2.2.1 双曲线及其标准方程-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

2.1　双曲线及其标准方程 　 第二章　§2　双曲线 知识层面 1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程． 2．掌握双曲线的标准方程及其求法． 3．会利用双曲线的定义和标准方程解决较简单的问题． 4．了解双曲线的简单应用. 素养层面 通过双曲线概念的学习，培养数学抽象素养；通过双曲线的标准方程的建立，提升逻辑推理、直观想象及数学运算素养. 知识点一　双曲线的定义 1 知识点二　双曲线的标准方程 2 课时测评 5 综合应用 3 内容索引 随堂演练 4 知识点一　双曲线的定义 返回 问题1　椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？ 提示：平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集 合(或轨迹)，根据焦点位置的不同，其标准方程为 ＝1(a＞b＞0)． 问题导思 问题2　把椭圆定义中的“距离之和”改为“距离之差”，那么点的轨迹会怎么样？ 提示：准备实验(可以找三名同学在教师指导下操作)，适当 选取两定点F1，F2，将拉链拉开一段，其中一边的端点固定 在F1处，在另一边上截取一段(小于|F1F2|)，作为动点M到两 定点F1和F2距离之差，而后把它固定在F2处，这时将铅笔(粉笔)置于M处，于是随着拉链逐渐打开，铅笔就画出一条曲线，同理可画出另一支．(如图)显然所画的曲线不是椭圆，而是两条相同的曲线，只是位置不同，其原因都是应用了“到两定点的距离之差|MF1|－|MF2|，或|MF2|－|MF1|是同一个常数”这个条件． 问题3　在上述过程中，我们在其中的一段拉链上截取一段小于|F1F2|，如果截取的长度等于|F1F2|，其轨迹还是上述图形吗？ 提示：不是，是以F1，F2为端点的两条射线． 新知构建 定义 平面内到两个定点F1，F2的__________________等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作双曲线 焦点 两个______叫作双曲线的焦点 焦距 两焦点间的______叫作双曲线的焦距 集合 语言 P＝{M|__________________，0＜2a＜|F1F2|} 距离之差的绝对值 定点 距离 ||MF1|－|MF2||＝2a (1)常数要小于两个定点的距离．(2)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支．(3)当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点)．(4)当2a＞|F1F2|时，动点的轨迹不存在．(5)当2a＝0时，动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线． 微提醒 在平面直角坐标系中，F1(－2，0)，F2(2，0)，||PF1|－|PF2||＝a(a∈R)，若点P的轨迹为双曲线，则a的取值范围是 A．(0，4) B．(0，4] C．(4，＋∞) D．(0，4)∪(4，＋∞) 例1 √ 由题意知||PF1|－|PF2||＝a，又点P的轨迹为双曲线，则根据双曲线的定义，可得||PF1|－|PF2||＜|F1F2|＝4，所以0＜a＜4.故选A. 规律方法 判断点的轨迹是否为双曲线时，要根据双曲线的定义成立的充要条件． 当a＝3时，2a＝6，此时|AB|＝10，所以点P的轨迹为双曲线的一支(靠近点B)．当a＝5时，2a＝10，此时|AB|＝10，所以点P的轨迹为射线，且是以B为端点的一条射线．故选D. 对点练1．已知A(0，－5)，B(0，5)，|PA|－|PB|＝2a，当a＝3或5时，P点的轨迹为 A．双曲线或一条直线 B．双曲线或两条直线 C．双曲线的一支或一条直线 D．双曲线的一支或一条射线 √ 返回 知识点二　双曲线的标准方程 返回 问题4　仿照求椭圆标准方程的方法．如何建立适当的坐标 系，求出双曲线的标准方程？ 提示：观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线F1F2是它的一条对称轴，所以以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系， 此时双曲线的焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，焦距为2c，c＞0. 设P(x，y)是双曲线上任意一点，则 ||PF1|－|PF2||＝2a(a为大于0的常数)， 问题导思 类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)， 两边同除以a2(c2－a2)，得 ＝1. 由双曲线的定义知，2c＞2a，即c＞a，所以c2－a2＞0，类比椭圆标准方程的建立过程，令b2＝c2－a2，其中b＞0，代入上式，得 ＝1(a＞0，b＞0)． 问题5　设双曲线的焦点为 F1和F2，焦距为2c，而且双曲线上的动点P满足||PF1|－|PF2||＝2a，其中c＞a＞0，以F1，F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时，双曲线的标准方程是什么？ 双曲线的标准方程 新知构建 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＝1(a＞0，b＞0) ＝1(a＞0，b＞0) 焦点 ________________________ ________________________ a，b，c的关系 b2＝________ F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) c2－a2 (1)若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上．(2)a与b没有大小关系；a，b，c的关系满足c2＝a2＋b2. 微提醒 (链教材P63练习1)求适合下列条件的双曲线的标准方程： 例2 解：当焦点在x轴上时，设所求标准方程为 ＝1(b＞0)，把点A的坐标代入，得b2＝－ ＜0，不符合题意； 当焦点在y轴上时，设所求标准方程为 ＝1(b＞0)，把点A的坐标代入，得b2＝9. 所以所求双曲线的标准方程为 ＝1. 所以设所求双曲线的标准方程为 ＝1(a＞0，b＞0)，所以c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20.① 由①②得a2＝12，b2＝8， 解：设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB＜0. 因为点P，Q在双曲线上， 规律方法 用待定系数法求双曲线方程的步骤 第一步(定型)：确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴； 第二步(设方程)：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB＜0)； 第三步(计算)：利用题中条件列出方程组，求出相关值； 第四步(结论)：写出双曲线的标准方程． 对点练2．已知双曲线两个焦点分别为F1(0，－2)，F2(0，2)，并且双曲线经过点P(3，－2)，求该双曲线的标准方程． 解：由于双曲线的焦点在y轴上，故可设它的标准方程为 ＝1(a＞0，b＞0)． 已知焦点F1，F2及双曲线上一点P，由双曲线的定义可知2a＝|PF2|－|PF1|＝ －3＝5－3＝2，因此a＝1. 又因为c＝2，所以b2＝c2－a2＝4－1＝3. 因此所求双曲线的标准方程为y2－ ＝1. 返回 综合应用 返回 应用一　双曲线的定义的应用 若F1，F2是双曲线 ＝1的两个焦点． (1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于7，求点M到另一个焦点的距离； 例3 解：由双曲线方程知a2＝9，b2＝16，则c2＝25， 所以a＝3，b＝4，c＝5. 设|MF1|＝7，则根据双曲线的定义知 ||MF2|－7|＝6，即|MF2|－7＝±6. 解得|MF2|＝13，或|MF2|＝1， 又|MF2|＝1＜c－a，则|MF2|＝1不合题意， 因此，点M到另一个焦点的距离为13. (2)若点P是双曲线上的一点，且∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积． 解：由定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6， |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°， 所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|， 所以|PF1|·|PF2|＝64， 变式探究 1．(变条件)若将本例(2)中的“∠F1PF2＝60°”改为“|PF1|·|PF2|＝32”，求△F1PF2的面积． 解：将||PF2|－|PF1||＝2a＝6，两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36， 所以|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100. 在△F1PF2中，由余弦定理的推论得cos ∠F1PF2 所以∠F1PF2＝90°. 2．(变条件)若将本例(2)中的“∠F1PF2＝60°”改为“|PF1|∶|PF2|＝2∶5”，求△F1PF2的面积． 解：由|PF1|∶|PF2|＝2∶5， ||PF2|－|PF1||＝6， 可知|PF2|＝10，|PF1|＝4，又|F1F2|＝10， 规律方法 1．已知双曲线上一点的坐标，可以求得该点到某一焦点的距离，进而根据定义求该点到另一焦点的距离． 2．双曲线中与焦点三角形有关的问题可以根据定义结合余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用． 对点练3．已知双曲线的方程为x2－ ＝1，如图所示，点A的坐标为(－ ，0)，B是圆x2＋(y－ )2＝1上的点，点C为其圆心，点M在双曲线的右支上，求|MA|＋|MB|的最小值． 解：设点D的坐标为( ，0)，则点A，D是双曲线的焦点，如图所示，连接MD，BD.由双曲线的定义，得|MA|－|MD|＝2a＝2. 所以|MA|＋|MB|＝|MA|－|MD|＋|MB|＋|MD|＝2＋|MB|＋|MD|≥2＋|BD|. 又点B是圆x2＋(y－ )2＝1上的点，圆的圆心为C(0， )，半径长为1， 故|BD|≥|CD|－1＝ －1， 从而|MA|＋|MB|≥2＋|BD|≥ ＋1， 当且仅当点M，B在线段CD上时取等号． 故|MA|＋|MB|的最小值为 ＋1. 应用二　双曲线的实际应用 (链教材P63例2)某区域有三个救援中心(记A，B，C)，A在B的正东方向，相距6千米，C在B的北偏西30°方向，相距4千米，某一时刻，A接收到P的求救信号，由于B，C两地比A距P远，在此4秒后，B，C两个救援中心才同时接收到这一信号．已知该信号的传播速度为1千米/秒，求在A处发现P的方位角． 解：如图所示，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线 为y轴建立平面直角坐标系， 例4 因为|PB|＝|PC|， 所以点P在线段BC的垂直平分线上， 所以直线PD的方程为 又|PB|－|PA|＝4＜6＝|AB|， 因此在A处发现P的方位角为北偏东30°. 规律方法 用双曲线解决实际问题的基本步骤 第一步(建系)：建立适当的坐标系； 第二步(求方程)：求出双曲线的标准方程； 第三步(还原)：根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义)． 对点练4．如图所示，某绿色蔬菜种植基地在A处，现要把 此处生产的蔬菜沿道路AA1或AA2运送到农贸市场A1A2A3A4 中去，已知|AA1|＝10 km，|AA2|＝15 km，∠A1AA2＝60°， 能否在农贸市场中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿 道路AA1运送蔬菜较近，而另一侧的点沿道路AA2运送蔬菜较近？如果能，说出这条界线是一条什么曲线，并求出该曲线的方程． 解：以A1A2所在直线为x轴，以A1A2的中垂线为y轴建立平面直角坐标系xOy，如图所示：在△AA1A2中，由余弦定理可得|A1A2|2＝|AA1|2＋|AA2|2－2|AA1||AA2|cos 60°＝175， 所以|MA1|－|MA2|＝|AA2|－|AA1|＝15－10＝5＜5 ＝| A1A2|.由双曲线定义可知，点M所在的界线是以A1，A2为焦点，实轴长为2a＝5的双曲线靠近A2的一支，并且在农贸市场A1A2A3A4内的部分． 返回 课堂小结 知识 1．双曲线的定义. 2．双曲线的标准方程． 3．双曲线的应用 方法 待定系数法、分类讨论法、定义法 易错 误区 忽略双曲线成立的必要条件及双曲线焦点位置的判断 随堂演练 返回 1．在双曲线的标准方程中，若a＝6，b＝8，则标准方程是 √ 应分焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况进行讨论，显然D选项符合要求．故选D. 2．(多选题)已知方程 ＝1表示曲线C，则下列判断正确的是 A．当1＜t＜4时，曲线C表示椭圆 B．当t＞4，或t＜1时，曲线C表示双曲线 C．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜t＜ D．若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则t＞4 √ √ √ 3．双曲线 ＝1上的点P到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为 A．1或21 B．14或36 C．2 D．21 √ 设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，不妨设|PF1|＝11，根据双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2a＝10，所以|PF2|＝1或|PF2|＝21，而1＜c－a＝7－5＝2，所以|PF2|＝1舍去，所以点P到另一个焦点的距离为21.故选D. 4．以椭圆 ＝1的焦点为焦点，且过点 的双曲线的方程 为 ． 返回 课时测评 返回 1．已知F1，F2为平面内两个定点，P为动点，若|PF1|－|PF2|＝a(a为大于零的常数)，则动点P的轨迹为 A．双曲线 B．射线 C．线段 D．双曲线的一支或射线 √ 两个定点的距离为|F1F2|，当a＜|F1F2|，即|PF1|－|PF2|＜|F1F2|时，点P的轨迹为双曲线的一支；当a＝|F1F2|，即|PF1|－|PF2|＝|F1F2|时，点P的轨迹为射线；不存在|PF1|－|PF2|＞|F1F2|的情况．综上所述，动点P的轨迹为双曲线的一支或射线．故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2．已知双曲线 ＝1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于 A． B．5 C．7 D． √ 根据题意可知，双曲线的标准方程为 ＝1.由其焦距为4，得c＝2，则有c2＝2－a＋3－a＝4，解得a＝ .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3．已知A，B两地相距800 m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2 s，且声速为340 m/s，则炮弹爆炸点的轨迹是 A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．抛物线 √ 设炮弹爆炸点为点P，由题意可得|PA|－|PB|＝340×2＝680＜800＝|AB|，所以炮弹爆炸点的轨迹是双曲线的一支．故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4．(多选题)双曲线 ＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为 A．17 B．7 C．22 D．2 √ √ 设双曲线 ＝1的左、右焦点分别为F1，F2，则a＝5，b＝3，c＝ ，设P为双曲线上一点，不妨令|PF1|＝12(12＞a＋c＝5＋ )，所以点P可能在左支，也可能在右支，由||PF1|－|PF2||＝2a＝10，得|12－|PF2||＝10，所以|PF2|为22或2.所以点P到另一个焦点的距离是22或2.故选CD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5．已知双曲线 ＝1(a＞0，b＞0)，F1，F2为其两个焦点，若过焦点F1的直线与双曲线的同一支相交，且所得弦长|AB|＝m，则△ABF2的周长为 A．4a B．4a－m C．4a＋2m D．4a－2m √ 不妨设|AF2|＞|AF1|，由双曲线的定义，知|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，所以|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|BF1|)＋4a＝m＋4a，于是△ABF2的周长l＝|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＋2m.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6．已知双曲线 ＝1上一点P到左焦点F1的距离为10，则PF1的中点N到坐标原点O的距离为 A．3或7 B．6或14 C．3 D．7 √ 设F2是双曲线的右焦点，连接ON(图略)，ON是△PF1F2的中位线，所以|ON|＝ |PF2|，因为||PF1|－|PF2||＝4，|PF1|＝10，所以|PF2|＝6或14，所以|ON|＝ |PF2|＝3或7.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7．已知点A(0，2)，B(0，－2)，C(3，2)，若动点M(x，y)满足|MA|＋|AC| ＝|MB|＋|BC|，则点M的轨迹方程为 ． 因为|MA|＋|AC|＝|MB|＋|BC|，即|MA|＋3＝|MB|＋ ，所以|MA|－|MB|＝2.故M(x，y)的轨迹是以A(0，2)，B(0，－2)为焦点，2a＝2的双曲线的下支．此时a＝1，c＝2，b2＝c2－a2＝3.故点M的轨迹方程为y2－ ＝1(y≤－1)． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．焦点在x轴上的双曲线经过点P(4 ，－3)，且Q(0，5)与两焦点的连线 互相垂直，则此双曲线的标准方程为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．设P是双曲线x2－ ＝1的右支上的动点，F为双曲线的右焦点，已知A(3，1)，B(3，6)，则|PA|＋|PF|的最小值为 ；|PB|＋|PF|的最小值为 ． 设双曲线的另一焦点为F′，则有F′(－2，0)，F(2，0)，连接AF′(图略)，易知点A在双曲线内，点B在双曲线外，则|PA|＋|PF|＝|PA|＋(|PF′|－2)≥|AF′|－2＝ －2；|PB|＋|PF|≥|BF|＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．(12分)已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同范围的k值，分别指出方程所表示的曲线类型． 解：①当k＝0时，y＝±2，表示两条与x轴平行的直线； ②当k＝1时，方程为x2＋y2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．(新情境)如图为陕西历史博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C： ＝1(a＞0，b＞0)的右支与y轴及平行于x轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体．若该金杯主体部分的上口外直径为 ，下底座外直径为 ，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为 A．2 π B．3π C．2 π D．4π √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12．(多选题)已知点P在双曲线C： ＝1上，F1，F2是双曲线C的左、右焦点，若△PF1F2的面积为20，则下列说法正确的有 A．点P到x轴的距离为 B．|PF1|＋|PF2|＝ C．△PF1F2为钝角三角形 D．∠F1PF2＝ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．(13分)在一次军事演习中，某时刻三艘舰艇呈“品” 字形列阵(此时舰艇可视作静止的点)，如图中的点A，B， C，且OA＝OB＝OC＝3.假设敌舰艇在某处发出信号，A 点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早 秒(注：信号传播速度为v0)，C处舰艇保持静默． (1)建立适当的坐标系，并求敌舰艇所有可能出现的位置的轨迹方程； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解：以O为原点，以OB所在直线为x轴，OC所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系． 设敌舰艇的位置为P(x，y)，由题意可知|PB|－|PA|＝v0× ＝4. 由双曲线的定义可知，敌舰艇的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的左支，且2a＝4，c＝3， 所以b＝ . 所以敌舰艇的轨迹方程为 ＝1(x≤－2)． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)在A，B两处的舰艇对敌舰艇攻击后，C处舰艇派出无人机到敌舰艇处观察攻击效果，则无人机飞行的距离最小是多少？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14．(5分)已知P为双曲线 ＝1右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，M为△PF1F2的内心．若S△PMF1＝S△PMF2＋8，则△MF1F2的面积为 A．2 B．10 C．8 D．6 √ 设△PF1F2的内切圆的半径为R，由双曲线的标准方程可知a＝4，b＝3，c＝5.因为S△PMF1＝S△PMF2＋8，所以 (|PF1|－|PF2|)R＝8，即aR＝8，所以R＝2，所以S△MF1F2＝ ·2c·R＝10.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以1＜tan θ＜4， 即tan θ的取值范围为(1，4)． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 二 章 圆 锥 曲 线 返回 ＋＝1，或＋ 因为|PF1|＝，|PF2|＝， 所以－＝±2a，① － － 提示：－＝1(a＞0，b＞0)． － － － (1)a＝4，经过点A； － × － 所以所求双曲线的标准方程为－＝1. (2)与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)； 解：双曲线－＝1的焦点在x轴上， － 因为双曲线经过点(3，2)，所以－＝1.② (3)过点P，Q且焦点在坐标轴上． 所以解得 所以所求双曲线的标准方程为－＝1. － － 所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2 ＝×64×＝16. ＝ ＝＝0， 所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝×32＝16. 所以S△F1PF2＝×4× ＝8. 则A(3，0)，B(－3，0)，C(－5，2)． 所以点P的轨迹方程为－＝1(x≥2)，② 又易知kBC＝－， 线段BC的中点D(－4，)， y－＝(x＋4)，① 所以点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则a＝2，c＝3， 联立①②，得P点坐标为(8，5)， 所以kPA＝＝， 可得|A1A2|＝5.设M是边界上任一点，则满足|MA1|＋|AA1|＝|AA2|＋|MA2|， 由a＝，c＝可得b2＝c2－a2＝－＝， 所以双曲线方程为－＝1(x>0)，即－＝1(x>0). A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1，或－＝1 ＋ 由4－t＝t－1，得t＝，此时方程＋＝1表示圆，故A错误；由双曲线的定义可知，当(4－t)(t－1)＜0时，即t＜1，或t＞4时，方程＋＝1表示双曲线，故B正确；由椭圆的定义可知，当椭圆焦点在x轴上时，满足4－t＞t－1＞0，解得1＜t＜，故C正确；当曲线C表示焦点在y轴上的双曲线时，满足解得t＞4，故D正确．故选BCD. － ＋ －＝1 由椭圆的标准方程可知，椭圆的焦点在x轴上．设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．根据题意得解得或(舍去)，所以双曲线的方程为－＝1. ＋ － － － － － y2－＝1(y≤－1) －＝1 设焦点为F1(－c，0)，F2(c，0)(c＞0)，则由QF1⊥QF2，得kQF1·kQF2＝－1，所以·＝－1，所以c＝5.设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，因为双曲线过点P(4，－3)，所以－＝1，又因为c2＝a2＋b2＝25，所以a2＝16，b2＝9.所以双曲线的标准方程为－＝1. －2 ③当k＜0时，方程为－＝1，表示焦点在y轴上的双曲线； ④当0＜k＜1时，方程为＋＝1，表示焦点在x轴上的椭圆； ⑤当k＞1时，方程为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆． － 该金杯主体部分的上口外直径为，下底座外直径为，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，可设M，N，代入双曲线方程可得－＝1，－＝1，即－＝，－＝1，作差可得＝，解得a2＝3，a＝，所以杯身最细处的周长为2π.故选C. － 因为双曲线C：－＝1，所以c＝＝5.又因为S△PF1F2＝·2c|yP|＝×10×|yP|＝20，所以|yP|＝4，故A错误；将|yP|＝4代入C：－＝1得－＝1，即|xP|＝.由对称性，不妨取P的坐标为，可知|PF2|＝＝.由双曲线定义可知|PF1|＝|PF2|＋2a＝＋8＝，所以|PF1|＋|PF2|＝＋＝，故B正确；由对称性，对于点P， 在△PF1F2中，|PF1|＝＞2c＝10＞|PF2|＝.且cos∠PF2F1＝＝－＜0，则∠PF2F1为钝角，所以△PF1F2为钝角三角形，故C正确；由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝≠，所以∠F1PF2≠，故D错误．故选BC. － 所以当y0＝时，|MC|min＝2. 即无人机飞行的距离最小是2. 解：设方程－＝1(x≤－2)上一点M(x0，y0)， 由题意知－＝1(x0≤－2)，即x＝4＋y.又C(0，3)， 所以|MC|＝＝ ＝＝(y0∈R)， － 15．(15分)已知△OFQ的面积为2，且·＝m，其中O为坐标原点． (1)设＜m＜4，求与的夹角θ的正切值的取值范围； 解：因为 所以tan θ＝. 又＜m＜4， 又·＝m， (2)设以O为中心，F为其中一个焦点的双曲线经过点Q，如图所示，||＝c，m＝c2，当||取得最小值时，求此双曲线的标准方程． 解：设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，Q(x1，y1)，则＝(x1－c，y1)， 所以S△OFQ＝||·|y1|＝2， 则y1＝±. 这时Q的坐标为(，)或(，－)． 因此所以 于是所求双曲线的标准方程为－＝1. 即(c，0)·(x1－c，y1)＝c2， 解得x1＝c， 所以||＝＝≥ ＝2， 当且仅当c＝4时，取等号，||最小， $$