M(1，3)，直线l：y＝2x＋1.求： (1)点P关于直线l的对称点R的坐标； 解：设点P关于直线l的对称点R的坐标为(x，y)， (2)直线PM关于直线l对称的直线方程． 解：因为M(1，3)的坐标满足直线l的方程， 又点P关于直线l的对称点为R ， 则直线MR为所求的直线，方程为11x＋2y－17＝0. 题型二　光的反射问题 返回 一束光线从原点O(0，0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4，3)，求反射光线的方程及光线从O点到达P点所走过的路程． 例2 解：如图所示，设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)， 所以A的坐标为(4，3)． 因为反射光线的反向延长线过A(4，3)， 又由反射光线过P(－4，3)，A，P两点纵坐标相等， 由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得 故反射光线所在直线的方程为y＝3. 由于反射光线为射线， 故反射光线的方程为 . 由光的性质可知， 光线从O到P的路程即为AP的长度|AP|， 由A(4，3)，P(－4，3)知，|AP|＝4－(－4)＝8， 即光线从O经直线l反射后到达P点所走过的路程为8. 规律方法 根据平面几何知识和光学知识，入射光线、反射光线上对应的点是关于法线对称的．利用点的对称关系可以求解． 由题意知，AB所在直线的方程为x＋y－4＝0.如图， 点P关于直线AB的对称点为D(4，2)，关于y轴的对 称点为C(－2，0)，则光线所经过的路程为|CD|＝ 2 .故选A. 对点练2．如图所示，已知点A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是 A．2 B．6 C．3 D．2 √ 返回 题型三　利用对称解决有关最值问题 返回 在直线l：x－y－1＝0上求两点P，Q.使得： (1)P到B(0，4)与A(4，1)的距离之差最大； 例3 解：如图，设点B关于l的对称点B′的坐标为(a，b)，连接BB′， 则kBB′·kl＝－1， 所以a＋b－4＝0，① 即a－b－6＝0.② 所以点B′的坐标为(5，－1)． 即2x＋y－9＝0. 易知|PB|－|PA|＝|PB′|－|PA|，当且仅当P，B′，A三点共线时，|PB′|－|PA|最大． 所以联立直线l与AB′的方程， (2)Q到A(4，1)与C(3，0)的距离之和最小． 解：如图所示，设点C关于l的对称点为C′，可求得C′的坐标为(1，2)， 所以AC′所在直线的方程为x＋3y－7＝0. 易知|QA|＋|QC|＝|QA|＋|QC′|，当且仅当Q，A，C′三点共线时，|QA|＋|QC′|最小． 所以联立直线AC′与l的方程， 即AC′与l的交点坐标为 . 故点Q的坐标为 . 规律方法 利用对称性求距离的最值问题 由平面几何知识(三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差的绝对值小于第三边)可知，要解决在直线l上求一点，使这点到两定点A，B的距离之差最大的问题，若这两点A，B位于直线l的同侧，则只需求出直线AB的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若A，B两点位于直线l的异侧，则先求A，B两点中某一点，如A关于直线l的对称点A′，得直线A′B的方程，再求其与直线l的交点即可．对于在直线l上求一点P，使P到平面上两点A，B的距离之和最小的问题可用类似方法求解． 如图所示，设点M(3，4)关于y轴的对称点为P(－3，4)， 关于x轴的对称点为Q(3，－4)，则|MB|＝|PB|，|MA|＝ |AQ|.当A与B重合于坐标原点O时，|MA|＋|AB|＋|BM|＝ |PO|＋|OQ|＝|PQ|＝ ＝10；当A与B不重合时，|MA|＋|AB|＋|BM|＝|AQ|＋|AB|＋|PB|＞|PQ|＝10.综上可知，当A与B重合于坐标原点O时，|MA|＋|AB|＋|BM|取得最小值，最小值为10.故选A. 对点练3．在平面直角坐标系中，点A，B分别是x轴、y轴上两个动点，又有一定点M(3，4)，则|MA|＋|AB|＋|BM|的最小值是 A．10 B．11 C．12 D．13 √ 返回 谢 谢 观 看 ！ 第 一 章 　 直 线 与 圆 返回 即解得 ＝ 解得 y＝3 即×1＝－1， 因为BB′的中点在直线l上， 所以－－1＝0， $$