专题11 圆的重难点题型汇编（一）(十三大题型）-2024-2025学年九年级数学下册《重难点题型•高分突破》（北师大版）

专题11 圆的重难点题型汇编 【题型01 ：垂径定理及应用】 【题型02 ：点与圆的位置关系的判定】 【题型03 ：直线与圆的位置关系的判定】 【题型04：切线判定与性质综合】 【题型05 ：圆周角定理】 【题型06：圆内接四边形】 【题型07：三角形的内切圆及切线长】 【题型08：三角形的外接圆】 【题型09 ：正多边形与圆的综合】 【题型10 ：弧长和扇形的面积】 【题型11 ：圆锥的侧面积】 【题型12 ：圆锥的侧面最短路径问题】 【题型13 ：不规则图形的阴影面积】 【题型01 ：垂径定理及应用】 【典例 1】如图，是一个圆弧形拱桥的截面示意图．点是拱桥的中点，桥下水面的宽度，点到水面的距离．点，均在上，，且，在点，处各装有一个照明灯，图中和分别是这两个灯的光照范围．两灯可以分别绕点，左右转动，且光束始终照在水面上．即，可分别绕点，按顺（逆）时针方向旋转（照明灯的大小忽略不计），线段，在上，此时，线段是这两灯照在水面上的重叠部分的水面宽度．    (1)求圆弧形拱桥所在圆的半径． (2)求照明灯距离水面的高度． (3)已知，在这两个灯的照射下，当整个水面都被灯光照到时，求这两个灯照在水面上的重叠部分的水面宽度． 【答案】(1)圆弧型拱桥所在圆的半径为13米 (2)照明灯距离水面的高度为7米． (3)这两个灯照在水面上的重叠部分的水面宽度为或． 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、等腰直角三角形、解直角三角形等知识点，正确作出作辅助线、构造直角三角形解决问题成为解题的关键． （1）设交于K，圆心为O，连接，，，过作于T，根据垂径定理可得，，然后运用勾股定理列方程求解即可； （2）根据题意得出，勾股定理求得的长，进而可得； （3）当整个水面都被灯光照到时，分①C与A重合，F与B重合，②当E与A重合，D与B重合两种情况分别画出图形，解直角三角形即可解答． 【详解】（1）解：如图：设交于K，圆心为O，连接，，，过作于T， ∵点点是拱桥的中点， ∴， ∴O，P，H共线，， 设半径为r，则， 在中，， ∴，解得：， ∴圆弧型拱桥所在圆的半径为13米． （2）解：如图：设交于K，圆心为O，连接，，，过作于T，则四边形是矩形， ∵，且， ∴， ∴， ， ， ∴，即照明灯距离水面的高度为7米． （3）解：当整个水面都被灯光照到时， ①如图：当C与A重合，F与B重合时， 由（2）可得 ， ∴， ∴， ∵，即， ∴是等腰直角三角形， ，即； ， 同理可得，即， ， 这两个灯照在水面上的重叠部分的水面宽度为； ②如图：当E与A重合，D与B重合， ∵ ， ∴， ， ， ， 根据对称性可得∶， ∴， ∴这两个灯照在水面上的重叠部分的水面宽度为． 综上所述，这两个灯照在水面上的重叠部分的水面宽度为或． 【变式1-1】将一小球放在长方体盒子中，小球的一部分露在盒外，其截面如图所示，已知，则此小球的半径是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理，矩形的判定与性质及勾股定理的知识，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形． 取的中点M，作交于点N，则经过球心O，连接，由垂径定理求出，设，则，然后在中利用勾股定理求得的长即可． 【详解】解：如图，取的中点M，作交于点N，则经过球心O，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴． 设，则， ∴在中，，即， 解得：， 故选B． 【变式1-2】如图是一个在建隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分，M是中弦的中点，经过圆心交于点，且，，则的半径为（　　）． A．5 B．6.5 C．7.5 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理的运用，理解垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，平分弦所在的弧是解答关键． 连接，根据垂径定理得到，，再勾股定理得到来求解． 【详解】解：连接， ∵是中弦的中点，， ，． 设的半径为， 则， ． ， 即：， 解得：， 即的半径为． 故选：A． 【变式1-3】某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，当和确定时，有两种设计方案可供选择；①抛物线型；②圆弧型．已知这座桥的跨度米，拱高米． (1)如图1，若设计成抛物线型，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立坐标系，求此函数表达式； (2)如图2，若设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径； (3)现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面2.2米．从以上两种方案中，任选一种方案，判断此货船能否顺利通过你所选方案的桥？并说明理由． 【答案】(1) (2)12.5米 (3)①若设计成抛物线型时，货船不能顺利通过该桥；②若设计成圆弧型时，货船能顺利通过该桥；理由见解析 【分析】（1）根据题意设抛物线的解析式为，将点代入，求出的值，即可确定函数的解析式； （2）设圆心为，连接交于点，连接，在中，，解得，即可求该圆弧所在圆的半径12.5米； （3）①若设计成抛物线型时，当时，，由米米，可知货船不能顺利通过该桥； ②若设计成圆弧型时，设米，过点作交弧于点，过点作交于点，连接，在中，，求出米，可得米，再由2.5米米，即可判断货船能顺利通过该桥． 【详解】（1）解： ， ，， ， ， 设抛物线的解析式为， ， 解得， 抛物线的解析式为， 即； （2）解：设圆心为，连接交于点，连接， ， ， ， ， 在中，， ， 解得， 该圆弧所在圆的半径12.5米； （3）解：①若设计成抛物线型时，当时，， 米米， 货船不能顺利通过该桥； ②若设计成圆弧型时， 设米， 过点作交弧于点，过点作交于点，连接， 米， 在中，， ， 米， 米， 米， 米米， 货船能顺利通过该桥． 【点睛】本题考查二次函数的应用，垂径定理，勾股定理，熟练掌握二次函数的图象及性质，圆的性质，垂径定理，勾股定理是解题的关键． 【题型02 ：点与圆的位置关系的判定】 【典例2】在所在平面内有一点，若，半径为，则点与的位置关系是（    ） A．点在内 B．点在外 C．点在上 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，由点到圆心的距离与圆的半径进行判定，掌握点与圆的位置关系的判定方法是解题的关键．根据题意，点到圆心的距离与圆的半径，当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在园内；由此即可求解． 【详解】解：设点到圆心的距离为，圆的半径为， ∴， ∵， ∴点在外， 故选：B ． 【变式2-1】在中，，，，以点B为圆心，12为半径画圆，则点A与的位置关系是（   ） A．点A在外 B．点A在上 C．点A在内 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，利用勾股定理求得边的长，然后通过比较与半径的长即可得到结论，解题的关键是确定圆的半径和点与圆心之间的距离之间的大小关系． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵， ∴点A在外， 故选：． 【变式2-2】若的直径为，点到圆心的距离为，则点与的位置关系为（　　） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系．根据题意得出，从而即可得出答案． 【详解】解：∵的直径为，所以半径为，点到圆心的距离为， ∴， ∴点与的位置关系为：点在圆上， 故选：B． 【变式2-3】若的半径为6，圆心的坐标为，点的坐标为，则点与的位置关系是（     ） A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知设的半径为，点到圆心的距离，当时，点在圆内是解答此题的关键．先根据勾股定理求出的长，再与圆的半径相比较即可． 【详解】解：圆心的坐标为，点的坐标为， ． 的半径为6，且， 点在圆内． 故选：A 【题型03 ：直线与圆的位置关系的判定】 【典例3】已知的半径为2，直线上有一点．若，则直线与的位置关系是（    ） A．相交 B．相离或相交 C．相离或相切 D．相交或相切 【答案】D 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，熟练掌握直线和圆的位置关系与数量之间的联系是解题的关键． 直线和圆的位置关系与数量之间的联系：若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离． 【详解】解：因为垂线段最短，所以圆心到直线的距离小于等于2． 此时和半径2的大小不确定，则直线和圆相交、相切都有可能． 故选：D． 【变式3-1】已知的半径为，圆心O到直线l的距离为，则l与的交点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆与直线的位置关系，圆与直线的位置关系有相离，相交，相切，熟悉三种位置关系对应的公共点的个数是解本题的关键．圆的半径为r 圆心到直线的距离为d，当时，圆与直线相离，直线与圆没有交点，当时，圆与直线相切，直线与圆有一个交点，当时，圆与直线相交，直线与圆有两个交点，根据原理可得答案． 【详解】解：∵的半径为，圆心O到直线l的距离d，为， ∴， ∴圆与直线l相交，直线l与圆有两个交点， 故选：C． 【变式3-2】在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径的圆一定（   ） A．与轴相交，与轴相切 B．与轴相离，与轴相交 C．与轴相切，与轴相交 D．与轴相切，与轴相离 【答案】C 【分析】本题主要考查对直线与圆的位置关系，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用直线与圆的位置关系定理进行判断是解此题的关键，首先画出图形，根据点的坐标得，到圆心到轴的距离是，到轴的距离是，根据直线与圆的位置关系，即可求出答案． 【详解】解：圆心到轴的距离是，到轴的距离是， ∴圆与轴相切，与轴相交， 故选：C． 【变式3-3】已知平面内有与直线，的半径为，点到直线的距离为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．不能判断 【答案】A 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键．根据点到直线的距离与圆的半径大小作比较即可． 【详解】解：∵点到直线的距离为，且的半径为， ∴点到直线的距离等于的半径， ∴直线与的位置关系是相切， 故选：A． 【题型04：切线判定与性质综合】 【典例4】如图，是斜边上的中线，以为直径作，分别交于点M、N，过点M作，交于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）连接，先证出，再证明即可； （2）由平行线分线段成比例定理可求，由直角三角形斜边中线的性质可求，由勾股定理求出的长，然后证明即可求解． 【详解】（1）解：连接，    ∵是斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴，又是的半径， ∴是的切线． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是斜边上的中线． ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴， ∴． 【变式4-1】如图，已知是边上的一点，以为圆心、为半径的与边相切于点，且，连接，交于点，连接并延长，交于点． (1)求证：是切线； (2)求证：； (3)若是中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，由切线的性质可知．证明得出，即，说明是圆O的切线； （2）证明得出，整理得； （3）设，则．由勾股定理求出x的值，得出．由，可设，则，，即可求出，从而得出，解出y的值，即可求出，即半径为．由直角三角形斜边中线的性质得出，结合等边对等角，得出，进而可证，得出，代入数据，即可求出，最后由求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， 与圆相切于点， ，即， ， ， ，即， 是圆的切线； （2）证明：， ． ， ． 又， ， ， ； （3）解：， ， 设，则． ， ， 解得：舍去负值， ． ， ， 设， 则， ， ， 解得：， ，即半径为． 是中点， ， ． ， ， ， ， ，即， 解得：， ． 【点睛】本题考查切线的性质与判定，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，解直角三角形等知识．在解圆的相关题型中，连接常用的辅助线是解题关键． 【变式4-2】如图，在四边形中，平分．点O在上，以点O为圆心，为半径，作与相切于点B，延长线交于点E，交于点F，连接，．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的切线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角等知识，掌握圆的相关性质是解题关键． （1）连接，根据圆的切线的性质，得到，根据角平分线的定义以及等边对等角的性质，得到，进而得出，推出，得到，即可证明结论； （2）根据同弧所对的圆周角相等，得到，进而得出，再根据直径所对的圆周角是直角，得出，，由30度角所对的直角边等于斜边一半，得到，再结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接． 为圆O的切线， ． 平分， ． ， ， ，， ． 在和中， ， ， ． 是的切线．    （2）解：， ， ， ． ． 是直径， ， ， ． 在中，，， ． ． 【变式4-3】如图，在中，，以为直径的交于点D（点D与点A不重合），交于点E，过点E作于点F，交的延长线于点G． (1)求证：是的切线； (2)如图1，若；求的半径； (3)如图2，连接，交点为H，当时，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，由圆周角定理可得，即，再根据等腰三角形性质可得，由半径相等和等边对顶角得出，推出，根据平行线的判定可得，由得出半径，再运用切线的判定即可证得结论； （2）先证得，得出，求得，即可求得答案； （3）先证得是等边三角形，可得，，再利用直角三角形性质可得，推出，进而得出． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴的半径为； （3）解：如图2，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，切线的判定，等腰三角形性质，等边三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造基本图形解决问题，属于中考常考题型． 【题型05 ：圆周角定理】 【典例5】如图，点A、B、C在上，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键． 【详解】解：∵， ∴由圆周角定理得：， 故选：D． 【变式5-1】如图，已知点在⊙O上，且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了圆周角定理的应用，熟记圆周角定理是解题关键．根据圆周角定理即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴． 故选：A． 【变式5-2】如图，为的直径，，为上两点．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查的是圆周角定理及其推论；半圆(弧)和直径所对的圆周角是直角；同弧所对的圆周角相等．由于为的直径，由圆周角定理可知，则和互余，欲求需先求出的度数，已知同弧所对的圆周角的度数，则，由此得解． 【详解】解∶连接，如图 ∵为的直径， ，即； 又同弧所对的圆周角相等， 故选∶ C． 【变式5-3】如图，为的直径，点B，D在上，，，则的长为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理及勾股定理，根据同弧所对圆周角相等及直径所对圆周角是直角得到，，根据得到，最后根据勾股定理求解即可得到答案 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【题型06：圆内接四边形】 【典例6】如图， 四边形内接于， 若， 则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．先根据圆周角定理求出的度数，再由圆内接四边形的性质求出的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴． ∴． 故选：C． 【变式6-1】如图，四边形内接于，点是的中点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据内接四边形的性质得出的度数，再由点为弧的中点得出，最后利用等腰三角形的性质得出结果． 本题考查了弧、弦、圆心角的关系，圆内接四边形的性质，解题的关键是根据题意得出的度数和． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∵点为中点，即， ∴， ∴， 故选A． 【变式6-2】如图，四边形内接于，连接．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查圆内接四边形的性质、圆周角定理的推论等知识．根据圆内接四边形的性质得到，则的度数是，根据得到的度数是，利用圆周角定理的推论即可得到的度数． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∴的度数是， ∵， ∴的度数是， ∴， 故选：B 【变式6-3】如图，在的内接四边形中，，，则的度数为 ． 【答案】100 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，等边对等角的知识，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键． 连接，先根据圆内接四边形的性质求出的度数，再由等边对等角的性质以及三角形内角和的定理求出的度数，由圆内接四边形的性质即可得出结论． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是圆内接四边形，， ∴． ∵， ∴． ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴． 故答案为： 【题型07：三角形的内切圆级切线长】 【典例7】如图，在中，，其内切圆分别与相切于点D、E、F，若，，则的长为（    ） A．2 B．4 C．5 D．3 【答案】A 【分析】本题考查三角形的内切圆，切线长定理、勾股定理等知识．根据切线长定理得：，再利用勾股定理列方程可得的长． 【详解】解：∵的内切圆分别与相切于点D、E、F，，， ， ， ， ， 解得：（舍）或2， 故选：A． 【变式7-1】如图，、、是的切线，切点分别为、、，若，，则的长是（　　） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了切线长定理的应用；由于、、是的切线，则，，求出的长即可求出的长． 【详解】解：、为的切线， ， 、为的切线， ， ． 故选：B． 【变式7-2】如图，在一张纸片中，，O是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为（    ）    A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内切圆，勾股定理，切线的性质、切线长定理等知识，解决本题的关键是掌握切线的性质和切线长定理． 设与相切于点M，切设的内切圆切三边于点、、，连接、、，则，设的半径为r，证得四边形是正方形，则，根据是的切线，可得，，求出再求出内切圆的半径，进而可得的周长． 【详解】解：如图，设与相切于点M，切设的内切圆切三边于点、、，连接、、，则，设的半径为r，    ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵，，， ∴ 由切线长定理可知，, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长． 故选：B． 【变式7-3】如图，为外一点，分别切于点，切于点，分别交于点，若，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，关键是把的周长转化为已知切线相关的线段计算． 根据切线长定理得到，，，再根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：∵分别切于点，切于点，， ∴，，， ∴的周长， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式7-4】如图，以正方形的边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交边于点E，若的周长为12，则四边形周长为 ． 【答案】14 【分析】根据正方形的性质，得到，，推出均为圆O的切线，根据切线长定理，推出，推出正方形的边长为4，设设，则，，勾股定理求出的值，再根据周长公式进行求解即可． 【详解】解：∵以正方形的边为直径作半圆O， ∴，，， ∴均为圆O的切线， ∵过点C作直线切半圆于点F，交边于点E， ∴， ∵的周长为12， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴，， ∴四边形周长， 故答案为：14． 【点睛】本题考查了正方形的性质、圆的切线判定、切线长定理、勾股定理等知识点，利用正方形的性质和圆的切线的判定得出均为圆O的切线是解题关键． 【变式7-5】如图，在中，，的内切圆与分别相切于点D、E、F，若的半径为2，，则的长 ． 【答案】10 【分析】本题考查三角形的内切圆与内心，切线长定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题．连接．则由题意可知四边形是正方形，边长为2．设，，则，由，由此即可解决问题； 【详解】解：如图连接．则由题意可知四边形是正方形，边长为2． ∵的内切圆与分别相切于点D、E、F， ∴可以假设，， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：10． 【题型08：三角形的外接圆】 【典例8】如图，在中，，，则的外接圆的直径是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的外接圆和外心，根据题意作出合适的辅助线，然后根据圆的相关知识即可求得外接圆的直径，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：设圆的圆心为点，则的外接圆如图，连接,，过点作， ∵在中,，， ∴， ∵ ∴，， ∴ ∴，即外接圆的直径是， 故答案为：． 【变式8-1】已知是的内心，，为平面上一点，点恰好又是的外心，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内心和三角形外心的性质，三角形内角和定理，利用三角形内心的性质得分别是的角平分线，进而求出的大小，再利用三角形外心的性质得出等于的一半，即可得出答案，牢记以上知识点得出各角之间的关系是解题的关键． 【详解】解：连接，    ∵是的内心，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点又是的外心， ∴， 故选：． 【变式8-2】在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点都叫作格点，两点皆在格点上，在此方格纸上另找两格点，使得的外心为，则的长为（    ）    A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，勾股定理，关键是掌握三角形的外心的性质．三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，由此得到，从而确定B、C的位置，然后利用勾股定理计算即可． 【详解】解：的位置如解图所示，连接，   的外心为， 由图可知． ， 故选：D． 【变式8-3】如图，是的外心，，，则（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理及三角形内角和定理．先利用三角形内角和计算出，在利用三角形外心的性质和圆周角定理得到的度数． 【详解】解：，， ， ， 故选：B． 【题型09 ：正多边形与圆的综合】 【典例9】如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则 ．    【答案】10 【分析】本题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，求出中心角的度数是解题的关键．由圆周角定理得，再根据正边形的边数中心角，即可得出结论． 【详解】解：， ， ， 故答案为：10． 【变式9-1】正多边形的一部分如图所示，若，则该正多边形的边数为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理．连接，，根据圆周角定理得到，即可得到结论． 【详解】解：连接，， 、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心， 点、、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上， ， ， 这个正多边形的边数． 故选：B． 【变式9-2】如图，已知正六边形的外接圆半径为，则该正六边形的边心距是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题主要考查了正多边形与圆，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系求解是解题的关键． 连接，作，构造出直角，且根据正六边形的性质可知，即可解答； 【详解】解：连接，作于点， ∵正六边形的外接圆半径为， ∴正六边形的半径为， 即， 在正六边形中，， ∴， ∴正六边形的边心距是， 故选：D． 【变式9-3】如图，正六边形内接于，连接．则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是正多边形和圆，熟记多边形的中心角是解题的关键． 根据正六边形的性质得出，再根据圆周角定理即可得到结论． 【详解】解：连接， ∵六边形为正六边形， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【变式9-4】正六边形结构在自然界是广泛存在的．如图，将一个正六边形放在平面直角坐标系中，其中心与原点重合．若正六边形的边长是，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，坐标与图形，连接，令交轴于，由正多边形的性质可得，，即得为等边三角形，得到，，进而得到，再根据正六边形的轴对称性可得，据此求出即可求解，掌握正多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，令交轴于， ∵为正六边形，点是中心， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， 由正六边形关于轴对称可得，， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【题型10 ：弧长和扇形的面积】 【典例10】如图，弧三角形的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成．已知正三角形的边长为1，则弧三角形的周长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求弧长，根据弧长公式求出一段弧长，乘以3即可得出结果． 【详解】解：由题意，一段弧所对的圆心角为60度，半径为1， ∴弧三角形的周长等于； 故选B． 【变式10-1】抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，分别与相切于点，，延长，交于点．若，的半径为，则图中的长为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】此题考查圆的切线的性质定理，四边形的内角和，弧长的计算公式，熟记圆的切线的性质定理及弧长的计算公式是解题的关键． 连接，利用切线的性质得到，根据四边形的内角和求得，再利用弧长公式求得答案． 【详解】连接， ∵分别与相切于点C，D， ∴， ∵，， ∴， ∴（）， 故答案为：． 【变式10-2】如图①是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点，则花窗的面积为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积，正确表示花窗的面积是解题的关键；根据花窗的面积为求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵点C，D分别是的中点， ， ， ∴花窗的面积为， 故答案为：． 【变式10-3】如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为，把绕着点A按顺时针方向旋转得到，点B的对应点为E，点C的对应点为F． (1)在图中画出； (2)点C的运动路径长为____________； (3)旋转过程中线段扫过的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查坐标系与图形变换旋转，以及弧长和扇形面积的计算．熟练掌握旋转三要素，弧长和扇形的计算公式，是解题的关键． （1）作出点、绕着点顺时针旋转得到的对应点，再首尾顺次连接即可得； （2）根据弧长公式求解可得； （3）结合图形知线段所扫过的面积为，再利用扇形的面积公式求解可得． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵， ∴点的运动路径长为， 故答案为：； （3）解：旋转过程中线段扫过的面积为 ， 故答案为：． 【题型11 ：圆锥的侧面积】 【典例11】如图，已知圆锥的母线长为6，圆锥的底面半径与母线的比为，则该圆锥的侧面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求圆锥侧面积，熟练掌握求圆锥侧面积公式是解题关键．首先求得圆锥底面半径，然后根据圆锥侧面积公式，求解即可． 【详解】解：∵圆锥的底面半径与母线的比为，母线长为6， ∴圆锥的底面半径， ∴该圆锥的侧面积． 故选：C． 【变式11-1】小李同学在数学综合实践活动中，用一块扇形材料制作了一个圆锥模型（如图所示），经过小黄同学测量得圆锥底面直径为，圆锥的高为，则根据测量数据推算，该圆锥模型的侧面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是圆锥的侧面积，勾股定理求得母线，进而根据侧面积公式，即可求解． 【详解】解：图知圆锥的高为，圆锥的底面直径为，即底面半径为， ∴圆锥的母线长为， ∴圆锥模型的侧面积为， 故答案为：． 【变式11-2】如图，圆锥的底面半径，母线长，则圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解． 【详解】解：圆锥的侧面积为：． 故答案为： 【变式11-3】若圆锥的底面半径为3，侧面积为，则这个圆锥的母线长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查求圆锥的母线长，根据圆锥的侧面积公式进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：圆锥的母线长为：； 故答案为：12． 【题型12 ：圆锥的侧面最短路径问题】 【典例12】【综合与实践】 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽，       (1)现在需要制作一个，的生日帽，请帮忙计算出所需扇形纸板的圆心角度数； (2)为了使（1）中所制作的生日帽更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），求彩带长度的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据扇形的两个面积公式可得，再代入求解即可； （2）连接，过点P作，线段就是彩带长度的最小值，根据等腰三角形性质及解直角三角形即可求解． 【详解】（1），， ， ， 扇形纸板的圆心角度数为； （2）如图所示．连接，过点P作，线段就是彩带长度的最小值， 由（1）得， 彩带长度的最小值为． 【变式12-1】如图，已知点C为圆锥母线的中点，为底面圆的直径，，，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为（    ）    A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，先根据直径求出底面周长，根据底面周长等于展开后扇形的弧长可求出圆锥的侧面展开后的圆心角，可得是等边三角形，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示，    ∵为底面圆的直径，， 设半径为r, ∴底面周长， 设圆锥的侧面展开后的圆心角为， ∵圆锥母线， 根据底面周长等于展开后扇形的弧长可得：， 解得：， ∴， ∵半径， ∴是等边三角形， 在中，， ∴蚂蚁爬行的最短路程为， 故选：B． 【点睛】本题考查平面展开—最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形。扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，化曲面为平面，用三角函数求解． 【变式12-2】如图，有一个圆锥形粮堆，正三角形的边长为6m，粮堆母线的中点P处有一只老鼠正在吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面P处捉老鼠，小猫所经过的最短路程是 m． 【答案】 【分析】由题意得，圆锥的底面半径为3m，母线线长为6m．求出底面周长，根据圆的底面周长等于展开后扇形的弧长，可求得展开后扇形的圆心角为，即圆锥侧面展开为半圆．点正好在半圆的中点处，由此得为直角三角，根据勾股定理即可求出的长，即小猫所经过的最短路径． 本题主要考查了圆锥的侧面展开图，及弧长的计算，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键． 【详解】为正三角形， ， ， ∵底面积圆的周长等于展开后扇形的弧长，得： ， ，则， （m）， 故答案为：． 【变式12-3】如图所示，已知圆锥底面半径，母线长为． (1)求它的侧面展开图的圆心角； (2)若一甲虫从A点出发沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，请你动脑筋想一想它所走的最短路线是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长求解即可； （2）画出展开图，根据两点之间线段最短和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：设它的侧面展开图的圆心角为， 根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长得： ， 又∵． ， 解得：． ∴它的侧面展开图的圆心角是90°； （2）根据侧面展开图的圆心角是90°，画出展开图如下： 根据两点之间，线段最短可知AB为最短路径， ，B为的中点， 由（1）知 ∴ ∴它所走的最短路线长是． 【点睛】本题考查求圆锥的侧面展开图的圆心角，圆锥侧面上最短路径问题，涉及弧长公式，圆的周长公式，勾股定理，两点之间线段最短等知识，掌握圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长和两点之间线段最短是解题的关键． 【题型13 ：不规则图形的阴影面积】 【典例13】如图，△中，，，，以点为圆心、为半径画弧，交于点，以点为圆心、为半径画弧，交于点，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查扇形面积的计算、含30度角的直角三角形、勾股定理，掌握特殊角的三角函数、扇形和三角形面积计算公式是解题的关键． 求出，根据三角函数求出；利用扇形的面积公式，根据“阴影部分的面积扇形的面积扇形的面积三角形的面积”计算即可． 【详解】解：，，， ，， ， 阴影部分的面积为． 故答案为：． 【变式13-1】如图，在中，E为边中点．以C为圆心，为半径画弧，恰好经过点A．以C为圆心，为半径画弧，与相切于点F．若，则阴影部分的面积为 ．（结果保留π） 【答案】 【分析】根据切线的性质得到，得到，根据平行四边形的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，，根据扇形、正方形、三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：与切于， ， 由题意可知：， ， 四边形是平行四边形， ， ， 为边中点， ，， ， ， ， ，， ， 四边形是正方形， 阴影部分的面积扇形的面积的面积正方形的面积扇形的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确地识别图形是解题的关键． 【变式13-2】如图，正方形的边长为2，以A为圆心，为半径画弧．连接，以A为圆心，为半径画弧交的延长线于点E，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，扇形的面积的计算，图中阴影部分的面积扇形的面积的面积正方形的面积扇形的面积，据此计算即可． 根据正方形的性质和扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：正方形的边长为2， ，，， ， 图中阴影部分的面积， 故答案为：． 【变式13-3】如图，在长方形中，，以点D为圆心，长为半径画弧，交线段延长线于点E，点F为边上一点，若，连接，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积的计算及长方形的性质，明确是解答本题的关键． 用长方形的面积加上扇形的面积减去三角形的面积即可求得阴影部分的面积． 【详解】解：在长方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 圆的重难点题型汇编 【题型01 ：垂径定理及应用】 【题型02 ：点与圆的位置关系的判定】 【题型03 ：直线与圆的位置关系的判定】 【题型04：切线判定与性质综合】 【题型05 ：圆周角定理】 【题型06：圆内接四边形】 【题型07：三角形的内切圆及切线长】 【题型08：三角形的外接圆】 【题型09 ：正多边形与圆的综合】 【题型10 ：弧长和扇形的面积】 【题型11 ：圆锥的侧面积】 【题型12 ：圆锥的侧面最短路径问题】 【题型13 ：不规则图形的阴影面积】 【题型01 ：垂径定理及应用】 【典例 1】如图，是一个圆弧形拱桥的截面示意图．点是拱桥的中点，桥下水面的宽度，点到水面的距离．点，均在上，，且，在点，处各装有一个照明灯，图中和分别是这两个灯的光照范围．两灯可以分别绕点，左右转动，且光束始终照在水面上．即，可分别绕点，按顺（逆）时针方向旋转（照明灯的大小忽略不计），线段，在上，此时，线段是这两灯照在水面上的重叠部分的水面宽度．    (1)求圆弧形拱桥所在圆的半径． (2)求照明灯距离水面的高度． (3)已知，在这两个灯的照射下，当整个水面都被灯光照到时，求这两个灯照在水面上的重叠部分的水面宽度． 【变式1-1】将一小球放在长方体盒子中，小球的一部分露在盒外，其截面如图所示，已知，则此小球的半径是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1-2】如图是一个在建隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分，M是中弦的中点，经过圆心交于点，且，，则的半径为（　　）． A．5 B．6.5 C．7.5 D．8 【变式1-3】某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，当和确定时，有两种设计方案可供选择；①抛物线型；②圆弧型．已知这座桥的跨度米，拱高米． (1)如图1，若设计成抛物线型，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立坐标系，求此函数表达式； (2)如图2，若设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径； (3)现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面2.2米．从以上两种方案中，任选一种方案，判断此货船能否顺利通过你所选方案的桥？并说明理由． 【题型02 ：点与圆的位置关系的判定】 【典例2】在所在平面内有一点，若，半径为，则点与的位置关系是（    ） A．点在内 B．点在外 C．点在上 D．无法判断 【变式2-1】在中，，，，以点B为圆心，12为半径画圆，则点A与的位置关系是（   ） A．点A在外 B．点A在上 C．点A在内 D．无法确定 【变式2-2】若的直径为，点到圆心的距离为，则点与的位置关系为（　　） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．不能确定 【变式2-3】若的半径为6，圆心的坐标为，点的坐标为，则点与的位置关系是（     ） A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．不能确定 【题型03 ：直线与圆的位置关系的判定】 【典例3】已知的半径为2，直线上有一点．若，则直线与的位置关系是（    ） A．相交 B．相离或相交 C．相离或相切 D．相交或相切 【变式3-1】已知的半径为，圆心O到直线l的距离为，则l与的交点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3-2】在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径的圆一定（   ） A．与轴相交，与轴相切 B．与轴相离，与轴相交 C．与轴相切，与轴相交 D．与轴相切，与轴相离 【变式3-3】已知平面内有与直线，的半径为，点到直线的距离为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．不能判断 【题型04：切线判定与性质综合】 【典例4】如图，是斜边上的中线，以为直径作，分别交于点M、N，过点M作，交于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【变式4-1】如图，已知是边上的一点，以为圆心、为半径的与边相切于点，且，连接，交于点，连接并延长，交于点． (1)求证：是切线； (2)求证：； (3)若是中点，求的长． 【变式4-2】如图，在四边形中，平分．点O在上，以点O为圆心，为半径，作与相切于点B，延长线交于点E，交于点F，连接，．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【变式4-3】如图，在中，，以为直径的交于点D（点D与点A不重合），交于点E，过点E作于点F，交的延长线于点G． (1)求证：是的切线； (2)如图1，若；求的半径； (3)如图2，连接，交点为H，当时，求线段的长． 【题型05 ：圆周角定理】 【典例5】如图，点A、B、C在上，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，已知点在⊙O上，且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，为的直径，，为上两点．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】如图，为的直径，点B，D在上，，，则的长为（    ） A．2 B． C． D．4 【题型06：圆内接四边形】 【典例6】如图， 四边形内接于， 若， 则的度数为（  ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，四边形内接于，点是的中点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，四边形内接于，连接．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】如图，在的内接四边形中，，，则的度数为 ． 【题型07：三角形的内切圆级切线长】 【典例7】如图，在中，，其内切圆分别与相切于点D、E、F，若，，则的长为（    ） A．2 B．4 C．5 D．3 【变式7-1】如图，、、是的切线，切点分别为、、，若，，则的长是（　　） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【变式7-2】如图，在一张纸片中，，O是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为（    ）    A．5 B．6 C．7 D．8 【变式7-3】如图，为外一点，分别切于点，切于点，分别交于点，若，则的周长为 ． 【变式7-4】如图，以正方形的边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交边于点E，若的周长为12，则四边形周长为 ． 【变式7-5】如图，在中，，的内切圆与分别相切于点D、E、F，若的半径为2，，则的长 ． 【题型08：三角形的外接圆】 【典例8】如图，在中，，，则的外接圆的直径是 ． 【变式8-1】已知是的内心，，为平面上一点，点恰好又是的外心，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【变式8-2】在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点都叫作格点，两点皆在格点上，在此方格纸上另找两格点，使得的外心为，则的长为（    ）    A．4 B．5 C． D． 【变式8-3】如图，是的外心，，，则（　　） A． B． C． D．无法确定 【题型09 ：正多边形与圆的综合】 【典例9】如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则 ．    【变式9-1】正多边形的一部分如图所示，若，则该正多边形的边数为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【变式9-2】如图，已知正六边形的外接圆半径为，则该正六边形的边心距是（   ） A． B． C． D． 【变式9-3】如图，正六边形内接于，连接．则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式9-4】正六边形结构在自然界是广泛存在的．如图，将一个正六边形放在平面直角坐标系中，其中心与原点重合．若正六边形的边长是，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【题型10 ：弧长和扇形的面积】 【典例10】如图，弧三角形的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成．已知正三角形的边长为1，则弧三角形的周长等于（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，分别与相切于点，，延长，交于点．若，的半径为，则图中的长为 ．（结果保留） 【变式10-2】如图①是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点，则花窗的面积为 ．（结果保留） 【变式10-3】如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为，把绕着点A按顺时针方向旋转得到，点B的对应点为E，点C的对应点为F． (1)在图中画出； (2)点C的运动路径长为____________； (3)旋转过程中线段扫过的面积为______． 【题型11 ：圆锥的侧面积】 【典例11】如图，已知圆锥的母线长为6，圆锥的底面半径与母线的比为，则该圆锥的侧面积是（ ） A． B． C． D． 【变式11-1】小李同学在数学综合实践活动中，用一块扇形材料制作了一个圆锥模型（如图所示），经过小黄同学测量得圆锥底面直径为，圆锥的高为，则根据测量数据推算，该圆锥模型的侧面积为 ． 【变式11-2】如图，圆锥的底面半径，母线长，则圆锥的侧面积为 ． 【变式11-3】若圆锥的底面半径为3，侧面积为，则这个圆锥的母线长为 ． 【题型12 ：圆锥的侧面最短路径问题】 【典例12】【综合与实践】 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽，       (1)现在需要制作一个，的生日帽，请帮忙计算出所需扇形纸板的圆心角度数； (2)为了使（1）中所制作的生日帽更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），求彩带长度的最小值． 【变式12-1】如图，已知点C为圆锥母线的中点，为底面圆的直径，，，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为（    ）    A．5 B． C． D． 【变式12-2】如图，有一个圆锥形粮堆，正三角形的边长为6m，粮堆母线的中点P处有一只老鼠正在吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面P处捉老鼠，小猫所经过的最短路程是 m． 【变式12-3】如图所示，已知圆锥底面半径，母线长为． (1)求它的侧面展开图的圆心角； (2)若一甲虫从A点出发沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，请你动脑筋想一想它所走的最短路线是多少？ 【题型13 ：不规则图形的阴影面积】 【典例13】如图，△中，，，，以点为圆心、为半径画弧，交于点，以点为圆心、为半径画弧，交于点，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式13-1】如图，在中，E为边中点．以C为圆心，为半径画弧，恰好经过点A．以C为圆心，为半径画弧，与相切于点F．若，则阴影部分的面积为 ．（结果保留π） 【变式13-2】如图，正方形的边长为2，以A为圆心，为半径画弧．连接，以A为圆心，为半径画弧交的延长线于点E，则图中阴影部分的面积是 ． 【变式13-3】如图，在长方形中，，以点D为圆心，长为半径画弧，交线段延长线于点E，点F为边上一点，若，连接，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$