2.1.2 两条直线平行和垂直的判定-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版2019）

2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 [学习目标] 知识层面 1．理解两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件．　 2．能根据斜率判定两条直线平行或垂直．　 3．运用两直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题． 素养层面 通过学习两条直线平行和垂直的判定，提升直观想象、逻辑推理和数学运算素养. 知识点一　两条直线(不重合)平行的判定 问题1．在平面几何中，两条平行直线被第三条直线所截，形成的同位角、内错角、同旁内角有什么关系？ 提示：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补． 问题2．平面中的两条平行直线被x轴所截，形成的同位角相等，而倾斜角是一对同位角，因此可以得出什么结论？ 提示：两直线平行，倾斜角相等． 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90˚ α1＝α2＝90˚ 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 [微提醒]　(1)若没有指明l1，l2不重合，那么k1＝k2⇔l1∥l2或l1与l2重合，用斜率证明三点共线时，常用到这一结论．(2)用“l1∥l2⇔k1＝k2”时，要明确两个前提条件： ①l1与l2是不重合的两条直线；②斜率都存在． (链教材P58T5)根据下列给定的条件，判断直线l1与l2是否平行： (1)l1经过点A(2，1)，B(－3，5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)； (2)l1经过点E(0，1)，F(－2，－1)，l2经过点G(3，4)，H(2，3)； (3)l1的倾斜角为60˚，l2经过点M(1，)，N(－2，－2)； (4)l1平行于y轴，l2经过点P(0，－2)，Q(0，5)． 解：(1)由题意知，k1＝＝－，k2＝＝－， 所以直线l1与直线l2平行或重合， 又kBC＝＝－≠－，故l1∥l2. (2)由题意知，k1＝＝1，k2＝＝1， 所以直线l1与直线l2平行或重合， 又kFG＝＝1，故直线l1与直线l2重合． (3)由题意知，k1＝tan 60˚＝，k2＝＝，则k1＝k2， 所以直线l1与直线l2平行或重合． (4)由题意知l1的斜率不存在，且不是y轴，l2的斜率也不存在，恰好是y轴，所以l1∥l2. 学生用书第50页 规律方法 1．判定两条直线是否平行的步骤 2．已知两直线平行求某参数值时，也应分斜率存在与不存在两种情况求解． 对点练1．(1)过A(m，3)，B(－1，m)两点的直线与x轴平行，则m＝(　　) A．1 B．3 C．－1 D．－3 (2)直线l1过A(－2，m)和B(m，4)，直线l2的斜率为－2，且l1∥l2，则m＝________． 答案：(1)B　(2)－8 解析：(1)因为过A(m，3)，B(－1，m)两点的直线与x轴平行，所以直线AB斜率为0且不是x轴，所以m＝3.故选B． (2)由题知直线l1的斜率存在，则直线l1的斜率k1＝，因为直线l2的斜率k2＝－2，且l1∥l2，所以k1＝－2，即＝－2，所以m＝－8. 知识点二　两条直线垂直的判定 问题3．在平面中，若两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则它们垂直的充要条件是什么？ 提示：a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 问题4．平面中，两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则两条直线的方向向量分别为a＝(1，k1)，b＝(1，k2)，当两条直线互相垂直时，可以得出什么结论？ 提示：k1·k2＝－1. 图示 对应 关系 l1⊥l2(两直线斜率都 存在)⇔k1·k2＝－1 l1的斜率不存在，l2 的斜率为0⇒l1⊥l2 [微思考]“两条直线的斜率之积为－1”是“两条直线垂直”的充要条件吗？ 提示：不是．当直线l1⊥l2时，有k1k2＝－1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴；而若k1k2＝－1，则一定有l1⊥l2.故“两条直线的斜率之积为－1”是“两条直线垂直”的充分不必要条件．即l1⊥l2⇔k1·k2＝－1成立的前提条件是两条直线的斜率都存在． (链教材P58T6)根据下列给定的条件，判断直线l1与l2是否垂直： (1)l1的斜率为－，l2经过点A(1，1)，B； (2)l1的倾斜角为45˚，l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－6)； (3)l1经过点M(1，0)，N(4，－5)，l2经过点R(－1，0)，S(－1，3)． 解：(1)因为l2经过点A(1，1)，B， 所以l2的斜率为＝， 又因为l1的斜率为－，且×＝－1， 所以l1与l2垂直． (2)因为l1的倾斜角为45˚，所以l1的斜率为1， 因为l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－6)，所以l2的斜率为＝－1， 而1×(－1)＝－1，所以l1与l2垂直． (3)因为l1经过点M(1，0)，N(4，－5)，所以l1的斜率为＝－， 因为l2经过点R(－1，0)，S(－1，3)， 所以l2的斜率不存在，倾斜角为90˚， 而l1的斜率不是0，所以l1与l2不垂直． 规律方法 判断两条直线是否垂直的步骤 一看：看每条直线所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在；若不相等，则进行第二步； 二代：将点的坐标代入斜率公式； 三求值：计算斜率的值，进行判断． 注意：若已知点的坐标中含有参数，利用两直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率不存在的情况． 对点练2．(1)已知过A(m，1)，B(－1，m)两点的直线与过P(1，2)，Q(－5，0)两点的直线垂直，则m＝(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 (2)若直线l1与直线l2垂直，直线l1的斜率为－，则直线l2的倾斜角为________． 答案：(1)D　(2) 解析：(1)由题可知kPQ＝＝，所以kAB＝＝－3，解得m＝－2.故选D． (2)设直线l2的倾斜角为α，因为直线l1与直线l2垂直，直线l1的斜率为－，则tan α＝－＝，因为0≤α＜π，因此α＝. 学生用书第51页 两条直线平行与垂直关系的综合 (链教材P57例5)已知A(1，－1)，B(2，2)，C(3，0)三点，求点D的坐标，使直线CD⊥AB，且BC∥AD． 解：设D(x，y)， 由题意得kAB＝＝3，kCD＝＝，kBC＝＝－2，kAD＝. 因为直线CD⊥AB，且BC∥AD， 所以kAB·kCD＝3·＝－1， kBC＝kAD，即＝－2. 联立解得即D(0，1)． [变式探究](变结论)本例条件不变，求点D的坐标，使四边形ABCD是平行四边形． 解：设D(x，y)，若四边形ABCD是平行四边形，则有kAB＝kCD，kBC＝kAD． 由例题可知＝3，＝－2， 联立方程组，解得即D(2，－3)． 规律方法 1．利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤 2．关于直线平行与垂直的综合应用的注意点 (1)设出点的坐标，利用平行、垂直时的斜率关系建立方程(组)去解． (2)图形中的平行与垂直问题要充分利用图形性质求解，图形的形状不确定时要分情况讨论． 对点练3．已知A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定四边形ABCD的形状． 解：A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图，由斜率公式可得kAB＝＝，kCD＝＝，kAD＝＝－3，kBC＝＝－， 所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合， 所以AB∥CD． 由kAD≠kBC，可知AD与BC不平行， 又kAB·kAD＝×(－3)＝－1， 所以AB⊥AD．故四边形ABCD为直角梯形． 知识 1.两条直线平行的判定.2.两条直线垂直的判定 方法 分类讨论、数形结合法 易错 误区 研究两直线平行、垂直时忽略直线的斜率为0或不存在的情况 1．已知直线l1的倾斜角为30˚，直线l1∥l2，则直线l2的斜率为(　　) A． B．－ C． D．－ 答案：C 解析：因为直线l1的倾斜角为30˚，所以kl1＝tan 30˚＝，又l1∥l2，所以kl2＝kl1＝.故选C． 2．(多选)下列命题中，不正确的是(　　) A．如果两条直线平行，则它们的斜率相等 B．如果两条直线垂直，则它们的斜率互为负倒数 C．如果两条直线斜率之积为－1，则这两条直线互相垂直 D．如果直线的斜率不存在，则这条直线一定平行于y轴 答案：ABD 解析：对于A，两条平行直线都垂直于x轴时，它们的斜率不存在，故A错误；对于B，两条互相垂直的直线中一条垂直于x轴时，该直线斜率不存在，故B错误；对于C，两条直线斜率之积为－1，则这两条直线互相垂直，故C正确；对于D，直线的斜率不存在，该直线可能与y轴重合，故D错误．故选ABD． 3．若点A(－1，2)，B(3，－4)关于直线l对称，则直线l的斜率是________． 答案： 解析：由点A(－1，2)，B(3，－4)，可得kAB＝＝－，设直线l的斜率为k，因为点A，B关于直线l对称，可得k·kAB＝－1，解得k＝. 4．已知经过点A(－2，0)和点B(1，3a)的直线l1与经过点P(0，－4)和点Q(a，－3a)的直线l2互相平行，则实数a＝________． 答案：－4或1 解析：若a＝0，则直线l1的斜率为0，此时直线l2的斜率不存在，那么l1与l2不平行，不满足条件；若a≠0，则直线l1的斜率为＝a，直线l2的斜率为＝，因为l1∥l2，所以a＝，即a2＋3a－4＝0，解得a＝1或a＝－4. 课时测评13　两条直线平行和垂直的判定 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．两直线的斜率分别是方程x2＋2 025x－1＝0的两根，那么这两直线的位置关系是(　　) A．垂直 B．斜交 C．平行 D．重合 答案：A 解析：不妨设两直线的斜率分别为k1，k2，则由题意有k1·k2＝－1，所以两直线互相垂直．故选A． 2．已知经过点A(3，n)，B(5，m)的直线l1与经过点P(－m，0)，Q(0，n2)(mn≠0)的直线l2平行，则的值为(　　) A．－1 B．－2 C．－1或2 D．－2或1 答案：C 解析：由题意得kl1＝，kl2＝，因为l1∥l2，所以kl1＝kl2，即＝，化简得m2－mn－2n2＝0，所以m＝－n或m＝2n，又由mn≠0得＝－1或2.故选C． 3．已知点A(0，－2)，B(6，0)，C(0，a)，且点C在线段AB的垂直平分线上，则a＝(　　) A．2－2 B．2 C．8 D．－8 答案：C 解析：由点A(0，－2)，B(6，0)，可得线段AB的中点D(3，－1)，线段AB的斜率为kAB＝＝，则线段AB垂直平分线的斜率为k＝－3＝，解得a＝8.故选C． 4．已知直线l1经过A(3，7)，B(2，8)两点，且直线l2∥l1，则直线l2的倾斜角为(　　) A．30˚ B．45˚ C．135˚ D．150˚ 答案：C 解析：设直线l2的倾斜角为α，因为直线l1的斜率kl1＝＝－1，由l2∥l1，所以kl2＝－1，即tan α＝－1，又0˚≤α＜180˚，则α＝135˚，所以直线l2的倾斜角为135˚.故选C． 5．(多选)已知经过点A(－3，0)和点B(1，2a)的直线l1与经过点P(0，－1)和点Q(2a，－2a)的直线l2互相垂直，则实数a＝(　　) A．－1 B．0 C． D．2 答案：BC 解析：当a＝0时，直线AB的斜率为0，直线PQ斜率不存在，此时满足直线l1，l2互相垂直；当a≠0时，直线AB的斜率为，直线PQ的斜率为，若两直线垂直，则·＝－1，解得a＝，满足题意．综上所述，a＝0或a＝.故选BC． 6．(多选)关于以A(－1，1)，B(2，－1)，C(1，4)为顶点的三角形，下列结论正确的有(　　) A．kAB＝－ B．kBC＝－ C．是以A点为直角顶点的直角三角形 D．是以B点为直角顶点的直角三角形 答案：AC 解析：对于A，因为A(－1，1)，B(2，－1)，所以kAB＝＝－，故A正确；对于B，因为B(2，－1)，C(1，4)，所以kBC＝＝－5≠－，故B错误；对于C，因为kAB＝－，kAC＝＝，所以kAB·kAC＝－×＝－1，所以AB⊥AC，故△ABC是以A点为直角顶点的直角三角形，所以C正确；对于D，因为kAB＝－，kBC＝－5，所以kAB·kBC≠－1，故D错误．故选AC． 7．若过点P(3，2m)和点Q(－m，2)的直线与方向向量为a＝(－5，5)的直线平行，则实数m的值是________． 答案：－ 解析：由a＝(－5，5)得直线的斜率为＝－1，若两直线平行，则直线PQ的斜率为＝－1，解得m＝－. 8．已知△ABC的顶点B(2，1)，C(－6，3)，其垂心为H(－3，2)，则其顶点A的坐标为________． 答案：(－19，－62) 解析：设A(x，y)，因为AC⊥BH，AB⊥CH，且kBH＝－，kCH＝－，所以解得所以A(－19，－62)． 9．已知l1，l2不重合，过点A(－2，m)和点B(m，4)的直线l1与直线l2平行，直线l2的斜率为－2，直线l3的斜率为－，若l2⊥l3，则实数m＋n的值为________． 答案：－10 解析：由题意可得，直线l1的斜率k1＝，直线l2的斜率k2＝－2，直线l3的斜率k3＝－，因为l1∥l2，所以k1＝k2，即＝－2，解得m＝－8；又l2⊥l3，所以k2·k3＝－1，即(－2)×＝－1，解得n＝－2，所以m＋n＝－10. 10．(10分)已知直线l1经过点A(3，m)，B(m－1，2)，直线l2经过点C(1，2)，D(－2，m＋2)． (1)若l1∥l2，求m的值； (2)若l1⊥l2，求m的值． 解：(1)由题知直线l2的斜率存在且k2＝＝－， 若l1∥l2，则直线l1的斜率也存在，由k1＝k2， 得＝－，解得m＝1或m＝6， 经检验，当m＝1或m＝6时，l1∥l2. (2)若l1⊥l2，当k2＝0时， 此时m＝0，l1斜率存在，不符合题意； 当k2≠0时，直线l2的斜率存在且不为0， 则直线l1的斜率也存在，且k1·k2＝－1， 即－·＝－1， 解得m＝3或m＝－4， 所以当m＝3或m＝－4时，l1⊥l2. (11—13每小题5分，共15分) 11．已知两点A(2，0)，B(3，4)，直线l过点B，且交y轴于点C(0，y)，O是坐标原点，且O，A，B，C四点共圆，则y的值是(　　) A．19 B． C．5 D．4 答案：B 解析：由O，A，B，C四点共圆可以得出四边形OABC的对角互补，又由题意得∠COA＝90˚，所以∠CBA＝90˚，所以AB⊥BC，所以kAB·kBC＝－1，即×＝－1，解得y＝.故选B． 12．(多选)已知点A(0，2)，B(－1，0)，下列结论正确的是(　　) A．若直线AB的方向向量为(1，k)，则k＝ B．若直线l的斜率为－，则l⊥AB C．若C(1，－1)，则△ABC为直角三角形 D．若C(1，－1)，D(3，3)，则四边形ABCD是平行四边形 答案：BC 解析：对于A，k＝kAB＝＝2，所以直线AB的方向向量为(1，2)，故A错误；对于B，因为－kAB＝－1，所以l⊥AB，故B正确；对于C，因为kBC＝＝－，kBCkAB＝－1，所以AB⊥BC，故C正确；对于D，因为kCD＝＝2＝kAB，kAD＝，kBC＝－，kAD≠kBC，所以四边形ABCD不是平行四边形，故D错误．故选BC． 13．若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________． 答案：，－3 解析：设正方形一条边所在的直线倾斜角为α，则tan＝2⇒＝2，解得tan α＝，故k＝，根据垂直关系可得另一条边的斜率为－＝－3，所以该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为，－3. 14．(12分)已知A(m，4)，B(－2，m)，C(1，1)，D(m＋2，3)四点． (1)若直线AB与直线CD平行，求m的值； (2)求证：无论m取何值，总有∠ACB＝90˚. 解：(1)①当直线AB的斜率不存在时，m＝－2，此时C(1，1)，D(0，3)，则直线CD的斜率存在， 故直线AB与直线CD不平行，故m≠－2； 同理可得m≠－1，所以直线AB与直线CD的斜率都存在． ②直线AB的斜率为kAB＝，直线CD的斜率为kCD＝. 因为直线AB与直线CD平行，所以kAB＝kCD，即＝， 整理可得m2－m＝0，解得m＝0或m＝1， 检验可知，当m＝0或m＝1时，直线AB与直线CD平行，故m＝0或m＝1. (2)证明：＝(1－m，－3)，＝(3，1－m)， 则·＝3(1－m)－3(1－m)＝0，⊥， 所以无论m取何值，总有∠ACB＝90˚. 15．(5分)(新情境)将一张坐标纸折叠一次，使得点(－3，4)与点(－4，a)重合，点(－1，2)与点重合，则a－b＝________． 答案：1 解析：设点(－3，4)为点A，点(－4，a)为点B，所以线段AB的中点为E.设点(－1，2)为点C，点为点D，所以线段CD的中点为F，由题意可知kAB＝kCD，kEF·kAB＝－1，于是有： ⇒⇒a－b＝1. 16．(13分)如图所示，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，已知矩形花园长AD＝5 m，宽AB＝3 m，其中一条小路定为AC，另一条小路过点D． (1)如何在BC上找到一点M，使得两条小路AC与DM相互垂直？ (2)在问题(1)的条件下，若再在花园里设计一条过M且与AC平行的小路，怎样设计？ 解：(1)如图，以点B为坐标原点，BC，BA所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系． 由AD＝5 m，AB＝3 m，可得C(5，0)，D(5，3)，A(0，3)． 设点M的坐标为(x，0)， 因为AC⊥DM，所以kAC·kDM＝－1， 所以×＝－1，即x＝， 即当BM＝ m时，两条小路AC与DM相互垂直． (2)设过M与AC平行的小路(直线)交AB于点N，且设N点坐标为(0，y)，则kAC＝kNM. 由(1)知M，所以＝， 解得y＝. 即当BM＝ m，BN＝ m时，小路MN与小路AC互相平行． 学生用书第52页 学科网（北京）股份有限公司 $$