1.2.5 空间中的距离-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版2019）

1．2.5　空间中的距离 [学习目标] 知识层面 1.掌握向量长度计算公式．　2.会用向量方法求两点间的距离、点到平面的距离、直线到平面的距离和面到面的距离． 素养层面 通过学习空间距离的求解，提升逻辑推理、数学运算素养. 问题1．(1)点到直线的距离是什么？ (2)两条平行直线之间的距离是什么？ 提示：　(1)点到直线的距离就是点与直线上任一点的距离中的最小值． (2)两条平行直线之间的距离就是一条直线上任一点到另一条直线的距离． 问题2．(1)点与平面的距离是什么？ (2)如何用向量求点与平面的距离？ 提示：(1)点与平面的距离就是过该点作已知平面的垂线，垂足与该点间的线段长度． (2)利用平面的斜向量以及斜向量在已知平面的法向量上的投影向量所建构的直角三角形求解． 知识点一　空间距离的向量求法 分类 向量求法 两点距 设A、B为空间中的任意两点，则d＝|AB| 点线距 设直线l的单位方向向量为u，A∈l，P∉l，设＝a，则点P到直线l的距离d＝ 点面距 已知平面α的法向量为n，A∈α，P∉α，则点P到平面α的距离为d＝ 知识点二　相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离 1．相互平行的直线与平面间的距离 设直线a∥平面α，A∈a，B∈α，n是平面α的法向量，过A作AC⊥α，垂足为C，则∥n，因为·n＝(＋)·n＝·n，所以|·n|＝||·|n|. 所以直线a到平面α的距离d＝||＝Ｗ． 2．两平行平面间的距离 设n是两平行平面的一个法向量，A、B分别是两平行平面上的任意两点，则两平行平面的距离d＝Ｗ． 微提醒 1．表示向量在法向量n上的投影向量的长度，因此，点B到平面α的距离也可以表示成或. 2．由于＝n0可以视为平面的单位法向量，所以点到平面的距离实质上就是平面的单位法向量与从该点出发的斜线段对应的向量的数量积的绝对值，即d＝|·n0|. 3．已知直线l的方向向量是a，点P∉l，P′∈l， 则点P到直线l的距离为d′＝ .　　 1．已知直线l的方向向量n＝(1，0，2)，点A(0，1，1)在直线l上，则点P(1，2，2)到直线l的距离为(　　) A． B． C． D．2 答案：A 解析：由已知得＝(－1，－1，－1)，所以点P到直线l的距离为d＝ ＝ ＝.故选A. 2．若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA＝PB＝PC＝1，则点P到平面ABC的距离是(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：以P为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向．建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1).所以＝(－1，1，0)，＝(－1，0，1).设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则即令x＝1，则可得n＝(1，1，1)，则d＝＝.故选D. 学生用书↓第31页 3．已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，则平面AB1C与平面A1C1D之间的距离为(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(1，0，0)，C1(0，1，0)，D(0，0，1)，A(1，0，1)，所以＝(1，0，－1)，＝(0，1，－1)， ＝(－1，0，0)，设平面A1C1D的法向量为m＝(x，y，1)，则即 解得 故m＝(1，1，1)，显然平面AB1C∥平面A1C1D，所以平面AB1C与平面A1C1D之间的距离d＝＝ ＝. 4．棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BC、CD的中点，则BD到平面EFD1B1的距离为　　　　Ｗ． 答案： 解析：以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系(图略)，则D(0，0，0)，F，E，B1(1，1，1)，所以＝，＝.设平面EFD1B1的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则即令y＝1， 则可得n＝，又＝， 所以d＝＝. 题型一　求点到直线的距离 在长方体OABC-O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，求O1到直线AC的距离． [思路点拨]　 思路一　建立空间直角坐标系→作出点O1到直线AC的垂线段→利用待定系数法求解 思路二　建立空间直角坐标系→用坐标表示所涉及的向量→利用点线距公式求解 解：方法一：建立如图(1)所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，O1(0，0，2)，C(0，3，0)，过O1作O1D⊥AC于点D，设D(x，y，0)，则＝(x，y，－2)，＝(x－2，y，0). 因为＝(－2，3，0)，⊥，∥， 所以解得 所以D， 所以||＝ ＝. 即O1到直线AC的距离为. 方法二：连接AO1，建立如图(2)所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，O1(0，0，2)，C(0，3，0)， 所以＝(－2，0，2)，＝(－2，3，0)， 所以·＝(－2，0，2)·(－2，3，0)＝4， 所以＝， 所以O1到直线AC的距离 d＝ ＝. 方法技巧 利用向量法求点到直线的距离的两种思路 1．将求点到直线的距离问题转化为求向量模的问题．过已知点作直线的垂线段，建立适当的空间直角坐标系，利用待定系数法求出垂足的坐标，然后求出向量的模，这是求各种距离的通法． 2．直接套用点线距公式求解，其步骤为： (1)求出直线的方向向量a； (2)求出所求点到直线上一点的向量及其在直线的方向向量a上的投影； (3)代入公式． 另外，注意两条平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化．　　 对点练1．已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求点B到直线A1C1的距离． 解：以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A1(4，0，1)，C1(0，3，1)，所以直线A1C1的方向向量为 ＝(－4，3，0)，而 ＝(0，3，1)， 所以点B到直线A1C1的距离 d＝＝＝ . 题型二　求点到平面的距离或直线到平面的距离 已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点． (1)求点D到平面PEF的距离； (2)求直线AC到平面PEF的距离． [思路点拨]　直接采用建系的方法，利用点到平面距离的向量公式求解． 解：(1)以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示． 则D(0，0，0)，P(0，0，1)，E，F， 所以＝，＝， ＝， 设平面PEF的法向量为n＝(x，y，z)， 则所以 令x＝2，则y＝2，z＝3，所以n＝(2，2，3)为平面PEF的一个法向量， 所以点D到平面PEF的距离为 ＝＝. (2)由(1)知A(1，0，0)，所以＝. 因为AC∥平面PEF， 所以点A到平面PEF的距离为＝＝，所以直线AC到平面PEF的距离为. 学生用书↓第32页 方法技巧 用向量法求点面距的步骤 1．建系：建立恰当的空间直角坐标系； 2．求点坐标：写出(求出)相关点的坐标； 3．求向量：求出相关向量的坐标(如图中，，α内两不共线向量，平面α的法向量n)； 4．求距离d＝.　　 对点练2．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中点，AA1＝AB＝2. (1)求证：A1C∥平面AB1D； (2)求点C1到平面AB1D的距离． 解：如图所示，以D为坐标原点，，的方向分别为x轴、y轴正方向，过点D且与AA1平行的直线为z轴建立空间直角坐标系， 则D(0，0，0)，C(1，0，0)，A(0，，0)，B1(－1，0，2)，A1(0，，2)，C1(1，0，2)， 所以＝(1，－，－2)，＝(－1，－，2)，＝(0，－，0). (1)证明：设平面AB1D的法向量为n＝(x，y，z)，则 即 令z＝1，则x＝2，y＝0，所以n＝(2，0，1). 因为·n＝1×2＋(－)×0＋(－2)×1＝0， 所以⊥n. 因为A1C⊄平面AB1D，所以A1C∥平面AB1D. (2)由(1)知平面AB1D的一个法向量为n＝(2，0，1)，且＝(－1，，－2)，所以点C1到平面AB1D的距离d＝＝ ＝. 易错点　错把法向量的长度当成点到平面的距离 如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，侧棱AA1＝2，D，E分别是CC1，A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G，求点A1到平面AED的距离． [正解]　建立如图所示的空间直角坐标系，设AC＝2a(a>0)，则A(2a，0，0)，B(0，2a，0)，D(0，0，1)，A1(2a，0，2)，E(a，a，1)，G， 从而＝，＝(0，－2a，1)，＝(2a，0，－1)，＝(a，a，0). 因为⊥，所以·＝0，所以a＝1. 设n＝(x，y，z)为平面AED的法向量， 则即令x＝1，则y＝－1，z＝2， 可得平面AED的一个法向量n＝(1，－1，2).又＝(0，0，2)，所以点A1到平面AED的距离d＝＝. [易错探因]　本题易错的地方是误认为法向量的长度就是点到平面的距离，得到点A1到平面AED的距离d＝|n|＝. 课时测评8　空间中的距离 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．设P是60°的二面角α-l-β内一点，PA⊥平面α，PB⊥平面β，A，B为垂足，PA＝4，PB＝2，则|AB|的长为(　　) A．2 B．2 C．2 D．4 答案：C 解析：如图，因为PA⊥α，PB⊥β，又二面角α-l-β的平面角为60°，所以〈，〉＝120°，又|PA|＝4，|PB|＝2，所以|AB|2＝|PA|2＋|PB|2－2|PA|·|PB|cos 120°＝42＋22－2×4×2×＝28.所以|AB|＝2. 2．已知直线l过定点A(2，3，1)，且n＝(0，1，1)为其一个方向向量，则点P(4，3，2)到直线l的距离为(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：＝(－2，0，－1)，||＝，＝，则点P到直线l的距离d＝ ＝ ＝. 3．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是(　　) A． 　　　　 B． C． 　　　　 D． 答案：B 解析：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则有D1(0，0，1)，D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1).因为O为A1C1的中点，所以O，＝，＝(－1，0，1)，＝(0，1，0).设平面ABC1D1的法向量为n＝(x，y，z)，则有 即 取x＝1，则n＝(1，0，1)，所以O到平面ABC1D1的距离为d＝＝ ＝ .故选B. 4．如图，已知直三棱柱ABO-A1B1O1中，∠AOB＝，AO＝2，BO＝6，D为A1B1的中点，且异面直线OD与A1B垂直，则直线A1B1到平面ABO的距离为(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 答案：C 解析：由直棱柱的性质，知直线A1B1到平面ABO的距离为棱柱的高，不妨设为t(t>0).以O为坐标原点，OA，OB，OO1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0，0，0)，B(0，6，0)，A1(2，0，t)，B1(0，6，t)，则D(1，3，t)，所以＝(－2，6，－t)，＝(1，3，t)，所以·＝－2＋18－t2＝0，所以t＝4.故选C. 5．在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AB，BC的中点，则点C1到平面B1EF的距离是(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：建立空间直角坐标系(如图).则B1(2，2，2)，E(2，1，0)，F(1，2，0)，C1(0，2，2).所以＝(－1，0，－2)，＝(0，－1，－2).设平面B1EF的法向量为n＝(x，y，z)，则由得令z＝－1，得n＝(2，2，－1).又因为＝(2，0，0)，所以点C1到平面B1EF的距离为d＝＝. 6．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别是AB，CC1的中点，则点D1到直线GF的距离为　　　　Ｗ． 答案： 解析：以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0，0，2)，F(1，1，0)，G(0，2，1)，于是有＝(1，－1，－1)，＝(0，－2，1)，所以＝＝，||＝，所以点D1到直线GF的距离为 ＝. 7．如图所示，在直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中∠AEB＝90°，则点D到平面ACE的距离为　　　　Ｗ． 答案： 解析：取AB的中点O，连接OE.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz(其中z轴平行于BC)，则A(0，－1，0)， E(1，0，0)，D(0，－1，2)，C(0，1，2)，＝(0，0，2)，＝(1，1，0)，＝(0，2，2).设平面ACE的法向量为n＝(x，y，z)，则即 令y＝1，所以n＝(－1，1，－1).故点D到平面ACE的距离d＝＝ ＝ . 8．(一题两空)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD且PD＝AD＝1，AB＝2，点E是线段AB上一点，当面PEC与面ABCD的夹角为时，AE＝　　　　，这时，点D到面PEC的距离为　　　　Ｗ． 答案：2－　 解析：设AE＝a(0≤a≤2)，以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系D-xyz(图略)，则D(0，0，0)，E(1，a，0)，C(0，2，0)，P(0，0，1)，则＝(1，a，－1)，＝(0，2，－1).设平面PEC的法向量为m＝(x，y，z)，则即令y＝1，可得x＝2－a，z＝2，则m＝(2－a，1，2).易知平面DEC的一个法向量为＝(0，0，1)，则|cos〈m，〉|＝＝，解得a＝2－或2＋(舍去)，所以AE＝2－.这时，平面PEC的法向量可以取m＝(，1，2)，又因＝(0，0，1)，所以点D到平面PEC的距离为d＝＝＝. 9．(10分)如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形，AB＝4，∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，且PA＝4，E是PA的中点．求PC到平面BED的距离． 解：取CD的中点F，连接AF，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(4，0，0)，D(－2，2，0)，E(0，0，2)，P(0，0，4)，C(2，2，0)，所以＝(－4，0，2)，＝(2，－2，2). 设平面BED的法向量为n＝(x，y，z)，则 即 令z＝2，得平面BED的一个法向量为n＝(1，，2). 因为＝(2，2，－4)，且n·＝2＋6－8＝0， 所以PC∥平面BED， 所以PC到平面BED的距离就是点P到平面BED的距离． 因为＝(0，0，2)，n＝(1，，2)，所以|n|＝2，·n＝4， 所以点P到平面BED的距离d＝＝＝， 所以PC到平面BED的距离为. 10．(10分)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，点M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点． (1)证明：平面AMN∥平面EFBD； (2)求平面AMN与平面EFBD间的距离． 解：(1)证明：如图所示，建立空间直角坐标系，则A(4，0，0)，M(2，0，4)，D(0，0，0)，B(4，4，0)，E(0，2，4)，F(2，4，4)，N(4，2，4). 从而 ＝(2，2，0)， ＝(2，2，0)， ＝(－2，0，4)， ＝(－2，0，4)， 所以 ＝ ， ＝ ， 所以EF∥MN，AM∥BF. 因为EF∩BF＝F，MN∩AM＝M， 所以平面AMN∥平面EFBD. (2)因为平面AMN∥平面EFBD，所以点B到平面AMN的距离即为平面AMN与平面EFBD间的距离， 设n＝(x，y，z)是平面AMN的法向量， 从而 解得 取z＝1，得n＝(2，－2，1)，由于 ＝(0，4，0)， 所以两平行平面间的距离d＝＝ . 11．(5分)在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，AA1＝3，底面是边长为4的菱形，且∠DAB＝60°，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，E是O1A的中点，则点E到平面O1BC的距离为(　　) A．2 B．1 C． D．3 答案：C 解析：易得OO1⊥平面ABCD，所以OO1⊥OA，OO1⊥OB.又OA⊥OB，所以建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.因为底面ABCD是边长为4的菱形，∠DAB＝60°，所以OA＝2，OB＝2，则A(2，0，0)，B(0，2，0)，C(－2，0，0)，O1(0，0，3)，所以＝(0，2，－3)，＝(－2，0，－3).设平面O1BC的法向量为n＝(x，y，z)，则所以取z＝2，则x＝－，y＝3，则n＝(－，3，2)是平面O1BC的一个法向量．设点E到平面O1BC的距离为d.因为E是O1A的中点，所以E，＝，则d＝＝＝，所以点E到平面O1BC的距离为.故选C. 12．(5分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2，则平面A1BC1与平面ACD1的距离是　　　　Ｗ． 答案： 解析：建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.则A(3，0，0)，A1(3，0，2)，B(3，4，0)，C1(0，4，2)，所以＝(－3，4，0)，＝(0，4，－2).设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，则得令z＝2，得n＝.又＝(0，0，2)，所以点A到平面A1BC1的距离为d＝＝＝.易知平面A1BC1∥平面ACD1，所以两平面之间的距离为. 13．(10分)如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB＝AE＝2. (1)求证：BD⊥平面ACFE； (2)当直线FO与平面BED所成角的大小为45°时，求CF的长度． 解：(1)证明：因为四边形ABCD是菱形， 所以BD⊥AC. 因为AE⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD， 所以BD⊥AE. 因为AC∩AE＝A，所以BD⊥平面ACFE. (2)如图，以O为原点，，的方向分别为x轴、y轴的正方向，z轴过点O且平行于CF，建立空间直角坐标系， 则B(0，，0)，D(0，－，0)，E(1，0，2). 设F(－1，0，a)(a>0)，则＝(－1，0，a). 设平面EDB的法向量为n＝(x，y，z)， 则得 令z＝1，得n＝(－2，0，1). 由题意得sin 45°＝|cos〈，n〉|＝ ＝＝， 解得a＝3或a＝－. 因为a>0，所以a＝3，所以CF的长度为3. 14．(5分)(开放题)在空间直角坐标系Oxyz中，A，B，C，若点C到直线AB的距离不小于，写出一个满足条件的m的值为　　　　Ｗ． 答案：1(答案不唯一，只要1－≤m≤1＋即可) 解析：因为＝，＝，所以点C到直线AB的距离d＝＝≥，解得1－≤m≤1＋. 15．(15分)如图所示，在三棱锥P-ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2，在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由． 解：以O为原点，以射线OP为z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz， 则O(0，0，0)，A(0，－3，0)，B(4，2，0)，C(－4，2，0)，P(0，0，4)， 所以＝(0，－3，－4)，＝(－8，0，0)， ＝(－4，5，0). 设线段AP上存在点M，使得二面角A-MC-B为直二面角，则＝λ(λ≠1)， 所以＝＋＝(－4，－2，4)＋λ(0，－3，－4) ＝(－4，－2－3λ，4－4λ)， 设平面BMC的法向量m＝(x1，y1，z1)，平面APC的法向量n＝(x2，y2，z2)， 由 得 取y1＝1，得向量m＝. 由 得 取y2＝4，得向量n＝(5，4，－3)， 由m·n＝0，得4－3·＝0， 解得λ＝，所以＝， 所以＝， 所以||＝||＝×5＝3. 综上所述，存在点M使得二面角A-MC-B为直二面角，AM的长为3. 学生用书↓第33页 学科网（北京）股份有限公司 $$