2.3.2 两点间的距离公式-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版2019）

2.3.2　两点间的距离公式 [学习目标] 知识层面 1.探索并掌握平面上两点间的距离公式．　 2．会用坐标法证明简单的平面几何问题． 素养层面 通过学习两点间距离，提升逻辑推理、直观想象和数学运算素养. 问题1．在数轴上已知两点A，B，如何求A，B两点间的距离？ 提示：|AB|＝|xA－xB|. 问题2．已知平面内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，怎样求这两点间的距离|P1P2|? 提示：(1)当P1P2与x轴平行时，|P1P2|＝|x2－x1|； (2)当P1P2与y轴平行时，|P1P2|＝|y2－y1|； (3)当P1P2与坐标轴不平行时，如图，在Rt △P1QP2中， |P1P2|2＝|P1Q|2＋|QP2|2， 所以|P1P2| ＝. 即两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|＝. 1．两点间的距离公式 平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝． 2．两点间距离的特殊情况 (1)原点O(0，0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|＝． (2)当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝|x2－x1|. (3)当P1P2∥y轴(x1＝x2)时，|P1P2|＝|y2－y1|. [微思考]　两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式是否可以写成|P1P2|＝的形式？ 提示：可以，原因是＝，也就是说公式中P1，P2两点的位置没有先后之分． 如图所示，已知△ABC的三个顶点分别为A(4，3)，B(1，2)，C(3，－4)． (1)试判断△ABC的形状； (2)设点D为BC的中点，求BC边上中线的长． 解：(1)根据两点间的距离公式，得 |AB|＝＝， |BC|＝＝2， |CA|＝＝5. 因为()2＋(2)2＝(5)2，即|AB|2＋|BC|2＝|CA|2， 所以△ABC是直角三角形． (2)因为B(1，2)，C(3，－4)，所以BC的中点D(2，－1)， 所以BC边上中线的长|AD|＝＝2. 规律方法 计算两点间距离的方法 1．对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，|P1P2|＝. 2．对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解． 　　 对点练1．(1)已知点A(－3，4)，B(2，)，在x轴上找一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值； (2)已知△ABC三顶点坐标A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状． 解：(1)设点P的坐标为(x，0)，则有 |PA|＝＝， |PB|＝＝. 由|PA|＝|PB|，得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7， 解得x＝－. 故所求点P的坐标为. |PA|＝＝. (2)法一：因为|AB|＝＝2， |AC|＝＝2， 又|BC|＝＝2， 所以|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|， 所以△ABC是等腰直角三角形． 法二：因为kAC＝＝，kAB＝＝－， 则kAC·kAB＝－1，所以AC⊥AB． 又|AC|＝＝2， |AB|＝＝2， 所以|AC|＝|AB|. 所以△ABC是等腰直角三角形． 学生用书第65页 坐标法在平面几何中的应用 如图，在△ABC中，|AB|＝|AC|，D是BC边上异于B，C的任意一点．求证：|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|. 证明：如图，以BC的中点为原点O，BC所在的直线为x轴，建立直角坐标系．设A(0，a)，B(－b，0)，C(b，0)，D(m，0), －b＜m＜b， 则|AB|2＝(－b－0)2＋(0－a)2＝a2＋b2，|AD|2＝(m－0)2＋(0－a)2＝m2＋a2， |BD|·|DC|＝|m＋b|·|b－m|＝(b＋m)(b－m)＝b2－m2， 所以|AD|2＋|BD|·|DC|＝a2＋b2， 所以|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|. 规律方法 利用坐标法解决平面几何问题的基本步骤 第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量； 第二步：进行有关代数运算； 第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论． 注意：建系的原则主要有两点：①让尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算；②如果条件中有互相垂直的两条线，要考虑将它们作为坐标轴；如果图形为中心对称图形，可考虑将中心作为原点；如果有轴对称性，可考虑将对称轴作为坐标轴． 　　 对点练2．已知正三角形ABC的边长为a，在平面ABC上求一点P，使|PA|2＋|PB|2＋|PC|2最小，并求此最小值． 解：以BC所在直线为x轴，以线段BC的中点为原点，建立平面直角坐标系，如图所示． 因为正三角形ABC的边长为a， 所以B，C，A. 设P(x，y)，由两点间的距离公式， 得|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝x2＋＋＋y2＋＋y2＝3x2＋3y2－ay＋＝3x2＋3＋a2≥a2， 当且仅当x＝0，y＝a时，等号成立， 故所求最小值为a2，此时点P的坐标为. 知识 1.两点间的距离公式.2.利用坐标法解决平面几何问题 方法 待定系数法、坐标法 易错 误区 1.依据距离公式求参数易漏解.2.坐标系建立不适当 1．已知M(2，1)，N(－1，5)，则|MN|等于(　　) A．5 B． C． D．4 答案：A 解析：|MN|＝＝5.故选A． 2．已知A(5，－1)，B(1，1)，C(2，3)，则△ABC是(　　) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 答案：A 解析：因为A(5，－1)，B(1，1)，C(2，3)，所以|AB|＝＝2，|AC|＝5，|BC|＝，所以|AB|2＋|BC|2＝|AC|2，所以△ABC是直角三角形．故选A． 3．已知A(－1，0)，B(5，6)，C(3，4)，则的值为(　　) A． B． C．3 D．2 答案：D 解析：由两点间的距离公式，得|AC|＝＝4，|CB|＝＝2，故＝＝2.故选D． 4．已知点A(－2，－2)，B(a，2)且|AB|＝5，则a的值为________． 答案：1或－5 解析：因为点A(－2，－2)，B(a，2)，且|AB|＝5，所以＝5，所以a＝1或a＝－5. 课时测评18　两点间的距离公式 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．已知点A，B是直线x＋2y－1＝0与坐标轴的交点，则|AB|＝(　　) A． B． C．1 D．2 答案：A 解析：由x＋2y－1＝0，令x＝0，得y＝，设A；令y＝0，得x＝1，设B(1，0)．所以|AB|＝＝.故选A． 2．已知A(a，2)，B(－2，－3)，C(1，1)三点，且|AB|＝|AC|，则a的值为(　　) A． B．－ C．－ D．－ 答案：D 解析：|AB|＝|AC|，则＝，解得a＝－.故选D． 3．已知三角形的三个顶点A(2，4)，B(3，－6)，C(5，2)，则BC边上中线的长为(　　) A．2 B． C．11 D．3 答案：A 解析：设BC的中点为D(x，y)，由中点坐标公式得所以D(4，－2)，所以|AD|＝＝＝2.故选A． 4．已知点A(2，3)，B(－2，6)，C(6，6)，D(10，3)，则以A，B，C，D为顶点的四边形是(　　) A．梯形 B．菱形 C．平行四边形 D．矩形 答案：C 解析：由题意可得lAD：y＝3，lBC：y＝6，|AD|＝＝8＝|BC|＝，即lAD∥lBC，|AD|＝|BC|，又kAB＝＝－，即AB，AD不垂直，|AB|＝＝5≠|AD|，所以以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形. 故选C． 5．(多选)对于，下列说法正确的是(　　) A．可看作点(x，0)与点(1，2)的距离 B．可看作点(x，0)与点(－1，－2)的距离 C．可看作点(x，0)与点(－1，2)的距离 D．可看作点(x，－1)与点(－1，1)的距离 答案：BCD 解析：由题意，可得＝＝＝，可看作点(x，0)与点(－1，－2)的距离，可看作点(x，0)与点(－1，2)的距离，可看作点(x，－1)与点(－1，1)的距离，故选项A不正确．故选BCD． 6．(多选)直线x＋y－1＝0上与点P(－2，3)的距离等于的点的坐标可以是(　　) A．(－4，5) B．(－1，2) C．(－3，4) D．(1，－5) 答案：BC 解析：设所求点的坐标为(x0，y0)，则x0＋y0－1＝0，且＝，两式联立解得或所以所求点的坐标为(－1，2)或(－3，4)．故选BC． 7．已知点A(4，12)，P为x轴上的一点，且点P与点A的距离等于13，则点P的坐标为________． 答案：(－1，0)或(9，0) 解析：设点P的坐标为(a，0)，则|PA|＝＝13，即a2－8a－9＝0，解得a＝－1或9，所以点P的坐标为(－1，0)或(9，0)． 8．直线l1：3ax－y－2＝0和直线l2：y－2＝a(x－1)分别过定点A和B，则|AB|＝____________． 答案： 解析：直线l1：3ax－y－2＝0经过定点A(0，－2)，直线l2：y－2＝a(x－1)经过定点B(1，2)，从而|AB|＝＝. 9．已知△ABC的顶点A(2，3)，B(－1，0)，C(2，0)，则△ABC的周长是________． 答案：3＋6 解析：由两点间的距离公式及题意得|AB|＝＝3，|BC|＝＝3，|CA|＝＝3.从而△ABC的周长为3＋3＋3＝3＋6. 10．(10分)已知直线l过点(1，0)，且与直线l1：3x＋y－6＝0和l2：3x＋y＋3＝0分别交于A，B两点，且＝9.求直线l的方程． 解：当直线l斜率不存在时，方程为l：x＝1，与两直线交点分别是(1，3)，(1，－6)，距离为9，符合题意； 当直线l斜率存在时，方程可设为l：y＝k(x－1)，k≠－3， 直线l与直线3x＋y－6＝0联立，得交点， 直线l与直线3x＋y＋3＝0联立，得交点， 故|AB|2＝2＋2＝92，化简得k＝－， 即直线方程为l：y＝－(x－1)， 即4x＋3y－4＝0. 综上，直线l的方程为x－1＝0，或4x＋3y－4＝0. (11—13每小题5分，共15分) 11．已知A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)，当|AB|取最小值时，实数a的值是(　　) A．－ B．－ C． D． 答案：C 解析：因为A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)，所以|AB|＝＝＝＝，所以当a＝时，|AB|取得最小值．故选C． 12．设m∈R，过定点A的直线x＋my－m＝0和过定点B的直线mx－y－m＋3＝0交于点P，则|PA|2＋|PB|2的值为(　　) A．5 B． C． D．与m的取值有关 答案：A 解析：直线x＋my－m＝0过定点A(0，1)，直线mx－y－m＋3＝0过定点B(1，3)，且直线x＋my－m＝0和直线mx－y－m＋3＝0满足1×m－m×1＝0，故两直线垂直，故|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝12＋22＝5.故选A． 13．已知直线ax＋2y－1＝0和x轴、y轴分别交于A，B两点，且线段AB的中点到原点的距离为，则a的值为________． 答案：±2 解析：由题易知a≠0，直线ax＋2y－1＝0中，令y＝0，有x＝，则A，令x＝0，有y＝，则B，故AB的中点为，因为线段AB的中点到原点的距离为，所以＝，解得a＝±2. 14．(12分)如图所示，正方形ABCD中，在BC上任取一点P(点P不与B，C重合)，过点P作AP的垂线PQ交角C的外角平分线于点Q.用坐标法证明：|AP|＝|PQ|. 证明：以B为原点，射线BC，BA分别为x，y轴的正半轴建立坐标系．如图所示， 设正方形边长为a，则A(0，a)，C(a，0)，设点P的坐标为(t，0)(0＜t＜a)． kAP＝－，lPQ：y＝(x－t)①， lCQ：y＝x－a②. 联立①②可得Q(a＋t，t)． 因为|AP|＝，|PQ|＝， 所以|AP|＝|PQ|. 15．(5分)(新情境)著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)的距离．结合上述观点，可得y＝＋的最小值为(　　) A．4 B．2 C．＋ D．3＋ 答案：A 解析：因为y＝f(x)＝＋＝＋，则f(x)可看作x轴上一点P(x，0)到点A(－2，－2)与点B(2，2)的距离之和，即|PA|＋|PB|，则可知当A，P，B三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，即(|PA|＋|PB|)min＝|AB|＝ ＝4.故选A． 16．(13分)(2024·江苏连云港高二期中)若不等式＋＋＋≥m对任意的实数x，y恒成立，求m的最大值． 解：设坐标原点为O，建立如图所示的平面直角坐标系． 设P(x，y)，A(6，8)，B(3，0)，C(3，8)，则四边形ACOB为平行四边形，则＋＋＋ ＝|OP|＋|PA|＋|PB|＋|PC|，而|OP|＋|PA|＋|PB|＋|PC|≥|AO|＋|BC|＝10＋8＝18，当且仅当P为平行四边形ACOB的对角线的交点E时等号成立，此时P(3，4)．故|OP|＋|PA|＋|PB|＋|PC|的最小值为18.因为不等式＋＋＋≥m对任意的实数x，y恒成立，所以m≤18，即m的最大值为18，此时x＝3，y＝4. 学生用书第66页 学科网（北京）股份有限公司 $$