2.2.4 点到直线的距离-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版2019）

2．2.4　点到直线的距离 [学习目标] 知识层面 1.掌握点到直线的距离公式并能灵活运用此公式解决距离问题．　2.会求两条平行直线之间的距离. 素养层面 通过点到直线的距离公式的推导，培养数学逻辑推理核心素养；借助点到直线的距离公式与两平行线间的距离公式，提升数学运算核心素养. 在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来，易知沿仓库垂直于铁路方向所修的公路最短．将铁路看作一条直线l，仓库看作点P. 问题1.如何建立数学模型，解决仓库到铁路的最短距离？ 提示：如图，平面直角坐标系中，把铁路抽象为直线l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)，仓库抽象为点P(x0，y0)，就转化为求出点P到直线l的最短距离． 问题2.向量是解决空间距离、角度问题的有力工具，如图：怎样用向量方法求点P到直线l的最短距离呢？ 提示：从直线l任取一点M，可以看作在直线l的垂线上的投影向量，求出的模即可． 知识点一　点到直线的距离公式 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝． 微提醒 1．点到直线的距离公式问题需注意的问题 直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式．例如，求P0(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离，应先把直线方程化为kx－y＋b＝0，得d＝.　　 2．点到几种特殊直线的距离 (1)点P(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|； (2)点P(x0，y0)到y轴的距离d＝|x0|； (3)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝b(b≠0)的距离d＝|y0－b|； (4)点P(x0，y0)到与y轴平行的直线x＝a(a≠0)的距离d＝|x0－a|.　　 知识点二　两条平行直线间的距离 1．定义：两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长． 2．求法：两条平行直线Ax＋By＋C1＝0(A2＋B2≠0)与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝． 微提醒 对平行线间的距离公式的理解 1．利用公式求平行线间的距离时，两直线方程必须是一般式，且x，y的系数对应相等． 2．当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决： (1)两直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|； (2)两直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|.　　 1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为(　　) A．1 B． C．2 D． 答案：D解析：利用点到直线的距离公式可得：原点到直线x＋2y－5＝0的距离d＝＝.故选D. 学生用书↓第56页 2．点(1，－1)到直线y＝x＋1的距离d是(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：直线y＝x＋1化为一般式为x－y＋1＝0，由点到直线的距离公式可得d＝＝. 3．若点(4，0)到直线y＝x＋的距离为3，则m的值为(　　) A．－1 B．31 C．－1或－31 D．－1或31 答案：C 解析：将直线方程y＝x＋化成一般式为4x－3y＋m＝0，由题意可知3＝，解得m＝－1或m＝－31. 4．已知直线l1与l2：x＋y－1＝0平行，且l1与l2的距离是，则直线l1的方程为______________． 答案：x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0 解析：因为l1与l2：x＋y－1＝0平行，所以可设l1的方程为x＋y＋b＝0(b≠－1)．又因为l1与l2的距离是，所以＝，解得b＝1或b＝－3，即l1的方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0. 题型一　点到直线的距离公式的应用 求点P0(－1，2)到下列直线的距离： (1)2x＋y－10＝0；(2)x＝2；(3)y－1＝0. [思路点拨]　利用点到直线的距离公式列方程求解． 解：(1)d＝＝＝2. (2)方法一：把直线方程化为一般式为x－2＝0，则d＝＝3. 方法二：因为直线x＝2与y轴平行， 所以由图1，知d＝|－1－2|＝3. (3)方法一：d＝＝1. 方法二：因为直线y－1＝0与x轴平行，所以由图2知，d＝|2－1|＝1. 方法技巧 1．求点到直线的距离时，若给出的直线方程不是一般式，需把直线方程化为一般式，再应用点到直线的距离公式求解． 2．对于与坐标轴平行(或重合)的直线x＝a或y＝b，求点(x0，y0)到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接利用d＝|x0－a|或d＝|y0－b|求解． 3．已知点到直线的距离求参数或直线方程时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可．　　 对点练1．直线l经过两直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且与直线l1：x＋y－6＝0平行． (1)求直线l的方程； (2)若点P(a，1)到直线l的距离与直线l1到直线l的距离相等，求实数a的值． 解：(1)由解得 即两直线交点坐标为(1，6)． 因为直线l1：x＋y－6＝0的斜率k1＝－1，所以直线l的斜率k＝－1. 所以直线l的方程为y－6＝－(x－1)，即x＋y－7＝0. (2)由题意得＝， 整理得|a－6|＝1，解得a＝7或a＝5. 题型二　求两条平行线间的距离 (链教材P100例2)(1)两条直线l1：3x＋y－3＝0，l2：6x＋my＋1＝0平行，则它们之间的距离为(　　) A．4 B． C． D． (2)已知直线l1过点A(0，1)，l2过点B(5，0)，如果l1∥l2，且l1与l2之间的距离为5，求l1，l2的方程． [思路点拨]　(1)先由l1∥l2，求出m的值，再求距离．求距离有以下两种思路：①直接利用两平行直线间的距离公式求解；②在l1上取一点M，求点M到l2的距离．(2)分斜率存在和不存在两种情况讨论． 答案：(1)D 解析：(1)因为l1∥l2，所以3×m－6×1＝0， 所以m＝2. 所以直线l2的方程为6x＋2y＋1＝0， 即3x＋y＋＝0. 方法一：根据两平行直线间的距离公式，得 d＝＝. 方法二：在l1上取一点M(0，3)，则点M到l2的距离d＝＝即为所求． (2)当直线l1，l2斜率存在时，设直线l1、l2的斜率为k，由斜截式得l1的方程为y＝kx＋1， 即kx－y＋1＝0. 由点斜式得l2的方程为y＝k(x－5)， 即kx－y－5k＝0. 在直线l1上取一点A(0，1)， 则点A到直线l2的距离d＝＝5， 所以25k2＋10k＋1＝25k2＋25，所以k＝， 所以l1的方程为12x－5y＋5＝0， l2的方程为12x－5y－60＝0. 若直线l1，l2的斜率不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，它们之间的距离为5，同样满足条件． 综上可知，满足条件的直线方程有两组，即l1：12x－5y＋5＝0，l2＝12x－5y－60＝0或l1：x＝0，l2：x＝5. 学生用书↓第57页 方法技巧 求两条平行直线间的距离的两种思路 1．利用“化归”思想将两条平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．由于这种求法与点的选择无关，因此，选点时，常选取一个特殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算． 2．利用两条平行直线间的距离公式求解．　　 对点练2．已知直线－2x＋4y＋2＝0与x－2y－c＝0的距离为2，则c的值为(　　) A．9 B．11或－9 C．－11 D．9或－11 答案：B 解析：直线－2x＋4y＋2＝0即x－2y－1＝0.因为它与直线x－2y－c＝0的距离为2，所以＝2，解得c＝11或c＝－9. 对点练3．P，Q分别为3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0上任一点，则|PQ|的最小值为________． 答案：3 解析：|PQ|的最小值即为两平行线之间的距离， 故|PQ|min＝＝＝3. 题型三　距离公式的综合应用 已知正方形ABCD的中心M(－1，0)和一边CD所在的直线方程为x＋3y－5＝0，求其他三边所在的直线方程． [思路点拨]　利用正方形中心到四边的距离相等及另外三边与已知边l平行或垂直求解． 解：因为AB∥CD， 所以可设AB边所在的直线方程为x＋3y＋m＝0(m≠－5)． 又因为AD⊥CD，BC⊥CD， 故可设AD，BC边所在的直线方程为3x－y＋n＝0. 因为中心M(－1，0)到CD的距离为 d＝＝， 所以点M(－1，0)到AB，AD，BC的距离均为， 由＝， 得|m－1|＝6，解得m＝7或－5(舍去)． 由＝， 得|n－3|＝6，解得n＝9或－3. 所以其他三边所在的直线方程分别为x＋3y＋7＝0，3x－y＋9＝0，3x－y－3＝0. 方法技巧 常见的距离公式应用问题的解题策略 1．最值问题． (1)利用对称转化为两点之间的距离问题． (2)利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离． (3)利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值．　　 2．求参数问题：利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值． 3．求方程的问题：立足确定直线的几何要素——点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系)，巧设直线方程，在此基础上借助距离公式求解．　　 对点练4．(1)本例条件不变，求正方形的面积． (2)已知直线2x－y＋2＝0和直线x＋y＋1＝0为平行四边形的两条邻边，求以(1，1)为中心的平行四边形的另两边所在的直线方程． 解：(1)因为中心M(－1，0)到直线x＋3y－5＝0的距离 d＝＝. 所以正方形的边长为， 所以正方形的面积为S＝＝. (2)由得E(－1，0)． 又E(－1，0)关于(1，1)的对称点为(3，2)． 根据平行四边形的性质知，另两边交点为(3，2)， 把(3，2)分别代入2x－y＋m＝0，x＋y＋n＝0， 解得m＝－4，n＝－5. 故平行四边形的另两边所在直线方程为2x－y－4＝0和x＋y－5＝0. 易错点　求直线方程时忽略斜率不存在的情况致错 已知直线l过点A(1，2)，且原点到直线l的距离为1，求直线l的方程． [正解]　当直线l过点A(1，2)且斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，原点到直线l的距离为1，满足题意． 当直线l过点A(1，2)且斜率存在时，由题意设直线l的方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0. 因为原点到直线l的距离为1， 所以＝1，解得k＝. 所以直线l的方程为y－2＝(x－1)， 即3x－4y＋5＝0. 综上所述，直线l的方程为x＝1或3x－4y＋5＝0. [易错探因]　符合题意的直线有两条，解题时容易忽略斜率不存在的情况，从而只得到一条直线3x－4y＋5＝0. [误区警示]　当设直线的方程为点斜式(斜截式)方程时，一定要对斜率是否存在进行讨论，否则容易因考虑不全而导致漏解． 课时测评14　点到直线的距离 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．已知点(a，1)到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值为(　　) A．1 B．－1 C． D．± 答案：D 解析：由题意，得＝1，即|a|＝，所以a＝±.故选D. 2．点P(－3，4)关于直线x＋y－2＝0的对称点Q的坐标是(　　) A．(－2，1) B．(－2，5) C．(2，－5) D．(4，－3) 答案：B 解析：设对称点坐标为(a，b)， 解得即Q(－2，5)．故选B. 3．已知m，n，a，b∈R，且满足3m＋4n＝6，3a＋4b＝1，则的最小值为(　　) A． B． C．1 D． 答案：C 解析：点(m，n)为直线3x＋4y＝6上的动点，点(a，b)为直线3x＋4y＝1上的动点，则的最小值可理解为两动点间距离的最小值，显然最小值即为两平行线间的距离，即＝1.故选C. 4．到直线3x－4y＋1＝0的距离为3，且与此直线平行的直线方程是(　　) A．3x－4y＋4＝0 B．3x－4y＋4＝0或3x－4y－2＝0 C．3x－4y＋16＝0 D．3x－4y＋16＝0或3x－4y－14＝0 答案：D 解析：设与直线3x－4y＋1＝0平行的直线方程为3x－4y＋m＝0，在直线3x－4y＋1＝0上取点(1，1)，则＝3，解得m＝16或m＝－14，即所求直线方程为3x－4y＋16＝0或3x－4y－14＝0.故选D. 5．(多选)两条平行线分别经过点A(6，2)，B(－3，－1)，下列可能是这两条平行线间的距离的是(　　) A．4 B．7 C．9 D．11 答案：ABC 解析：当两直线的斜率不存在时，两直线方程分别为x＝6，x＝－3，则d＝9.当两直线的斜率存在时，设两直线方程分别为y－2＝k(x－6)与y＋1＝k(x＋3)，即kx－y＋2－6k＝0，kx－y＋3k－1＝0，所以d＝＝.由此可得(81－d2)k2－54k＋9－d2＝0.当81－d2＝0，即d＝9时，k＝－，所以d＝9成立．当d≠9时，由k∈R，可得Δ＝(－54)2－4(81－d2)(9－d2)≥0， 即d4－90d2≤0，所以0<d≤3且d≠9.综上所述，d∈(0，3]．故应选ABC. 6．分别过点A(－2，1)和点B(3，－5)的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离d是________． 答案：5 解析：两条直线的方程分别为x＝－2，x＝3，所以这两条直线间的距离d＝|3－(－2)|＝5. 7．已知不同的两点P(a，－b)与Q(b＋1，a－1)关于点(3，4)对称，则ab＝________． 答案：－14 解析：由题意知即解得故ab＝－14. 8．(一题两空)已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点P，若点A(5，0)到直线l的距离为3，则直线l的方程为__________________，点A(5，0)到直线l的距离的最大值是________． 答案：4x－3y－5＝0或x＝2　 解析：设直线l的方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，所以＝3，即2λ2－5λ＋2＝0，解得λ＝2或，所以l的方程为4x－3y－5＝0或x＝2.由解得交点P(2，1)，过点P任意作直线l(图略)，设d为点A到l的距离，则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)， 所以dmax＝|PA|＝. 9．(10分)设l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，求直线l1，l2的方程． 解：当AB⊥l1，且AB⊥l2时， l1与l2间的距离最大． 又kAB＝＝2， 所以直线l1，l2的斜率为k＝－， 则l1的方程是y－1＝－(x－1)， 即x＋2y－3＝0. l2的方程是y＋1＝－(x－0)， 即x＋2y＋2＝0. 10．(10分)如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l2的方程． 解：设l2的方程为y＝－x＋b(b>1)， 则A(1，0)，D(0，1)，B(b，0)，C(0，b)， 所以|AD|＝，|BC|＝b. 梯形的高h就是A点到直线l2的距离， 故h＝＝＝(b>1)， 由梯形面积公式得×＝4， 解得b＝3或b＝－3(舍去)． 从而得到直线l2的方程是x＋y－3＝0. 11．(5分)(多选)下列过(2，2)的直线l中，到两点A(0，－2)，B(8，2)的距离相等的是(　　) A．x＋y－4＝0 B．x＝2 C．2x＋y－6＝0 D．x－2y＋2＝0 答案：AD 解析：显然l的斜率不存在时x＝2不满足题意．设l：y－2＝k(x－2)，即kx－y＋2－2k＝0.由条件可知＝，解得k＝或－1.当k＝时，l∥AB，方程为x－2y＋2＝0，当k＝－1时，l过AB中点，方程为x＋y－4＝0. 12．(5分)若两平行直线2x＋y－4＝0与y＝－2x－m－2间的距离不大于，则m的取值范围是____________． 答案：[－11，－6) ∪(－6，－1] 解析：直线y＝－2x－m－2可化为2x＋y＋m＋2＝0.由两平行直线间的距离公式，得d＝＝.由题意知0<≤，即0<|m＋6|≤5，解得－11≤m≤－1，且m≠－6. 13．(10分)已知正方形的中心为直线x－y＋1＝0和2x＋y＋2＝0的交点，正方形一边所在直线方程为x＋3y－2＝0.求其他三边所在直线的方程． 解析：因为由解得 所以中心坐标为(－1，0)． 所以中心到已知边的距离为＝ . 设正方形相邻两边方程为x＋3y＋m＝0和3x－y＋n＝0. 因为正方形中心到各边距离相等， 所以＝和＝ . 所以m＝4或m＝－2(舍去)，n＝6或n＝0. 所以其他三边所在直线的方程为x＋3y＋4＝0，3x－y＝0，3x－y＋6＝0. 14．(5分)(新定义)(多选)已知平面上一点M(5，0)，若一条直线上存在点P使|PM|＝4，则称该直线为“切割型直线”．下列直线中是“切割型直线”的是(　　) A．y＝x＋1 B．y＝2 C．y＝x D．y＝2x＋1 答案：BC 解析：由题意可知，点M到直线的距离小于或等于4即为“切割型直线”．点M(5，0)到直线y＝x＋1的距离d＝＝3>4，故A不符合题意；点M(5，0)到直线y＝2的距离d＝2<4，故B符合题意；点M(5，0)到直线y＝x的距离d＝＝4，故C符合题意；点M(5，0)到直线y＝2x＋1的距离d＝＝>4，故D不符合题意．故选BC. 15．(15分)某地A，B两村在一直角坐标系下的位置分别为A(1，2)，B(4，0)，一条河所在直线的方程为l：x＋2y－10＝0，若在河上建一座供水站P，使分别到A，B两村的管道之和最省，问供水站P应建在什么地方？ 解：过A作直线l的对称点A′，连接A′B交l于P，如图，在直线l上任取除点P以外的一点P′， 因为|AP′|＋|P′B|＝|A′P′|＋|BP′|>|A′B|， 所以P点即为所求. 设A′(a，b)，则 即解得a＝3，b＝6， 即A′(3，6)， 直线A′B的方程为＝， 即6x＋y－24＝0， 由解得x＝，y＝. 即P，故供水站P应建在点处，才能使管道最省． 学生用书↓第58页 学科网（北京）股份有限公司 $$