5.1.3 基本计数原理的简单应用(习题课)-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

1.3　基本计数原理的简单应用(习题课) 　 第五章　§1　基本计数原理 知识层面 1.进一步理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别. 2.会用这两个计数原理分析和解决一些较为复杂的实际计数问题. 素养层面 通过解决一些较为复杂的实际计数问题，继续提升逻辑推理、数学建模及数学运算素养. 课时测评 3 综合应用 1 内容索引 随堂演练 2 综合应用 返回 题型一　组数问题 (链教材P156例1)用0，1，2，3，4五个数字， (1)可以排成多少个三位数字的电话号码？ 解：三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复， 每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝53＝125(个)， 即可以排成125个三位数字的电话号码． 例1 (2)可以排成多少个三位数？ 解：三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法， 第二、三位可以排0， 因此共有4×5×5＝100(个)三位数． (3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？ 解：被2整除的数，个位数字可取0，2，4，因此可分为两类： 一类是个位数字是0，则有4×3＝12(个)排法； 一类是个位数字不为0，则个位有2种排法， 即2或4，再排百位，因为0不能在百位，故有3种排法，十位有3种排法，则有2×3×3＝18(个)排法． 故共有12＋18＝30(个)排法， 所以可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数． 变式探究 (变设问)由本例中的五个数字可组成多少个无重复数字的四位奇数？ 解：完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，分四步： 第一步定个位，只能从1，3中任取一个，有2种方法； 第二步定首位，把1，2，3，4中除去用过的一个剩下的3个中任取一个，有3种方法； 第三步，第四步把剩下的包括0在内的3个数字先排百位有3种方法，再排十位有2种方法． 由分步乘法计数原理知共有2×3×3×2＝36(个)． 规律方法 解决组数问题的原则 1．明确特殊位置或特殊数字，这是采用“分类”还是“分步”的关键．一般按特殊位置(末位或首位)分类，分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法求解． 2．要注意数字“0”不能排在两位数或两位数字以上的数的最高位． 对点练1．从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为 A．24 B．18 C．12 D．6 √ 按是否选0分为2类：选到0时，有3×2＝6(个)排法，选到2时，有2×3×2＝12(个)排法，故奇数的个数为6＋12＝18(个). 故选B. 题型二　抽取与分配问题 (链教材P157例3)(1)高三年级的四个班到甲、乙、丙、丁、戊五个工厂进行社会实践，其中甲工厂必须有班级去，每班只去一个工厂且去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有 A．360种 B．420种 C．369种 D．396种 例2 √ 法一(直接法)：以甲工厂分配班级情况进行分类，共分为四类：第一类，四个班级都去甲工厂，此时分配方案只有1种情况；第二类，有三个班级去甲工厂，剩下的一个班级去其他工厂，其分配方案共有4×4＝16(种)；第三类，有两个班级去甲工厂，另外两个班级去其他工厂，其分配方案共有6×4×4＝96(种)；第四类，有一个班级去甲工厂，另外三个班级去其他工厂，其分配方案有4×4×4×4＝256(种)．综上所述，不同的分配方案有1＋16＋96＋256＝369(种)．故选C. 法二(间接法)：先计算四个班自由选择去何工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即5×5×5×5－4×4×4×4＝369(种)方案．故选C. (2)甲、乙、丙三人各写一张贺卡，放在一起，再各取一张不是自己的贺卡，则不同取法的种数为___． 2 不妨由甲先来取，共2种取法，而甲取到谁的将由谁在甲取后第二个来取，余下来的人，都只有一种选择，所以不同取法共有2×1×1＝2(种)． 规律方法 选(抽)取与分配问题的常见类型及其解法 1．当涉及对象数目不大时，一般选用列举法、树形图法、框图法或者图表法． 2．当涉及对象数目很大时，一般有两种方法： (1)直接法：直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若按对象特征抽取的，则按分类进行； (2)间接法：去掉限制条件计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可． 对点练2．从6名志愿者中选4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙2名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有 A．280种 B．240种 C．180种 D．96种 √ 由于甲、乙不能从事翻译工作，因此翻译工作从余下的4名志愿者中选1人，有4种选法．后面三项工作的选法有5×4×3种，因此共有4×5×4×3＝240(种)选派方案．故选B. 题型三　与几何有关的计数问题 (新定义)如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是 A．60 B．48 C．36 D．24 例3 √ 长方体的6个表面构成的“平行线面组”的个数为6×6＝36，另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”的个数为6×2＝12，故符合条件的“平行线面组”的个数是36＋12＝48.故选B. 规律方法 用两个计数原理在解决实际问题时常采用的方法 对点练3．如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的 三角形中，与正八边形有公共边的三角形有___个(用数 字作答)． 40 把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类，有一条公共边的三角形共有8×4＝32(个)．第二类，有两条公共边的三角形共有8(个)．由分类加法计数原理知，共有32＋8＝40(个)． 题型四　涂色与种植问题 (1)如图所示，有A，B，C，D四个区域，用红、黄、 蓝三种颜色涂色，要求任意两个相邻区域的颜色各不相同， 共有______种不同的涂法． 例4 18 ①若A，C涂色相同，则按照分步乘法计数原理，A，B，C，D可涂颜色的种数依次是3，2，1，2，则有3×2×1×2＝12(种)不同的涂法．②若A，C涂色不相同，则按照分步乘法计数原理，A，B，C，D可涂颜色的种数依次是3，2，1，1，则有3×2×1×1＝6(种)不同的涂法．所以根据分类加法计数原理，共有12＋6＝18(种)不同的涂法． (2)从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，则有___种不同的种植方法． 18 法一(直接法)：若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2＝6(种)不同的种植方法．同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有3×2＝6(种)不同的种植方法．故不同的种植方法共有6×3＝18(种)． 法二(间接法)：从4种蔬菜中选出3种，种在三块土地上，有4×3×2＝24(种)，其中不种黄瓜有3×2×1＝6(种)，故共有24－6＝18(种)不同的种植方法． 规律方法 涂色与种植问题的解答策略 求解涂色与种植问题一般是直接利用两个计数原理求解，处理这类问题的关键是要找准分类标准，常用的方法有： 1．按区域的不同以区域为主分步计数，并用分步乘法计数原理计算． 2．以颜色(种植作物)为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理计算． 3．将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题． 4．对于不相邻的区域，常分为同色和不同色两类，这是常用的分类标准． 对点练4．(1)从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在3块不同土质的土地上，则不同的种植方法种数为 A．12 B．24 C．36 D．48 √ 法一：按三块土地依次种植分三步：第一块土地上有4种种植方法，第二块土地有3种种植方法，第三块土地有2种种植方法．所以不同的种植方法共有4×3×2＝24(种). 故选B. 法二：依题意，分两步：①先从4种蔬菜品种中选出3种，有4种选法，②将选出的3种蔬菜对应3块不同土质的土地，有3×2×1＝6种情况．则不同的种植方法有4×6＝24(种)．故选B. (2)(数学文化)如图为我国数学家赵爽在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方法种数为 A．120 B．260 C．340 D．420 √ (a)若区域①与③颜色相同，区域②、①、③、④、⑤依 次有5种、4种、1种、3种、3种颜色可涂． 由分步乘法计数原理，不同的涂色方案有5×4×3×3＝ 180(种)． (b)若区域①与③颜色不同，区域①有5种涂法，区域②有4种涂法，区域③有3种涂法，区域④有2种涂法，区域⑤有2种涂法．由分步乘法计数原理，不同的涂色方案有5×4×3×2×2＝240(种)．综上，共有180＋240＝420(种)涂色方法．故选D. 返回 课堂小结 知识 1．组数问题. 2．抽取与分配问题. 3．与几何有关的计数问题. 4．涂色与种植问题 方法 分类讨论、正难则反 易错误区 分类标准不明确，会出现重复或遗漏问题 随堂演练 返回 1．从数字1，2，3，4中取出3个数字(允许重复)，组成三位数，各位数字之和等于6，则这样的三位数的个数为 A．7 B．9 C．10 D．13 √ ①由1，1，4三个数字组成的三位数：114，141，411，共3个；②由1，2，3三个数字组成的三位数：123，132，213，231，312，321，共6个；③由2，2，2三个数字可以组成1个三位数222.所以符合题意的三位数共有3＋6＋1＝10(个)．故选C. 2．对图中的A，B，C三个区域染色，每块区域染一种颜色，有公共边的区域不同色．现有红、黄、蓝三种不同的颜色可以选择，则不同的染色方法共有 A．6种 B．12种 C．18种 D．22种 √ A B C 先给A选色，有3种方法；再给B选色，有2种方法；再给C选色，有2种方法，由分步乘法计数原理，得不同的染色方法共有3×2×2＝12(种)．故选B. 3．某年级要从3名男生、2名女生中选派2人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有___种． 7 若选派一名女生，有2×3＝6(种)选派方案；若选派两名女生，则有1种选派方案．由分类加法计数原理，共有6＋1＝7(种)不同选派方案. 4．用数字1，2组成一个四位数，则数字1，2都出现的四位偶数的个数为___． 7 由四位数是偶数，知最后一位是2.在四位数中，当出现1个1时，有1 222，2 122，2 212，共3个，当出现2个1时，有1 122，1 212，2 112，共3个，当出现3个1时，只有1 112这1个四位偶数，故数字1，2都出现的四位偶数有3＋3＋1＝7(个). 返回 课时测评 返回 1．从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为偶数的不同取法的种数为 A．6 B．10 C．20 D．30 √ 从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个不同的数字的和为偶数可分为两类：第一类，取出的两个数都是偶数，有0和2，0和4，2和4，共3种不同的取法；第二类，取出的两个数都是奇数，有1和3，1和5，3和5，共3种不同的取法．由分类加法计数原理得，共有3＋3＝6(种)不同的取法．故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2．如图所示的几何体由三棱锥P-ABC与三棱柱 ABC-A1B1C1组合而成，现用3种不同颜色对这个 几何体的表面涂色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻 的面均不同色，则不同的涂色方案共有 A．6种 B．9种 C．12种 D．36种 √ 先涂三棱锥P-ABC的三个侧面，有3×2×1种情况，然后涂三棱柱的三个侧面，有2×1×1种情况，由分步乘法计数原理，共有3×2×1×2×1×1＝12(种)不同的涂法．故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息．若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 A．10 B．11 C．12 D．15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 分0个相同、1个相同、2个相同讨论．(1)若0个相同，则信息为：1001.共1个．(2)若1个相同，则信息为：0001，1101，1011，1000.共4个．(3)若2个相同，又分为以下情况：①若位置一与二相同，则信息为：0101；②若位置一与三相同，则信息为：0011；③若位置一与四相同，则信息为：0000；④若位置二与三相同，则信息为：1111；⑤若位置二与四相同，则信息为：1100；⑥若位置三与四相同，则信息为：1010.共有6个．故与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为1＋4＋6＝11.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4．一植物园的参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线共有 A．6种 B．8种 C．36种 D．48种 √ 选择参观路线分步完成：第一步选择三个“环形”路线中的一个，有3种方法，再按逆时针或顺时针方向参观，有2种方法；第二步选择余下两个“环形”路线中的一个，有2种方法，也按逆时针或顺时针方向参观，有2种方法；最后一个“环形”路线，也按逆时针或顺时针方向参观，有2种方法．由分步乘法计数原理知，共有3×2×2×2×2＝48(种)方法．故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5．(新定义)若m，n均为非负整数，在做m＋n的加法运算时各位均不进位(例如：2 019＋100＝2 119)，则称(m，n)为“简单的”有序对，而m＋n称为有序对(m，n)的值，那么值为2 019的“简单的”有序对的个数是 A．30 B．60 C．96 D．100 √ m＋n＝2 019且各位均不进位，从高位分步处理：千位有2＋0，1＋1，0＋2，共3种；百位有0＋0，共1种；十位有0＋1，1＋0，共2种；个位有0＋9，1＋8，2＋7，3＋6，4＋5，5＋4，6＋3，7＋2，8＋1，9＋0，共10种，由分步乘法计数原理可知，值为2 019的“简单的”有序对的个数是3×1×2×10＝60.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6．(多选题)已知函数y＝ax2＋bx＋c，其中a，b，c∈{0，1，2，3，4}，则不同的二次函数的个数可以用式子表示为 A．4×5×5 B．5×5×5 C．4×4＋4×4＋4×4×4＋4 D．5×4×3 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 依分步乘法计数原理得，a有4种选择，b有5种选择，c也有5种选择，共有4×5×5个不同的二次函数，故A正确；又由题意可得a≠0，可分以下几类：第1类，b＝0，c≠0，此时a有4种选择，c也有4种选择，共有4×4个不同的函数；第2类，c＝0，b≠0，此时a有4种选择，b也有4种选择，共有4×4个不同的函数；第3类，b≠0，c≠0，此时a，b，c都各有4种选择，共有4×4×4个不同的函数；第4类，b＝0，c＝0，此时a有4种选择，共有4个不同的函数．由分类加法计数原理，共有N＝4×4＋4×4＋4×4×4＋4个不同的二次函数，故C正确．BD错误．故选AC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7．正整数240的正约数有______个． 20 240＝24×3×5，其正约数的构成是2i·3j·5k的形式的数，其中i＝0，1，2，3，4；j＝0，1；k＝0，1；故其不同的正约数有5×2×2＝20个． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．某电商为某次活动设计了“和谐”“爱国”“敬业”三种红包，活动规定每人可以依次点击4次，每次都会获得三种红包中的一种，若集全三种即可获奖，但三种红包出现的顺序不同对应的奖次也不同．员工甲按规定依次点击了4次，直到第4次才获奖．则他获得奖次的不同情形种数为____． 18 根据题意，若员工甲直到第4次才获奖，则其第4次才集全“和谐”“爱国”“敬业”三种红包，则甲第4次获得的红包有3种情况，前三次获得的红包为其余的2种，有23－2＝6种情况，则他获得奖次的不同情形种数为3×6＝18. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．甲、乙等5名同学参加志愿者服务，分别到三个路口疏导交通，每个路口有1名或2名志愿者，则甲、乙在同一路口的分配方案种数为____(用数字作答)． 18 甲、乙在同一路口，分步完成：第一步：甲、乙选择一个路口，有3种选法；第二步：剩下的3人中选1人，有3种选法，此人再在剩下的两个路口中选择一个路口服务，有2种选法，所以有3×2＝6种选法；第三步：剩下的2人一起选择最后的一个路口，只有1种选法．根据分步乘法计数原理，有3×6×1＝18种选法． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．(12分)用0，1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字的且比2 000大的四位偶数． 解：完成这件事有3类方法： 第一类是用0做结尾的比2 000大的4位偶数，它可以分三步去完成：第一步，选取千位上的数字，只有2，3，4，5可以选择，有4种选法；第二步，选取百位上的数字，除0和千位上已选定的数字以外，还有4个数字可供选择，有4种选法；第三步，选取十位上的数字，还有3种选法．依据分步乘法计数原理，这类数有4×4×3＝48(个)； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 第二类是用2做结尾的比2 000大的4位偶数，它可以分三步去完成：第一步，选取千位上的数字，除去2，1，0，只有3个数字可以选择，有3种选法；第二步，选取百位上的数字，在去掉已经确定的首尾两数字之后，还有4个数字可供选择，有4种选法；第三步，选取十位上的数字，还有3种选法．依据分步乘法计数原理，这类数有3×4×3＝36(个)； 第三类是用4做结尾的比2 000大的4位偶数，其个数同第二类． 用分类加法计数原理，所求无重复数字的且比2 000大的四位偶数有48＋36＋36＝120(个)． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为 A．504 B．210 C．336 D．120 √ 分三步，先插一个新节目，有7种方法，再插第二个新节目，有8种方法，最后插第三个节目，有9种方法．故共有7×8×9＝504(种)不同的插法．故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12．(多选题)现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是 A．所有可能的方法有34种 B．若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种 C．若同学A必须去工厂甲，则不同的安排方法有12种 D．若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 对于A，三位同学依次选择都有4种方法，根据乘法原理有4×4×4＝64(种)方法；对于B，所有选法是64种，甲工厂没有同学去有3×3×3＝27(种)，故甲工厂必须有同学去有64－27＝37(种)；对于C，同学A必须去工厂甲，另外两名同学到工厂各有4种方法，故有4×4＝16(种)；对于D，三名同学所选工厂各不相同，不同的安排方法有4×3×2×1＝24(种)．故选BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．(13分)如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一 种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，如果只有5种 颜色可供使用，则有多少种不同染色方法？ 解： 按照S→A→B→C→D的顺序进行染色，按照A，C是 否同色分类： 第一类，A，C同色，则有5×4×3×1×3＝180(种)不同的染色方法． 第二类，A，C不同色，则有5×4×3×2×2＝240(种)不同的染色方法． 根据分类加法计数原理，共有180＋240＝420(种)不同的染色方法． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14．(5分)(新定义)回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3 443，94 249等．显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99，3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999.则 (1)5位回文数有_____个； 900 5位回文数相当于填5个方格，首尾相同，且不为0，共9种填法，第2位和第4位一样，有10种填法，中间一位有10种填法，共有9×10×10＝900(种)填法，即5位回文数有900个． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)2n(n∈N＋)位回文数有________个． 9×10n－1 根据回文数的定义，此问题也可以转化成填方格，结合分步乘法计数原理，知有9×10n－1个． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．(15分)一个同心圆形花坛，分为两部分， 中间小圆部分种植草坪和绿色灌木，周围的 圆环分为n(n≥3，n∈N＋)等份，种植红、黄、 蓝三种颜色不同的花，要求相邻两部分种植不 同颜色的花． (1)如图①，圆环分成3等份，分别为a1，a2，a3，则有多少种不同的种植方法？ 解：先种植a1部分，有3种不同的种植方法，再种植a2，a3部分． 因为a2，a3与a1的颜色不同，a2，a3的颜色也不同， 所以由分步乘法计数原理， 不同的种植方法有3×2×1＝6(种)． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)如图②，圆环分成4等份，分别为a1，a2， a3，a4，则有多少种不同的种植方法？ 解：当a1，a3不同色时， 有3×2×1×1＝6(种)种植方法； 当a1，a3同色时， 有3×2×1×2＝12(种)种植方法， 由分类加法计数原理得，共有6＋12＝18(种)种植方法． 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 五 章 　 计 数 原 理 返回 $$