专题12 圆的重难点模型汇编（二）(四大题型）-2024-2025学年九年级数学下册《重难点题型•高分突破》（北师大版）

专题12圆的重难点模型汇编（二） 【题型01：点圆最值问题】 【题型02 ：定弦定角】 【题型03：四点共圆】 【题型04：瓜豆原理】 【题型01：点圆最值问题】 【典例1】如图所示，在直角坐标系中，点坐标为，的半径为，为轴上一动点，切于点，则当最小时，点的坐标为（    ）    A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】此题根据切线的性质以及勾股定理，把要求的最小值转化为求的最小值，再根据垂线段最短的性质进行分析求解． 【详解】解：如图所示，连接，．    根据切线的性质定理，得； 根据勾股定理可得 要使最小，只需最小， 则根据垂线段最短，则作轴于，即为所求作的点； 此时点的坐标是． 故选A． 【点睛】本题考查了切线的性质，坐标与图形，勾股定理，熟练掌握切线的性质将问题进行转化，再根据垂线段最短的性质进行分析是解题的关键． 【变式1-1】如图，正方形的边长为4，E是边的中点，F是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接．当的长最小时，的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形的性质和勾股定理可得的长，再由翻折知，得点G在以B为圆心，4为半径的圆上运动，可知当点三点共线时，最小． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴， ∵点E是边的中点， ∴， ∴ ， ∵将沿翻折得到， ∴ ， ∴点G在以B为圆心，4为半径的圆上运动， ∴当点三点共线时，最小， 连接，设， ∵ ∴ 解得， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了翻折的性质，正方形的性质，勾股定理以及辅助圆，确定当点三点共线时，最小是解题的关键，同时注意运用面积法求垂线段的长度． 【变式1-2】如图，在矩形纸片ABCD中，，，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将沿EF所在直线翻折，得到，则的长的最小值是　　 A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，当点在线段CE上时，的长取最小值，根据折叠的性质可知，在中利用勾股定理可求出CE的长度，用即可求出结论． 【详解】以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，当点在线段CE上时，的长取最小值，如图所示， 根据折叠可知：． 在中，，，， ， 的最小值． 故选D． 【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质以及勾股定理，利用作圆，找出取最小值时点的位置是解题的关键． 【变式1-3】如图，正方形的边长为8，点是边的中点，点是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接．当最小时，的长是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了圆的性质，正方形和折叠的性质，勾股定理，确定当点G、F、A三点共线时，最小是解题的关键，同时注意运用面积法求垂线段的长度． 由翻折知，得点F在以B为圆心，8为半径的圆上运动，可知当点G、F、A三点共线时，最小，连接，再勾股定理求出的长，然后利用等面积法即可求出． 【详解】解：∵正方形的边长为8， ∴，， ∵将沿翻折得到， ∴， ∴点F在以B为圆心，8为半径的圆上运动， ∴当点G、F、A三点共线时，最小，如图，连接     ∵点G是边的中点， ∴， 由勾股定理得， ， ∵ ∴ ∴ 解得． 故答案为：． 【变式1-4】如图，在中，直径，延长至，使，点在上运动，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则线段的最大为 ．    【答案】 【分析】过点作的垂线，在垂线上截取，连接，从而可证，进而得到，将求线段的最大值转化为求的最大值，然后结合点与圆的位置关系求出最大值即可． 【详解】解：如图，过点作的垂线，在垂线上截取，连接，    ∴， ∴， ∵绕点顺时针旋转得到， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 连接，并延长交圆于点，即为最大值， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，点与圆的位置关系，解决本题的关键是构造全等三角形，将转化为其他线段进而求最大值． 【变式1-5】一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC＝90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN＝5.2，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为4和3．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接BE，DB，根据勾股定理求出BD，根据直角三角形斜边中线的性质求出BE，根据点与圆的位置关系得到点E落在线段BD上时，DE的值最小，计算即可． 【详解】：连接BE，DB，如图所示： 点D到BA，BC的距离分别为4和3，由勾股定理得：， 在Rt△MBN中，点E是MN的中点， ∴BE＝MN＝， ∴点E的运动轨迹是以B为圆心，为半径的弧上， ∴根据点圆模型的最值情况可知，当点E落在线段BD上时，DE的值最小， ∴DE的最小值为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查动点最值问题，涉及到点与圆的位置关系，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是确定DE最小时，点E的位置． 【题型02 ：定弦定角】 【典例2】【问题提出】 我们知道：同弧或等弧所对的圆周角都相等，且等于这条弧所对的圆心角的一半，那么，在一个圆内同一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？ 【初步思考】 (1)如图1，是的弦，，点、分别是优弧和劣弧上的点，则______°，______°． (2)如图2，是的弦，圆心角，点P是上不与A、B重合的一点，求弦所对的圆周角的度数（用m的代数式表示）____________． 【问题解决】 (3)如图3，已知线段，点C在所在直线的上方，且，用尺规作图的方法作出满足条件的点C所组成的图形（不写作法，保留作图痕迹）． 【实际应用】 (4)如图4，在边长为的等边三角形中，点E、F分别是边、上的动点，连接、，交于点P，若始终保持，当点E从点A运动到点C时，点P运动的路径长是______． 【答案】(1)， (2)或 (3)见详解 (4) 【分析】（1）根据圆周角定理及圆内接四边形对角互补即可得到答案； （2）根据圆周角定理及圆内接四边形对角互补即可得到答案； （3）根据圆内接四边形对角互补可得对角为，根据圆心角等于圆周角两倍即可得到圆心角为画出圆心角即可得到圆心与半径再画圆弧即可得到答案； （4）根据题意易得，即可得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， 故答案为：，； （2）解：当点P在优弧上点为，在劣弧上的点为， ∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， 综上所述：弦所对的圆周角的度数为或； （3）解：∵， ∴AB所在直线的下方点M，存在， 即A、B、P、M四点共圆， 作垂直平分线交于点N， 以点N为圆心为半径画下圆弧交垂直平分线于一点即为圆心O点， 以O为圆心为半径画圆弧； 如图所示，满足条件的点C所组成的图形为以O为圆心、OA为半径的． （4）解：由题意可， ∵三角形是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点P的路径是以为弦的圆弧， ∴弦所对圆周角为，圆心角为，半径为， ∴点P运动的路径长是：． 【点睛】本题考查了动点问题，涉及到了辅助圆的知识、一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半、一条弦所对的圆周角相等或互补、圆内接四边形对角互补、尺规作图——作垂线等内容，解题的关键是根据题意找到定角，确定动点轨迹． 【变式2-1】如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别从点A、点D以相同速度同时出发，点E从点A向点D运动，点F从点D向点C运动，点E运动到D点时，E、F停止运动．连接BE、AF相交于点G，连接CG．当线段DG最小时，△BCG的面积S为（    ） A．4＋ B．8＋ C．6＋ D．7＋ 【答案】A 【分析】首先证明，推出，得到G点轨迹为以AB中点O为圆心、AB为直径的半圆弧，因此当 G、O、D在一条直线上时线段DG最小，过G点作交AD于M点，交BC于N点，根据求出长度，进而求出的长度，利用三角形面积公式可解出答案． 【详解】解：四边形是正方形， ，． 又点E、F分别从点A、点D以相同速度同时出发， ， ， ． ， ， ， 即， ， G点轨迹为以AB中点O为圆心，AB为直径的半圆弧，当G、O、D在一条直线上时，线段DG最小． 如图所示：过G点作交AD于M点，交BC于N点， 中，，， ， ， ， ，， ， ， 即， 解得：， ， ． 故答案为：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、求动点轨迹、相似三角形的判定与性质等知识点，综合性较强，正确判断动点G的轨迹是解题关键． 【变式2-2】如图，在等边中，点为边上一动点，点为上一点，且满足，连接，，当线段的长度最小时，的值为 ． 【答案】 【分析】根据等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形的外角性质，直角三角形的特征，定弦定角问题，解答即可． 【详解】解：∵ 为等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 作的垂直平分线，作，与垂直平分线交于点O， 则点F的运动轨迹是以O为圆心，以为半径的圆的三角形内部的一段弧， 连接与弧交于点H， 当F与点H重合时，最小， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线，设二线的交点为Q， 则， 设，则， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形的外角性质，直角三角形的特征，定弦定角问题，熟练掌握三角形的全等的证明是解题的关键． 【变式2-3】如图在中，，点P是内部的一个动点，连接，且满足，过点P作交于点D当线段最短时，的面积为 ． 【答案】 【分析】由题意得，，则点在以为直径的圆上运动，如图，记的中点为，连接，交于，此时线段最短，由题意知，，由勾股定理得，，则，证明，可求，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上运动， 如图，记的中点为，连接，交于，此时线段最短， 由题意知，， 由勾股定理得，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，圆周角定理的推论，相似三角形的判定和性质，勾股定理．确定点的运动轨迹是解题的关键． 【变式2-4】如图，点在半圆上，半径，，点在弧上移动，连接，作，垂足为，连接，点在移动的过程中，的最小值是 ． 【答案】 【分析】先确定点H的运动轨迹，再根据点与圆的位置关系可得取最小值时，点H的位置，然后利用圆周角定理、线段的和差即可得． 【详解】如图，设AD的中点为点E，则 由题意得，点H的运动轨迹在以点E为圆心，EA为半径的圆上 由点与圆的位置关系得：连接BE，与圆E交于点H，则此时取得最小值， 连接BD AB为半圆O的直径 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理、点与圆的位置关系、勾股定理等知识点，依据题意，确定点H的运动轨迹，从而得出BH取最小值时，点H的位置是解题关键． 【变式2-5】如图，抛物线交x轴于点，，D是抛物线的顶点，P是抛物线上的动点，点P的横坐标为，交直线l：于点E，AP交DE于点F，交y轴于点Q． （1）求抛物线的表达式； （2）设的面积为，的面积为，当时，求点P的坐标； （3）连接BQ，点M在抛物线的对称轴上（位于第一象限内），且，在点P从点B运动到点C的过程中，点M也随之运动，直接写出点M的纵坐标t的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）运用待定系数法将，代入，即可求得答案； （2）利用配方法可求得抛物线顶点坐标，由得，再根据与的面积相等，可得，故点F分别是AP、ED的中点，设，，结合中点坐标公式建立方程求解即可； （3）根据题意，分别求出t的最大值和最小值：①当点P与点B重合时，点Q与点O重合，此时t的值最大，如图2，以OB为斜边在第一象限内作等腰直角，以为圆心，为半径作，交抛物线对称轴于点，过点作轴于点H，运用勾股定理即可求得答案，②当点P与点C重合时，点Q与点C重合，此时t的值最小，如图3，连接BC，以O为圆心，OB为半径作交抛物线对称轴于点M，连接OM，设抛物线对称轴交x轴于点E，运用勾股定理即可求得答案． 【详解】解：（1）抛物线交x轴于点，， 将A、B坐标分别代入抛物线解析式得：， 解得：， 抛物线的表达式为：； （2）如图， D是抛物线的顶点，抛物线的表达式为：， ， 交直线l：于点E，P是抛物线上的动点，点P的横坐标为， ，设，， 又的面积为，的面积为，， ， ，，即点F分别是AP、ED的中点， 又，，，， 由中点坐标公式得：， 解得：（与“”不符，应舍去），， ， ，； （3）①当点P与点B重合时，点Q与点O重合，此时t的值最大，如图2， 以OB为斜边在第一象限内作等腰直角， 则，， 以为圆心，为半径作，交抛物线对称轴于点， 过点作轴于点H，则，，， ， ， ②当点P与点C重合时，点Q与点C重合，此时t的值最小，如图3， 连接BC，以O为圆心，OB为半径作交抛物线对称轴于点M， ， 经过点C， 连接OM，设抛物线对称轴交x轴于点E， 则，， ， ， ， 综上所述，． 【点睛】此题属于二次函数综合题，考查代数计算问题，涉及勾股定理，三角形全等，二元一次方程和一元二次方程的解及圆的相关知识，属于压轴题类型． 【题型03：四点共圆】 【典例3】如图，在四边形中，，对角线平分，，且．    (1)证明：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由题意推出，从而得到、、、四点共圆，进而得出结论即可； （2）首先根据已知信息求出，再结合四点共圆的结论，在中求解即可． 【详解】（1）证：∵， ∴， ∵， ∴， ∴、、、四点共圆， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∴在中，， ∵， ∴，， ∵、、、四点共圆， ∴， ∴在中，， ∴． 【点睛】本题考查四点共圆的证明、圆的内接四边形的性质，以及解直角三角形等，掌握圆当中的重要结论，准确求解直角三角形是解题关键． 【变式3-1】如图，边长为的小正方形网格中，点在格点上，连接，点在上且满足，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明在以为圆心，为半径的同圆上，把求转化为求． 【详解】以为圆心，为半径作，连接． 在格点上． 在上 又的直径是 点在上 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理、解直角三角形、四点共圆及三角函数的应用，解题的关键在于连接，证明点在以为圆心，为半径的同圆上． 【变式3-2】如图，已知AB=AC=AD，∠CAD=20°，则∠CBD的度数是（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 【答案】A 【详解】 如图，AB=AC=AD ∵ ， 故选A． 【变式3-3】如图，等边△ABC中，D在BC上，E在AC上，BD＝CE，连BE、AD交于F，T在EF上，且DT＝CE，AF＝50，TE＝16，则FT＝ ． 【答案】17 【分析】用“SAS”可判定△ABD≌△BCE，得到∠AFE=60°，延长FE至点G，使得FG=FA，连AG，AT，得到△AFG是等边三角形，证明A、B、D、T四点共圆，设法证明△FAT≌△GAE（ASA），即可求得答案． 【详解】∵△ABC为等边三角形， ∴AB=AC=BC，∠ABD=∠BCE=60°， 在△ABD和△BCE中， ， ∴△ABD≌△BCE（SAS）， ∴∠BAD=∠CBE， ∵∠ADC=∠CBE+∠BFD=∠BAD+∠B， ∴∠BFD=∠B=∠AFE=60°； 延长FE至点G，使得FG=FA，连AG，AT， ∵∠AFE=60°， ∴△AFG是等边三角形， ∴AG=AF=FG=50，∠AGF=∠FAG=60°， ∵∠BAF+∠EAF =∠CAG+∠EAF =60°， ∴∠BAF=∠CAG， ∵DT=CE， ∴∠DBT=∠BTD， ∵∠BAD=∠CBE， ∴∠BAD=∠BTD， ∴A、B、D、T四点共圆， ∴∠BAD=∠DAT， ∴∠FAT=∠GAE， 在△FAT和△GAE中， ， ∴△FAT≌△GAE（ASA）， ∴FT= GE， ∵FG=50，TE=16， ∴FT=(FG- TE)=17． 故答案为：17． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理等，作出辅助线，判断出△FAT≌△GAE是解本题的关键． 【题型04：瓜豆原理】 【典例4】如图所示，在等腰中，，点在以斜边为直径的半圆上，为的中点，当点沿半圆从点运动至点时，求点运动的路径长． 【答案】点运动的路径长为． 【分析】取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连结OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，利用等腰直角三角形的性质得到AB=BC=4，则OC=AB=2，OP=AB=2，再根据等腰三角形的性质得OM⊥PC，则∠CMO=90°，于是根据圆周角定理得到点M在以OC为直径的圆上，由于点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，则利用四边形CEOF为正方得到EF=OC=2，所以M点的路径为以EF为直径的半圆，然后根据圆的周长公式计算点M运动的路径长． 【详解】解：如图所示，取的中点，的中点，的中点，连接、、、、、， 在等腰中，， ． ． 为的中点， ． ． 点在以为直径的圆上， 当点与点重合时，点与点重合：当点与点重合时，点与点重合，易得四边形为正方形，， 点运动的路径为以为直径的半圆． 点运动的路径长为． 【点睛】本题考查了轨迹：点按一定规律运动所形成的图形为点运动的轨迹．解决此题的关键是利用等腰三角形的性质和圆周角定理确定M点的轨迹为以EF为直径的半圆． 【变式4-1】如图，A是上任意一点，点C在外，已知是等边三角形，则的面积的最大值为（ ） A． B．4 C． D．6 【答案】A 【分析】以为边向上作等边三角形，连接，证明得到，分析出点D的运动轨迹是以点M为圆心，长为半径的圆，在求出点D到线段的最大距离，即可求出面积的最大值． 【详解】解：如图，以为边向上作等边三角形，连接， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点D的运动轨迹是以点M为圆心，长为半径的圆，要使的面积最大，则求出点D到线段的最大距离， ∵是边长为4的等边三角形， ∴点M到的距离为， ∴点D到的最大距离为， ∴的面积最大值是， 故选A． 【点睛】本题考查了动点轨迹是圆的问题，解决本题的关键是利用构造全等三角形找到动点D的轨迹圆，再求出圆上一点到定线段距离的最大值． 【变式4-2】如图，正方形的边长为4，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由题意分析可知，点为主动点，为从动点，所以以点为旋转中心构造全等关系，得到点的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得最小值． 【详解】由题意可知，点是主动点，点是从动点，点在线段上运动，点也一定在直线轨迹上运动 将绕点旋转，使与重合，得到， 从而可知为等边三角形，点在垂直于的直线上， 作，则即为的最小值， 作，可知四边形为矩形， 则. 故答案为． 【点睛】本题考查了线段极值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点的运动轨迹，是本题的关键． 【变式4-3】如图，等边三角形ABC中，AB=4，高线AH=2，D是线段AH上一动点，以BD为边向下作等边三角形BDE，当点D从点A运动到点H的过程中，点E所经过的路径为线段CM，则线段CM的长为 ，当点D运动到点H，此时线段BE的长为 ． 【答案】 【分析】由“SAS”可得△ABD≌△CBE，推出AD=EC，可得结论，再由勾股定理求解 当重合时， 从而可得答案. 【详解】解：如图，连接EC． ∵△ABC，△BDE都是等边三角形， ∴BA=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=60°， ∴∠ABD=∠CBE， 在△ABD和△CBE中， ， ∴△ABD≌△CBE（SAS）， ∴AD=EC， ∵点D从点A运动到点H， ∴点E的运动路径的长为， 当重合，而（即）为等边三角形， 故答案为：． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，动点的轨迹等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 【变式4-4】如图所示，点，的半径为2，，，点是上的动点，点是的中点，求的最小值． 【答案】的最小值为． 【分析】如图，连接OP交⊙P于M′，连接OM．因为OA=AB，CM=CB，所以AC=OM，所以当OM最小时，AC最小，M运动到M′时，OM最小，由此即可解决问题． 【详解】解：如图所示，连接交于点，连接，， ， 由勾股定理得：， ，， ． 当最小时，最小 当运动到时，最小． 此时的最小值为． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系、坐标与图形的性质、三角形中位线定理、最小值问题等知识，解题的关键是理解圆外一点到圆的最小距离以及最大距离，学会用转化的思想思考问题，所以中考常考题型． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12圆的重难点模型汇编（二） 【题型01：点圆最值问题】 【题型02 ：定弦定角】 【题型03：四点共圆】 【题型04：瓜豆原理】 【题型01：点圆最值问题】 【典例1】如图所示，在直角坐标系中，点坐标为，的半径为，为轴上一动点，切于点，则当最小时，点的坐标为（    ）    A． B． C．或 D． 【变式1-1】如图，正方形的边长为4，E是边的中点，F是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接．当的长最小时，的长为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，在矩形纸片ABCD中，，，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将沿EF所在直线翻折，得到，则的长的最小值是　　 A． B．3 C． D． 【变式1-3】如图，正方形的边长为8，点是边的中点，点是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接．当最小时，的长是 ． 【变式1-4】如图，在中，直径，延长至，使，点在上运动，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则线段的最大为 ．    【变式1-5】一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC＝90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN＝5.2，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为4和3．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为 ． 【题型02 ：定弦定角】 【典例2】【问题提出】 我们知道：同弧或等弧所对的圆周角都相等，且等于这条弧所对的圆心角的一半，那么，在一个圆内同一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？ 【初步思考】 (1)如图1，是的弦，，点、分别是优弧和劣弧上的点，则______°，______°． (2)如图2，是的弦，圆心角，点P是上不与A、B重合的一点，求弦所对的圆周角的度数（用m的代数式表示）____________． 【问题解决】 (3)如图3，已知线段，点C在所在直线的上方，且，用尺规作图的方法作出满足条件的点C所组成的图形（不写作法，保留作图痕迹）． 【实际应用】 (4)如图4，在边长为的等边三角形中，点E、F分别是边、上的动点，连接、，交于点P，若始终保持，当点E从点A运动到点C时，点P运动的路径长是______． 【变式2-1】如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别从点A、点D以相同速度同时出发，点E从点A向点D运动，点F从点D向点C运动，点E运动到D点时，E、F停止运动．连接BE、AF相交于点G，连接CG．当线段DG最小时，△BCG的面积S为（    ） A．4＋ B．8＋ C．6＋ D．7＋ 【变式2-2】如图，在等边中，点为边上一动点，点为上一点，且满足，连接，，当线段的长度最小时，的值为 ． 【变式2-3】如图在中，，点P是内部的一个动点，连接，且满足，过点P作交于点D当线段最短时，的面积为 ． 【变式2-4】如图，点在半圆上，半径，，点在弧上移动，连接，作，垂足为，连接，点在移动的过程中，的最小值是 ． 【变式2-5】如图，抛物线交x轴于点，，D是抛物线的顶点，P是抛物线上的动点，点P的横坐标为，交直线l：于点E，AP交DE于点F，交y轴于点Q． （1）求抛物线的表达式； （2）设的面积为，的面积为，当时，求点P的坐标； （3）连接BQ，点M在抛物线的对称轴上（位于第一象限内），且，在点P从点B运动到点C的过程中，点M也随之运动，直接写出点M的纵坐标t的取值范围． 【题型03：四点共圆】 【典例3】如图，在四边形中，，对角线平分，，且．    (1)证明：； (2)若，，求的长． 【变式3-1】如图，边长为的小正方形网格中，点在格点上，连接，点在上且满足，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，已知AB=AC=AD，∠CAD=20°，则∠CBD的度数是（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 【变式3-3】如图，等边△ABC中，D在BC上，E在AC上，BD＝CE，连BE、AD交于F，T在EF上，且DT＝CE，AF＝50，TE＝16，则FT＝ ． 【题型04：瓜豆原理】 【典例4】如图所示，在等腰中，，点在以斜边为直径的半圆上，为的中点，当点沿半圆从点运动至点时，求点运动的路径长． 【变式4-1】如图，A是上任意一点，点C在外，已知是等边三角形，则的面积的最大值为（ ） A． B．4 C． D．6 【变式4-2】如图，正方形的边长为4，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为 ． 【变式4-3】如图，等边三角形ABC中，AB=4，高线AH=2，D是线段AH上一动点，以BD为边向下作等边三角形BDE，当点D从点A运动到点H的过程中，点E所经过的路径为线段CM，则线段CM的长为 ，当点D运动到点H，此时线段BE的长为 ． 【变式4-4】如图所示，点，的半径为2，，，点是上的动点，点是的中点，求的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$