第6章 第3课时 向量的减法运算-【玩转假期必刷题】2024年高一数学寒假作业

第三课时 向量的减法运算 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 课标要求 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 1.理解相反向量的含义,能用相反向量说 出向量减法的意义. 2.掌握向量减法的运算及其几何意义,能 熟练地进行向量的加减运算. 3.能将向量的减法运算转化为向量的加法 运算. 知识点一 向量的减法 1.相反向量 (1)定义:与向量a长度相等,方向相反 的向量,叫做a的相反向量. (2)性质:①-(-a)=a. ②对于相反向量有:a+(-a)=0. ③若a,b互为相反向量,则a=-b,a+b =0. 2.向量的减法 (1)定义:a-b=a+(-b),即减去一个 向量相当于加上这个向量的相反向量. (2)作法:在平面内任取一点O,作OA → = a,OB → =b,则向量BA → =a-b,如图所示. 【例1】 在△ABC 中,BC → =a,CA → =b,则 AB → 等于 ( ) A.a+b B.-a+(-b) C.a-b D.b-a 【解析】 如图,∵BA → =BC → +CA → =a+b, ∴AB → =-BA → =-a-b. 【答案】 B 【例2】 已知非零向量a与b同向,则a-b ( ) A.必定与a同向 B.必定与b同向 C.必定与a是平行向量 D.与b不可能是平行向量 【解析】 a-b必定与a 是平行向量. 【答案】 C 【例3】 在平行四边形ABCD 中,下列结 论错误的是 ( ) A.AB → -DC → =0 B.AD → -BA → =AC → C.AB → -AD → =BD → D.AD → +CB → =0 【解析】 因为四边形 ABCD 是平行四 边形, 所以AB → =DC →,AB → -DC → =0, AD → -BA → =AD → +AB → =AC →, AB → -AD → =DB →, AD → +CB → =AD → +DA → =0,故只有C错误. 【答案】 C 知识点二 向量加减法的运算律 定义 a-b=a+(-b),即减去一个向量 相当于加上这个向量的相反向量 作法 在平面内任取一点O,作OA → =a, OB → =b,则向量a-b=BA → 几何 意义 如果把两个向量a,b的起点放在 一起,则a-b可以表示为从向量 b 的 终 点 指 向 向 量a 的 终 点 的 向量 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —45— 【例4】 (多选)下列各式中能化简为AD → 的 是 ( ) A.(AB → -DC →)-CB → B.AD → -(CD → +DC →) C.-(CB → +MC →)-(DA → +BM →) D.-BM → -DA → +MB → 【解析】 选项 A中,(AB → -DC →)-CB → = AB → +CD → +BC → =AB → +BC → +CD → =AD →;选 项B中,AD → -(CD → +DC →)=AD → -0= AD →;选项C 中,-(CB → +MC →)-(DA → + BM →)=-CB → -MC → -DA → -BM → =BC → + CM → +AD → +MB → =(MB → +BC → +CM →)+AD → =AD →;选项 D 中,-BM → -DA → +MB → = MB → +AD → +MB → =2MB → +AD → . 【答案】 ABC 【例5】 化简OP → -QP → +PS → +SP → 的结果等 于 ( ) A.QP → B.OQ → C.SP → D.SQ → 【解析】 原式=(OP → +PQ →)+(PS → +SP →) =OQ → +0=OQ → . 【答案】 B 【例6】 如图,在△ABC中,若D是边BC 的中点,E是边AB上一点,则BE → -DC → + ED → = . 【解析】 因为D是边BC的中点, 所以BE → -DC → +ED → =BE → +ED → -DC → =BD → -DC → =0. 【答案】 0 知识点三 向量加减的应用 非零向量a,b的差向量的三角不等式 (1)当a,b不共线时, 如图①,作OA → =a,OB → =b, 则a-b=OA → -OB → =BA → . (2)当a,b共线且同向时, 若|a|>|b|,则a-b与a,b同向(如图 ②), 于是|a-b|=|a|-|b|. 若|a|<|b|,则a-b与a,b反向(如图 ③), 于是|a-b|=|b|-|a|. (3)当a,b共线且反向时,a-b与a 同 向,与b反向.于是|a-b|=|a|+|b|(如图 ④). 可见,对任意两个向量,总有向量不等 式成立: ||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|. 【例7】 设点 M 是线段BC 的中点,点 A 在直线BC 外,|BC → |2=16,|AB → +AC → |= |AB → -AC → |,则|AM → |= ( ) A.8 B.4 C.2 D.1 【解析】 根据|AB → +AC → |=|AB → -AC → | 可知,△ABC是以A 为直角的直角三角 形,∵|BC → |2=16,∴|BC → |=4,又∵M 是 BC 的中点,∴|AM → |=12|BC → |=12×4 =2. 【答案】 C 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —55— 【例8】 有下列不等式或等式:①|a|-|b| <|a+b|<|a|+|b|;②|a|-|b|=|a +b|=|a|+|b|;③|a|-|b|=|a+b|< |a|+|b|;④|a|-|b|<|a+b|=|a|+ |b|.其中一定不成立的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】 ①当a与b 不共线时成立;②当 b=0时成立;③当a 与b 共线,方向相 反,且|a|≥|b|时成立;④当a与b 共线, 且方向相同时成立. 【答案】 A 【例9】 已知向量|a|=2,|b|=4,且a,b 不是方向相反的向量,则|a-b|的取值 范围是 . 【解析】 根据题意得||a|-|b||≤|a- b|<|a|+|b|,即2≤|a-b|<6. 【答案】 [2,6) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 1.在平行四边形ABCD 中,设AB → =a,AD → =b,AC → =c,BD → =d,则下列等式中正确 的是 ( ) A.a+b=c B.a-b=d C.b+a=d D.c+a=b 2.在边长为1的正三角形ABC 中,|AB → - BC → |的值为 ( ) A.1 B.2 C.32 D.3 3.若A,B,C,D 是平面内任意四点,给出下 列式子: ①AB → +CD → =BC → +DA →;②AC → +BD → =BC → +AD →;③AC → -BD → =DC → +AB → .其中正确 的有 ( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 4.如图,向量AB → =a,AC → =b,CD → =c,则向 量BD → 可以表示为 ( ) A.a+b-c B.a-b+c C.b-a+c D.b-a-c 5.(多选)给出下面四个式子,其中结果为0 的是 ( ) A.AB → +BC → +CA → B.OA → +OC → +BO → +CO → C.AB → -AC → +BD → -CD → D.NQ → +QP → +MN → -MP → 6.(多选)若a,b为非零向量,则下列命题正 确的是 ( ) A.若|a|+|b|=|a+b|,则a与b 方向 相同 B.若|a|+|b|=|a-b|,则a与b 方向 相反 C.若|a|+|b|=|a-b|,则|a|=|b| D.若||a|-|b||=|a-b|,则a与b 方 向相同 7.化简BA → -CA → +DB → -DC → = . 8.如图所示,已知O 为平 行四 边 形 ABCD 内 一 点,OA → =a,OB → =b,OC → =c,则OD → = .(用a,b,c表示) 9.在△ABC中,|AB → |=|BC → |=|CA → |=1, 则|AB → -AC → |= ,|AB → +AC → |= . 10.四边形ABCD 是边长为1的正方形,则 |AB → -AD → |= ,|AB → +AD → |= . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —65— ⑤不正确.考虑b=0这种特殊情况. 综上所述,正确命题的序号是②③. 答案:②③ 第二课时 向量的加法运算 1.C 因为AO → +OD → =AD →,AC → +CD → =AD →, 所以AO → +OD → =AC → +CD → . 2.B 对于②,向量a+b与b 的方向相同,故②说 法不正确.分析知①③说法正确. 3.AC 因为四边形ABCD 是菱形,所以AB → +AD → =AC →,AC → +BA → =BC → =AD →,故A,C项正确. 4.C 在 A中,BA → +AD → +DC → =BD → +DC → =BC →; 在B中,BD → +DA → +AC → =BA → +AC → =BC →;在C 中,AB → +BD → +DC → =AD → +DC → =AC →;在D中, DC → +BA → +AD → =DC → +BD → =BD → +DC → =BC → . 5.B OA → +BC → +AB → +DO → =DO → +OA → +AB → +BC → =DA → +AB → +BC → =DB → +BC → =DC → . 6.解析:由平行四边形法则可知DA → +DC → =DB → . 答案:DB → 7.解析:如图所示, 连接AG 并延长交BC 于点E,点E 为BC 的中 点,延长AE 到点D,使GE=ED,则GB → +GC → = GD →,GD → +GA → =0, ∴GA → +GB → +GC → =0. 答案:0 8.解析:(1)a+b+c=DC → +CO → +OB → =DB → . (2)b+d+c=CO → +BA → +OB → =CA → . 答案:(1)DB →(2)CA → 9.解析:以OA,OB 为邻边作平行四边形BOAC, 则F1+F2=F, 即OA → +OB → =OC →, 则∠OAC=60°, |OA → |=24,|AC → |=|OB → |=12, ∴∠ACO=90°,∴|OC → |=12 3. ∴F1 与F2 的合力大小为12 3N,方向为竖直 向上. 答案:12 3 竖直向上 第三课时 向量的减法运算 1.A a+b=AB → +AD → =AC → =c. 2.D 如图,作菱形 ABCD,则|AB → -BC → |=|AB → -AD → |=|DB → |= 3. 3.C ①式的等价式是AB → -BC → =DA → -CD →,左边 =AB → +CB →,右边=DA → +DC →,不一定相等;②式 的等价式 是AC → -BC → =AD → -BD →,AC → +CB → = AD → +DB → =AB → 成立;③式的等价式是AC → -DC → =AB → +BD →,AD → =AD → 成立. 4.C BD → =BC → +CD → =AC → -AB → +CD → =b-a+c. 5.ACD AB → +BC → +CA → =AC → +CA → =0.OA → +OC → +BO → +CO → =BO → +OA → =BA → ≠0.AB → -AC → +BD → -CD → =AB → +BD → -(AC → +CD →)=AD → -AD → =0. NQ → +QP → +MN → -MP → =NP → +MN → +PM → =NP → +PN → =0. 6.ABD 当a,b方向相同时,有|a|+|b|=|a+b|, ||a|-|b||=|a-b|;当a,b方向相反时,有|a |+|b|=|a-b|,||a|-|b||=|a+b|,故A, B,D均正确. 7.解析:BA → -CA → +DB → -DC → =(BA → +AC →)+(DB → -DC →)=BC → +CB → =0. 答案:0 8.解析:由题意,在平行四边形ABCD 中,因为OA → =a,OB → =b,所以BA → =OA → -OB → =a-b, 所以CD → =BA → =a-b, 所以OD → =OC → +CD → =a-b+c. 答案:a-b+c 9.解析:AB → -AC → =CB →,而|BC → |=1=|CB → |;用向 量加法法则结合有一角为60°的菱形性质,即可 求出|AB → +AC → |的值为 3. 答案:1 3 10.解析:|AB → -AD → |=|DB → |= 2,|AB → +AD → |= |AC → |= 2. 答案:2 2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —67—