1.1.3 第1课时 直线方程的点斜式-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

第1课时　直线方程的点斜式 　 第一章　§1　1.3　直线的方程 知识层面 1．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的点斜式 与斜截式． 2．会利用直线方程的点斜式与斜截式解决有关的问题. 素养层面 通过对点斜式与斜截式方程等概念的学习，培养数学抽象与直观想象素养；借助求直线的点斜式与斜截式方程，培养数学运算素养. 知识点一　直线方程的点斜式 1 知识点二　直线方程的斜截式 2 课时测评 5 综合应用 3 内容索引 随堂演练 4 知识点一　直线方程的点斜式 返回 问题1　已知l1，l2是平面直角坐标系下的直线，判断满足以下条件的直线l1，l2是否唯一． (1)已知l1的斜率不存在； (2)已知l1的斜率不存在且l1过点A(1，2)； (3)已知l2的斜率为2； (4)已知l2的斜率为2且过点B(2，3)． 提示：显然，满足(1)的直线有无数条，满足(2)的直线是唯一的，即横坐标为1的点都在直线上，且直线上所有点的横坐标也都为1；同样，满足(3)的直线有无数条，满足(4)的直线是唯一的，我们只需找异于B点的任意一点P(x，y)，有 ＝2，即y－3＝2(x－2)，因此直线上的点都满足方程y－3＝2(x－2)，而满足方程y－3＝2(x－2)的点也都在直线上． 问题导思 问题2　过点P(x0，y0)且斜率为k的直线的方程如何表示？ 提示：y－y0＝k(x－x0)． 1．直线l的方程 一般地，如果一条直线l上的每一点的坐标都是一个方程的解，并且以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，那么这个方程称为_____________． 2．直线方程的点斜式 新知构建 名称 点斜式方程 已知条件 直线l经过点P(x0，y0)，且斜率为k 示意图 方程形式 _________________ 适用范围 斜率存在 直线l的方程 y－y0＝k(x－x0) 3．特殊的直线方程 直线l经过点P(x0，y0)， (1)当直线l的斜率为0，即k＝0时，直线l与x轴平行(或重合)，直线方程为_______，特别地，x轴的方程是 ______． (2)当直线l的斜率不存在，即直线l倾斜角为 时，直线l与y轴平行(或重合)，直线方程为_______，特别地，y轴的方程是 ______． (1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式．(2)过某点P，可设直线方程的点斜式，注意讨论斜率不存在的情况． 微提醒 y＝y0 y＝0 x＝x0 x＝0 (链教材P10例7)根据条件写出下列直线的方程，并画出直线： (1)经过点A(－1，4)，斜率k＝－3； 例1 解：y－4＝－3[x－(－1)]，即y＝－3x＋1.如图①所示． (2)经过坐标原点，倾斜角为 ； 解：k＝tan ＝1，所以y－0＝x－0，即y＝x.如图②所示． (3)经过点B(3，－5)，倾斜角为 ； 解：斜率k不存在，所以直线方程为x＝3.如图③所示． (4)经过点C(2，8)，D(－3，－2)． 解：k＝ ＝2，所以y－8＝2(x－2)，即y＝2x＋4.如图④所示． 规律方法 求直线方程的点斜式的步骤 对点练1．求满足下列条件的直线方程： (1)经过点(2，－3)，倾斜角是直线y＝ x的倾斜角的2倍； (2)经过点P(5，－2)，且与y轴平行； 解：与y轴平行的直线，其斜率k不存在，不能用点斜式方程表示．但直线上点的横坐标均为5， 故直线方程可记为x＝5. (3)过P(－2，3)，Q(5，－4)两点． 解：过P(－2，3)，Q(5，－4)两点的直线斜率 因为直线过点P(－2，3)， 所以由直线的点斜式方程可得直线方程为 y－3＝－(x＋2)，即x＋y－1＝0. 返回 知识点二　直线方程的斜截式 返回 问题3　直线l上给定一个点P0(0，b)和斜率k，求直线l的方程． 提示：y＝kx＋b. 问题导思 1．直线l在y轴上的截距 定义：直线l与y轴交点(0，b)的_________叫作直线l在y轴上的截距． 2．直线方程的斜截式 新知构建 名称 斜截式方程 已知条件 斜率k和直线在y轴上的截距b 示意图 方程形式 __________ 适用范围 斜率存在 纵坐标b y＝kx＋b (1)截距一定是距离吗？当直线过原点时，它的横截距和纵截距都是什么？ (2)直线方程的斜截式是一次函数的解析式吗？ 微思考 提示：(1)截距不一定是距离，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，截距是一个实数，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它的横截距和纵截距都为0. (2)直线方程的斜截式与一次函数的解析式都是y＝kx＋b的形式，但有区别：当k≠0时，y＝kx＋b为一次函数；当k＝0时，y＝b，不是一次函数．故一次函数y＝kx＋b(k≠0)一定可以看成一条直线方程的斜截式． 求满足下列条件的直线方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距为－1； 例2 解：由题意得k＝2，b＝－1. 由直线方程的斜截式得y＝2x－1. (2)倾斜角为直线y＝ x＋1的倾斜角的一半，在y轴上的截距为－2； (3)倾斜角为 ，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 因为直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3， 所以直线在y轴上的截距为b＝3，或b＝－3， 变式探究　(变条件)本例(2)中条件改为“所求直线的斜率与直线y＝ x＋1的斜率互为相反数，且在x轴上的截距为－2”，求该直线的方程． 因为在x轴上的截距为－2， 规律方法 直线方程的斜截式求解策略 1．直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存在，只要点斜式中的点在y轴上，就可以直接用斜截式表示． 2．直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定某直线，只需两个独立的条件． 3．利用直线的斜截式求方程时，如果已知斜率k，只需引入参数b；同理如果已知截距b，只需引入参数k. 对点练2．求满足下列条件的直线l的方程： (1)过点P(0，1)，斜率为2； 解：y＝2x＋1. (2)与直线y＝－x＋1在y轴上的截距相等，且过点Q(2，2)； 解：由题意知，该直线过点(0，1)和Q(2，2)， (3)在y轴上的截距是－6，倾斜角的正弦值是 . 又直线在y轴上的截距是－6， 返回 综合应用 返回 点斜式(斜截式)方程的应用 过点P(2，1)作直线l，与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点，求： (1)△AOB面积的最小值及此时直线l的方程； 例3 解：设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，k＜0， 因为与x轴、y轴正半轴分别交于A，B两点， △AOB面积有最小值为4，此时直线l的方程为 (2)直线l在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l的方程． 规律方法 直线点斜式与基本不等式综合的3个关键点 1．一般地，已知直线上某点时，常设出其点斜式，且注意斜率是否存在． 2．构建函数解析式后，应注明变量的取值范围． 3．运用均值不等式求最值，应注意“等号”是否取到．如果取不到，可用函数单调性求最值． 对点练3．已知直线l过点(1，2)且在x，y轴上的截距相等． (1)求直线l的方程； 解：(1)①截距为0时，l：y＝2x； ②截距不为0时，k＝－1，l：y－2＝－(x－1)， 所以y＝－x＋3. 综上，l的方程为y＝2x，或y＝－x＋3. (2)若直线l在x，y轴上的截距不为0，点P(a，b)在直线l上，求3a＋3b的最小值． 解：由题意得l：x＋y－3＝0，所以a＋b＝3， 返回 课堂小结 知识 1．直线方程的点斜式.2．直线方程的斜截式 方法 待定系数法、数形结合思想 易错 误区 求直线方程时忽视斜率不存在的情况；混淆截距与距离 随堂演练 返回 y＝k(x－1)表示过点(1，0)且不垂直于x轴的一切直线．故选C. 1．方程y＝k(x－1)(k∈R)表示 A．过点(－1，0)的一切直线 B．过点(1，0)的一切直线 C．过点(1，0)且不垂直于x轴的一切直线 D．过点(1，0)且除x轴外的一切直线 √ 2．斜率为4，且过点(2，－3)的直线的点斜式方程是 A．y＋3＝4(x－2) B．y－3＝4(x－2) C．y－3＝4(x＋2) D．y＋3＝4(x＋2) √ 因为直线经过第一、三、四象限，所以图象如图所示， 由图知，k＞0，b＜0.故选B. 3．直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有 A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0 √ 4．已知直线l的倾斜角为 ，在y轴上的截距为3，则直线l的斜截式方程为 ． y＝x＋3 解析：因为直线l的倾斜角为 ，故其斜率为1，由斜截式方程，得y＝x＋3. 返回 课时测评 返回 因为直线l的斜率k＝tan ＝1，所以直线l的点斜式方程为y＋3＝x－2.故选A. 1．直线l经过点P(2，－3)，且倾斜角α＝ ，则直线的点斜式方程是 A．y＋3＝x－2 B．y－3＝x＋2 C．y＋2＝x－3 D．y－2＝x＋3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 当x＝0时，y＝1，所以直线y＝kx＋1恒过点(0，1).故选B. 2．直线y＝kx＋1恒过点 A．(1，0) B．(0，1) C．(－1，0) D．(0，－1) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 直线y＝ax－ 的斜率与在y轴上的截距异号．故选B. 3．直线y＝ax－ 的图象可能是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2.由题图可知， ＜α1＜α2＜π，所以k1＜k2，又b1＜0，b2＞0，所以b1＜b2.故选A. 4．直线l1：y＝k1x＋b1与l2：y＝k2x＋b2的位置关系如图所示，则有 A．k1＜k2，且b1＜b2 B．k1＜k2，且b1＞b2 C．k1＞k2，且b1＞b2 D．k1＞k2，且b1＜b2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 直线kx－y＋1－3k＝0变形为y－1＝k(x－3)，所以恒过定点(3，1)．故选C. 5．已知直线kx－y＋1－3k＝0，当k变化时，所有的直线恒过定点 A．(1，3) B．(－1，－3) C．(3，1) D．(－3，－1) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由题意可知直线的斜率为k＝±1，当直线的斜率为1时，直线方程为y－1＝x－2，化简得y＝x－1；当直线的斜率为－1时，直线方程为y－1＝－(x－2)，化简得y＝－x＋3.故选BC. 6．(多选题)经过点(2，1)，且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程为 A．y＝x＋3 B．y＝x－1 C．y＝－x＋3 D．y＝－x－1 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由y＝ x－4，令x＝0，得y＝－4. 7．直线y＝ x－4在y轴上的截距是 ． －4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成 角的直线的斜截式是________ ______________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由题意知，需满足它在y轴上的截距不大于零，且斜率不大于零， 9．已知直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，则k的取值范围为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．(12分)求斜率为 ，且与两坐标轴所围成的三角形的周长是20的直线的方程． 令x＝0，得y＝b； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．(2024·北京高二期中)已知直线l1：y＝ x＋2，直线l2是直线l1绕点P(－2，1)逆时针旋转 得到的直线，则直线l2的方程是 A．y＝x＋3 B．y＝－2x－3 C．y＝4x＋9 D．y＝3x＋7 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12．(多选题)下列四个结论，其中正确的是 A．方程k＝ 与方程y－2＝k(x＋1)表示同一条直线 B．直线l过点P(x0，y0)，倾斜角为 ，则其方程为x＝x0 C．直线l过点P(x0，y0)，斜率为0，则其方程为y＝y0 D．所有直线都有点斜式和斜截式方程 √ √ A中方程，k＝ ，x≠－1；D中斜率不存在的直线没有点斜式和斜截式方程，所以A、D错误，B、C正确．故选BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．(13分)直线l的斜率为3且它在y轴上的截距为－3. (1)求直线l的方程； 解：由斜截式得直线l的方程为y＝3x－3. (2)求直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积． 解：在直线y＝3x－3中，令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1， 则直线l与坐标轴所围成的三角形的面积S＝ ×|1|×|－3|＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14．(5分)(多选题)在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x，y)为整点，下列结论正确的是 A．存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 B．如果k与b都是无理数，则直线y＝kx＋b不经过任何整点 C．直线y＝kx＋b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数 D．存在恰经过一个整点的直线 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．(15分)已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)． (1)证明：直线l过定点； 证明：由kx－y＋1＋2k＝0，得y－1＝k(x＋2)， 所以直线l：kx－y＋1＋2k＝0过定点(－2，1)． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围； 解：由kx－y＋1＋2k＝0，得y＝kx＋1＋2k， 要使直线不经过第四象限，则 解得k≥0. 所以k的取值范围是[0，＋∞)． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程． 解：如图，由题意可知，k＞0， 所以S的最小值为4，此时的直线l的方程为 x－y＋2＝0，即x－2y＋4＝0. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 一 章 　 直 线 与 圆 返回 所以3a＋3b≥2＝2＝6，当且仅当a＝b＝时，等号成立， 所以3a＋3b的最小值为6. y＝x－6， 或y＝－x－6 则得k≥. $$