2.3.3-2.3.4 点到直线的距离公式 两条平行直线间的距离-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版2019）

2.3.3　点到直线的距离公式 2.3.4　两条平行直线间的距离 [学习目标] 知识层面 1.探索并掌握点到直线的距离公式和两条平行直线间的距离公式．　 2．会求点到直线的距离与两平行直线间的距离． 素养层面 通过研究点到直线的距离公式和两条平行直线间的距离公式，提升数学抽象、数学运算及逻辑推理素养. 知识点一　点到直线的距离公式 在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来，易知沿仓库垂直于铁路方向所修的公路最短．将铁路看作一条直线l，仓库看作点P. 问题1．如何建立数学模型，解决仓库到铁路的最短距离？ 提示：如图，平面直角坐标系中，把铁路抽象为直线l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)，仓库抽象为点P(x0，y0)，就转化为求出点P到直线l的最短距离． 问题2．向量是解决空间距离、角度问题的有力工具，如图：怎样用向量方法求点P到直线l的最短距离呢？ 提示：从直线l任取一点M，可以看作在直线l的垂线上的投影向量，求出的模即可． 点到直线的距离 定义 点到直线的垂线段的长度 公式 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ [微提醒]　(1)利用公式时直线的方程必须是一般式．(2)分子含有绝对值．(3)注意公式特征，分子绝对值符号里面是把坐标(x0，y0)代入直线方程的左边得到的．(4)点到直线的距离是直线外一点与直线上的点连线长度的最小值． (链教材P77例5)求点P(－2，1)到下列直线的距离： (1)3x＋4y－1＝0； (2)y＝2x＋3； (3)2x＋5＝0. 解：(1)根据点到直线的距离公式，得d＝＝. 即点P(－2，1)到直线3x＋4y－1＝0的距离为. (2)直线方程y＝2x＋3可化为一般式2x－y＋3＝0. 根据点到直线的距离公式，得d＝＝＝. 即点P(－2，1)到直线y＝2x＋3的距离为. (3)直线方程2x＋5＝0可化为x＝－，这条直线垂直于x轴， 所以d＝＝. 即点P(－2，1)到直线2x＋5＝0的距离为. 规律方法 点到直线的距离的求解策略 1．求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式，直接利用点到直线的距离公式即可． 2．若已知点到直线的距离求参数值时，只需根据点到直线的距离公式列出关于参数的方程即可． 　　 对点练1．(1)点P(0，1)到直线x－y－1＝0的距离等于(　　) A． B．1 C． D．2 (2)(多选)若点P(3，a)到直线x＋y－4＝0的距离为1，则a的值为(　　) A． B．－ C． D．－ (3)已知△ABC的三个顶点的坐标为A(3，3)，B(2，－2)，C(－7，1)，则△ABC的面积为_____. 答案：(1)C　(2)AD　(3)24 解析：(1)点P(0，1)到直线x－y－1＝0的距离等于＝. 故选C． (2)由题意得＝＝1，解得a＝或a＝－.故选AD． (3)|BC|＝＝3，kBC＝＝－，则直线BC的方程为y＋2＝－(x－2)，即x＋3y＋4＝0，A到BC的距离d＝＝，则△ABC的面积S＝|BC|·d＝×3×＝24. 学生用书第67页 知识点二　两条平行直线间的距离 问题3．已知两条平行直线l1，l2的方程，如何求l1与l2间的距离？ 提示：根据两条平行直线间距离的含义，在直线l1上取任一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)到直线l2的距离就是直线l1与直线l2间的距离，这样求两条平行直线间的距离就转化为求点到直线的距离． 两条平行直线间的距离 定义 夹在两条平行直线间公垂线段的长度 公式 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋ By＋C2＝0(C1≠C2)之间的距离d＝ [微思考]　使用两平行直线间的距离公式时，对直线方程有什么要求？ 提示：两条直线的方程都是一般式，并且x，y的系数分别对应相等． (1)(链教材P78例7)求两平行直线l1：3x＋5y＋1＝0和l2：6x＋10y＋5＝0间的距离； (2)求与两条平行直线l1：2x－3y＋4＝0与l2：2x－3y－2＝0距离相等的直线l的方程． 解：(1)由题意，将l2的方程化为3x＋5y＋＝0， 所以d＝＝＝. (2)设所求直线l的方程为2x－3y＋C＝0. 由直线l与两条平行线的距离相等， 得＝， 即|C－4|＝|C＋2|, 解得C＝1. 故直线l的方程为2x－3y＋1＝0. [变式探究]　(变条件)在本例(2)中，求与l1平行且两直线距离为的直线方程． 解：设所求直线的方程为2x－3y＋C′＝0， 由题意得＝，即|C′－4|＝6， 所以C′＝－2或C′＝10. 故所求直线的方程为2x－3y－2＝0或2x－3y＋10＝0. 规律方法 求两条平行线间距离的方法 1．转化法：将两条平行线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求． 2．公式法：(1)当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝. (2)当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝.但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等．　　 对点练2．(1)在梯形ABCD中，|CD|＝2|AB|＝6，且AB和CD所在直线的方程分别是x＋2y－3＝0与x＋2y＋7＝0，则梯形ABCD的面积为(　　) A． B．9 C． D．45 (2)已知不过原点的直线l1与直线l2：x－y＋＝0平行，且直线l1与l2的距离为1，则直线l1的一般式方程为______________． 答案：(1)B　(2)x－y＋2＝0 解析：(1)由AB：x＋2y－3＝0，CD：x＋2y＋7＝0知AB∥CD，所以梯形ABCD的高即为直线AB和CD间的距离d＝＝2，所以梯形ABCD的面积为(|AB|＋|CD|)·d＝×(3＋6)×2＝9.故选B． (2)因为直线l1不过原点且与l2平行，所以可设直线l1：x－y＋C＝0(C≠0)，因为l1与l2之间的距离d＝＝1，解得C＝2或C＝0(舍)，所以直线l1的一般式方程为x－y＋2＝0. 学生用书第68页 距离公式的综合应用 已知两直线l1与l2，直线l1经过点A(0，3)，直线l2过点B(4，0)，且l1∥l2. (1)若l1与l2的距离为4，求两直线的方程； (2)若l1与l2之间的距离最大，求最大距离，并求此时两直线的方程． 解：(1)当l1，l2斜率不存在时，l1：x＝0，l2：x＝4，l1与l2的距离为4，满足条件； 当l1，l2斜率存在时，设l1：kx－y＋3＝0，l2：kx－y－4k＝0， 则＝4，即24k－7＝0，解得k＝，此时，l1：7x－24y＋72＝0，l2：7x－24y－28＝0. 综上可知，l1：x＝0，l2：x＝4，或l1：7x－24y＋72＝0，l2：7x－24y－28＝0. (2)若l1与l2之间的距离最大，则l1，l2均与AB垂直，此时最大距离为|AB|＝5， 而AB的斜率k＝－，所以l1，l2的斜率均为， 此时l1：4x－3y＋9＝0，l2：4x－3y－16＝0. 规律方法 应用数形结合思想求最值 1．数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到．当图形中的元素运动变化时我们能直观地观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围． 　　 2．解决此类问题的关键 (1)将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决． (2)将“形”转化为“数”，利用代数运算精确把握几何图形的变化． 　　 对点练3．已知直线l1：ax－2y＋3＝0，l2：x＋(a－3)y＋5a＝0. (1)当a＝1时，求两直线的距离； (2)写出原点到直线l1的距离，并求出该距离的最大值． 解：(1)当a＝1时，l1：x－2y＋3＝0，l2：x－2y＋5＝0， 所以两直线的距离为＝. (2)原点到直线l1的距离为d＝＝， 当a＝0时，dmax＝. 知识 1.点到直线的距离.2.两平行线间的距离 方法 公式法、数形结合法、解方程(组)法 易错 误区 运用两平行线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相等 1．点P(x0，y0)到直线x＝1的距离为1，则x0＝(　　) A．0或2 B．1或2 C．0 D．2 答案：A 解析：因为点P(x0，y0)到直线x＝1的距离为1，所以＝1，解得 x0＝0 或x0＝2.故选A． 2．两条平行直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：6x＋8y－5＝0之间的距离是(　　) A．0 B． C．1 D． 答案：B 解析：3x＋4y－5＝0⇒6x＋8y－10＝0，两平行线间的距离为＝.故选B． 3．若点(2，k)到直线3x－4y＋6＝0的距离为4，则k的值等于________． 答案：－2或8 解析：由题设＝＝4，则|3－k|＝5⇒k＝－2或k＝8. 4．已知点A，B分别是直线l1：2x＋y－2＝0与直线l2：4x＋2y＋1＝0上的点，则|AB|的最小值为________． 答案： 解析：由题意可知直线l1：2x＋y－2＝0，直线l2：4x＋2y＋1＝0，即l2：2x＋y＋＝0，所以直线l1∥l2，所以当AB⊥l1且AB⊥l2时，|AB|有最小值，其最小值为平行直线l1与l2的距离，所以|AB|min＝＝. 课时测评19　点到直线的距离公式　两条平行直线间的距离 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．若点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O为坐标原点，则|OP|的最小值是(　　) A． B．2 C．4 D．2 答案：B 解析：因为点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O为坐标原点，所以|OP|的最小值是点O到直线的距离＝2.故选B． 2．设直线l1：x＋3y－7＝0与直线l2：x－y＋1＝0的交点为P，则P到直线l：2x－y＝1的距离为(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：联立两直线方程⇒即P(1，2)，由点到直线的距离公式可得P到直线l：2x－y＝1的距离为d＝＝.故选D． 3．设两条直线的方程分别为x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已知a，b是关于x的方程x2＋x－2＝0的两个实数根，则这两条直线之间的距离为(　　) A．2 B． C．2 D． 答案：D 解析：由题意得a＋b＝－1，ab＝－2，所以＝＝＝3，因为直线x＋y＋a＝0与x＋y＋b＝0平行，所以两条直线之间的距离d＝＝.故选D． 4．已知点A(1，0)，B(3，1)，C为直线l：x－2y＋4＝0上一动点，则△ABC的面积为(　　) A．5 B． C． D． 答案：D 解析：因为直线AB的方程为＝，即x－2y－1＝0，则l∥AB，所以△ABC的边AB上的高为两平行线之间的距离d＝＝.又因为|AB|＝＝，所以S△ABC＝|AB|×d＝.故选D． 5．(多选)若两条平行直线l1：x－2y＋m＝0与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是2，则m－n的可能值为(　　) A．3 B．－17 C．11 D．－9 答案：CD 解析：因为l1∥l2，所以＝，得n＝－4，l1：x－2y＋m＝0，l2：x－2y－3＝0，所以平行线间的距离d＝＝2，得m＝7或－13，则m－n＝11或－9.故选CD． 6．(多选)已知直线l经过两直线3x＋4y＋1＝0和2x＋y＋4＝0的交点，且M(－1，3)到l的距离与N(2，－4)到l的距离之比为1∶3，则直线l的方程可能为(　　) A．9x－y＋29＝0 B．9x＋y＋25＝0 C．3x＋11y－13＝0 D．3x－11y＋31＝0 答案：AC 解析：联立方程组解得当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－3，M到l的距离为2，N到l的距离为5，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＋2＝0，由3×＝，解得k＝9或k＝－，所以直线l的方程为9x－y＋29＝0或3x＋11y－13＝0.故选AC． 7．已知点P在直线2x＋y－3＝0上，且位于第一象限，若P点到直线x－2y－4＝0的距离为，则P点的坐标为________． 答案：(1，1) 解析：由点P在直线2x＋y－3＝0上，可设点P(a，3－2a)，因为P点到直线x－2y－4＝0的距离为，则＝，整理可得＝5，解得a＝1或a＝3，当a＝1时，P(1，1)位于第一象限，满足题意；当a＝3时，P(3，－3)位于第四象限，不满足题意，所以P点的坐标为(1，1). 8．直线3x－4y－27＝0上到点P(2，1)距离最近的点的坐标是________． 答案：(5，－3) 解析：由题意知过点P作直线3x－4y－27＝0的垂线，设垂足为M，则|MP|最小，直线MP的方程为y－1＝－(x－2)，解方程组得所以所求点的坐标为(5，－3)． 9．点D(－2，－2)到直线l：2x－y＋mx－m＝0(m∈R)距离的最大值为________． 答案：5 解析：直线l：2x－y＋m(x－1)＝0， 令 解得得直线l过定点A(1，2)，所以直线l表示过定点(1，2)的直线，如图，当DA⊥l时，|DA|表示点到直线的距离，当DA不垂直于l时，|DB|表示点到直线的距离，显然|DB|＜|DA|，所以点D到直线l距离的最大值为|DA|＝＝5，所以点D到直线l距离的最大值为|DA|＝5. 10．(10分)直线l在y轴上的截距为4，且过点A(－3，8)． (1)求直线l的方程； (2)已知点M(－2，5)，直线l′过M且与l平行，求直线l′与直线l间的距离． 解：(1)根据题意，直线l过点(0，4)，(－3，8)， 则直线l的斜率为k′＝＝－， 则直线l的方程为4x＋3y－12＝0. (2)因为直线l′过点M(－2，5)，直线l′∥l， 且直线l的斜率为－，则直线l′的斜率为－， 则直线l′的方程为y－5＝－(x＋2)，变形可得4x＋3y－7＝0， 则直线l′与直线l间的距离d＝＝1， 即直线l′与直线l间的距离为1. (11—13每小题5分，共15分) 11．已知正方形的一组对边所在的直线方程分别为2x＋3y＋2＝0和2x＋3y＋4＝0，另一组对边所在的直线方程分别为6x－4y＋C1＝0和6x－4y＋C2＝0，则＝(　　) A．4 B． C．2 D． 答案：A 解析：直线2x＋3y＋2＝0与直线2x＋3y＋4＝0之间的距离d1＝＝，直线6x－4y＋C1＝0与直线6x－4y＋C2＝0之间的距离d2＝＝，又由正方形的性质可知d1＝d2，即＝，解得＝4.故选A． 12．(多选)若直线m被两平行直线l1：x－y＋＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段长为，则直线m的倾斜角可以是(　　) A．30° B．75° C．135° D．165° 答案：BD 解析：如图所示，设直线m与两平行直线所夹的锐角或直角为α，两平行直线l1：x－y＋＝0与l2：x－y＋3＝0的距离为d＝＝，因为直线m被两平行直线l1与l2所截得的线段长为，所以sin α＝＝，所以α＝45°，因为直线l1的斜率为k＝，倾斜角为30°，所以直线m的倾斜角可以是75°或165°.故选BD． 13．若a，b为正实数，直线x＋(a－1)y＋1＝0与直线bx＋y－1＝0互相垂直，则点(1，1)到直线ax＋by＋1＝0的距离的最大值为________． 答案：2 解析：因为直线x＋(a－1)y＋1＝0与直线bx＋y－1＝0互相垂直，所以b＋a－1＝0，即a＋b＝1，则点(1，1)到直线ax＋by＋1＝0的距离d＝＝，因为≥2＝，所以a2＋b2≥，当且仅当a＝b＝时，等号成立，所以a2＋b2的最小值为，所以d≤2，所以dmax＝2. 14．(12分)已知直线l1：(2a＋1)x＋(a＋2)y＋3＝0，l2：(a－1)x－2y＋2＝0，且l1∥l2. (1)求a的值； (2)直线l过点P(0，1)与l1，l2交于A，B，|AB|＝，求直线l的方程． 解：(1)因为l1∥l2， 所以(2a＋1)×(－2)－(a＋2)(a－1)＝0， 整理得a2＋5a＝a(a＋5)＝0， 解得a＝0，或a＝－5. 当a＝0时，l1：x＋2y＋3＝0，l2：－x－2y＋2＝0，符合题意； 当a＝－5时，l1：－9x－3y＋3＝0，l2：－6x－2y＋2＝0，l1与l2重合，不满足题意． 综上可知，a的值为0. (2)由(1)得l1：x＋2y＋3＝0，l2：x＋2y－2＝0， 所以两直线之间的距离为d＝＝， 而|AB|＝，所以直线l与l1，l2均垂直， 由于kl1＝－，所以kl＝2，又直线l过点P(0，1)， 故直线l的方程为y＝2x＋1. 15．(5分)(新定义)(多选)已知平面上一点M(5，0)，若一条直线上存在点P使|PM|＝4，则称该直线为“切割型直线”．下列直线中是“切割型直线”的是(　　) A．y＝x＋1 B．y＝2 C．y＝x D．y＝2x＋1 答案：BC 解析：由题意可知，点M到直线的距离小于或等于4即为“切割型直线”．点M(5，0)到直线y＝x＋1的距离d＝＝3＞4，故A不符合题意；点M(5，0)到直线y＝2的距离d＝2＜4，故B符合题意；点M(5，0)到直线y＝x的距离d＝＝4，故C符合题意；点M(5，0)到直线y＝2x＋1的距离d＝＝＞4，故D不符合题意．故选BC． 16．(13分)(创新题)已知点P和非零实数λ，若两条不同的直线l1，l2均过点P，且斜率之积为λ，则称直线l1，l2是一组“Pλ共轭线对”，如直线l1：y＝2x和l2：y＝－x是一组“O－1共轭线对”，其中O是坐标原点． (1)已知l1，l2是一组“O－3共轭线对”，且知直线l1：y＝2x，求直线l2的方程； (2)已知点Q(－1，－)，直线l1，l2是“Q－2共轭线对”，当l1的斜率变化时，求原点O到直线l1，l2的距离之积的取值范围． 解：(1)由题意得，l1与l2的交点为原点，且k1·k2＝2k2＝－3，解得k2＝－， 所以直线l2的方程为y＝－x. (2)由题意得，k1·k2＝－2(k1，k2≠0)， 设l1：y＋＝k1(x＋1)，l2：y＋＝k2(x＋1)， 点O到l1，l2的距离分别为d1，d2， 则d1·d2＝·＝·， 因为k＋≥4，当k1＝±时等号成立， 所以－∈，·∈， 所以点O到l1，l2的距离之积的取值范围为. 学生用书第69页 学科网（北京）股份有限公司 $$