第二十七章 相似（知识归纳与题型突破）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（人教版）

第二十七章 相似知识归纳与题型突破（ 九题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、图形的相似的概念 形状相同的图形叫做相似图形。 1、两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到； 2、全等的图形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同； 二、成比例线段 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段。 1、若四条线段、、、成比例，则记作或。注意：四条线段的位置不能随意颠倒。 2、四条线段、、、的单位应一致（有时为了计算方便，、的单位一致，、的单位一致也可以） 3、比例的性质： 基本性质：若，则；反之，也成立。 和比性质：若，则； 更比性质：若，则； 反比性质：若，则； 等比性质：若，则。 4、把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。 三、平行线分线段成比例 平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 推论：平行于三角形一边的直线与其他两条直线相交，截得的对应线段成比例。 四、相似多边形的性质与判定 1、相似多边形对应角相等，对应边的比相等。 2、相似比：相似多边形对应边的比称为相似比。 五、相似三角形的判定 判定1：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 判定2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。 判定3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 判定4：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似（此知识常用，用时需要证明）。 六、相似三角形的性质 1、对应角相等，对应边的比相等； 2、拓展：对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比。 3、相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。（相似多边形周长比等于相似比，相似多边形的面积比等于相似比的平方。） 七、利用相似三角形测高 1、利用相似测量的物体的宽度或高度： （1）在构造“A”型图求河宽AB时，需保证A，B，C三点在同一条直线上，A，E，D三点也在同一条直线上，通过测量BC，BE，CD的长，即可求出AB，为简便，通常使EB⊥AC，DC⊥AC. （2）在构造“X”型图求河宽AB时，应保证A，O，C三点在同一条直线上，B，O，D三点也在同一条直线上. 2、在平行关线的照射下，同一时刻，两个物体的高度与影长成比例——测量高度. 提示：同一时刻，太阳光线是平行的. 3、观察物体时人的眼睛的位置称为视点. 4、测量物体的高度时，水平视线与向上观察物体的视线间的夹角叫做仰角，水平视线与向下观察物体的视线间的夹角叫做仰角. 5、观察者视线看不到的区域叫做盲区. 6.利用相似三角形解决实际问题常见模型： 八、位似的概念及性质 1、两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.（两个位似图形的位似中心只有一个） 2、利用位似，可以将一个图形放大或缩小. 3、位似图形对应边的比都等于相似比，周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方. 4、位似图形是具有特殊位置关系的相似图形.位似一定相似，相似不一定位似. 5、位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 6、位似图形具有（1）相似图形的所有性质；（2）位似图形的对应边平行或共线. 7、在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点（x，y）对应的位似图形上的点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）. 03 题型归纳 题型一　图形的位似及其性质 例：如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查的是位似变换，根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或计算． 【详解】解：当位似图形与在y轴同侧时， ∵，相似比为2， ∴； 当位似图形与在y轴两侧时， ∵，相似比为2， ∴； 故选：D． 2．如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，，则（    ） A．3 B．6 C．9 D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据可得相似比为，再根据位似比即相似，相似三角形的面积比等于相似比的平方，由此即可求解． 【详解】解：∵与是以点为位似中心的位似图形，， ∴，且， ∴， ∴， 故选：A． 3．如图，三个顶点的坐标分别为，，，以点为位似中心，在轴下方作把放大为原来的2倍的位似图形，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的位似三角形，解题关键是掌握位似三角形的性质和坐标规律． 根据平面直角坐标系内位似图形的性质和坐标规律即可求解． 【详解】解：由题意可得：，且相似比为， ， ， ， ， 故选：B． 4．如图，点，，以为位似中心，将放大倍，则点的对应点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了位似变换及坐标与图形，关于原点成位似的两个图形，若位似比是，则原图形上的点，经过位似变化得到的对应点的坐标是或．以为位似中心，将放大倍，则点的对应点的坐标是的坐标同时乘以计算即可． 【详解】解：将放大倍，点， 点的坐标是或，即或， 故答案为：或． 5．如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为．点在轴上，若正方形的边长为，则点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质， 首先直接利用位似图形的性质结合相似比得出的长； 然后根据相似三角形的判定定理得出，结合相似三角形的对应边成比例得到比例式，进而得出的长，由此即可得出点坐标，掌握知识点的应用是解题的关键； 【详解】解：∵正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点坐标为， 故答案为：． 6．如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心，点是线段的中点，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，根据位似图形面积比等于相似比的平方直接求解即可得到答案． 【详解】解：∵点是线段的中点， ∴， ∵四边形与四边形是位似图形， ∴， 故答案为：． 7．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)以原点O为位似中心，画出的位似三角形，使它与的相似比为； (2)与其位似三角形的面积比为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了在坐标系中画位似图形，相似三角形的性质，熟练掌握位似的性质是解本题的关键． （1）将点A，B，C三点的横坐标与纵坐标都乘以，得到，，，依次连接得到，则即为所求； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：∵与的相似比为， ∴与的面积比为． 故答案为： 8．如图，，相交于点P，连接，，，，． (1)求证：，并判断与是不是位似图形？（不必说明理由） (2)若，，，求的长． 【答案】(1)，与不是位似图形； (2)6 【分析】本题主要考查了位似图形的概念、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据两角对应相等的两个三角形相似进行证明即可；再根据位似图形的概念判断即可； （2）根据相似三角形对应边成比例推出，进而证明，再根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴； ∵如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．与的对应点的连线不交于一个点， ∴与不是位似图形； （2）解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴． 9．如图，在正方形网格图中，每个小正方形边长均为1，点和的顶点均为小正方形的顶点． (1)以为位似中心，在网格图中作，使和位似，且位似比为． (2)证明和相似． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图−位似变换、相似三角形的判定，勾股定理等知识点，理解题意、灵活运用所学知识是解答本题的关键． （1）根据和位似，且位似比为作出图形即可； （2）利用相似三角形的判定定理证明即可． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求， ； （2）证明：小正方形边长为1， ，，， ，，， ，，， ∴， ∴． 10．如图，在平面直角坐标系中，与关于点位似，其中顶点，，的对应点依次为，，，且都在格点上．    (1)请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心； (2)写出点的坐标为______，与的面积比为______， ______； (3)请在图中画出，使之满足如下条件： ①与关于点位似，且与的位似比为； ②与位于点的同侧． 【答案】(1)见解析 (2)；； (3)见解析 【分析】本题考查作图-位似变换，熟练掌握位似三角形的性质是解答本题的关键． （1）连接，，，相交于点P，则点P即为所求． （2）由图可得点P坐标；由题意可知与的位似比为，根据位似三角形的性质可得答案；利用割补法求三角形的面积即可． （2）根据位似的性质，分别取，，的中点，，，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求；    （2）解：由图可得，， ， 与的位似比为， 与的面积比为， ， 故答案为：；；； （3）解：如图，即为所求． 11．已知，在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为， ，． 与 是以点P为位似中心的位似图形． (1)请写出点P的坐标是___________； (2)以点O为位似中心，在y轴左侧画出，的位似图形，使相似比为； (3)若点为内一点，则点M在内的对应点的坐标为___________． (4)计算的面积．（写出计算过程） 【答案】(1) (2)见解析 (3) (4) 【分析】本题考查位似变换，坐标与图形，三角形的面积． （1）利用位似图形的性质得到位似中心的位置即可求解； （2）根据点O为位似中心，相似比为作图即可； （3）利用位似图形的性质求解即可； （4）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接，并延长相交于点P， ∴； （2）解：如图，即为所求； （3）解：由题意得，点M在内的对应点的坐标为； （4）解：． 题型二　比例的性质 例：已知，则下列比例式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的性质．根据比例的性质“如果，那么”进行解答即可得． 【详解】解：A、，则，故该选项说法正确，符合题意； B、，则，故该选项说法错误，不符合题意； C、，则，故该选项说法错误，不符合题意； D、，则，故该选项说法错误，不符合题意； 故选：A． 13．（1）已知线段，，，，，若是，的比例中项，求的值． （2）已知：，且，求的值． 【答案】（1） ；（2）9 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键． （1）根据比例中项的概念，得，再利用比例的基本性质计算求解． （2）设，然后用表示出，，，代入中求出，即可得求解． 【详解】（1）解： 是，的比例中项， ． ， ， 解得． （2）解：设， ，，． ， ， 解得， ． 14．下列说法中，正确的是（　　） A．如果，那么 B． C．方程的根是 D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，二次根式的性质与化简，二次根式的乘除法，以及比例的性质．A、等式两边利用同分母分数加法逆运算法则变形得到结果，即可做出判断；B、当a与b都小于0时，原式不成立；C、利用因式分解法求出方程的解，即可做出判断；D、利用二次根式的化简公式计算得到结果，即可做出判断． 【详解】解：A、变形得：，即，本选项正确； B、当时，，本选项错误； C、方程因式分解得：，解得：，本选项错误； D、，本选项错误， 故选：A． 15．已知，且，求的值 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，设，得出，，，再根据，求出的值，从而得出、、的值，然后代入要求的式子进行计算即可得出答案．熟练掌握比例的基本性质是解决问题的关键． 【详解】解：设， 则，，， ， ， ， ，，， ． 故答案为：． 16．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，代数式求值，由比例式可得，，，代入代数式计算即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， 故答案为：． 17．已知，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．根据题意可设，再代入，即可求解． 【详解】解：∵， ∴可设， ∴． 故答案为：． 18．已知 ，且，试求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键．设，代入可求出的值，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴设， ∵， ∴， 解得， ∴． 题型三　比例线段和成比例线段 例：下列四组线段中：①，，，，②，，，，③，，，，④，，，；其中a，b，c，d是成比例线段的有 ．（请填写序号） 【答案】①② 【分析】本题考查比例线段的概念．注意掌握在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．由题意根据比例线段的概念：如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，依次对各选项进行分析判断． 【详解】解：①，这四条线段成比例，符合题意； ②，这四条线段成比例；符合题意； ③∵，，，， ∴ ∴，这四条线段不成比例，不符合题意； ④，这四条线段不成比例，故不符合题意； 故答案为：①②． 20．一幅地图上，用的线段表示的实际距离，它的比例尺是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比例尺，根据比例尺为图上线段的长度与实际距离的比值，求解即可． 【详解】解：， ∴比例尺为：； 故选A． 21．已知线段是线段，的比例中项，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比例中项的定义，根据线段是线段，的比例中项，则，然后代入求解即可，解题的关键是掌握比例中项的性质． 【详解】解：∵线段是线段，的比例中项， ∴， ∴， ∴， 故选：． 22．下列四组线段中，是成比例线段的一组是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了比例线段，根据比例线段的概念，让最短的线段和最长的线段相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解∶A．， ， 四条线段不成比例，故本选项不符合题意； B、， ， 四条线段成比例，故本选项符合题意； C、， ， 四条线段不成比例，故本选项不符合题意； D、， ， 四条线段不成比例，故本选项不符合题意； 故选∶B． 23．在比例尺为的地图上，相距10厘米的两地实际距离为 千米． 【答案】1 【分析】本题考查了比例线段，根据比例尺正确进行计算并注意单位的转换是解题的关键． 根据比例尺图上距离实际距离，列出关系式即可得出实际的距离． 【详解】解：设两地实际距离为x厘米，得：， 所以相距5厘米的两地的实际距离是厘米千米， 故答案为：1． 24．已知两条线段的长为和，则它们的比例中项线段长为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了线段的比．根据比例的性质列方程求解即可．设它们的比例中项为，根据比例中项的定义可知，，代入数据可直接求得的值，注意两条线段的比例中项为正数． 【详解】解：设它们的比例中项为， 是长度分别为1、4的两条线段的比例中项， ， 即， （负数舍去）， 它们的比例中项线段长为． 故答案为：2． 25．数是数和数的比例中项，若，，则数的值为 【答案】 【分析】根据比例中项的性质，即可求出b的值． 此题考查了比例中项的定义，或，那么线段b叫做线段a、c的比例中项． 【详解】解：∵数是数和数的比例中项， ∴ ∴， 故答案为：． 题型四 黄金分割 例：秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”，实际上，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点是的黄金分割点，如果的长为，那么的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算即可得解，熟练掌握黄金分割的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵点是的黄金分割点，的长为， ∴， 故答案为：． 27．线段上一点把线段分成两部分，如果较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与线段整体长度之比，那么该点就叫做线段的黄金分割点．主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台的长为20米，一名主持人现在站在A处，则她至少走多少米才最自然得体？（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割，设C点为的黄金分割点，利用黄金分割的定义，当时，米；当时，米，则米，从而确定她至少走的路程． 【详解】解：设C点为的黄金分割点， 当时，如图， 根据黄金分割点的定义得，， 即，， 整理得，， 解得，，（舍去）， ∴米； 当时，同理可得，米， ∴米， ∵ ∴主持人至少走米才最理想． 故选：C． 28．有以下命题：①如果线段d是线段a，b，c的第四比例项，则有；②如果点C是线段的中点，那么；③如果点C是线段的黄金分割点，且，那么；④如果点C是线段的黄金分割点，，且，则．其中正确的判断有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了比例线段、黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题关键． 根据比例线段、黄金分割的定义逐个判断即可得． 【详解】解：①如果线段是线段的第四比例项，则有，①正确； ②如果点是线段的中点，则， 所以， 所以不是、的比例中项，，②错误； ③如果点是线段的黄金分割点，且， 则， 所以，即， 所以是与的比例中项，，③正确； ④如果点是线段的黄金分割点，，且， 则，即， 所以，④正确； 综上，正确的判断有①③④， 故选：C． 29．若点C是线段的黄金分割点，，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割，把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．根据黄金分割的定义得到，然后把的长代入计算即可，把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即，叫作把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．特别要注意线段的黄金分割点有两个． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，且， ， 故答案为：． 30．如果一个矩形的宽与长的比值正好是黄金比，人们就称它为“黄金矩形”．现需设计一扇符合黄金矩形的窗户，若窗户的长为2米，则窗户的宽为 米（结果保留根号）． 【答案】/ 【分析】本题考查了比例线段，利用黄金比的定义即可求出答案． 【详解】解：黄金矩形的宽与长之比为黄金比的倒数，即， 已知窗户的长为2米，则窗户宽为长乘以黄金比得倒数，即（米）． 故答案为：． 31．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是的黄金分割点，若线段的长为，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割．熟练掌握黄金分割是解题的关键． 由题意得，，即，计算求解即可． 【详解】解：∵P是的黄金分割点，， ∴，即， 解得，， 故答案为：． 题型五 相似多边形及其性质 例：如图，矩形的边，点分别在边上，且四边形为正方形．若矩形与矩形相似，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形，矩形的性质，相似多边形的判定和性质，根据题意可得当四边形为正方形时，，设，则有，，根据相似多边形的性质列式求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 当四边形为正方形时，， 设，且四边形为矩形， ∴，， ∵矩形与矩形相似， ∴，即， 解得，（不符合题意，舍去），， 检验，当时，原分式方程的有意义， ∴， ∴， 故答案为： ． 33．下列四组图形中一定相似的是（    ） A．正方形与矩形 B．正方形与菱形 C．等边三角形与等边三角形 D．矩形与矩形 【答案】C 【分析】本题考查了图形的相似，根据相似的定义是图形形状相同，对应边成比例，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、正方形与矩形的形状不相同，故该选项是不符合题意； B、正方形与菱形的形状不相同，故该选项是不符合题意； C、等边三角形与等边三角形的形状相同，对应边成比例，故该选项是符合题意； D、矩形与矩形的形状相同，对应边不一定成比例，故该选项是不符合题意； 故选：C 34．如图，下列网格中各个小正方形的边长均为1个单位长度，阴影部分的图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似图形的为（    ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．甲和丁 D．乙和丙 【答案】C 【分析】本题考查了相似图形，根据对应角相等，对应边对应成比例的图形是相似图形结合正方形的性质，进行判断即可，正确理解相似图形的概念是解题的关键． 【详解】解：由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边对应成比例，它们的形状相同，大小不同，是相似图形， 故选：． 35．在如图所示的三个矩形中，相似的是（　） A． B． C． D．都不相似 【答案】B 【分析】本题考查的了相似多边形的判定，分别求出三个矩形的邻边之比，根据相似多边形的判定定理判断即可，掌握两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形是解题的关键． 【详解】解：矩形，，的邻边之比分别为：，，， ∴相似的是， 故选：． 36．如图，在矩形中，，截去矩形，若剩下的矩形与矩形相似，则等于（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似多边形的性质，由相似多边形的对应边成比例可得，代入数据计算即可． 【详解】解：∵矩形与矩形相似， ∴， 又∵，， ∴，解得：， 故选D． 37．东方美学钟爱“白银分割”．日常生活中随处可以见到“白银分割”的身影，比如日常用到的纸（图①），对折后得到两个全等的纸并与纸相似（图②），则图中纸长与宽的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似多边形的性质，设纸长与宽分别为，则纸长与宽分别为，由题意得，据此即可求解； 【详解】解：设纸长与宽分别为， 则纸长与宽分别为， ∵对折后得到两个全等的纸并与纸相似， ∴， 即：， ∴， ∴， 故选：C 38．如图所示，小林在一块长为，宽为的矩形小花园周围栽种兰花来装饰（小花园的一边靠墙），兰花的边框宽均为，边框内外边缘所围成的两个矩形相似吗？请说明理由． 【答案】边框内外边缘所围成的两个矩形不相似 【分析】本题考查相似图形的判定，熟练掌握相似图形的定义是解题的关键，根据相似图形的定义，结合已知条件求得外框外边缘所围成的长与宽的比以及矩形中长宽的比，进而比较作答即可． 【详解】解：∵矩形的长为，宽为， ∴长：宽， ∵外框外边缘所围成的矩形的长为，宽为， ∴长：宽， ∵，对应边不成比例， ∴边框内外边缘所围成的两个矩形不相似． 39．如图，四边形四边形． (1)_____度； (2)求边x，y的长． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，正确掌握相似多边形的性质是解题关键． （1）直接利用相似多边形的性质得出对应角相等，进而得出答案； （2）直接利用相似多边形的性质得出对应边的比值相等，进而得出答案． 【详解】（1）解：四边形四边形， ， ； 故答案为：； （2）解：四边形四边形， ， ， 解得：，． 题型六 平行线分线段成比例定理 例：如图，直线分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且． (1)如果，，求的长． (2)如果，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，能熟练地运用定理进行计算是解此题的关键． （1）利用平行线分线段成比例定理求得，可求得的长，进一步可求得的长． （2）利用平行线分线段成比例定理求得，代入数值可求得的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 41．已知线段a、b，求作线段x，，正确的作法是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考查了平行线分线段成比例定理，注意找准线段的对应关系．需要注意应该先作出已知线段，由平行线分线段成比例定理得出．对题中给出的等式进行变形，先作出已知线段、和b，或、和，再根据平行线分线段成比例定理作出平行线，被截得的线段即为所求线段． 【详解】解：由题意， 或 根据平行线分线段成比例定理，只有B符合． 故选：B． 42．如图，直线，直线交分别于点，直线交分别于点，，，则下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由平行线判断成比例的线段，根据由平行线判断成比例的线段进行解答即可，解题的关键是掌握知识点的应用． 【详解】解：∵直线， ∴、，原选项不符合题意； 、，原选项符合题意； 、，原选项不符合题意； 、，原选项不符合题意； 故选：． 43．如图，已知，直线，，分别交直线于点、、，交直线于点、、，那么下列比例式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题是一道关于平行线分线段成比例的题目，掌握平行线分线段成比例的相关知识是解答本题的关键．根据平行线分线段成比例定理，即可进行判断． 【详解】解：A．∵， ∴，故A正确； B．根据无法判断，故B错误； C．∵， ∴， ∵， ∴，故C错误； D．∵， ∴， ∵， ∴，故D错误． 故选：A． 44．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段，则线段的长是（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】此题考查了平行线分线段成比例，根据题意得出是解题的关键． 【详解】解：∵各条平行线间距离相等， ∴， ∵， ∴，解得：， 故选：D． 45．如图，直线，，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线所截线段成比例，熟练掌握平行线所截线段成比例是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴； 故答案为． 46．如图，已知，． (1)若，，．求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． （1）先求出，根据，得出，代入数据求出结果即可； （2）根据，得出，根据，得出，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型七 相似三角形的判定 例：如图，在中，分别是边上的点，连接，且，，．求证：∽． 【答案】证明见解析 【分析】根据三角形内角和定理可得，即可证出结论；本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】证明：∵，， ∴， ， ， ∽． 48．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据网格中的数据求出，，的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．此题考查了相似三角形的判定，网格与勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键． 【详解】解：根据勾股定理，得，， 又， 的三边的值从大到小分别为， A、图中的三角形的三边从大到小分别为， ∵， ∴图中的三角形（阴影部分）不与相似， 故该选项不符合题意； B选项中，同理得出图中的三角形三边从大到小为， ∵， ∴图中的三角形（阴影部分）与相似， 故该选项符合题意； C选项中，同理得出图中的三角形三边从大到小为， ∵， 图中的三角形（阴影部分）与不相似， 该选项不符合题意； D选项中，同理得出图中的三角形三边从大到小为， ∵， 图中的三角形（阴影部分）与不相似， 故该选项不符合题意； 故选：B 49．观察下列每组三角形，不能判定相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 利用相似三角形的判定对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，A中，能判定相似，故不符合要求； B中，，能判定相似，故不符合要求； C中，且对顶角相等，能判定相似，故不符合要求； D中，不能判定相似，故符合要求； 故选：D． 50．如图，已知△，下列4个三角形中，与△相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理和相似三角形的判定，此题难度不大． 根据等腰三角形性质和三角形内角和定理分别求出各个选项中三角形的每个角的度数，然后与题干中的三角形的度数相比较即可得出答案． 【详解】∵由图可知，，， ∴，， A选项中三角形各角的度数不能确定， B选项中三角形各角的度数分别为，， C选项中三角形各角的度数分别为，，， D选项中三角形各角的度数分别为，，， ∴只有D选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等， 故选：D． 51．如图所示，给出下列条件：①；②；③；④．其中能够判定的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查选择或补充条件使两个三角形相似，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．根据相似三角形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：和中，， 添加后，满足两组对应角相等，可以判定； 添加后，满足两组对应角相等，可以判定； 添加后，不能满足两边对应成比例且夹角相等，不能判定； 添加，即后，满足两边对应成比例且夹角相等，可以判定， 故选：C． 52．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，先求出两三角形的一对相等的角是确定其他条件的关键，注意掌握相似三角形的几种判定方法． 【详解】解：， ， A．添加，可用两角法判定，故本选项错误； B．添加，可用两角法判定，故本选项错误； C．添加，可用两边及其夹角法判定，故本选项错误； D．添加，不能判定，故本选项正确； 故选：D． 53．如图，在四边形中，已知，添加下列一个条件后，仍不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：由，结合，可以根据两组角对应相等的两个相似三角形得到，故A不符合题意； 由得到，结合，不可以得到，故B符合题意； 由，结合，可以根据两组角对应相等的两个相似三角形得到，故C不符合题意； 由，结合，可以根据两组边对应成比例且它们的夹角相等的两个相似三角形得到，故D不符合题意； 故选：B． 54．已知在中，，下列阴影部分的三角形与原不相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键：有两组角对应相等的两个三角形相似，两组对应边的成比例且夹角对应相等的两个三角形相似． 【详解】解：A、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项A不符合题意； B、由两组对应边的成比例但是它们的夹角不一定相等，不可证阴影部分的三角形与原相似，故选项B符合题意； C、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项C不符合题意； D、两边对应成比例且它们的夹角相等，能证明阴影部分的三角形与原相似，故选项D不符合题意； 故选：B． 55．如图，是的边上的一点，连接，要使，还需要添加一个条件是 （写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，根据相似三角形的判定进行添加条件即可． 【详解】解：由题意知， 添加，则， 故答案为：（答案不唯一）． 56．如图，点、在线段上，△是等边三角形，． (1)证明：； (2)线段、、之间有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定． （1）由等边三角形性质得，，从而有；由得，由相似三角形的判定得证； （2）根据，，求出，由等角对等边即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∴； ∵，即：， ∴，， ∴，, ∴； （2）结论：． 证明∵， ∴； ∵， ∴，， 又∵， ∴ 57．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中画一个格点，并作直线． (2)在图②中画一个格点，点在直线上，连接，使． (3)在图③中画一个格点，点不在直线，连接、，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）如图所示，取格点D，作直线，则直线和点即为所求； （2）如图所示，格点E即为所求； （3）如图所示，格点F即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，直线和点即为所求； 可证明，则， 可证明，则可证明； （2）解：如图所示，格点E即为所求； 可证明，再由即可证明； （3）解：如图所示，格点F即为所求； 可证明， 由勾股定理的逆定理可证明，则可证明． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理及其逆定理，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． 题型八 相似三角形的性质 例：已知两个等边三角形的面积比为，那么这两个等边三角形的角平分线的长度的比值为 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形对应角平分线的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方． 根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得它们的相似比，又由相似三角形对应角平分线的比等于相似比，即可求得答案． 【详解】解：两个等边三角形的面积比为， 这两个等边三角形的相似比为：， 这两个等边三角形的角平分线的长度的比值为． 故答案为：． 59．已知，相似比为，若的面积为2，则的面积为 ． 【答案】32 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可得． 【详解】解：∵，相似比为， ∴的面积的面积， ∵的面积为2， ∴的面积为， 故答案为：32． 60．如图，已知矩形中，是上的一点，过点作交边于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，则________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质； （1）根据平行可得，再结合即可证明； （2）根据设，，先证明，得到，，，再证明得到，最后求的值即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是矩形， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵是矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴设，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 61．如图，已知，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． （1）由得出，结合即可得证； （2）由相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， ∵， ∴； （2）解：由（1）可得， ∴， ∴， ∵， ∴． 62．如图，是等边三角形，点，分别在边，上，． (1)求证：； (2)如果，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为或 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质及其应用是解题的关键． （）是等边三角形，得到，根据，结合三角形外角的性质，推出，得到； （）由，得到，然后代入数值求得结果； 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， 由（）得， ∴即， 设，则， ∴， ∴或， ∴的长为或． 63．如图，在中，，是斜边上的高． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行证明； （2）根据相似三角形的性质列比例式即可得到结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ∴； （2）解：∵ ， 即， ． 64．如图，点P为线段上一点，在的同侧作等腰直角三角形和等腰直角三角形，与，分别相交于点E，F，与交于点H． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理： （1）根据等腰直角三角形的性质，得到，，角的和差关系推出，即可得出结论； （2）相似三角形的对应角相等，结合8字型图(对顶三角形)，推出，平角的定义，求出的度数即可． 【详解】（1）解：∵等腰直角三角形和等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴，， ∴； （2）由（1）知：， ∴， 又∵， ∴， ∴． 题型九 相似三角形的实际应用 例：小明到操场测量旗杆的高度，他手拿一只铅笔，边移动边观察（铅笔始终与地面垂直）．当小明移动到点处时，眼睛与铅笔顶端、旗杆的顶端三点共线，此时测得，小明的眼睛到铅笔的距离为，铅笔的长为，求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题关键是发现相似三角形以及牢记它的性质，本题根据相似三角形对应边上的高的比等于对应边的比即可求解． 【详解】解：∵小明的眼睛到铅笔的距离为， ∴的边上的高等于， ∵铅笔始终与地面垂直， ∴与平行， ∴， ∴，即， ∴，经检验，符合题意； 答：旗杆的高度为． 66．据《墨经》记载，在两千多年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，阐释了光沿直线传播的原理．如图所示的小孔成像实验中，若蜡烛火焰的高度为，蜡烛火焰的像的高度是，物距为，则像距是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是掌握相似三角形的高的比等于相似比．如图，先证，再根据相似三角形的高的比等于相似比即可求解． 【详解】解：如图， 由题意可知，，，， ，， ， ，即， 解得， 即像距是． 故选：D． 67．高的旗杆在水平地面上的影长为，如果此时附近的一建筑物在水平地面上的影长为，则该建筑物的高度为 ． 【答案】18 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，根据同一时刻，物高与影长的比值相同列方程求解即可． 【详解】解：设该建筑物的高为， 由题意得，， 解得， ∴建筑物的高为， 故答案为：18． 68．图是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图是它的侧面示意图，与相交于点，，据图中的数据可得的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解一元一次方程等知识点，牢记“相似三角形的一切对应线段的比等于相似比”是解题的关键． 过点作于点，交于点，则，，由可得出，再利用相似三角形的性质，即可求出的值． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， 则，， ， ， ， 即：， 解得：， 故答案为：． 69．如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔10米种一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸有两根相邻的电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有一棵树，那么这段河的宽度为 米． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质，根据题意，河两岸平行，证明来解决问题，列出方程，求解即可． 【详解】解：如图，设河宽为h， 米，P到的距离是米， ∴， ∴， ∴ ∴， 解得：米， ∴河宽为米． 故答案为：． 70．学完了《相似形》这一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量位于良乡的昊天塔的高度（如图1），测量方法如下：如图2，从塔的底部B出发，作一条射线，在上取E，G两点，分别竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为．从标杆处沿后退到D处，从D处观察A点，发现A，F，D三点成一线；从标杆处沿后退到C处，从C处观察A点，发现A，H，C三点也成一线请根据以上测量数据，帮助实践小组求出昊天塔的高度． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的应用，理解题意是解答的关键．分别证明和，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：由题意，，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即； ∵，， ∴， ∴，即, 由得， ∴，解得， 答：昊天塔的高度为． 71．在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图为一凸透镜，是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后呈的像为．光路图如图所示：经过焦点的光线，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线汇聚于点．若焦距，物距，小蜡烛的高度，求蜡烛的像的长度以及像与透镜之间的距离． 【答案】蜡烛的像的长度为，像与透镜之间的距离为 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键； 根据题意可得，，，，，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质可求出的长，这证明，从而利用相似三角形的性质可求出的长，即可解答； 【详解】解：，，，， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， ， ， ， 蜡烛的像的长度为，像与透镜之间的距离为； 72．为了加快城市发展，保障市民出行方便，某市在流经该市的河流上架起一座桥，连通南北，铺就城市繁荣之路．小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在，的延长线上取点D，E，使得．经测量，米，米，且点E到河岸的距离为90米．已知于点F，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥的长度． 【答案】桥的长度为120米 【分析】本题考查了相似测量河的宽度（测量距离），过E作于G，依据，即可得出，依据，即可得到，进而得出的长，构造相似三角形是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过E作于G， ∵， ， ， ， ， ， ， ，即：， 解得， ∴桥的长度为120米． 73．学习了相似三角形知识，某校九年级（1）班三个学习小组运用了不同方法测量操场上旗杆的高度.（默认操场是水平的） 一小组 二小组 测量方法 借鉴泰勒斯测量金字塔的方法，利用影子测量． 借鉴平面镜反射原理，利用平面镜测量． 测量工具 卷尺 平面镜、卷尺 测量 示意图 测量过程 （1）如图1，当同学身高等于其影长时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________； （2）如图2，一名同学站在操场点处，前面水平放置平镜面，并通过镜面观测到旗杆顶部．小组同学测得该同学眼睛距地面高度，到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆的高度； （3）三小组利用标杆进行测量，如图3，在操场点处树立标杆，一名同学在的延长线上移动，找到恰当的位置点，使得眼睛与标杆顶点，旗杆顶点在同一条直线上，小组同学测得，，，．求旗杆的高度． 【答案】（1）；（2）旗杆的高度为；（3）旗杆的高度为 【分析】本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的应用是解题的关键． （1）由题意知，，即，求解作答即可； （2）由题意得，，，，， 证明，则，即，计算求解即可； （3）如图，设过点作平行于的直线分别交于点，由题意得，，，， ，证明，则，即，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，，即， 解得，， 故答案为：； （2）解：由题意得，，，，， 又∵， ∴， ∴，即， 解得，， 答：旗杆的高度为． （3）解：如图，设过点作平行于的直线分别交于点， 由题意得，，，， ， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：m， ∴， 答：旗杆的高度为． 74．【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角．这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，灯泡到地面的高度，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中在同一条直线上． (1)求的长； (2)求点到地面的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查相似三角形的应用，理解题意，利用相似三角形的性质求解是解答的关键． （1）证明，利用相似三角形的性质求解即可； （2）证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得，经检验，符合题意； （2）解：由题意，，， ∴， ∴，即， ∴． 75．张师傅有一块如的锐角三角形木料，其中高张帅傅想把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，与交于点E． (1)当点P恰好为中点时，___________ (2)当四边形为正方形时，求出这个零件的边长； (3)图2，如果把这块材料形状改为的斜板，已知，，，要把它加工成一个形状为平行四边形的工件，使在上，P、N两点分别在，上，且，求出平行四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了相似三角形的应用，借助标杆或直尺测量物体的高度． （1）根据，得到，利用相似三角形的性质可得到答案； （2）设正方形的边长为 ，根据，得到，得到对应高之比等于相似比，，据此求解即可； （3）过点作于，交于，同理可证，，得到，利用勾股定理和面积法求出，，从而求出，则． 【详解】（1）解：四边形为矩形， ∴，， ∴， ， 为中点， ， ， ； 故答案为：； （2）解：四边形为正方形， ∴，， 设正方形的边长为，则， ∵， ∴， ， ， 解得， ∴这个零件的边长为； （3）解：过点作于，交于，如图所示： 同理可证，， ， 在中，，，， ， ， ， ， ， ， ， 平行四边形的面积为． 试卷第2页，共55页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十七章 相似知识归纳与题型突破（ 九题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、图形的相似的概念 形状相同的图形叫做相似图形。 1、两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到； 2、全等的图形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同； 二、成比例线段 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段。 1、若四条线段、、、成比例，则记作或。注意：四条线段的位置不能随意颠倒。 2、四条线段、、、的单位应一致（有时为了计算方便，、的单位一致，、的单位一致也可以）3、比例的性质： 基本性质：若，则；反之，也成立。 和比性质：若，则； 更比性质：若，则； 反比性质：若，则； 等比性质：若，则。 4、把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。 三、平行线分线段成比例 平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 推论：平行于三角形一边的直线与其他两条直线相交，截得的对应线段成比例。 四、相似多边形的性质与判定 1、相似多边形对应角相等，对应边的比相等。 2、相似比：相似多边形对应边的比称为相似比。 五、相似三角形的判定 判定1：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 判定2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。 判定3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 判定4：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似（此知识常用，用时需要证明）。 六、相似三角形的性质 1、对应角相等，对应边的比相等； 2、拓展：对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比。 3、相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。（相似多边形周长比等于相似比，相似多边形的面积比等于相似比的平方。） 七、利用相似三角形测高 1、利用相似测量的物体的宽度或高度： （1）在构造“A”型图求河宽AB时，需保证A，B，C三点在同一条直线上，A，E，D三点也在同一条直线上，通过测量BC，BE，CD的长，即可求出AB，为简便，通常使EB⊥AC，DC⊥AC. （2）在构造“X”型图求河宽AB时，应保证A，O，C三点在同一条直线上，B，O，D三点也在同一条直线上. 2、在平行关线的照射下，同一时刻，两个物体的高度与影长成比例——测量高度. 提示：同一时刻，太阳光线是平行的. 3、观察物体时人的眼睛的位置称为视点. 4、测量物体的高度时，水平视线与向上观察物体的视线间的夹角叫做仰角，水平视线与向下观察物体的视线间的夹角叫做仰角. 5、观察者视线看不到的区域叫做盲区. 6.利用相似三角形解决实际问题常见模型： 八、位似的概念及性质 1、两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.（两个位似图形的位似中心只有一个） 2、利用位似，可以将一个图形放大或缩小. 3、位似图形对应边的比都等于相似比，周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方. 4、位似图形是具有特殊位置关系的相似图形.位似一定相似，相似不一定位似. 5、位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 6、位似图形具有（1）相似图形的所有性质；（2）位似图形的对应边平行或共线. 7、在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点（x，y）对应的位似图形上的点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）. 03 题型归纳 题型一　图形的位似及其性质 例：如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 2．如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，，则（    ） A．3 B．6 C．9 D． 3．如图，三个顶点的坐标分别为，，，以点为位似中心，在轴下方作把放大为原来的2倍的位似图形，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．如图，点，，以为位似中心，将放大倍，则点的对应点的坐标是 ． 5．如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为．点在轴上，若正方形的边长为，则点坐标为 ． 6．如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心，点是线段的中点，则 ． 7．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)以原点O为位似中心，画出的位似三角形，使它与的相似比为； (2)与其位似三角形的面积比为______． 8．如图，，相交于点P，连接，，，，． (1)求证：，并判断与是不是位似图形？（不必说明理由） (2)若，，，求的长． 9．如图，在正方形网格图中，每个小正方形边长均为1，点和的顶点均为小正方形的顶点． (1)以为位似中心，在网格图中作，使和位似，且位似比为． (2)证明和相似． ； 10．如图，在平面直角坐标系中，与关于点位似，其中顶点，，的对应点依次为，，，且都在格点上．    (1)请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心； (2)写出点的坐标为______，与的面积比为______， ______； (3)请在图中画出，使之满足如下条件： ①与关于点位似，且与的位似比为； ②与位于点的同侧． 11．已知，在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为， ，． 与 是以点P为位似中心的位似图形． (1)请写出点P的坐标是___________； (2)以点O为位似中心，在y轴左侧画出，的位似图形，使相似比为； (3)若点为内一点，则点M在内的对应点的坐标为___________． (4)计算的面积．（写出计算过程） 题型二　比例的性质 例：已知，则下列比例式中正确的是（   ） A． B． C． D． 13．（1）已知线段，，，，，若是，的比例中项，求的值． （2）已知：，且，求的值． 14．下列说法中，正确的是（　　） A．如果，那么 B． C．方程的根是 D． 15．已知，且，求的值 ． 16．若，，则 ． 17．已知，那么 ． 18．已知 ，且，试求的值． 题型三　比例线段和成比例线段 例：下列四组线段中：①，，，，②，，，，③，，，，④，，，；其中a，b，c，d是成比例线段的有 ．（请填写序号） 20．一幅地图上，用的线段表示的实际距离，它的比例尺是（    ） A． B． C． D． 21．已知线段是线段，的比例中项，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 22．下列四组线段中，是成比例线段的一组是（   ） A． B． C． D． 23．在比例尺为的地图上，相距10厘米的两地实际距离为 千米． 24．已知两条线段的长为和，则它们的比例中项线段长为 ． 25．数是数和数的比例中项，若，，则数的值为 题型四 黄金分割 例：秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”，实际上，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点是的黄金分割点，如果的长为，那么的长为 ． 27．线段上一点把线段分成两部分，如果较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与线段整体长度之比，那么该点就叫做线段的黄金分割点．主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台的长为20米，一名主持人现在站在A处，则她至少走多少米才最自然得体？（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 28．有以下命题：①如果线段d是线段a，b，c的第四比例项，则有；②如果点C是线段的中点，那么；③如果点C是线段的黄金分割点，且，那么；④如果点C是线段的黄金分割点，，且，则．其中正确的判断有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 29．若点C是线段的黄金分割点，，，则的长为 ． 30．如果一个矩形的宽与长的比值正好是黄金比，人们就称它为“黄金矩形”．现需设计一扇符合黄金矩形的窗户，若窗户的长为2米，则窗户的宽为 米（结果保留根号）． 31．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是的黄金分割点，若线段的长为，则的长为 ． 题型五 相似多边形及其性质 例：如图，矩形的边，点分别在边上，且四边形为正方形．若矩形与矩形相似，则的长为 ． 33．下列四组图形中一定相似的是（    ） A．正方形与矩形 B．正方形与菱形 C．等边三角形与等边三角形 D．矩形与矩形 34．如图，下列网格中各个小正方形的边长均为1个单位长度，阴影部分的图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似图形的为（    ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．甲和丁 D．乙和丙 35．在如图所示的三个矩形中，相似的是（　） A． B． C． D．都不相似 36．如图，在矩形中，，截去矩形，若剩下的矩形与矩形相似，则等于（    ） A．2 B． C．4 D． 37．东方美学钟爱“白银分割”．日常生活中随处可以见到“白银分割”的身影，比如日常用到的纸（图①），对折后得到两个全等的纸并与纸相似（图②），则图中纸长与宽的比值为（   ） A． B． C． D． 38．如图所示，小林在一块长为，宽为的矩形小花园周围栽种兰花来装饰（小花园的一边靠墙），兰花的边框宽均为，边框内外边缘所围成的两个矩形相似吗？请说明理由． 39．如图，四边形四边形． (1)_____度； (2)求边x，y的长． 题型六 平行线分线段成比例定理 例：如图，直线分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且． (1)如果，，求的长． (2)如果，求的长． 41．已知线段a、b，求作线段x，，正确的作法是（   ） A． B． C． D． 42．如图，直线，直线交分别于点，直线交分别于点，，，则下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 43．如图，已知，直线，，分别交直线于点、、，交直线于点、、，那么下列比例式正确的是（    ） A． B． C． D． 44．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段，则线段的长是（    ） A． B． C．2 D．3 45．如图，直线，，，则的长是 ． 46．如图，已知，． (1)若，，．求的长； (2)求证：． 题型七 相似三角形的判定 例：如图，在中，分别是边上的点，连接，且，，．求证：∽． 48．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（   ） A． B． C． D． 49．观察下列每组三角形，不能判定相似的是（    ） A． B． C． D． 50．如图，已知△，下列4个三角形中，与△相似的是（   ） A． B． C． D． 51．如图所示，给出下列条件：①；②；③；④．其中能够判定的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 52．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 53．如图，在四边形中，已知，添加下列一个条件后，仍不能判定的是（    ） A． B． C． D． 54．已知在中，，下列阴影部分的三角形与原不相似的是（　　） A． B． C． D． 55．如图，是的边上的一点，连接，要使，还需要添加一个条件是 （写出一个即可） 56．如图，点、在线段上，△是等边三角形，． (1)证明：； (2)线段、、之间有怎样的数量关系？请说明理由． 57．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中画一个格点，并作直线． (2)在图②中画一个格点，点在直线上，连接，使． (3)在图③中画一个格点，点不在直线，连接、，使． 题型八 相似三角形的性质 例：已知两个等边三角形的面积比为，那么这两个等边三角形的角平分线的长度的比值为 59．已知，相似比为，若的面积为2，则的面积为 ． 60．如图，已知矩形中，是上的一点，过点作交边于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，则________． 61．如图，已知，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 62．如图，是等边三角形，点，分别在边，上，． (1)求证：； (2)如果，求的长． 63．如图，在中，，是斜边上的高． (1)求证：； (2)若，，求的长． 64．如图，点P为线段上一点，在的同侧作等腰直角三角形和等腰直角三角形，与，分别相交于点E，F，与交于点H． (1)求证：； (2)求的度数． 题型九 相似三角形的实际应用 例：小明到操场测量旗杆的高度，他手拿一只铅笔，边移动边观察（铅笔始终与地面垂直）．当小明移动到点处时，眼睛与铅笔顶端、旗杆的顶端三点共线，此时测得，小明的眼睛到铅笔的距离为，铅笔的长为，求旗杆的高度． 66．据《墨经》记载，在两千多年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，阐释了光沿直线传播的原理．如图所示的小孔成像实验中，若蜡烛火焰的高度为，蜡烛火焰的像的高度是，物距为，则像距是（   ） A． B． C． D． 67．高的旗杆在水平地面上的影长为，如果此时附近的一建筑物在水平地面上的影长为，则该建筑物的高度为 ． 68．图是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图是它的侧面示意图，与相交于点，，据图中的数据可得的值为 ． 69．如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔10米种一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸有两根相邻的电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有一棵树，那么这段河的宽度为 米． 70．学完了《相似形》这一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量位于良乡的昊天塔的高度（如图1），测量方法如下：如图2，从塔的底部B出发，作一条射线，在上取E，G两点，分别竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为．从标杆处沿后退到D处，从D处观察A点，发现A，F，D三点成一线；从标杆处沿后退到C处，从C处观察A点，发现A，H，C三点也成一线请根据以上测量数据，帮助实践小组求出昊天塔的高度． 71．在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图为一凸透镜，是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后呈的像为．光路图如图所示：经过焦点的光线，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线汇聚于点．若焦距，物距，小蜡烛的高度，求蜡烛的像的长度以及像与透镜之间的距离． 72．为了加快城市发展，保障市民出行方便，某市在流经该市的河流上架起一座桥，连通南北，铺就城市繁荣之路．小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在，的延长线上取点D，E，使得．经测量，米，米，且点E到河岸的距离为90米．已知于点F，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥的长度． 73．学习了相似三角形知识，某校九年级（1）班三个学习小组运用了不同方法测量操场上旗杆的高度.（默认操场是水平的） 一小组 二小组 测量方法 借鉴泰勒斯测量金字塔的方法，利用影子测量． 借鉴平面镜反射原理，利用平面镜测量． 测量工具 卷尺 平面镜、卷尺 测量 示意图 测量过程 （1）如图1，当同学身高等于其影长时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________； （2）如图2，一名同学站在操场点处，前面水平放置平镜面，并通过镜面观测到旗杆顶部．小组同学测得该同学眼睛距地面高度，到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆的高度； （3）三小组利用标杆进行测量，如图3，在操场点处树立标杆，一名同学在的延长线上移动，找到恰当的位置点，使得眼睛与标杆顶点，旗杆顶点在同一条直线上，小组同学测得，，，．求旗杆的高度． 74．【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角．这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，灯泡到地面的高度，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中在同一条直线上． (1)求的长； (2)求点到地面的高度． 75．张师傅有一块如的锐角三角形木料，其中高张帅傅想把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，与交于点E． (1)当点P恰好为中点时，___________ (2)当四边形为正方形时，求出这个零件的边长； (3)图2，如果把这块材料形状改为的斜板，已知，，，要把它加工成一个形状为平行四边形的工件，使在上，P、N两点分别在，上，且，求出平行四边形的面积． 试卷第2页，共55页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$