2.2.1 直线的点斜式方程-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版2019）

2.2　直线的方程 2.2.1　直线的点斜式方程 [学习目标] 知识层面 1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程．　 2．掌握直线的点斜式方程与斜截式方程． 3．会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关的问题． 素养层面 通过学习直线的点斜式方程及斜截式方程，提升逻辑推理及数学运算素养. 知识点一　直线的点斜式方程 问题1．(1)在平面内，过点P0(x0，y0)的直线有多少条？斜率为k的直线有多少条？ (2)在平面内，过点P0(x0，y0)且斜率为k的直线有多少条？ 提示：(1)无数条；无数条．(2)有且只有一条． 点斜式 已知条件 点P0(x0，y0)和斜率k 图示 方程形式 y－y0＝k(x－x0) 适用条件 斜率存在 [微提醒]　(1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式．(2)点斜式方程中的点只要是这条直线上的点，哪一个都可以． [微思考]　(1)过点P0(x0，y0)，分别平行于x轴和y轴的直线方程是什么？ (2)方程k＝与y－y0＝k(x－x0)表示同一条直线吗？ 提示：(1)当直线与x轴平行时，方程可简写为y＝y0；当直线与y轴平行时，不能应用点斜式方程，此时可将方程写成x＝x0. (2)不是．前者缺少一个点P0(x0，y0)，后者才是整条的直线． (链教材P60例1，P61T1)写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点A(－2，3)，斜率为3； (2)经过点B(3，0)，倾斜角是； (3)经过点C(－4，－2)，倾斜角是. 解：(1)由题意可知，将A(－2，3)和斜率3直接代入直线点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可得，直线的点斜式方程为y－3＝3(x＋2)． (2)由倾斜角是可得直线斜率k＝tan ＝， 将B(3，0)代入点斜式方程即为y－0＝(x－3)． (3)由倾斜角是可得直线斜率k＝tan ＝－， 将C(－4，－2)代入点斜式方程即为y＋2＝－(x＋4)． 规律方法 求直线的点斜式方程的思路 注意：只有在斜率存在的情况下才可以使用点斜式方程．　　 学生用书第53页 对点练1．(1)已知直线的方程是y＋7＝－x－3，则(　　) A．直线经过点(－3，7)，斜率为－1 B．直线经过点(7，－1)，斜率为－1 C．直线经过点(－3，－7)，斜率为－1 D．直线经过点(－7，－3)，斜率为1 (2)已知过定点(4，5)的直线m的一个方向向量是d＝(3，2)，则直线m的点斜式方程为____________． 答案：(1)C　(2)y－5＝(x－4) 解析：(1)根据已知可得出直线的点斜式方程为y－(－7)＝－，所以直线经过点(－3，－7)，斜率为－1.故选C． (2)因为直线的一个方向向量d＝(3，2)，所以直线的斜率为.又直线过点(4，5)，所以直线的点斜式方程为y－5＝(x－4)． 知识点二　直线的斜截式方程 问题2．直线l上给定一个点P0(0，b)和斜率k，你能否得出直线l的方程呢？ 提示：y＝kx＋b. 斜截式 已知条件 斜率k和直线在y轴上的截距b 图示 方程形式 y＝kx＋b 适用条件 斜率存在 [微提醒]　(1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况．(2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它的横截距和纵截距都为0.(3)由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和纵截距，如直线y＝2x－1的斜率k＝2，纵截距为－1. (链教材P62T3)写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距为－1； (2)倾斜角为直线y＝x＋1的倾斜角的一半，在y轴上的截距为－2； (3)倾斜角为60°，在y轴上的截距为3. 解：(1)由题意得k＝2，b＝－1，由斜截式得直线方程为y＝2x－1. (2)因为直线y＝x＋1的斜率为， 所以其倾斜角为60°， 故所求直线的倾斜角为30°，所以k＝tan 30°＝. 又b＝－2，所以直线方程为y＝x－2. (3)因为直线的倾斜角为60°， 所以其斜率k＝tan 60°＝. 因为在y轴上的截距为3， 所以直线在y轴上的截距b＝3. 所以所求直线方程为y＝x＋3. [变式探究]　(变条件)若本例(3)变为：倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 解：因为直线的倾斜角为60°， 所以其斜率k＝tan 60°＝. 因为直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3， 所以直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3. 所以所求直线方程为y＝x＋3或y＝x－3. 规律方法 求直线的斜截式方程的策略 1．直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存在，只要点斜式中的点在y轴上，就可以直接用斜截式表示．　　 2．直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程，只需知道参数k，b的值即可． 3．利用直线的斜截式求方程务必灵活，如果已知斜率k，只需引入参数b；同理如果已知截距b，只需引入参数k. 　　 对点练2．(1)(多选)关于直线l：y＝x－1，下列说法正确的是(　　) A．过点(，－2) B．斜率为 C．倾斜角为60° D．在y轴上的截距为1 (2)直线l过点(2，－1)，且斜率为3，则直线l的斜截式方程为________；在y轴上的截距为________． 答案：(1)BC　(2)y＝3x－7　－7 解析：(1)对于A，将点(，－2)代入y＝x－1，可知不满足方程，故A不正确；易知B正确；对于C，由k＝，即tan α＝，可得直线的倾斜角为60°，故C正确；对于D，由y＝x－1，知直线在y轴上的截距为－1，故D不正确．故选BC． (2)直线l过点(2，－1)，且l的斜率为3，由直线的点斜式方程得：y＋1＝3(x－2)，即y＝3x－7，当x＝0时，y＝－7，则l在y轴上的截距为－7. 学生用书第54页 两直线的平行与垂直问题 (链教材P61例2)直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2. (1)当a为何值时，l1∥l2； (2)当a为何值时，l1⊥l2. 解：(1)要使l1∥l2，则需满足⇒a＝－1. 故当a＝－1时，直线l1与直线l2平行． (2)要使l1⊥l2，则需满足(a2－2)×(－1)＝－1， 所以a＝±. 故当a＝±时，直线l1与直线l2垂直． 规律方法 两条直线平行和垂直的判定 1．平行的判定 2．垂直的判定 　　 对点练3．(1)已知直线l1：y＝2x＋3a，l2：y＝(a2＋1)x＋3，若l1∥l2，则a＝(　　) A．0 B．－1 C．1 D．±1 (2)直线l：y＝－x＋1的倾斜角为________，经过点(1，3)且与直线l垂直的直线的斜截式方程为____________． 答案：(1)B　(2)135°　y＝x＋2 解析：(1)因为l1∥l2，所以a2＋1＝2，a2＝1，所以a＝±1，又l1∥l2，两直线l1与l2不能重合，则3a≠3，即a≠1，故a＝－1.故选B． (2)因为直线l：y＝－x＋1的斜率为－1，设倾斜角为α，所以tan α＝－1，因为0°≤α＜180°，所以α＝135°，与直线l垂直的直线的斜率为1，则所求直线方程为y－3＝1×(x－1)，即y＝x＋2. 知识 1.直线的点斜式方程.2.直线的斜截式方程 方法 待定系数法、数形结合法 易错误区 求直线方程时忽视斜率不存在的情况；混淆截距与距离 1．直线y＝－x＋3的倾斜角为(　　) A．30° B．60° C．90° D．120° 答案：D 解析：依题意，设直线y＝－x＋3的倾斜角为α，则0°≤α＜180°，因为y＝－x＋3的斜率为－，所以tan α＝－，则α＝120°.故选D． 2．(多选)直线l1：y＝ax＋b与l2：y＝bx＋a在同一平面直角坐标系内的位置可能是(　　) 答案：BC 解析：对于A选项，两条直线的斜率和截距均大于0，且其中一条直线的斜率和截距均大于另一条直线的斜率和截距，不符合题意，故A不正确；对于B选项，当ab＜0时，符合题意，故B正确；对于C选项，当或时，符合题意，故C正确；对于D选项，其中一条直线斜率不存在，不符合题意，故D不正确．故选BC． 3．(2024·山东东营高二质量监测)已知直线l1：y＝x－2，l2：y＝kx＋2 024，若l1∥l2，则实数k＝(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．1 答案：D 解析：已知直线l1：y＝x－2，l2：y＝kx＋2 024，因为l1∥l2，所以k＝1.故选D． 4．经过点A(1，2)，倾斜角为的直线的斜截式方程为____________． 答案：y＝x＋1 解析：因为倾斜角为，则斜率k＝tan ＝1，且过点A(1，2)，则y－2＝1×(x－1)，即y＝x＋1. 课时测评14　直线的点斜式方程 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．已知直线l1：y－3＝2(x－2)，则l1在y轴上的截距为(　　) A．(0，1) B．(0，－1) C．1 D．－1 答案：D 解析：在方程y－3＝2(x－2)中，令x＝0，得y＝－1，所以l1在y轴上的截距为－1.故选D． 2．直线y＝ax－的图象可能是(　　) 答案：B 解析：由直线y＝ax－，得a≠0，直线的斜率k＝a，直线在y轴上的截距为－，当a＞0时，－＜0，则直线经过第一象限和第三象限，且与y轴相交于x轴下方；当a＜0时，－＞0，则直线经过第二象限和第四象限，且与y轴相交于x轴上方；只有B选项的图象符合题意．故选B． 3．已知两条直线l1：y－3＝k1(x－1)，l2：y－3＝k2(x－2)，则下列说法正确的是(　　) A．l1与l2一定相交 B．l1与l2一定平行 C．l1与l2一定相交或平行 D．以上均不对 答案：D 解析：当k1＝k2＝0时，l1与l2重合；当k1＝k2≠0时，l1与l2平行；当k1≠k2时，l1与l2相交．故选D． 4．直线l过点A(1，1)，且l在y轴上的截距的取值范围为(0，2)，则直线l的斜率的取值范围为(　　) A．(－1，3) B．(1，3) C．(0，1) D．(－1，1) 答案：D 解析：设直线l的斜率为k，则其方程为y－1＝k(x－1)，可化为y＝kx＋1－k，由l在y轴上的截距的取值范围为(0，2)，可得0＜1－k＜2，解得－1＜k＜1.故选D． 5．已知直线l1和l2互相垂直且都过点A(1，1)，若l1过原点O(0，0)，则l2与y轴交点的坐标为(　　) A．(2，0) B．(0，2) C．(0，1) D．(1，0) 答案：B 解析：由题意得直线l1的斜率k＝＝1，由直线l1和l2互相垂直可得直线l2的斜率为－1，所以直线l2的方程为y－1＝－(x－1)，即y＝－x＋2，令x＝0得y＝2，故直线l2与y轴交点的坐标为(0，2)．故选B． 6．(多选)设a∈R，如果直线l1：y＝－x＋与直线l2：y＝－x－平行，那么a可以是(　　) A．－2 B．1 C．2 D．－1 答案：AB 解析：由已知可得解得a＝－2或1.故选AB． 7．经过点(0，－2)且与直线y＝3x－5垂直的直线的斜截式方程为__________． 答案：y＝－x－2 解析：直线y＝3x－5的斜率为3，所以经过点(0，－2)且与直线y＝3x－5垂直的直线方程为y＋2＝－x，即y＝－x－2. 8．将直线y＝x＋－1绕其上一点(1，)沿逆时针方向旋转15°，所得到的直线的点斜式方程是____________． 答案：y－＝(x－1) 解析：由y＝x＋－1得直线的斜率为1，倾斜角为45°.因为沿逆时针方向旋转15°后，倾斜角变为60°，所以所求直线的斜率为.又因为直线过点(1，)，所以直线的点斜式方程为y－＝(x－1)． 9．如果直线l的斜率和在y轴上的截距分别为直线y＝x＋2的斜率的一半和在y轴上截距的两倍，那么直线l的方程是____________． 答案：y＝x＋4 解析：直线y＝x＋2的斜率为，在y轴上的截距为2，则直线l的斜率为，在y轴上的截距为2×2＝4，故直线l的方程为y＝x＋4. 10．(10分)已知点A(，－2)，直线l过点A且斜率为. (1)求直线l的方程； (2)若直线l1过点A，且倾斜角是直线l的一半，求直线l1的方程． 解：(1)因为已知点A(，－2)，直线l过点A且斜率为， 所以由点斜式知直线l的方程为y－(－2)＝(x－)，即x－y－5＝0. (2)设直线l与l1的倾斜角分别为α，β，α，β∈，所以β＝， 因为直线l的斜率为，所以tan α＝，解得α＝，β＝，所以tan β＝， 又直线l1经过点A(，－2)， 所以由点斜式知直线l1的方程为y－(－2)＝(x－)， 即x－y－3＝0. (11—13每小题5分，共15分) 11．已知直线l1：y＝x＋2，直线l2是直线l1绕点P(－2，1)逆时针旋转45°得到的直线．则直线l2的方程是(　　) A．y＝x＋3 B．y＝－2x－3 C．y＝4x＋9 D．y＝3x＋7 答案：D 解析：设直线l1，l2的倾斜角分别为α，β，则tan α＝，β＝α＋45°，故tan β＝tan(α＋45°)＝＝3，又点P在直线l2上，故直线l2的方程为y－1＝3(x＋2)，整理得y＝3x＋7.故选D． 12．(多选)设点A(－1，0)，B(1，0)，直线y＝－2x＋b与线段AB相交，则b可取的值有(　　) A．－1 B．0 C．2 D．3 答案：ABC 解析：b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，如图，当直线y＝－2x＋b过点A(－1，0)和点B(1，0)时，b分别取得最小值和最大值，当直线y＝－2x＋b过点A(－1，0) 时，0＝－2×(－1)＋b，解得b＝－2，当直线y＝－2x＋b过点B(1，0)时，0＝－2×1＋b，解得b＝2，所以b的取值范围是[－2，2]. 故选ABC． 13．已知直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a＝________． 答案：－1 解析：因为直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，所以a(a＋2)＝－1，解得a＝－1. 14．(12分)已知直线方程为y＋2＝k(x＋1)． (1)若直线的倾斜角为135°，求k的值； (2)若k＝－2，直线分别与x轴、y轴交于A，B两点，O为坐标原点，求△AOB面积． 解：(1)直线方程为y＋2＝k(x＋1)， 因为直线的倾斜角为135°， 所以斜率k＝tan 135°＝－1. (2)当k＝－2时，y＋2＝－2(x＋1)， 即y＝－2x－4， 当x＝0时，y＝－4， 当y＝0时，x＝－2， 所以A(－2，0)，B(0，－4)， 所以△AOB的面积为×2×4＝4. 15．(5分)(新情境)若光线沿倾斜角为120°的直线射向y轴上的点A(0，－4)，则经y轴反射后，反射光线所在的直线方程为(　　) A．y＝x－4 B．y＝－x－4 C．y＝－x－4 D．y＝x－4 答案：A 解析：光线沿倾斜角为120°的直线射向y轴上的点A(0，－4)，经y轴反射后反射光线所在的直线的倾斜角为60°，则反射光线斜率k＝tan 60°＝，且反射光线过点A(0，－4)，故反射光线所在的直线方程为y＝x－4.故选A． 16．(13分)如图所示，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，边AB，AD分别在x轴，y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合．将矩形折叠，使点A落在线段DC上．若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在的直线方程． 解：当k＝0时，A与D重合， 折痕所在直线方程为y＝； 当k≠0时，点A关于折痕EF的对称点G在DC上． 设点G的坐标为(t，1)，A(0，0)，则由AG⊥EF，得·k＝－1，所以t＝－k，所以G(－k，1)， 所以M，代入点斜式， 得直线EF的方程为y－＝k， 即y＝k＋＝kx＋＋， 当k＝0时也满足上式． 综上所述，直线EF的方程为y＝kx＋＋. 学生用书第55页 学科网（北京）股份有限公司 $$