2.3.2 抛物线的简单几何性质-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

3.2　抛物线的简单几何性质 　 第二章　§3　抛物线 知识层面 1．掌握抛物线的几何性质．　 2．会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．　 3．利用抛物线方程解决一些实际问题. 素养层面 通过对抛物线几何性质的应用，培养数学运算素养；通过对抛物线的焦点弦以及抛物线最值问题的学习，提升逻辑推理、直观想象及数学运算素养. 课时测评 3 综合应用 1 内容索引 随堂演练 2 问题1　类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，你认为应研究抛物线的哪些几何性质． 提示：范围、对称性、顶点及离心率等． 问题导思 问题2　试以y2＝2px(p＞0)为研究对象，探讨抛物线的范围、对称性及顶点．如何研究这些性质？ 提示：(1)范围：当x＞0时，抛物线y2＝2px(p＞0)在y轴的右侧，开口向右．这条抛物线上的任意一点M(x，y)的横坐标满足不等式x≥0；当x的值增大时，|y|的值也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．抛物线是无界曲线． (2)对称性：观察曲线，不难发现，抛物线y2＝2px(p＞0)关于x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．抛物线只 有一条对称轴． (3)顶点：抛物线和它的轴的交点叫作抛物线的顶点．抛物线的顶点坐标是坐标原点(0，0)． 新知构建 x x y y 1 (1)只有焦点在坐标轴上，顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程． (2)过焦点且垂直于对称轴的弦称为通径，通径长为2p. 微提醒 角度1　根据抛物线的几何性质求标准方程 (链教材P73例3)抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程． 例1 所以抛物线的对称轴为x轴， 则设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，或y2＝－2px(p>0)． 因为抛物线的焦点到顶点的距离为3， 所以抛物线的标准方程为y2＝12x，或y2＝－12x， 其准线方程分别为x＝－3，或x＝3. 把握三个要点确定抛物线的简单几何性质 1．开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准一次项是x还是y，一次项的系数是正还是负． 2．关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴． 3．定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1. 对点练1．边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是 √ 角度2　抛物线的几何性质的应用 已知正三角形AOB的一个顶点O位于坐标原点，另外两个顶点A，B在抛物线y2＝2px(p＞0)上，求这个三角形的边长． 例2 解：如图所示， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 又|OA|＝|OB|， 整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0. 因为x1＞0，x2＞0，2p＞0，所以x1＝x2， 由此可得|y1|＝|y2|， 即线段AB关于x轴对称，由此得∠AOx＝30°， 规律方法 利用抛物线的性质可以解决的问题 1．对称性：解决抛物线的内接三角形问题． 2．焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题． 3．范围：解决与抛物线有关的最值问题． 4．焦点：解决焦点弦问题． 对点练2．已知A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上两点，O为坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线AB的方程． 解：如图所示，设点A(x0，y0)， 由题意可知点B(x0，－y0)， 所以AF⊥OB， 所以kAF·kOB＝－1， 返回 综合应用 返回 应用一　抛物线的轨迹方程 若点P到点F(4，0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则P点的轨迹方程是 A．y2＝－16x B．y2＝－32x C．y2＝16x D．y2＝32x 例3 由题意知点P到点F(4，0)和直线x＝－4的距离相等．所以P点的轨迹是以F为焦点，以直线x＝－4为准线的抛物线，所以p＝8，则点P的轨迹方程为y2＝16x.故选C. √ 规律方法 解决轨迹为抛物线问题的方法 抛物线的轨迹问题，既可以用轨迹法直接求解，也可以先将条件转化，再利用抛物线的定义求解．后者的关键是找到满足动点到定点的距离等于到定直线的距离且定点不在定直线上的条件，有时需要依据已知条件进行转化才能得到满足抛物线定义的条件． 对点练3．已知动点M(x，y) (x≥0)到点F(2，0)的距离与到y轴的距离的差为2. (1)求动点M的轨迹方程； 解：因为M(x，y) (x≥0)到F(2，0)的距离与到y轴的距离的差为2， 则M(x，y)到F(2，0)的距离与到直线x＝－2的距离相等， 所以动点M的轨迹是抛物线，其方程为y2＝8x. (2)若过点F的直线l与动点M的轨迹交于A，B两点，直线x＝－2与x轴交于点H，过A，B作直线x＝－2的垂线，垂足分别为D，E，若S△DHF∶S△EHF＝2∶1(S表示面积)，求|AB|. 解：设A(x1，y1)，B(x2，y2) (x1>2>x2) . 故|AB|＝p＋x1＋x2＝4＋5＝9. 应用二　抛物线的实际应用 (2024·贵州铜仁高二质量监测)如图，是抛物线型拱桥，当水面在l时，水面宽16米，拱桥顶部离水面8米． (1)当拱顶离水面2米时，水面宽多少米？ 例4 解：如图建立平面直角坐标系xOy，设抛物线型拱桥的方程为x2＝ay(a<0)， 由题意，可知抛物线经过点G(8，－8)，代入抛物线方程可得64＝－8a，即得a＝－8， 所以抛物线方程为x2＝－8y. 当拱顶离水面2米时，即y＝－2，代入抛物线方程可得x＝±4，即水面宽为8米． (2)现有一艘船，可近似为长方体的船体高4.2米，吃水深2.7米(即水上部分高1.5米)，船体宽为12米，前后长为80米，若河水足够深，要使这艘船能安全通过，则水面宽度至少应为多少米？(计算结果保留至小数点后一位，参考数据： ≈1.732) 解：由于船体宽12米，则当船体恰好能通过时，令x＝6米， 代入抛物线方程中，则36＝－8y， 解得y＝－4.5米， 即拱顶与船顶的最近距离为4.5米． 又因为船在水面上部分高为1.5米，故拱顶离水面6米． 在抛物线方程x2＝－8y中，令y＝－6， 所以水面宽度至少应为13.9米． 规律方法 解决抛物线实际应用问题的五个步骤 注意：抛物线建系时，常以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为一条坐标轴建立坐标系． 对点练4．永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁 式抛物线形石拱桥．当石拱桥拱顶离水面 1.6 m时，水面宽6.4 m，当水面下降0.9 m时，水面的宽度为___m；该石拱桥对应的抛物线的焦点到准线的距离为____m. 8 3.2 如图，以拱顶为原点O，建立直角坐标系． 设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意可知抛物 线过点(3.2，－1.6)，得3.22＝－2p·(－1.6)，得2p ＝6.4，所以抛物线方程为x2＝－6.4y，所以该抛物线的焦点到准线的距离为p＝3.2 m，当水面下降0.9 m时，y＝－1.6－0.9＝－2.5，则x2＝－6.4×(－2.5)，得x＝±4，所以水面的宽度为8 m. 返回 课堂小结 知识 1．抛物线的几何性质. 2．抛物线的几何性质的应用. 3．抛物线的实际应用 方法 待定系数法、转化化归 易错误区 求抛物线方程时焦点的位置易判断失误 随堂演练 返回 1．对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是 A．开口向上，焦点为(0，1) B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为(1，0) D．开口向右，焦点为 √ 2．(多选题)以y轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为 A．y2＝8x B．y2＝－8x C．x2＝8y D．x2＝－8y 设抛物线方程为x2＝2py或x2＝－2py(p>0)，由题意得2p＝8.所以抛物线方程为x2＝8y，或x2＝－8y.故选CD. √ √ 3．若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为 √ 4．苏州市“东方之门”是由南北两栋建筑组成的双塔连体建筑(门顶厚度忽略不计)，“门”的造型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线型，如图所示，现测得门的内侧地面上两塔之间的距离约为80米，与门顶竖直距离8米处两塔内侧之间的距离约为16米，则“东方之门”的高度约为 A．150米 B．200米 C．250米 D．300米 √ 返回 以门顶所在的点为坐标原点，以抛物线的对称轴为 y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方 程为x2＝－2py(p>0)，由题意可知点(8，－8)在抛物 线上，所以82＝－2p×(－8)，解得p＝4，所以抛物 线的方程为x2＝－8y，将x＝40代入抛物线的方程可得y＝ ＝－200.故“东方之门”的高度约为200米．故选B． 课时测评 返回 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2．以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x2＋y2－2x＋6y＋9＝0的圆心的抛物线的方程是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 圆的方程可化为(x－1)2＋(y＋3)2＝1，圆心为(1，－3)，由题意可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)．把(1，－3)代入得9＝2p， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3．若双曲线 ＝1(p>0)的左焦点在抛物线y2＝2px(p>0)的准线上，则p的值为 A．2 B．3 C．4 D．4 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4．若抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为2 ，则点P到抛物线的焦点F的距离为 A．4 B．5 C．6 D．7 由题意知，抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，因为抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为2 ， 则P(3，±2 )，所以点P到抛物线的准线的距离为3＋1＝4，所以点P到抛物线的焦点F的距离为4.故选A． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5．图①为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面 的交线为抛物线的一部分，以顶点为坐标原点， 建立如图②所示的平面直角坐标系，已知该卫星 接收天线的口径|AB|＝6，深度|MO|＝2，信号处 理中心F位于焦点处，若P是该拋物线上一点，抛 物线开口内有一点Q ，则|PF|＋|PQ|的最小值为 A．4 B．3 C．2 D．1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6．为响应国家“节能减排，开发清洁能源”的号召， 小华制作了一个太阳灶，如图所示．集光板由抛物面 (抛物线绕对称轴旋转得到)形的反光镜构成，已知镜 口圆的直径为2 m，镜深0.25 m，为达到最佳吸收太 阳光的效果(容器灶圈在抛物面对应轴截面的抛物线 的焦点处)，容器灶圈应距离集光板顶点 A．0.5 m B．1 m C．1.5 m D．2 m √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 若使吸收太阳光的效果最佳，容器灶圈应在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处，如图所示，画出抛物面的轴截面，并建 立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝2py(p>0)， 集光板端点A(1，0.25)，代入抛物线方程可得2× 0.25p＝1，p＝2，所以抛物线方程为x2＝4y，故焦点坐标是F(0，1)．所以容器灶圈应距离集光板顶点1 m．故选B． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7．已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，记抛物线C的焦点为F，则直线AF的斜率为____． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M是FN的中点，则|FN|＝__． 如图所示，过点M作MM′⊥y轴，垂足为M′，|OF|＝2，因 为M为FN的中点，所以|MM′|＝1，所以M到准线的距离d＝ |MM′|＋ ＝3，所以|MF|＝3，所以|FN|＝6. 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(2021·北京卷)已知抛物线C：y2＝4x，焦点为F，点M在C上，且|FM|＝6，则M的横坐标是___；作MN⊥x轴于N，则S△FMN＝____． 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10．(12分)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，焦点为F，准线为l，抛物线C上一点A的横坐标为3，且点A到准线l的距离为5. (1)求抛物线C的方程； 解：抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－ ，因为抛物线C上一点A的横坐标为3，且点A到准线l的距离为5， 所以p＝4，所以抛物线C的方程是y2＝8x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若P为抛物线C上的动点，求线段FP的中点M的轨迹方程． 解：由(1)可知F(2，0)，设P(x0，y0)，M(x，y)， 所以(2y)2＝8(2x－2)，即y2＝4(x－1)， 所以点M的轨迹方程是y2＝4(x－1)． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．(多选题)设抛物线C：y2＝3x的焦点为F，点A为C上一点，若|FA|＝3，则直线FA的倾斜角可能是 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线 ＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝___． 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．(13分)点M(m，4)(m>0)为抛物线x2＝2py(p>0)上一点，F为其焦点，已知|FM|＝5. (1)求m与p的值； 所以抛物线的方程为x2＝4y， 又由M(m，4)在抛物线上，所以m＝4.故p＝2，m＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)以M点为切点作抛物线的切线，交y轴于点N，求△FMN的面积． 解：设过M点的切线方程为y－4＝k(x－4)， 代入抛物线方程消去y得，x2－4kx＋16k－16＝0， 其判别式Δ＝16k2－64(k－1)＝0，所以k＝2，切线方程为y＝2x－4， 切线与y轴的交点为N(0，－4)，抛物线的焦点F(0，1)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14．(5分)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面积为4 ，则抛物线方程为 A．y2＝6x B．y2＝8x C．y2＝16x D．y2＝ x √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．(15分)已知抛物线y2＝8x. (1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围； 解：抛物线y2＝8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0，0)，(2，0)，x＝－2，x轴，x≥0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长． 解：如图所示，由|OA|＝|OB|可知AB⊥x轴，垂足为点M， 又焦点F是△OAB的重心， 所以M(3，0)． 故设A(3，m)，代入y2＝8x得m2＝24， 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 二 章 　 圆 锥 曲 线 返回 图形 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称性 ___轴 ___轴 ___轴 ___轴 焦点 F F F F 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 顶点 O(0，0) 离心率 e＝___ 解得y1＝2p.所以|AB|＝2y1＝4p， 即这个三角形的边长为4p. 所以y1＝x1，与y＝2px1联立， － 设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，因为|AB|＝6，|MO|＝2， 所以点A(2，3)在抛物线上，所以9＝4p，故p＝，所以 抛物线的方程为y2＝x.则焦点F的坐标为，准线方 程为x＝－，如图，过点P作PP′垂直于准线，垂足为P′， 过点Q作QQ′垂直于准线，垂足为Q′，则|PF|＝|PP′|，所以|PF|＋|PQ|＝|PP′|＋|PQ|≥|QQ′|＝＋＝3，当且仅当直线PQ与准线垂直时等号成立，所以|PF|＋|PQ|的最小值为3.故选B． － 4 如图所示，作AH⊥l于H，则|AH|＝|FA|＝3，作FE⊥AH于E， 则|AE|＝3－＝，在Rt△AEF中，cos∠EAF＝＝，所以 ∠EAF＝，即直线FA的倾斜角为，同理点A在x轴下方时， 直线FA的倾斜角为.故选AC. － $$