2.2.2 直线的两点式方程-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版2019）

2.2.2　直线的两点式方程 [学习目标] 知识层面 1．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的两点式方程．　 2．了解直线的截距式方程的形式特征及适用范围．　 3．能用直线的两点式方程和截距式方程解决有关问题． 素养层面 通过学习直线的两点式方程和截距式方程，培养直观想象和数学运算素养. 知识点一　直线的两点式方程 问题1．如图，给定直线l上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，试用点斜式写出l的方程． 提示：y－y1＝(x－x1)． 问题2．给定直线l上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，任选直线上一点P(x，y)，其中P不与P1，P2重合，那么kPP1与kP1P2有什么关系？ 提示：kPP1＝kP1P2，即＝. 两点式 条件 经过两点P1(x1，y1) 和P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2 图示 方程 ＝ 适用范围 不表示垂直于坐标轴的直线 [微提醒]　(1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式方程表示．(2)两点式方程与这两个点的顺序无关． (链教材P63例4)如图所示，已知三角形的三个顶点为A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)． (1)求BC边所在直线的方程； (2)求BC边上的中线所在直线的方程． 解：(1)过B(5，－4)，C(0，－2)的直线的两点式方程为＝， 整理得2x＋5y＋10＝0， 这就是BC边所在直线的方程． (2)BC中点M的坐标为， 过A(－3，2)，M的直线的两点式方程为＝， 整理得10x＋11y＋8＝0， 这就是BC边上的中线AM所在直线的方程． 规律方法 已知两点求直线方程的策略 1．已知直线上两点的坐标求直线方程时，若满足两点式方程的适用条件，可直接将两点的坐标代入直线的两点式方程，化简即得． 2．在斜率存在的情况下，也可以选用斜率公式求出斜率，再用点斜式求方程． 3．若点的坐标中含有参数，需注意对参数的讨论． 　　 对点练1．求经过不重合的两点A(2，m)和B(n，3)的直线方程． 解：由A(2，m)和B(n，3)两点不重合知，m＝3与n＝2不同时成立． 当m＝3且n≠2时，直线垂直于y轴，方程为y＝3； 当n＝2且m≠3时，直线垂直于x轴，方程为x＝2； 当m≠3且n≠2时，由两点式得直线方程为＝. 综上所述，当m＝3且n≠2时，方程为y＝3；当n＝2且m≠3时，方程为x＝2；当m≠3且n≠2时，方程为＝. 学生用书第56页 知识点二　直线的截距式方程 问题3．若给定直线上两点A(a，0)，B(0，b)(a≠0，b≠0)，你能否得出直线的方程呢？ 提示：　＋＝1. 截距式 条件 在x轴上截距为a，在y轴上截距为b(a≠0，b≠0) 图形 方程 ＋＝1 适用范围 不表示垂直于坐标轴的直线及过原点的直线 [微提醒]　(1)如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程．(2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图．(3)与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示．(4)过原点的直线的横、纵截距都为零． 已知直线 l经过点(7，1)且在两坐标轴上的截距之和为零，求直线l的方程． 解：当直线经过原点时，即直线在两坐标轴上截距都为零，满足条件，故直线的斜率为， 故所求直线方程为x－7y＝0； 当直线不过原点时，根据题意，设其方程为＋＝1，将(7，1)代入方程有－＝1， 解得a＝6，即x－y－6＝0. 故所求直线的方程为 x－7y＝0或x－y－6＝0. [变式探究]　(变条件)若将本例中“截距之和为零”改为“截距相等”呢？ 解：当直线经过原点时，即直线在两坐标轴上截距都为零，满足条件，故直线的斜率为， 故所求直线方程为x－7y＝0； 当直线不过原点时，根据题意，设其方程为 ＋＝1，将(7，1)代入方程有 ＋＝1， 解得a＝8，即x＋y－8＝0. 故所求直线的方程为 x－7y＝0或x＋y－8＝0. 规律方法 直线的截距式方程的求法 1．由已知条件确定横、纵截距． 2．若两截距为零，则直线过原点，直接写出方程即可；若两截距不为零，则代入公式＋＝1，可得所求的直线方程． 注意：如果题目中出现直线在两坐标轴上的截距相等、截距互为相反数或在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的多少倍等条件，采用截距式求直线方程时一定要注意考虑“零截距”的情况．　　 对点练2．求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程． 解：法一：设直线在x轴，y轴上的截距分别为a，b. ①当a≠0，b≠0时，设l的方程为＋＝1. 因为点(4，－3)在直线上，所以＋＝1， 若a＝b，则a＝b＝1，此时直线方程为x＋y－1＝0. 若a＝－b，则a＝7，b＝－7，此时直线方程为x－y－7＝0. ②当a＝b＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)，所以直线方程为3x＋4y＝0. 综上可知，所求直线方程为x＋y－1＝0，或x－y－7＝0，或3x＋4y＝0. 法二：设直线l的方程为y＋3＝k(x－4)， 令x＝0，得y＝－4k－3；令y＝0，得x＝. 又因为直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等， 所以|－4k－3|＝， 解得k＝1或k＝－1或k＝－. 所以所求的直线方程为x－y－7＝0，或x＋y－1＝0，或3x＋4y＝0. 学生用书第57页 截距式方程的应用 过点P(2，1)作直线l分别交x，y的正半轴于A，B两点． (1)求△ABO面积的最小值及相应的直线l的方程； (2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程． 解：(1)显然直线l斜率存在且不过原点，由题意可设直线l的方程为＋＝1(a，b＞0)， 又点P(2，1)在直线l上，所以＋＝1， 由基本不等式可得＋＝1≥2，即ab≥8，当且仅当a＝4，b＝2时取等号， 所以S△ABO＝|OA||OB|＝ab≥×8＝4，当且仅当a＝4，b＝2时取等号， 此时相应的直线l的方程为x＋2y－4＝0. (2)由(1)可知＋＝1(a，b＞0)， 又注意到|OA|＋|OB|＝a＋b， 所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)＝3＋＋， 由基本不等式可得|OA|＋|OB|＝3＋＋≥3＋2，当且仅当a＝2＋，b＝＋1时取等号， 此时相应的直线l的方程为x＋y－2－＝0. 规律方法 1．直线的截距式方程是两点式方程的特殊情况(两个点是直线与坐标轴的交点，记为(a，0)，(0，b))，用它来画直线以及求直线与坐标轴围成的图形面积或周长时较为方便．一条直线与坐标轴围成的三角形的面积S＝|a||b|. 2．当直线l与x，y轴正半轴相交于A，B两点时(截距均为正数)，往往会涉及△ABO的面积的最值问题，常常与基本不等式或二次函数知识结合．　　 对点练3．若直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点且在x轴，y轴上的截距之和为4，O是坐标原点，求△AOB面积的最大值及此时直线l的方程． 解：依题意设A(m，0)，则B(0，4－m)，可得解得0＜m＜4， 直线l的方程为＋＝1(m≠0且m≠4)， 因为S△AOB＝＝m(4－m) ＝(－m2＋4m)＝－(m－2)2＋2， 所以当m＝2时，S△AOB取得最大值2， 此时直线方程为＋＝1，即y＝－x＋2. 知识 1.直线的两点式方程.2.直线的截距式方程 方法 分类讨论法、数形结合法 易错误区 利用截距式求直线方程时易忽略过原点的情况 1．经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线方程都可以表示为(　　) A．＝ B．＝ C．(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1) D．y－y1＝(x－x1) 答案：C 解析：当经过(x1，y1)，(x2，y2)的直线不与x，y轴平行时，所有直线均可以用＝，由于x1与x2，y1与y2可能相等，所以只有选项C满足包括与x，y轴平行的直线．故选C． 2．(多选)下列说法正确的是(　　) A．不经过原点的直线都可以表示为＋＝1 B．若直线与两坐标轴交点分别为A，B且AB的中点为(4，1)，则直线l的方程为＋＝1 C．过点(1，1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为y＝x或x＋y＝2 D．直线3x－2y＝4的截距式方程为＋＝1 答案：BCD 解析：对于A中，与坐标轴垂直的直线也不能用截距式表示，故A错误；对于B中，AB的中点为(4，1)，那么经过A(8，0)，B(0，2)的直线l的方程为＋＝1，故B正确；对于C中，当直线过原点时，直线为y＝x，当直线不过原点时，直线为x＋y＝2，故C正确；对于D中，方程3x－2y＝4可化为＋＝1，故D正确．故选BCD． 3．已知A(2，－1)，B(6，1)，则在y轴上的截距是－3，且经过线段AB中点的直线方程为____________． 答案：3x－4y－12＝0 解析：因为A(2，－1)，B(6，1)，则线段AB的中点为E(4，0)，又因为所求直线在y轴上的截距为－3，故所求直线方程为－＝1，即3x－4y－12＝0. 4．已知A(4，0)，B(0，5)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是________． 答案：5 解析：直线AB的方程为＋＝1，显然xy取得最大值时，x，y＞0，又因为＋≥2，即2≤1，解得xy≤5，当且仅当x＝2，y＝时取等号． 课时测评15　直线的两点式方程 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．直线2x－y＋2＝0在x轴上的截距是(　　) A．－1 B．1 C．－2 D．2 答案：A 解析：令y＝0，则2x－0＋2＝0，解得x＝－1，所以直线2x－y＋2＝0在x轴上的截距是－1.故选A． 2．已知直线l过A(－2，1)，且在两坐标轴上的截距为相反数，那么直线l的方程是(　　) A．x＋2y＝0或x－y＋3＝0 B．x－y－1＝0或x－y＋3＝0 C．x－y－1＝0或x＋y－3＝0 D．x＋2y＝0或x＋y－3＝0 答案：A 解析：当坐标轴上的截距都为0时，直线过原点，设直线方程为y＝kx，把点(－2，1)代入求出k＝－，即直线方程为x＋2y＝0；当坐标轴上的截距互为相反数且不等于0时，设直线方程为＋＝1，把点(－2，1)代入求出a＝－3，即直线方程为x－y＋3＝0，综上可知，直线方程为x＋2y＝0或x－y＋3＝0.故选A． 3．若直线l过点(－1，－1)和(2，5)，且点(91，b)在直线l上，则b的值为(　　) A．183 B．182 C．181 D．180 答案：A 解析：因为直线l过点(－1，－1)和(2，5)，由直线的两点式方程，得直线l的方程为＝，即y＝2x＋1.由于点(91，b)在直线l上，所以b＝2×91＋1，解得b＝183.故选A． 4．两直线－＝1与－＝1的图象可能是图中的哪一个(　　) 答案：B 解析：直线－＝1的斜率为k1＝，直线－＝1的斜率为k2＝，所以直线－＝1与直线－＝1斜率的符号相同，故只有B选项符合题意．故选B． 5．若直线l：＋＝1(a＞0，b＞0)经过点(1，2)，则直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值时，＝(　　) A．2 B． C． D． 答案：D 解析：因为直线l：＋＝1(a＞0，b＞0)经过点(1，2)，则＋＝1，则a＋b＝(a＋b)＝3＋＋≥3＋2，当且仅当＝，即b＝a时，等号成立，所以直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值为3＋2，此时b＝a，则＝＝.故选D． 6．(多选)下列说法正确的是(　　) A．＝k不能表示过点M(x1，y1)且斜率为k的直线方程 B．在x轴，y轴上的截距分别为a，b的直线方程为＋＝1 C．直线y＝kx＋b与y轴的交点到原点的距离为b D．过两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线方程为(x－x2)(y1－y2)－(y－y2)(x1－x2)＝0 答案：AD 解析：＝k表示过点M(x1，y1)且斜率为k的直线去掉点(x1，y1)，故A正确；在x轴，y轴上的截距分别为a，b，只有ab≠0时，直线方程为＋＝1，故B错误；直线y＝kx＋b与y轴的交点坐标是(0，b)，交点到原点的距离为，故C错误；过两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线当x1≠x2时，直线方程为y－y2＝(x－x2)，变形为(x－x2)(y1－y2)－(y－y2)(x1－x2)＝0，当x1＝x2时，直线方程为x＝x2，也适合方程(x－x2)(y1－y2)－(y－y2)(x1－x2)＝0，所以D正确．故选AD． 7．已知直线l的两点式方程为＝，则l的斜率为________． 答案：－ 解析：易得直线＝过(－5，0)，(3，－3)，故l的斜率为＝－. 8．已知直线l过点(－3，4)且方向向量为(1，－2)，则l在x轴上的截距为________． 答案：－1 解析：因为直线l的方向向量为(1，－2)，所以直线斜率k＝－2，又直线l过点(－3，4)，所以直线方程为y－4＝－2(x＋3)，即2x＋y＋2＝0，令y＝0，得x＝－1，所以l在x轴上的截距为－1. 9．若直线过点(1，1)且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线有________条． 答案：3 解析：依题意直线在坐标轴上的截距均不为0，设直线l的截距式为＋＝1，因为直线l经过点(1，1)，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，所以解得或或所以直线l的条数为3条． 10．(10分)已知直线l过点P(4，1)． (1)若直线l过点Q(－1，6)，求直线l的方程； (2)若直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，求直线l的方程． 解：(1)因为直线l过点P(4，1)，Q(－1，6)， 所以直线l的方程为＝，即x＋y－5＝0. (2)由题意知，若直线过原点，则有＝，即x－4y＝0； 若直线不过原点，则直线l的斜率存在且不为0， 故设直线l在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距为2a， 所以该直线的方程可设为＋＝1，即＋＝1，解得a＝，即2x＋y－9＝0. 综上，直线l的方程为x－4y＝0或2x＋y－9＝0. (11—13每小题5分，共15分) 11．(新角度)某汽车客运公司托运行李的费用y(元)与行李质量x(kg)之间的关系如图所示，根据图象可知，乘客最多可免费携带行李的质量为(　　) A．20 kg B．25 kg C．30 kg D．35 kg 答案：A 解析：由图象可得，直线过点(60，10)，(80，15)，由直线方程的两点式可得＝，化简可得y＝x－5，令y＝0，解得x＝20，即乘客最多可免费携带行李的质量为20 kg.故选A． 12．(多选)已知直线＋＝1经过第一、二、三象限且斜率小于1，那么下列不等式中一定正确的是(　　) A．＞ B．＞ C．(b－a)(b＋a)＞0 D．＞ 答案：AB 解析：因为直线＋＝1经过第一、二、三象限，可得a＜0，b＞0，由直线的斜率小于1，可得0＜－＜1，结合a＜0，可得a＜0＜b＜－a，由绝对值的性质，可得＞，故A正确；由幂函数y＝的单调性知，＞，故B正确；由b－a＞0，b＋a＜0，所以(b－a)(b＋a)＜0，故C错误；由＜0，＞0，得＜，故D错误．故选AB． 13．若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，则直线l的方程为________________． 答案：x±y＋6＝0或x±y－6＝0 解析：因为直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，所以直线l在两坐标轴上的截距的绝对值相等且不为0.设直线方程为＋＝1，则|a|＝|b|.因为|a|·|b|＝|a|2＝18，即a2＝36，所以a＝±6，所以a＝6时，b＝±6，当a＝－6时，b＝±6，所以直线的方程为x±y＋6＝0或x±y－6＝0. 14．(12分)直线l过点P，且与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点． (1)若|OA|＋|OB|＝7，求直线l的方程； (2)当△AOB的面积为6时，求直线l的方程． 解：(1)设直线l的方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，(直线l与坐标轴的交点位于正半轴)， 由题意知，a＋b＝7　①， 因为直线l过点P，所以＋＝1　②， 联立①②，解得或 所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0，或6x＋3y－14＝0. (2)由题意知，ab＝6，即ab＝12③， 联立②③，解得或 所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0，或3x＋y－6＝0. 15．(5分)(新情境)数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点分别为A(0，2)，B(－1，0)，C(4，0)，则△ABC的欧拉线方程为(　　) A．4x－3y－6＝0 B．3x＋4y＋3＝0 C．4x＋3y－6＝0 D．3x＋4y－3＝0 答案：C 解析：因为△ABC的顶点分别为A(0，2)，B(－1，0)，C(4，0)，所以△ABC的重心为G，因为kAB＝2，kAC＝－，所以kAB·kAC＝－1，所以AB⊥AC，所以△ABC的外心为BC的中点D，因为三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，所以△ABC的欧拉线为直线GD，所以△ABC的欧拉线方程为＝，即4x＋3y－6＝0.故选C． 16．(13分)如图，为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪，另外△AEF内部有一文物保护区域不能占用，经过测量，AB＝100 m，BC＝80 m，AE＝30 m，AF＝20 m，应该如何设计才能使草坪面积最大？ 解：以A为原点，AB，AD所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，如图，在线段EF上取一点P(m，n)，作PQ⊥BC于Q，PR⊥CD于R，则矩形PQCR即为要建的矩形草坪，设矩形PQCR的面积是S，则S＝|PQ|·|PR|＝(100－m)(80－n)． 又因为P(m，n)在直线EF：＋＝1上， 所以＋＝1(0≤m≤30)， 所以n＝20， 故S＝(100－m)＝－(m－5)2＋(0≤m≤30)， 当m＝5时，S有最大值，此时＝＝5， 即当点P为线段EF上靠近F点的六等分点时，可使草坪面积最大． 学生用书第58页 学科网（北京）股份有限公司 $$