1.5 两条直线的交点坐标-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

1.5　两条直线的交点坐标 　 第一章　§1　直线与直线的方程 知识层面 1．会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标． 2．会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系. 素养层面 通过求两条相交直线的交点坐标，提升数学运算素养；通过对方程组的解和两直线交点坐标的对应关系的学习，培养逻辑推理和直观想象素养. 知识点一　求相交直线的交点坐标 1 知识点二　求过两条直线交点的直线方程 2 课时测评 5 综合应用 3 内容索引 随堂演练 4 知识点一　求相交直线的交点坐标 返回 问题1　已知两条直线l1：x＋y－5＝0，l2：x－y－3＝0，画出两条直线的图象，分析交点坐标M与直线l1，l2的方程有什么关系． 提示：直线l1，l2的图象如图所示．点M既在 直线l1上，也在直线l2上．满足直线l1的方程 x＋y－5＝0，也满足直线l2的方程x－y－3＝0. 即交点坐标是方程组 的解． 问题导思 一般地，对于两条不重合的直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0， 我们可以用直线的__________________或________先定性判断两条直线是 否相交，若相交，可通过求解方程组 得到两条直线l1， l2的__________． 新知构建 斜率(斜率存在时) 法向量 交点坐标 (链教材P21练习2)判断下列各组直线的位置关系，若相交，求出交点坐标： (1)l1：x－y＝0，l2：3x＋3y－10＝0； 例1 (2)l1：3x－y＋4＝0，l2：6x－2y－1＝0； ①×2－②得9＝0，矛盾，方程组无解，所以两直线无公共点，又9≠0，所以l1∥l2. (3)l1：3x＋4y－5＝0，l2：6x＋8y－10＝0. ①×2得6x＋8y－10＝0， 因此，①和②可以化成同一个方程，有无数组解，故①和②表示同一条直线，所以l1与l2重合． 规律方法 1．方程组解的个数与两直线的位置关系：一般地，若方程组有一解，则两直线相交；若方程组无解，则两直线平行；若方程组有无数多组解，则两直线重合．这体现了“以形助数，以数释形”的数形结合思想． 2．求两条直线的交点坐标，只需将两条直线的方程联立，解方程组即可，体现了用代数方法研究几何问题的思想． 对点练1．(1)已知两条直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在y＝－x上，那么k的值是 A．－4 B．3 C．3或－4 D．±4 √ (2)已知直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则a的取值范围是 ． 返回 知识点二　求过两条直线交点的直线方程 返回 问题2　观察下面的图象，发现直线都经过点M(4，1)，怎么表示出经过M点的直线方程？ 提示：当斜率存在时，y－1＝k(x－4)(k∈R)；当斜率不存在时，x＝4. 问题导思 过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为_________________________________ (不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)． 新知构建 A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0 求经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x－y－1＝0平行的直线l的方程． 例2 因为直线l和直线3x－y－1＝0平行， 所以直线l的斜率k＝3， 即所求直线方程为15x－5y＋2＝0. 法二：因为直线l过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点， 所以可设直线l的方程为2x－3y－3＋λ(x＋y＋2)＝0，即(λ＋2)x＋(λ－3)y＋2λ－3＝0. 因为直线l与直线3x－y－1＝0平行， 从而所求直线方程为15x－5y＋2＝0. 变式探究 (变设问)将本例改为“求过2x＋y＋8＝0和x＋y＋3＝0的交点，且与直线2x＋3y－10＝0垂直的直线方程．” 即交点P(－5，2)． 即3x－2y＋19＝0. 法二：设所求直线方程是3x－2y＋m＝0. 得交点P(－5，2)，把点P(－5，2)坐标代入3x－2y＋m＝0，求得m＝19. 故所求直线方程为3x－2y＋19＝0. 规律方法 1．与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C′＝0(C′≠C)． 2．与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C′＝0. 3．过两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为λ1(A1x＋B1y＋C1)＋λ2(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ1，λ2为参数)． 当λ1＝1，λ2＝0时，方程即为直线l1； 当λ1＝0，λ2＝1时，方程即为直线l2. 对点练2．求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程． 即l1与l2的交点坐标为(－2，2)． 因为直线过坐标原点， 故直线方程为y＝－x，即x＋y＝0. 返回 综合应用 返回 应用一　直线过定点问题 求证：无论k取何值时，直线l：(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0必过定点，并求出该定点坐标． 例3 证明：法一：令k＝1，得到直线l1：x＝1， 令k＝0，得到直线l2：x＋y＝0， 得l1与l2交点M(1，－1)， 把M(1，－1)的坐标代入方程(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0恒成立， 所以无论k取何值时，直线(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0必过定点，且定点为M(1，－1)． 法二：由已知直线l的方程得(k＋1)x＝(k－1)y＋2k，整理可得y＋1＝ (x－1)(k≠1)， 因此当k≠1时，直线l必过定点M(1，－1)； 当k＝1时，原直线l的方程为x＝1，也过点M(1，－1)． 综上所述，不论k取任何实数值时，直线l必过定点M(1，－1)． 法三：方程(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0可化为k(x－y－2)＋(x＋y)＝0， 所以无论k取任何实数值时， 直线l必过定点M(1，－1)． 规律方法 处理动直线过定点问题的常用方法 1．将直线方程化为点斜式． 2．从特殊入手，先求其中两条直线的交点，再验证动直线恒过交点． 3．从“恒成立”入手，将动直线方程看作对参数恒成立，即将原方程化为f(x，y)＋mg(x，y)＝0的形式，欲使此式成立与m的取值无 关，则 由此方程组求得定点坐标． 对点练3．求证：无论m取何实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都恒过一个定点． 证明：把原方程写成(x＋2y－1)m－(x＋y－5)＝0， 此方程对任意实数m都成立， 所以m为任何实数时，此直线恒过定点P(9，－4)． 应用二　与交点有关的证明问题 (链教材P20例20)已知A(1，4)，B(－2，－1)，C(4，1)是△ABC的三个顶点，求证：△ABC的三条高所在的直线交于一点． 例3 则AB，BC边上的高所在直线的方程分别为 则AB，BC边上的高所在直线的交点坐标为 ， 又AC边上的高所在的直线方程为y＝x＋1， 因为点 满足方程y＝x＋1， 故△ABC的三条高所在的直线交于一点． 规律方法 证明平面几何中的三条直线交于一点的基本思路 先求其中两条直线的交点坐标，然后证明这一点在第三条直线上． 对点练4．已知m为实数，设直线l1的方程为2x＋my＝1，直线l2的方程为mx＋8y＝m－2.当l1与l2相交时，用m表示交点A的坐标，并证明点A一定在某一条定直线上． 即x－2y－1＝0(y≠0)． 因此，点A一定在直线x－2y－1＝0(y≠0)上． 返回 课堂小结 知识 1．两条直线的交点. 2．直线系过定点问题 方法 消元法、直线系法 易错误区 对两直线相交条件认识模糊 随堂演练 返回 1．下列直线中与直线l：3x＋2y－5＝0相交的直线是 √ kl＝－ ，又选项C中所对应直线的斜率k＝－ ，所以kl≠k，从而两直线相交．故选C. 2．两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为 A．(3，2) B．(2，3) C．(－2，－3) D．(－3，－2) √ 解方程组 得故两条直线的交点坐标为(2，3)．故选B. 3．斜率为－2，且与直线2x－y＋4＝0的交点在y轴上的直线方程为 ． 2x＋y－4＝0 因为直线2x－y＋4＝0与y轴的交点为(0，4)．又直线的斜率为－2，所以所求直线方程为y－4＝－2(x－0)，即2x＋y－4＝0. 4．直线l经过直线l1：x－y＋3＝0和l2：x－2y＋5＝0的交点，并且经过点(1，－1)，则直线l的方程为 ． 3x＋2y－1＝0 返回 课时测评 返回 1．直线3x－2y＋m＝0和(m2＋1)x＋3y－3m＝0的位置关系是 A．平行 B．相交 C．重合 D．不确定 √ 因为 ，所以k1≠k2，所以两直线相交．故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2．直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点坐标为 A．(－4，－3) B．(4，3) C．(－4，3) D．(3，4) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3．(2024·山东淄博高二质量检测)经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线的一个方向向量v＝(3，2)的直线方程为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4．已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是 √ 直线y＝－x＋2与两坐标轴的交点为A(0，2)，B(2，0)．直线y＝kx＋2k＋1恒过定点P(－2，1)，要使两直线的交点位于第一象限，只需实数k满足：kPB＜k＜kPA，即 .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5．已知实数a，b满足a＋2b＝1，则直线ax＋3y＋b＝0过定点 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6．(多选题)已知点P(x0，y0)是直线l：Ax＋By＋C＝0外一点，则 A．Ax0＋By0＋C≠0 B．Ax0＋By0＋C＝0 C．方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0表示不过点P且与l垂直的直线 D．方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0表示不过点P且与l平行的直线 √ √ 因为点P(x0，y0)不在直线Ax＋By＋C＝0上，所以Ax0＋By0＋C≠0，所以直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0不经过点P；又直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0与直线l：Ax＋By＋C＝0平行，排除C.故选AD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7．三条直线ax＋2y＋8＝0，4x＋3y＝10和2x－y＝10相交于一点，则a的值为 ． －1 由得 将(4，－2)代入ax＋2y＋8＝0，得4a＋2×(－2)＋8＝0，所以a＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．已知直线y＝kx＋3k－2与直线y＝－ x＋1的交点在x轴上，则k的值为 ． 直线y＝－ x＋1交x轴于点(4，0)．因为两条直线的交点在x轴上，所以直线y＝kx＋3k－2过点(4，0)，所以0＝4k＋3k－2，所以k＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．当a取不同实数时，直线(2＋a)x＋(a－1)y＋3a＝0恒过一个定点，这个定点的坐标为 ． (－1，－2) 直线方程可写成a(x＋y＋3)＋2x－y＝0，则该直线系必过直线x＋y＋3＝0与直线2x－y＝0的交点，即(－1，－2)． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．(12分)已知△ABC的顶点A的坐标为(5，6)，两边AB，AC上的高所在直线的方程分别为4x＋5y－24＝0与x－6y＋5＝0，求直线BC的方程． 解：因为AB边上的高所在直线的方程为4x＋5y－24＝0， 所以可设直线AB的方程为5x－4y＋m＝0， 把点A(5，6)坐标代入得25－24＋m＝0， 所以m＝－1，即直线AB的方程为5x－4y－1＝0， 即x＋5y－6＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．已知直线2x＋y＋5＝0与直线kx＋2y＝0互相垂直，则它们的交点坐标为 A．(－1，－3) B．(－2，－1) C． D．(－1，－2) √ 因为2x＋y＋5＝0与kx＋2y＝0互相垂直，所以2k＋2＝0，所以k＝－1，所以 所以交点坐标为(－2，－1)．故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12．若集合{(x，y)|x＋y－2＝0，且x－2y＋4＝0}⊆{(x，y)|y＝3x＋b}，则b＝ ． 2 解方程组 得代入直线方程y＝3x＋b，得b＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．(13分)已知直线x－2y＋1＝0，x＋3y－1＝0，ax＋2y－3＝0. (1)若它们相交于一点，求a的值； 解：因为直线x－2y＋1＝0与x＋3y－1＝0相交于一点 ，若三条直 线相交于一点，则 ，所以a＝－11. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若它们共有两个不同的交点，求a的值． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14．(5分)(新情境)瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点A(－4，0)，B(0，4)，C(2，0)，则该三角形的欧拉线方程是 A．x＋y－2＝0 B．x－2y＋1＝0 C．x－y＋2＝0 D．2x－y＋2＝0 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为△ABC的顶点A(－4，0)，B(0，4)，C(2，0)，所以三角形的重心坐标为 ，AC的中垂线方程为x＝－1，kAB＝1，AB的中点坐标为(－2，2)，所以AB的中垂线方程为y－2＝－(x＋2)，即y＝－x，所以三角形的外心为直线x＝－1与y＝－x的交点(－1，1)，所以三角形的欧拉线方 程为y－1＝ ·(x＋1)，整理得x－y＋2＝0. 故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．(15分)如图所示，已知在△ABC中，A(－8，2)，AB边上的中线CE所在直线的方程为x＋2y－5＝0，AC边上的中线BD所在直线的方程为2x－5y＋8＝0，求直线BC的方程． 解：设B(x0，y0)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 同理可求得C点的坐标为(5，0)． 即4x－y－20＝0. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 一 章 　 直 线 与 圆 返回 得 k1＝，k2＝－＜0 －＜k＜ 得 解得 得 －a＋－3＝0 解：若要使三条直线共有两个不同交点，只需ax＋2y－3＝0与以上两条直线中的一条平行即可，当ax＋2y－3＝0与x－2y＋1＝0平行时，有－＝，解得a＝－1；当ax＋2y－3＝0与x＋3y－1＝0平行时，有－＝－，解得a＝.所以a的值为－1或. 则AB的中点E的坐标为， 由条件可得 得解得即B(6，4)． 故所求直线BC的方程为＝， $$