2.2.3 直线的一般式方程-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版2019）

2.2.3　直线的一般式方程 [学习目标] 知识层面 1.掌握直线的一般式方程．　 2．理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线．　 3．会进行直线方程的五种形式之间的转化． 素养层面 通过学习直线方程的五种形式及相互转化，提升逻辑推理、直观想象和数学运算素养. 问题1．平面直角坐标系中任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？ 提示：可以．直线斜率存在时，点斜式方程y－y0＝k(x－x0)为二元一次方程；斜率不存在时，x－x0＝0也可以认为是y的系数为0的二元一次方程． 问题2．任意一个关于x，y的二元一次方程都可以表示一条直线吗？ 提示：可以，任意一个二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)，B≠0时，y＝－x－；B＝0时，x＝－均表示直线． 1．直线的一般式方程 定义 关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式 适用 范围 平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示 系数的 几何 意义 ①当B≠0时，则－＝k(斜率)，－＝b(y轴上的截距)．②当B＝0，A≠0时，则－＝a(x轴上的截距)，此时不存在斜率 2．直线方程的一般式与其他形式的互化 [微提醒]　(1)方程是关于x，y的二元一次方程．(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列．(3)x的系数一般不为分数和负数．(4)虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程．(5)解题时，如无特殊说明，应把最终结果化为一般式． (链教材P65例5，P66T1)根据下列条件，写出直线的方程，并把它化为一般式： (1)斜率是－，经过点A(8，－2)； (2)倾斜角是45°，在y轴上的截距是－7； (3)在x轴和y轴上的截距分别是，－3； (4)经过两点A(3，－2)，B(5，－4)． 解：(1)由点斜式得y＋2＝－(x－8)，即x＋2y－4＝0. (2)斜率k＝tan 45°＝1，由斜截式得y＝x－7，即x－y－7＝0. (3)因为在x轴和y轴上的截距分别是，－3， 所以由截距式得＋＝1，即2x－y－3＝0. (4)由两点式得＝，即x＋y－1＝0. 规律方法 求直线一般式方程的策略 在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式．　　 对点练1．根据下列条件，写出直线的方程，并把它化为一般式： (1)经过点B(4，2)，平行于x轴； (2)倾斜角为60°，与y轴的交点到x轴的距离是3； (3)方向向量n＝(2，3)，经过点A(6，－6)． 解：(1)因为直线平行于x轴，所以斜率等于0， 由点斜式得y－2＝0×(x－4)，即y－2＝0. (2)斜率k＝tan 60°＝， 因为直线与y轴的交点到x轴的距离是3， 所以直线在y轴上的截距为±3， 所以所求直线方程为y＝x＋3，或y＝x－3，即x－y＋3＝0，或x－y－3＝0. (3)方向向量n＝(2，3)，得直线的斜率k＝，由点斜式可得y＋6＝(x－6)，即3x－2y－30＝0. 学生用书第59页 应用一　与含参数的一般式方程有关的问题 已知方程(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0(m∈R)． (1)求该方程表示一条直线的条件； (2)当m为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出这时的直线方程； (3)已知方程表示的直线l在x轴上的截距为－3，求实数m的值． 解：(1)当x，y的系数不同时为零时，方程表示一条直线． 令m2－2m－3＝0，解得m＝－1或m＝3； 令2m2＋m－1＝0，解得m＝－1或m＝. 所以x，y的系数同时为零时m＝－1， 故若方程表示一条直线，则m≠－1， 即实数m的取值范围为. (2)当x的系数不为0，y的系数为0时斜率不存在， 由(1)知当m＝时，2m2＋m－1＝0且m2－2m－3≠0，方程表示的直线的斜率不存在， 此时直线方程为3x－4＝0. (3)易知m≠－1且m≠3时，直线在x轴上的截距存在． 依题意，令y＝0，得直线在x轴上的截距＝－3，解得m＝－(m＝3舍去)． 所以实数m的值为－. [变式探究]　(变条件)本例中，若方程表示的直线l的倾斜角是45°，求实数m的值． 解：易知m≠－1且m≠时，直线的斜率存在， 方程即y＝－x－(m∈R)，故斜率为－. 因为直线的倾斜角是45°，所以斜率为1， 所以－＝1，解得m＝(m＝－1舍去)． 所以实数m的值为. 规律方法 已知含参数的直线的一般式方程求参数的值或取值范围的步骤 　　 对点练2．已知直线l：ax＋(1－2a)y＋1－a＝0. (1)当直线l在x轴上的截距是它在y轴上的截距的3倍时，求实数a的值； (2)当直线l不通过第四象限时，求实数a的取值范围． 解：(1)由条件知，a≠0且a≠， 在直线l的方程中，令y＝0得x＝，令x＝0得y＝. 所以＝×3，解得a＝1，或a＝， 经检验，a＝1，均符合要求． (2)当a＝时，l的方程为x＋＝0，即x＝－1，此时l不通过第四象限； 当a≠时，直线l的方程为y＝x＋. l不通过第四象限，即解得＜a≤1. 综上所述，当直线不通过第四象限时，a的取值范围为. 应用二　利用直线的一般式方程解决平行、垂直问题 已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0. (1)当l1⊥l2时，求a的值； (2)在(1)的条件下，若直线l3∥l2，且l3过点A(1，－3)，求直线l3的方程． 解：(1)由题知l1：ax＋2y＋6＝0，l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0， 因为l1⊥l2， 所以a×1＋2×(a－1)＝0，解得a＝. (2)由(1)知a＝，所以l2：x－－＝0，即9x－3y－5＝0， 因为l3∥l2，设l3：9x－3y＋m＝0，m≠－5， 将A(1，－3)代入l3中可得m＝－18， 故l3：9x－3y－18＝0，即l3：3x－y－6＝0. 学生用书第60页 规律方法 1．利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0： (1)若l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)． (2)若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 2．与已知直线平行(垂直)的直线方程的设法 (1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)． (2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0.　　 对点练3．已知直线l1：x－ay＋3＝0，l2：(2－a)x＋3y－1＝0. (1)若l1∥l2，求a的值； (2)若l1⊥l2，求过点A(a，a2)且与l1平行的直线l的方程． 解：(1)因为l1∥l2， 所以1×3－(2－a)×(－a)＝0， 化简得a2－2a－3＝0，解得a＝3或a＝－1， 当a＝3或a＝－1时，l1与l2均不重合， 所以a的值为3或－1. (2)因为l1⊥l2， 所以2－a－3a＝0，解得a＝，即A， 设l：x－y＋m＝0，m≠3， 将A代入l中可得m＝－， 所以直线l的方程为x－y－＝0，即8x－4y－3＝0. 知识 1.直线的一般式方程及应用.2.直线五种形式方程的互化 方法 分类讨论法、化归与转化思想 易错误区 1.忽视斜率不存在的情况.2.忽视两直线重合的情况 1．(2024·江苏苏州高二质量调研)在平面直角坐标系xOy中，直线l：x＋y＋1＝0的倾斜角为(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：设直线l的倾斜角为α(α∈)．由x＋y＋1＝0，化简得y＝－x－，所以直线的斜率k＝－，所以tan α＝－，得α＝，故A正确．故选A． 2．(多选)已知直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)，则下列结论正确的是(　　) A．当A＝0，B≠0时，l与x轴垂直 B．当A≠0，B＝0，C＝0时，l与y轴重合 C．当C＝0时，l过原点 D．当A＞0，B＞0时，l的倾斜角为锐角 答案：BC 解析：对于A，当A＝0，B≠0时直线l：By＋C＝0(B≠0)，即y＝－，表示与x轴平行(重合)的直线，故A错误；对于B，当A≠0，B＝0，C＝0时直线l：Ax＝0，即x＝0，即l与y轴重合，故B正确；对于C，当C＝0时直线l：Ax＋By＝0，此时满足方程Ax＋By＝0，即l过原点，故C正确；对于D，当A＞0，B＞0时直线l：Ax＋By＋C＝0，即y＝－x－，斜率k＝－＜0，所以l的倾斜角为钝角，故D错误．故选BC． 3．若直线ax＋y＝0与直线4ax＋a2y＋a－2＝0平行，则a＝________． 答案：－2 解析：由题意得解得a＝－2. 4．已知直线l：x＋y－1＝0，则过点(2，4)与直线l垂直的直线l′的方程为____________． 答案：x－y＋2＝0 解析：因为直线l：x＋y－1＝0且直线l与直线l′垂直，所以由题可设l′：x－y＋m＝0，又直线l′过点(2，4)，所以2－4＋m＝0，解得m＝2，即直线l′的方程为x－y＋2＝0. 课时测评16　直线的一般式方程 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．直线l：2x－3y＋6＝0在x轴上的截距是(　　) A．(－3，0) B．(3，0) C．－3 D．3 答案：C 解析：令y＝0，则2x＋6＝0，解得x＝－3，所以直线l：2x－3y＋6＝0在x轴上的截距是－3.故选C． 2．(2024·安徽芜湖高二质量监控)已知直线l1：x＋2ay－1＝0与直线l2：(2a－1)x－ay－1＝0互相平行，则实数a为(　　) A． B． C．0或 D．0或 答案：C 解析：当直线l1：x＋2ay－1＝0与直线l2：(2a－1)x－ay－1＝0不相交时，2a(2a－1)－1·(－a)＝0，解得a＝0，或a＝，当a＝0时，直线l1：x－1＝0与l2：－x－1＝0平行，当a＝时，直线l1：x＋y－1＝0与l2：－x－y－1＝0平行，所以实数a为0或.故选C． 3．(2024·山东淄博高二质量检测)过点(－1，2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直的直线方程为(　　) A．3x＋2y＋7＝0 B．3x＋2y－1＝0 C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0 答案：B 解析：法一：直线2x－3y＋4＝0的斜率为，所以与直线2x－3y＋4＝0垂直的直线斜率为－，故由点斜式可得y－2＝－(x＋1)，即3x＋2y－1＝0.故选B． 法二：与直线2x－3y＋4＝0垂直的直线方程可设为3x＋2y＋m＝0 ，又所求直线过点(－1，2)，则3×(－1)＋2×2＋m＝0，即m＝－1，所以所求直线方程为 3x＋2y－1＝0.故选B． 4．已知直线l：x＋my＝0的倾斜角的取值范围为，则直线l1：x－my－2＝0的倾斜角的取值范围为(　　) A． B．∪ C． D． 答案：D 解析：显然当m＝0时，直线l的倾斜角为，不符合题意，则m≠0，则直线l的斜率为－，直线l1的斜率为，所以l与l1的斜率互为相反数，所以l与l1的倾斜角互补，得l1的倾斜角的取值范围为.故选D． 5．(多选)已知直线2x＋y＋3＝0，则下列说法正确的是(　　) A．直线过点(－1，1) B．直线的斜率为－2 C．直线在x轴上的截距为－3 D．直线在y轴上的截距为－3 答案：BD 解析：对于选项A，因为2×(－1)＋1＋3＝2≠0，即直线不过点(－1，1)，故A错误；又由2x＋y＋3＝0，得到y＝－2x－3，所以直线斜率为－2，在y轴上的截距为－3，故B，D正确；又由直线2x＋y＋3＝0，令y＝0，得到x＝－，故C错误．故选BD． 6．(多选)(2024·北京海淀高二月考)已知直线l：ax＋ay－＝0(a≠0)，则下列结论正确的是(　　) A．无论a如何变化，直线l恒过定点 B．无论a如何变化，直线l一定不经过第三象限 C．无论a如何变化，直线l必经过第一、二、三象限 D．当a取不同数值时，可得到一组平行直线 答案：BD 解析：直线l：ax＋ay－＝0(a≠0)，即a2x＋a2y－1＝0(a≠0)，即y＝－x＋(a≠0)，因为直线的斜率k＝－1，与y轴的交点为(a≠0)，交于正半轴，故直线恒过一、二、四象限，不过第三象限，故B正确，C错误；当取不同数值时，也随着改变，直线与y轴的交点也随着改变，又直线的斜率不变，所以当a取不同数值时，可得到一组平行直线，故D正确，由D可知直线l不过定点，故A错误．故选BD． 7．若直线2x－y＋1－4m＝0过一、三、四象限，则m的取值范围为________． 答案： 解析：因为直线方程为2x－y＋1－4m＝0，即为y＝2x＋1－4m，又因为直线过一、三、四象限，所以直线在y轴上的截距小于零，即1－4m＜0，解得m＞，所以m的取值范围为. 8．已知直线l1经过点(1，2)，(2，a)，且l1的倾斜角与直线l2：2x－y＋7＝0的倾斜角互补，则a＝________． 答案：0 解析：由题意得l2：2x－y＋7＝0的斜率为2，l1的倾斜角与直线l2：2x－y＋7＝0的倾斜角互补，则l1的斜率为－2，得＝－2，即a＝0. 9．若a，b为正实数，直线x＋(2a－1)y＋1＝0与直线bx＋2y－1＝0互相垂直，则ab的最大值为________． 答案： 解析：因为直线x＋(2a－1)y＋1＝0与直线bx＋2y－1＝0互相垂直，所以b＋2(2a－1)＝0，即4a＋b＝2，由基本不等式可得2＝4a＋b≥2，即ab≤，当且仅当时等号成立．所以ab的最大值为. 10．(10分)设直线l过点A(－1，3)，且和直线3x＋4y－12＝0平行． (1)求直线l的方程； (2)设l与x轴相交于点B，求直线l绕点B逆时针旋转90°所得的直线方程． 解：(1)因为直线l和直线3x＋4y－12＝0平行， 所以设l：3x＋4y＋m＝0(m≠－12)． 又直线l过点A(－1，3)，所以3×(－1)＋4×3＋m＝0，解得m＝－9， 故所求方程为3x＋4y－9＝0. (2)因为l与x轴相交于点B(3，0)， 所以直线l绕点B逆时针旋转90°所得的直线的斜率为. 所以所求直线方程为y＝(x－3)，化简得4x－3y－12＝0. (11—13每小题5分，共15分) 11．“λ＝－1”是“直线l1：x＋λy＋9＝0与l2：(λ－2)x＋3y＋3λ＝0平行”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：λ＝－1时，直线l2：－3x＋3y－3＝0即x－y＋1＝0，与直线l1：x－y＋9＝0平行，充分性成立；直线l1：x＋λy＋9＝0与l2：(λ－2)x＋3y＋3λ＝0平行，有λ(λ－2)＝3，解得λ＝－1或λ＝3，其中λ＝3时，两直线重合，舍去，故λ＝－1，必要性成立．故“λ＝－1”是“直线l1：x＋λy＋9＝0与l2：(λ－2)x＋3y＋3λ＝0平行”的充要条件．故选A． 12．(多选)已知直线l1：ax－3y＋1＝0，l2：x－by＋2＝0，则下列结论正确的是(　　) A．若l1⊥l2，则＝－3 B．若l1∥l2，则ab＝3 C．若l1与坐标轴围成的三角形面积为1，则a＝± D．当b＜0时，l2不经过第一象限 答案：BCD 解析：对于A，当l1⊥l2时，a＋3b＝0，解得＝－3或a＝b＝0，故A错误；对于B，当l1∥l2时，－ab＋3＝0，解得ab＝3，故B正确；对于C，在直线l1：ax－3y＋1＝0中，当x＝0时，y＝，当y＝0时，x＝－，所以l1与坐标轴围成的三角形面积为S＝··＝1，解得a＝±，故C正确；对于D，由题知当b＜0时，l2：y＝x＋的图象不经过第一象限，故D正确．故选BCD． 13．已知直线l1：x＋(1＋m)y＋m－2＝0与直线l2：mx＋2y＋8＝0平行，则经过点A(3，2)且与直线l2垂直的直线方程为____________． 答案：2x－y－4＝0 解析：因为直线l1：x＋(1＋m)y＋m－2＝0与直线l2：mx＋2y＋8＝0平行，所以m(1＋m)＝1×2，解得m＝1或m＝－2，当m＝－2时，l1：x－y－4＝0，l2：－2x＋2y＋8＝0，则l1与l2重合，舍去；当m＝1时，l1：x＋2y－1＝0，l2：x＋2y＋8＝0，所以l1与l2平行，符合题意，设与直线l2垂直的直线方程为2x－y＋n＝0，则2×3－2＋n＝0，解得n＝－4，所以所求直线方程为2x－y－4＝0. 14．(12分)已知直线l1：(a－2)x＋(a－3)y＋1＝0，直线l2：5ax－(a＋4)y＋20＝0. (1)若l1∥l2，求实数a的值； (2)判断l1与l2是否可能垂直，若可能垂直，求实数a的值；若不可能垂直，请说明理由． 解：(1)若l1∥l2，则(a－3)×5a＋(a－2)(a＋4)＝0， 整理得6a2－13a－8＝(2a＋1)(3a－8)＝0， 解得a＝－或a＝. 当a＝－时，l1：－x－y＋1＝0，l2：－x－y＋20＝0，符合题意； 当a＝时，l1：x－y＋1＝0，l2：x－y＋20＝0，l1，l2重合，舍去． 故a＝－. (2)若l1⊥l2，则5a(a－2)－(a－3)(a＋4)＝0， 整理得4a2－11a＋12＝0，因为Δ＝(－11)2－4×4×12＜0， 所以方程4a2－11a＋12＝0无解，故l1与l2不可能垂直． 15．(5分)(新情境)如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，已知点A(0，2)，B(－2，0)，C(1，0)，分别以AB，AC为边向外作正方形ABEF与ACGH，则直线FH的一般式方程为_______________. 答案：x＋4y－14＝0 解析：过点H，F分别作y轴的垂线，垂足分别为M，N(图略)．因为四边形ACGH为正方形，所以Rt△AMH≌Rt△COA，所以AM＝OC＝1，MH＝OA＝2，所以OM＝OA＋AM＝3，所以点H的坐标为(2，3)，同理得到F(－2，4)，所以直线FH的方程为＝，化为一般式方程为x＋4y－14＝0. 16．(13分)设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)． (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围； (3)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，△AOB的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程． 解：(1)当直线过原点时满足条件，此时2－a＝0，解得a＝2，化为3x＋y＝0. 当直线不过原点时，则直线斜率为－1，故a＋1＝1，解得a＝0，可得直线l的方程为x＋y＋2＝0. 综上所述，直线l的方程为3x＋y＝0，或x＋y＋2＝0. (2)y＝－(a＋1)x＋a－2， 因为l不经过第二象限， 所以解得a≤－1. 所以实数a的取值范围是. (3)令x＝0，得y＝a－2＜0，解得a＜2； 令y＝0，得x＝＞0，解得a＞2或a＜－1. 综上有a＜－1. 所以S△AOB＝＝＝3＋ ≥3＋×2＝6， 当且仅当a＝－4时取等号． 所以△AOB(O为坐标原点)面积的最小值是6，此时直线方程为－3x＋y＋6＝0，即3x－y－6＝0. 学生用书第61页 学科网（北京）股份有限公司 $$