1.1.1-1.1.2 一次函数的图象与直线的方程 直线的倾斜角、斜率及其关系-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

1.1　一次函数的图象与直线的方程 1.2　直线的倾斜角、斜率及其关系 　 第一章　§1　直线与直线的方程 知识层面 1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几 何要素． 2．理解直线的斜率和倾斜角的概念，经历用代数方法刻画直线斜 率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式． 3．理解直线的倾斜角与斜率、方向向量的关系，并会应用斜率公 式求直线的斜率. 素养层面 通过对直线的斜率和倾斜角的概念的学习，培养数学抽象素养；借助斜率公式求直线的斜率，提升数学运算素养. 知识点一　直线的倾斜角 1 知识点二　直线的斜率 2 知识点三　直线的斜率与方向向量的关系 3 课时测评 6 综合应用 4 内容索引 随堂演练 5 知识点一　直线的倾斜角 返回 问题1　在平面中，怎样才能确定一条直线？ 问题导思 提示：两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线． 问题2　在平面直角坐标系中，经过原点的无数条直线中，与x轴(正方向)所成的角为 的直线有几条？ 提示：只有一条． 倾斜角的概念 新知构建 定义 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把_____(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l首次重合时所成的角，称为直线l的倾斜角 规定 当直线l和x轴平行或重合时，直线l的倾斜角为___ 记法 α 图示 范围 __________ x轴 0 [0，π) 倾斜角从“形”的方面直观地刻画了直线倾斜程度，对于平面直角坐标系中的每一条直线l，都有唯一确定的倾斜角α与之对应，但是倾斜角为α的直线有无数条． 微提醒 求图中各直线的倾斜角． 例1 解：如图①，可知∠OAB为直线l1的倾斜角．易知∠ABO＝ ，所以∠OAB＝ ，即直线l1的倾斜角为 . 解：如图②，可知∠xAB为直线l2的倾斜角，易知∠OBA＝ ，所以∠OAB＝ ， 所以∠xAB＝ ，即直线l2的倾斜角为 . 解：如图③，可知∠OAC为直线l3的倾斜角，易知∠ABO＝ ，所以∠BAO＝ ， 所以∠OAC＝ ，即直线l3的倾斜角为 . 规律方法 求直线倾斜角的关键及两点注意 1．关键：依据平面几何知识判断直线向上的方向与x轴正方向之间所成的角． 2．注意：(1)当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0；当直线与x轴垂直时，倾斜角为 ；(2)直线倾斜角的取值范围是 . 设直线l2的倾斜角为α2，l1和l2向上的方向所成的角为 ，所以∠BAC＝ ，所以 . 对点练1．(1)已知直线l1的倾斜角α1＝ ，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为 ，如 图，则直线l2的倾斜角为 ． (2)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α.如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转 得到直线l1，那么l1的倾斜角为 √ 根据题意，画出图形，通过图形可知： 返回 知识点二　直线的斜率 返回 问题3　(1)坡度是用什么量来刻画道路的倾斜程度的？ 提示：高度的平均变化率． 问题导思 (2)如图，直线l上两个不同点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)． 记Δx＝x2－x1(Δx≠0)，Δy＝y2－y1.在直线l上点P1平移到点P2，则高度的平均变化率是多少？ 问题4　(1)直线l的斜率k和它的倾斜角α的取值范围分别是什么？ 提示：k∈(－∞，＋∞)，α∈[0，π)． (2)如图，A(x1，y1)，B(x2，y2)是倾斜角为α的直线l上的两点，则该直线的斜率k与倾斜角有什么关系？ 提示：过A作直线平行于x轴，过B作直线垂直于x轴，交于一点C，则△ABC是直角三角形，故有tan α＝ ，而BC＝y2－y1，AC＝x2－x1，所以tan α＝ ，即k＝tan α. 提示：如图，根据正切函数的图象变化可知，当倾斜角为锐角时，斜率为正，斜率随着倾斜角的增大而增大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，斜率随着倾斜角的增大而增大．当α＝ 时，直线l与x轴垂直，此时直线l的斜率不存在． 问题5　当直线的倾斜角由0逐渐增大到π，其斜率如何变化？为什么？ 1．直线的斜率 (1)称k＝_________ (其中x1≠x2)为经过不同两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直 线l的斜率． (2)若直线l垂直于x轴，则它的斜率________；若直线l不与x轴垂直，则它的斜率____________．因此我们常用斜率表示直线的__________． 新知构建 不存在 存在且唯一 倾斜程度 (1)倾斜角不是 的直线，它的斜率k和它的倾斜角α满足k＝____ . (2)从函数角度看，k是α的函数，其中k＝tan α ，图象如图所示． ①当α∈ 时，斜率k≥0，且k随倾斜角α的增大而______； ②当α∈ 时，斜率k＜0，且k随倾斜角α的增大而______； ③当α＝ 时，直线l与x轴垂直，此时直线l的斜率________． tan α 增大 增大 不存在 2．直线的斜率与倾斜角的关系 k的大小与两点P1，P2的位置无关． 微提醒 (链教材P4例1，P6例3)(1)已知两条直线的倾斜角分别为 ，求这两条直线的斜率； 例2 解：直线的斜率分别为 . (2)已知A(3，2)，B(－4，1)，求直线AB的斜率； 解：直线AB的斜率 . (3)求经过两点A(2，3)，B(m，4)的直线的斜率； 解：当m＝2时，直线AB的斜率不存在； 当m≠2时，直线AB的斜率为 . (4)若 ≤α≤ ，求斜率k的取值范围． 规律方法 求直线斜率的两种类型 1．已知直线的倾斜角α 求直线斜率时，可利用斜率与倾斜角的关系，即k＝tan α求得． 2．已知直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，代入斜率公式k＝ . 注意：(1)x1≠x2，当x1＝x2时斜率不存在．(2)公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置． 由 ＝1，得m＝1. 对点练2．(1)过点P(－2，m)，Q(m，4)的直线的斜率为1，则m的值为 ． 1 由－ ≤k≤1，可得－ ≤tan α ≤ 1.又0≤α＜π，所以由正切函数的性质，得倾斜角α的取值范围是 . (2)若－ ≤k≤1，则倾斜角α的取值范围为 ． 返回 知识点三　直线的斜率与方向向量的关系 返回 问题6　(1)什么是直线的方向向量？ 问题导思 提示：直线上的向量及与之平行的非零向量． (2)已知直线l上两点A(1，2)，B(－1，3)，你能写出直线l的一个方向向量吗？若A(1，2)，B(1，3)呢？ 提示： ＝(－1－1，3－2)＝(－2，1)． ＝(1－1，3－2)＝(0，1)． 1．直线的方向向量 如图，在直线l上任取两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)． 由平面向量的知识可知，向量 是直线l的__________， 它的坐标是(x2－x1，y2－y1)，直线的倾斜角α、斜率k、方 向向量 分别从不同角度刻画一条直线相对于平面直角坐标系中x轴的 倾斜程度．它们之间的关系是k＝_________＝_________(其中x1≠x2)． 新知构建 方向向量 tan α 2．直线的斜率与方向向量的坐标之间的关系 若k是直线l的斜率，则v＝(1，k)是它的一个__________；若直线l的一个方 向向量的坐标为(x，y)，其中x≠0，则它的斜率k＝_____． 方向向量 (1)任意斜率不存在时的直线的单位方向向量为a＝(0，1). (2)任意直线的方向向量可表示为a＝(cos θ，sin θ)(θ为倾斜角)． 微提醒 (1)已知直线l经过点P(1，2)和点Q(－2，－2)，则直线l的单位方向向量为 A．(－3，－4) B． C． D．± 例3 √ 由题意得，直线l的一个方向向量为 ＝(－3，－4)，所以直线l的单位方向向量为 .故选D. (2)已知直线l的一个方向向量为(5，8)，且该直线过点(1，2)，则直线l过点 A．(6，10) B．(4，8) C．(2，4) D． 因为直线l的一个方向向量为(5，8)，所以直线l的斜率为 ，设直线l上一点为(x，y)，则 ，将选项对应点的坐标代入此式，选项A能使等式成立．故选A. √ 规律方法 直线的方向向量的求法 1．在直线上任找两点P1，P2，则 为直线l的一个方向向量． 2 ．已知线的斜率为k，则v＝(1，k)为直线的一个方向向量． 3．a＝(t，0)(t≠0)表示与x轴平行或重合的直线的方向向量，a＝(0，t)(t≠0)表示与y轴平行或重合的直线的方向向量． 对点练3．已知直线l的斜率为－ ，求直线l的模长为1的方向向量． 解：设直线l的方向向量为b＝(x，y)， 则 .①． 因为|b|＝1，所以x2＋y2＝1.② 返回 综合应用 返回 应用一　三点共线问题 (链教材P5例2)已知三点A(a，2)，B(3，7)，C(－2，－9a)． (1)若A，B，C三点在同一直线上，求实数a的值； 例4 解：因为A，B，C三点共线， 所以kAB＝kBC，即 ， 所以a＝2，或a＝ . (2)若点A不在直线BC上，求实数a的取值范围． 解：当A，B，C三点共线时，a＝2，或a＝ ， 所以实数a的取值范围为{a|a≠2，且a≠ .} 那么当A，B，C三点不共线，即点A不在直线BC上时，a≠2，且a≠ . 规律方法 用斜率公式解决三点共线的方法 由kAC＝kAB，知 ，解得m＝－6. 对点练4．如果三点A(2，1)，B(－2，m)，C(6，8)在同一条直线上，则m的值为 ． －6 应用二　数形结合法求倾斜角或斜率范围 已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点．求直线l的斜率k的取值范围． 例5 解：如图，由题意知 . 要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)． 变式探究 1．(变条件)本例条件中“与线段AB有公共点”改为“与线段AB无公共点”．求直线l的斜率k的取值范围． 解：由本例知与线段AB有公共点时， 斜率k满足k≤－1或k≥1. 则与线段AB无公共点时斜率k的取值范围为(－1，1)． 2．(变条件，变结论)本例条件改为点(x，y)在线段AB上，求 的取值范围． 解： 表示连接两点(x，y)和(1，0)的直线的斜率，与本例题过程一样． 规律方法 解决取值范围问题的基本方法——数形结合 斜率k的大小与正切函数之间的关系是用倾斜角α 来联系的，因此，可以由倾斜角的变化得出斜率的变 化．如图所示，过点P的直线l与线段AB相交时，因为 过点P且与x轴垂直的直线PC的斜率不存在，而直线PC 与线段AB不相交，所以直线l的斜率k的取值范围是kPA≤k≤kPB.解决这类问题时，可利用数形结合思想直观地判断直线的位置． 对点练5．已知坐标平面内三点A(－1，1)，B(1，1)，C(2， ＋1)． (1)求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角； 解：由斜率公式得 ， (2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD的斜率k的取值范围． 解：如图所示，当直线CD绕点C旋转时，斜率k变化，当直线CD由CA按逆时针方向旋转到CB时，直线CD与AB恒有交点，即点D在线段AB上，此时k由kCA增大到kCB， 所以k的取值范围为 . 返回 课堂小结 知识 1．直线的倾斜角及其范围. 2．直线斜率的定义和斜率公式. 3．直线的倾斜角与斜率的关系. 4．直线的方向向量 方法 数形结合 易错误区 忽视倾斜角范围、图形理解不清、由于对正切函数性质理解不到位而造成求解斜率范围出现错误 随堂演练 返回 由倾斜角的定义可得． 1．下列图中，α能表示直线l的倾斜角的是 A．① B．①② C．①③ D．②④ √ 由题意可得AB的斜率为k＝ ＝－2.故选B. 2．已知直线过点A(0，4)和点B(1，2)，则直线AB的斜率为 A．3 B．－2 C．2 D．不存在 √ 3．过两点A(1，y)，B(2，－3)的直线的方向向量为(1，－1)，则y的值为 A．2 B．－2 C．－5 D．5 √ 由题意得 ＝(2，－3)－(1，y)＝(1，－3－y)＝k(1，－1)，所以1＝k，－3－y＝－k，所以y＝－2.故选B. 当倾斜角α＝ 时，l的斜率不存在；当α∈ 时，l的斜率k＝tan α∈ [1，＋∞)；当α∈ 时，l的斜率k＝tan α∈(－∞，－1]． 4．已知直线l的倾斜角的范围是 ，则直线l的斜率的取值范围是 ． 返回 {k|k≤－1，或k≥1} 课时测评 返回 选项A、B、C、D中，只有D选项的横坐标相同，所以这两点确定的直线与x轴垂直，即它们确定的直线的斜率不存在．故选D. 1．以下两点确定的直线的斜率不存在的是 A．(4，1)与(－4，－1) B．(0，1)与(1，0) C．(1，4)与(－1，4) D．(－4，1)与(－4，－1) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1＜0.直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，所以0＜k3＜k2，因此k1＜k3＜k2.故选D. 2．若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则 A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2 C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3．(多选题)给出下列结论，其中说法正确的是 A．若(1，k)是直线l的一个方向向量，则k是该直线的斜率 B．若直线l的斜率是k，则(1，k) 是该直线的一个方向向量 C．任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 D．任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为kMN＝ ＝1，所以m＝1.故选A. 4．过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为 A．1 B．4 C．1或3 D．1或4 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 若设点P的坐标为P(x，0)，则 ，所以x＝3，即 P(3，0)．若设点P的坐标为P(0，y)，则 ，所以y＝－3，即P(0，－3)．故选CD. 5．(多选题)已知点A(2，－1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为 ，则点P的坐标为 A．(0，1) B．(－1，0) C．(3，0) D．(0，－3) √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6．直线l的倾斜角是斜率为 的直线的倾斜角的2倍，则l的斜率为 A．1 B． C． D．－ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 如图，kOA＝2，kl′＝0，只有当直线落在图中所示 位置时才符合题意，故k∈[0，2]．故直线l的斜率 k的最大值为2. 7．已知直线l过点A(1，2)，且不过第四象限，则直线l的斜率k的最大值是 ． 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 当0≤k＜ 时，即0≤tan α＜ ，又α∈ ，所以α∈ . 8．若直线l的斜率k的取值范围是 ，则该直线的倾斜角α的取值范围 是 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(开放题)已知点A(1，0)，B(2， )，C(m，2m)，若直线AC的倾斜角是直线AB的倾斜角的2倍，则实数m的值为 ，直线AC的一个方向向量为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．(12分)已知坐标平面内三点P(3，－1)，M(6，2)， ，直线l过点P.若直线l与线段MN相交，求直线l的倾斜角的取值范围． 解：如图所示，考虑临界状态，令直线PM的倾斜角为α1，直线PN的倾斜角为α2， 结合图形，根据倾斜角的定义知，符合条件的直线l的倾斜角α的取值范 围是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．若经过两点A(2，1)，B(1，m2)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是 A．(－∞，1) B．(－1，＋∞) C．(－1，1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) √ 因为直线l的倾斜角为锐角，所以斜率 ，所以－1＜m＜1.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12．已知点A(3，1)，B(－2，k)，C(8，1)．则直线AC的倾斜角为 ；若这三点能构成三角形，则实数k的取值范围为 ． 0 (－∞，1)∪(1，＋∞) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．(13分)(新情境)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)是函数y＝x3的图象上任意三个不同的点．求证：若A，B，C三点共线，则x1＋x2＋x3＝0. 因为A，B，C三点共线，所以kAB＝kAC， 所以(x2－x3)(x1＋x2＋x3)＝0， 因为x2≠x3，所以x1＋x2＋x3＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设A(a，b)是直线l上任意一点，则平移后得点A′(a－2，b＋2)，于是直线l的斜率k＝kAA′＝ ＝－1.故选B. 14．(5分)如果直线l先沿x轴负方向平移2个单位长度，再沿y轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是 A．－2 B．－1 C．1 D．2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．(15分)已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)． (1)求 的最大值和最小值； 解：如图，可知 表示经过定点P(－2，－3)与曲线段AB上任一点(x，y)的直线的斜率k. 由已知条件，可得A(1，1)，B(－1，5)． 易知kPA≤k≤kPB. 由斜率公式得kPA＝ ，kPB＝8， 所以 ≤k≤8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)求 的最大值和最小值． 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 一 章 　 直 线 与 圆 返回 α2＝＋α1＝＋＝ 当0≤α＜时，l1的倾斜角为α＋； 当≤α＜π时，l1的倾斜角为＋α－π＝α－.故选D. 提示：＝. ， k1＝tan ＝，k2＝tan ＝－1 kAB＝＝ kAB＝＝ ±＝±(－3，－4)＝± ＝(x≠1) () ＝－ 由①②得或 所以b＝，或b＝. ＝ ＝ kPA＝＝－1，kPB＝＝1 kAB＝＝0 k＝＝tan ＝1 k＝＝tan＝1 2－3 (1，－)(答案不唯一) N(－，) 由题意知，tan α1＝＝1， tan α2＝＝－， k＝＞0 证明：kAB＝，kAC＝， 所以＝， 所以x＋x1x2＋x＝x＋x1x3＋x， 故的最大值是8，最小值是. $$