2.3.1 两条直线的交点坐标-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版2019）

2.3　直线的交点坐标与距离公式 2.3.1　两条直线的交点坐标 [学习目标] 知识层面 1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标．　 2．会根据方程解的个数判断两条直线的位置关系． 素养层面 通过求两直线交点坐标和位置关系的判断，提升逻辑推理、数学运算素养. 问题1．已知两条直线l1：x＋y－5＝0，l2：x－y－3＝0，画出两条直线的图象，分析交点坐标M与直线l1，l2的方程有什么关系？ 提示：直线l1，l2的图象如图所示．点M既在直线l1上，也在直线l2上．满足直线l1的方程x＋y－5＝0，也满足直线l2的方程x－y－3＝0. 即交点坐标是方程组的解． 问题2．关于x，y的二元一次方程组的解如何求？ 提示：加减消元法或代入消元法． 1．两条直线的交点 已知两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设这两条直线的交点为P，则点P既在直线l1上，也在直线l2上．所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标是方程组的解．解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标． 2．两直线的位置关系和方程组解的个数的关系 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)；l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)的位置关系如表所示． 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1和l2公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行 [微提醒]　(1)判断两直线位置关系的方法，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况． 有唯一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0，即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0.(2)虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用． (链教材P71例2)判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标： (1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0； (2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0； (3)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋2＝0. 解：(1)解方程组得 所以l1与l2相交，交点坐标为(－1，－1)． (2)解方程组 ①×2－②得1＝0，矛盾． 这个方程组无解， 所以直线l1与l2无公共点，l1∥l2. (3)解方程组 ①×2得2x－2y＋2＝0. ①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l1与l2重合． 学生用书第62页 规律方法 两条直线相交的判断方法 1．联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交． 2．两直线斜率都存在且斜率不相等． 3．两直线的斜率一个存在，另一个不存在． 　　 对点练1．(1)已知直线l1：y ＝ kx － 4与直线l2：x ＋ 2y ＋ 2 ＝ 0的交点在第三象限，则实数k的取值范围为(　　) A．(－∞，－2) B．(－2，＋∞) C． D．(－2，0) (2)已知直线ax＋4y－2＝0与2x－5y＋b＝0互相垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c的值是________． 答案：(1)A　(2)－4 解析：(1)联立直线l1，l2的方程可得(1＋2k)x＝6，显然k≠－，故x＝，则y＝－4，根据题意，得解得k＜－2，故k∈(－∞，－2)．故选A． (2)因为两直线互相垂直，所以2a＋4×(－5)＝0，解得a＝10，又垂足(1，c)既在前一条直线上，也在后一条直线上，所以解得所以a＋b＋c＝10＋(－12)＋(－2)＝－4. 应用一　直线系过定点问题 无论m为何值，直线l：(m＋1)x－y－7m－4＝0恒过一定点P，求点P的坐标． 解：法一：因为(m＋1)x－y－7m－4＝0， 所以m(x－7)＋(x－y－4)＝0， 所以所以 所以点P的坐标为(7，3)． 法二：令m＋1＝0，即m＝－1时，有－y＋7－4＝0，所以y＝3，令m＝0时，有x－y－4＝0， 由解得 所以过定点(7，3)，即P(7，3)． 规律方法 解含参数的直线恒过定点问题的三个策略 1．任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，求得这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解． 2．含有参数的直线方程若能整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则该直线必过定点(x0，y0)． 3．含有参数的直线方程若能整理成A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，则该直线必过定点，其定点可由方程组解得． 　　 对点练2．已知(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0为直线l的方程，求证：不论k取何实数，直线l必过第四象限． 证明：整理直线l的方程得(x＋y)＋k(x－y－2)＝0. 无论k取何值，该式恒成立，所以 解得 所以直线l经过定点M(1，－1)， 因为M(1，－1)在第四象限内，所以直线l必过第四象限． 应用二　相交直线系问题 求经过原点，且经过直线2x＋3y＋8＝0和x－y－1＝0的交点的直线l的方程． 解：法一：解方程组 得 所以直线2x＋3y＋8＝0和x－y－1＝0的交点坐标为(－1，－2)． 又直线l经过原点，所以直线l的方程为 ＝，即2x－y＝0. 法二：设所求直线方程为2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0， 因为直线过原点(0，0)，所以8－λ＝0，解得λ＝8， 所以直线方程为2x＋3y＋8＋8x－8y－8＝0，即2x－y＝0. 学生用书第63页 [变式探究] (变条件)将本例“经过原点”改为“与3x－4y＋5＝0垂直”，求直线方程． 解：设所求直线方程为2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0，即(2＋λ)x＋(3－λ)y＋(8－λ)＝0. 因为该直线与3x－4y＋5＝0垂直， 所以3(2＋λ)－4×(3－λ)＝0， 解得λ＝，所以所求直线方程为4x＋3y＋10＝0. 规律方法 求与已知两直线的交点有关的问题的解法 1．先求出两直线交点，将问题转化为过定点的直线，然后再依据其他条件求解． 2．运用过两直线交点的直线系方程：若两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0有交点，则过l1与l2交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为待定常数，不包括直线l2)，设出方程后再利用其他条件求解． 对点练3．已知两直线l1：x＋2y－6＝0和l2：x－2y＋2＝0的交点为P.求： (1)过点P与Q(1，4)的直线方程； (2)过点P且与直线x－3y－1＝0平行的直线方程． 解：(1)设过直线l1和l2交点的直线方程为x＋2y－6＋m(x－2y＋2)＝0， 即(m＋1)x＋(2－2m)y＋(2m－6)＝0.① 把点Q(1，4)代入方程①，化简得3－5m＝0，解得m＝， 所以过点P与Q的直线方程为x＋y－＝0，即2x＋y－6＝0. (2)由两直线平行，得－3(m＋1)＝2－2m，得m＝－5， 所以所求直线的方程为－4x＋12y－16＝0，即x－3y＋4＝0. 知识 1.两条直线的交点.2.直线系过定点 方法 消元法、直线系法 易错误区 对两直线相交条件认识模糊 1．两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为(　　 ) A．(3，2) B．(2，3) C．(－2，－3) D．(－3，－2) 答案：B 解析：解方程组得故选B． 2．(多选)两条直线l1：2x＋3y－m＝0与l2：x－my＋12＝0的交点在y轴上，那么m的值为(　　) A．－24 B．6 C．－6 D．0 答案：BC 解析：因为两条直线2x＋3y－m＝0和x－my＋12＝0的交点在y轴上，设交点为(0，b)，所以消去b，可得m＝±6.故选BC． 3．直线y＝k(x－2)－1(k∈R)经过定点________． 答案：(2，－1) 解析：因为y＝k(x－2)－1(k∈R)，令x－2＝0，即x＝2，y＝－1，所以过定点(2，－1)． 4．经过直线l1：x＋3y－4＝0与l2：5x＋2y＋6＝0的交点，且过点A(2，3)的直线方程是____________． 答案：x－4y＋10＝0 解析：法一：联立直线方程，解方程组得故l1，l2的交点坐标为(－2，2)，由两点式得所求直线的方程为＝，即x－4y＋10＝0. 法二：易知直线5x＋2y＋6＝0不符合所求方程，设所求直线方程为x＋3y－4＋λ(5x＋2y＋6)＝0(λ∈R)，将点A(2，3)的坐标代入，得2＋3×3－4＋λ(5×2＋2×3＋6)＝0，解得λ＝－，故所求直线方程为x＋3y－4－(5x＋2y＋6)＝0，整理得x－4y＋10＝0. 课时测评17　两条直线的交点坐标 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．直线2x＋y＋1＝0与直线x－y＋2＝0的交点在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：B 解析：联立解得所以交点(－1，1)在第二象限．故选B． 2．已知直线x＋my－3－2m＝0恒过定点Q，Q点在直线l上，则l的方程可以是(　　) A．x＋y－3＝0 B．x－y－1＝0 C．2x＋y－7＝0 D．x＋2y－5＝0 答案：B 解析：由题意知x＋my－3－2m＝0可化为m(y－2)＝－(x－3)，则直线l恒过定点Q(3，2)，验证选项得直线l的方程可以为x－y－1＝0.故选B． 3．直线2x＋y＋2＝0与ax＋4y－2＝0互相垂直，则这两条直线的交点坐标为(　　) A．(1，－4) B．(0，－2) C．(－1，0) D． 答案：C 解析：易知直线2x＋y＋2＝0的斜率为－2，由两直线垂直条件得直线ax＋4y－2＝0的斜率－＝，解得a＝－2；联立解得即交点为(－1，0)．故选C． 4．(2024·山东淄博高二质量检测)经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线的一个方向向量v＝(3，2)的直线方程为(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：由解得故交点坐标为(1，1)，因为直线的一个方向向量v＝(3，2)，所以直线方程为y－1＝(x－1)，即.故选D． 5．直线l1：x＋my－6＝0与l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0只有一个公共点，则(　　) A．m≠－1且m≠3 B．m≠－1且m≠－3 C．m≠1且m≠3 D．m≠1且m≠－1 答案：A 解析：因为直线l1：x＋my－6＝0与直线l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0只有一个公共点，所以两条直线不平行也不重合，所以m(m－2)≠3，解得m≠－1，m≠3，所以m的取值范围是m≠－1且m≠3.故选A． 6．(多选)若两条直线y＝kx＋2k＋1和x＋2y－4＝0的交点在第四象限，则k的取值可以是(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 答案：BC 解析：由解得所以两直线的交点坐标为.由题意可得解得所以k∈.故选BC． 7．三条直线ax＋2y－8＝0，4x＋3y＝10与2x－y＝10相交于一点，则a的值为________． 答案：3 解析：由⇒即三条直线交于(4，－2)，代入ax＋2y－8＝0，有4a－4－8＝0⇒a＝3. 8．若a∈R，则直线(a－1)x－y＋2a－1＝0恒过定点________． 答案：(－2，1) 解析：方程(a－1)x－y＋2a－1＝0可化为a(x＋2)－x－y－1＝0，令得即直线(a－1)x－y＋2a－1＝0恒过定点(－2，1)． 9．经过直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为____________． 答案：x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0 解析：设直线方程为3x＋2y＋6＋λ(2x＋5y－7)＝0，即(3＋2λ)x＋(2＋5λ)y＋6－7λ＝0.令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝.由＝，得λ＝或λ＝.所以直线方程为x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0. 10．(10分)如图，△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，∠BAC的平分线所在直线的方程为y＝0，若点B的坐标为(1，2)，点A在x轴上，求点A和点C的坐标． 解：由方程组得顶点A(－1，0)，则边AB所在直线的斜率kAB＝＝1. 因为∠BAC的平分线所在直线的方程为y＝0， 所以直线AC的斜率为－1，AC所在直线的方程为y＝－(x＋1)． 因为BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0， 所以kBC＝－2. 又点B的坐标为(1，2)， 所以BC所在直线的方程为y＝－2(x－1)＋2. 由得C(5，－6)． 综上，A(－1，0)，C(5，－6)． (11—13每小题5分，共15分) 11．(2024·黑龙江哈尔滨高二月考)已知P1(a1，b1)与P2(a2，b2)是直线y＝kx＋1(k为常数)上两个不同的点，则关于直线l1：a1x＋b1y－1＝0和l2：a2x＋b2y－1＝0的交点情况说法正确的是(　　) A．存在k，P1，P2使之无交点 B．存在k，P1，P2使之有无穷多交点 C．无论k，P1，P2如何，总是无交点 D．无论k，P1，P2如何，总有唯一交点 答案：D 解析：由题意得所以b1－b2＝k(a1－a2)(*)，关于l1，l2交点的情况，联立方程①－②得(a1－a2)x＋(b1－b2)y＝0，将(*)代入上式得(a1－a2)x＋k(a1－a2)y＝0.因为P1与P2不重合，所以a1－a2≠0，即x＝－ky③，代入①得－a1ky＋b1y－1＝0，(b1－a1k)y－1＝0，由条件b1－a1k＝1，得y＝1，代入③得x＝－k，即不论P1，P2，k情况如何，解是唯一的，即则l1，l2有唯一的交点．故选D． 12．(多选)已知直线l1：x－y－1＝0和直线l2：(k＋1)x＋ky＋k＝0(k∈R)，则下列结论正确的是(　　) A．存在实数k，使得直线l2的倾斜角为 B．对任意的实数k，直线l1与直线l2都有公共点 C．对任意的实数k，直线l1与直线l2都不重合 D．对任意的实数k，直线l1与直线l2都不垂直 答案：ABD 解析：对于A项，当k＝0时，直线l2的方程为x＝0，此时直线l2的倾斜角为，故A正确；对于B项，当k＝－时，直线l2的方程为x－y－1＝0，与l1重合，此时两直线有公共点；当k≠－时，有1×k－(－1)×(k＋1)＝2k＋1≠0，即l1，l2一定相交．综上所述，对任意的实数k，直线l1与直线l2都有公共点，故B正确；对于C项，由B可知，当k＝－时，直线l2与l1重合，故C错误；对于D项，要使直线l1与直线l2垂直，则应有k＋1－k＝0，该方程无解，所以对任意的实数k，直线l1与直线l2都不垂直，故D正确．故选ABD． 13．若三条直线l1：3x＋my－1＝0，l2：3x－2y－5＝0，l3：6x＋y－5＝0不能围成三角形，则实数m的值为________． 答案：2或－2或 解析：当三条直线交于一点或其中任意两条平行或重合时，它们不能围成三角形．由解得将x＝1，y＝－1代入l1的方程，得m＝2.即当m＝2时，三条直线共点，不能围成三角形．又m＝－2时，l1∥l2，m＝时，l1∥l3，此时三条直线也不能围成三角形．故当m＝±2，或m＝时，l1，l2和l3不能围成三角形． 14．(12分)已知直线m：(a＋2)x＋(1－2a)y＋4－3a＝0. (1)求证：直线m过定点M； (2)过点M作直线n使直线与两负半轴围成的三角形AOB的面积等于4，求直线n的方程． 解：(1)证明：方程(a＋2)x＋(1－2a)y＋4－3a＝0化为a(x－2y－3)＋(2x＋y＋4)＝0， 由解得 故直线m恒过定点M(－1，－2)． (2)设直线n：＋＝1(a＜0，b＜0)， 则由题意得解得 所以直线n：＋＝1，即2x＋y＋4＝0. 15．(5分)(新角度)若点A(2，－3)是直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0的公共点，则相异两点(a1，b1)和(a2，b2)所确定的直线方程是(　　) A．2x－3y＋1＝0 B．3x－2y＋1＝0 C．2x－3y－1＝0 D．3x－2y－1＝0 答案：A 解析：因为A(2，－3)是直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0的公共点，所以2a1－3b1＋1＝0，且2a2－3b2＋1＝0，所以两点(a1，b1)和(a2，b2)都在同一条直线2x－3y＋1＝0上，故两点(a1，b1)和(a2，b2)所确定的直线方程是2x－3y＋1＝0.故选A． 16．(13分)已知△ABC的顶点A(4，3)，AB边上的高所在直线为x－y－3＝0，D为AC的中点，且BD所在直线方程为3x＋y－7＝0. (1)求顶点B的坐标； (2)求BC边所在的直线方程． 解：(1)由A(4，3)及AB边上的高所在直线为x－y－3＝0， 得AB所在直线方程的斜率为－1， 则直线AB的方程为y－3＝－(x－4)，即x＋y－7＝0. 又BD所在直线方程为3x＋y－7＝0， 由求得点B(0，7)． (2)设C(m，n)，又A(4，3)，D为AC的中点，则D， 由已知得 解得C， 又B(0，7)，则＝， 化简得直线BC的方程为19x＋y－7＝0. 学生用书第64页 学科网（北京）股份有限公司 $$