2.1.1 倾斜角与斜率-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版2019）

第二章　直线和圆的方程 2.1　直线的倾斜角与斜率 2.1.1　倾斜角与斜率 [学习目标] 知识层面 1．在平面直角坐标系中，结合具体图形探索确定直线位置的几何要素．　 2．理解直线的倾斜角和斜率的概念．　 3．经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式． 素养层面 通过倾斜角概念的学习，提升数学抽象素养；通过斜率和直线方向向量的学习，培养逻辑推理和数学运算素养. 知识点一　直线的倾斜角 问题1．在平面中，怎样才能确定一条直线？ 提示：两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线． 问题2．在平面直角坐标系中，规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向，图中过点P的直线有什么区别？ 提示：直线的方向不同，相对于x轴的倾斜程度不同． 直线的倾斜角 倾斜角 的定义 当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角 特例 当直线l与x轴平行或重合时，倾斜角为0˚ 倾斜角α 的范围 0˚≤α＜180˚ [微提醒]　(1)从运动变化的观点来看，当直线l与x轴相交时，直线l的倾斜角是由x轴绕直线l与x轴的交点按逆时针方向旋转到与直线l重合时所得到的最小正角．(2)倾斜角从“形”的方面直观地体现了直线对x轴正向的倾斜程度． [微思考]　任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？ 提示：由倾斜角的定义可以知道，任何一条直线都有倾斜角；不同的直线其倾斜角有可能相同，如平行的直线其倾斜角是相同的． (1)如图，直线l的倾斜角为(　　) A．60˚ B．120˚ C．30˚ D．150˚ (2)设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45˚，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为________． 答案：(1)D　(2)α＋45˚或α－135˚ 解析：(1)由题图易知l的倾斜角为45˚＋105˚＝150˚.故选D． (2)如图①所示，当0˚≤α＜135˚时，l1的倾斜角是α＋45˚，如图②所示，当135˚≤α＜180˚时，结合图形和倾斜角的概念，即可得到l1的倾斜角为α－135˚. 规律方法 求直线倾斜角的关键及两点注意 1．关键：依据平面几何知识判断直线向上的方向与x轴正向之间所成的角． 2．注意：(1)当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0˚；当直线与x轴垂直时，倾斜角为90˚.(2)直线倾斜角的取值范围是0˚≤α＜180˚. 学生用书第47页 对点练1．(1)直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角范围是(　　) A．0˚≤α＜90˚ B．90˚≤α＜180˚ C．90˚＜α＜180˚ D．0˚＜α＜180˚ (2)一束光线射到x轴上并经x轴反射．已知入射光线的倾斜角α1＝30˚，则反射光线的倾斜角α2＝________． 答案：(1)C 　(2)150˚ 解析：(1)直线倾斜角的取值范围是0˚≤α＜180˚，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角范围是90˚＜α＜180˚.故选C． (2)作出入射光线和反射光线，如图．因为入射光线的倾斜角α1＝30˚，所以入射角为60˚.又反射角等于入射角，由图易知，反射光线的倾斜角为60˚＋60˚＋30˚＝150˚. 知识点二　直线的斜率和方向向量 问题3．日常生活中，常用坡度表示倾斜程度，例如，“进2升3”与“进2升2”比较，前者更陡一些，因为坡度＞.在平面直角坐标系中，我们能否用“坡度”的计算方法来刻画直线的倾斜程度． 提示：可以利用倾斜角的正切值来定义直线的倾斜程度． 1．斜率的定义 一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α． 2．斜率公式 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝． 当x1＝x2时，直线P1P2没有斜率． 3．直线的方向向量 设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)是直线l上的两点，则向量＝(x2－x1，y2－y1)以及与它平行的非零向量都是直线的方向向量．若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝． [微思考]　(1)所有的直线都有倾斜角与斜率，对吗？请说明理由． (2)计算直线的斜率k时与从该直线上所选取的两点P1，P2的位置有关吗？ 提示：(1)不对．所有的直线都有倾斜角，但当直线与x轴垂直时，倾斜角为90˚，直线斜率不存在． (2)无关． (1)已知直线l的倾斜角为30˚，则直线l的斜率为(　　) A． B． C． D． (2)过点A(3，0)，B(5，－2)的直线的倾斜角为____. (3)若直线l1的斜率为－1，直线l2的倾斜角比直线l1的倾斜角小30˚，则直线l2的斜率为________． 答案：(1)D　(2)π(或135˚)　(3)－2－ 解析：(1)由题意可得直线l的斜率k＝tan 30˚＝.故选D． (2)因为kAB＝＝－1，则直线AB的倾斜角为π. (3)因为直线l1的斜率为－1，所以直线l1的倾斜角为135˚，又直线l2的倾斜角比直线l1的倾斜角小30˚，所以直线l2的倾斜角为105˚，所以tan 105˚＝tan(45˚＋60˚)＝＝＝－2－，所以直线l2的斜率为－2－. [变式探究]　(变条件)将本例(3)中直线l1的斜率改为－，且直线l1的倾斜角是直线l2的倾斜角的2倍，则直线l2的斜率为________． 答案：3 解析：设l2的倾斜角为α，由tan 2α＝＝－，即3tan2α－8tan α－3＝0，解得tan α＝3或－，因为tan 2α＝－＜0，所以2α∈，所以α∈，易得l2的倾斜角为锐角，所以l2的斜率为3. 规律方法 应用斜率公式求斜率时应注意的问题 1．运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率不存在． 2．斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置． 3．在0˚≤α＜180˚范围内的一些特殊角的正切值要熟记． 对点练2．(1)已知直线l的一个方向向量为(，－3)，则直线l的斜率为(　　) A．－3 B．3 C．－ D． (2)已知直线l过A(3，m＋1)，B(4，2m＋1)两点且倾斜角为，则m的值为________． 答案：(1)C　(2)1 解析：(1)因为直线l的一个方向向量为(，－3)，所以直线l的斜率k＝＝－，故选C． (2)由直线l过点A(3，m＋1)，B(4，2m＋1)，可得AB的斜率为k＝＝m，因为直线l的倾斜角为，可得k＝tan ＝1，所以m＝1. 学生用书第48页 应用一　三点共线问题 经过两点A(m，2)，B(－m，2m－1)的直线的倾斜角为45˚.若点C(m＋1，n)在直线AB上，求m，n的值． 解：kAB＝tan 45˚＝＝1，解得m＝，所以A，C. 又A，B，C三点共线，所以kAC＝tan 45˚＝＝n－2＝1，所以n＝3. 即m＝，n＝3. 规律方法 用斜率公式解决三点共线的方法 对点练3．已知A(a＋2，a)，B(1，－a)，C(a－4，a－1)三点构成一个三角形，求实数a的取值范围． 解：因为A(a＋2，a)，B(1，－a)，C(a－4，a－1)， 所以kAC＝＝， 当a＋2＝1，即a＝－1，此时A(1，－1)，B(1，1)，C(－5，－2)，则AB的斜率不存在， 此时A，B，C三点能构成一个三角形， 当a＋2≠1，即a≠－1时，kAB＝，要使A，B，C三点能构成一个三角形，则kAB≠kAC，即≠，解得a≠， 综上可得，实数a的取值范围为∪. 应用二　求解范围问题 已知点A(－1，2)，B(2，)，P(1，0)，点Q是线段AB上的动点．求： (1)直线PQ的斜率的范围； (2)直线PQ的倾斜角的范围． 解：(1)如图，kPA＝＝－1，kPB＝＝， 则直线PQ的斜率范围为(－∞，－1]∪[，＋∞)． (2)令直线PQ的倾斜角为θ∈[0，π)，而直线PA，PB对应的倾斜角分别为，， 则直线PQ的倾斜角的范围为. 规律方法 1．过定点和线段有交点的直线的斜率的取值范围问题 已知一条线段AB的端点及线段外一点P，求过点P的直线l与线段AB有交点的情况下直线l的斜率的取值范围，若直线PA，PB的斜率均存在，则步骤为： 第一步：连接PA，PB； 第二步：由k＝，求出kPA，kPB； 第三步：结合图形即可写出满足条件的直线l的斜率的取值范围． 2．直线的倾斜角和斜率的关系 直线的斜率也反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程度．当0˚≤α＜90˚时，斜率越大，直线的倾斜角越大；当90˚＜α＜180˚时，斜率越大，直线的倾斜角也越大． 对点练4．已知A(1，3)，B(3，－2)，直线l过原点且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围为________． 答案： 解析：如图，当直线l分别经过A，B时为临界情况，又kOA＝＝3，kOB＝＝－， 当直线从OA位置顺时针转动到OB位置时，由倾斜角和斜率的关系可知k∈. 知识 1.直线的倾斜角及其范围.2.直线的斜率的定义和斜率公式.3.直线的方向向量 方法 数形结合法 易错 误区 忽视倾斜角的范围、图形理解不清 学生用书第49页 1．如图所示，直线l与y轴的夹角为45˚，则l的倾斜角为(　　) A．45˚ B．135˚ C．0˚ D．无法计算 答案：B 解析：根据倾斜角的定义知，l的倾斜角为90˚＋45˚＝135˚.故选B． 2．(多选)如果A，B(4，－1)，C(－4，－m)三点在同一条直线上，则m＝(　　) A． B． C． D． 答案：AC 解析：依题意，A，B，C三点所在直线不垂直于x轴，因此直线AB，BC的斜率相等，于是＝，整理得m2－3m－12＝0，所以m＝或m＝.故选AC． 3．已知经过A(1－a，1＋a)，B(3，2a)两点的直线l的方向向量为(1，－2)，则实数a的值为________． 答案：－1 解析：由已知可得，＝(2＋a，a－1)．又直线l的方向向量为(1，－2)，所以＝(2＋a，a－1)与(1，－2)共线，所以有－2(2＋a)－1×(a－1)＝0，解得a＝－1. 4．直线l的斜率k的取值范围是，则倾斜角α的范围是________． 答案：α∈∪ 解析：因为k＝tan α，又斜率k的取值范围是，所以－≤tan α≤，又α∈，tan α＝时，α＝，tan α＝－时，α＝，由图可得，α∈∪. 课时测评12　倾斜角与斜率 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．经过A(0，)，B(3，0)两点的直线的倾斜角为(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：由题意得kAB＝＝－，所以直线的倾斜角为.故选A． 2．在下列四个命题中，正确的是(　　) A．若一条直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α B．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α C．一条直线的倾斜角可以为－30˚ D．若直线的倾斜角为α，则sin α≥0 答案：D 解析：对于A，直线y＝x的斜率为1，而tan ＝1，显然不是直线y＝x的倾斜角，故A错误；对于B，直线x＝1的倾斜角为，而直线x＝1的斜率不存在，故B错误；对于C，直线的倾斜角的范围为0˚≤α＜180˚，故C错误；对于D，直线的倾斜角的范围为0˚≤α＜180˚，则有sin α≥0，D正确．故选D． 3．(2024·河南豫南名校高二联考)如图所示，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则下列结论正确的是(　　) A．k1＞k2＞k3 B．k3＞k1＞k2 C．k2＞k1＞k3 D．k2＞k3＞k1 答案：C 解析：由k＝tan α，结合y＝tan x的函数图象，直线l3对应的倾斜角为钝角， 则k3＜0，直线l1与l2都为锐角，且l2的倾斜角大于l1的倾斜角，则k2＞k1＞0，故k2＞k1＞k3.故选C． 4．(2024·江苏南京高二期中)若将直线l沿x轴正方向平移2个单位，再沿y轴负方向平移3个单位，又回到了原来的位置，则l的斜率是(　　) A．－ B． C．－ D． 答案：A 解析：设A(a，b)是直线l上任意一点，则平移后得点A′(a＋2，b－3)，于是直线l的斜率k＝kAA′＝＝－.故选A． 5．直线l1的方向向量为m＝(1，)，直线l2的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍，则l2的斜率为(　　) A． B． C． D．－ 答案：D 解析：设直线l1的倾斜角为α(0≤α＜π)，则直线l2的倾斜角为2α，因为直线l1的方向向量为m＝(1，), 所以直线l1的斜率为tan α＝，所以α＝，所以直线l2的斜率为tan 2α＝tan ＝－.故选D． 6．(多选)直线l过点P(1，3)且斜率为k，若直线l与线段AB有公共点，A(－1，－4)，B(2，－3)，则k可以取(　　) A．－8 B．－5 C．3 D．4 答案：AD 解析：由于直线l过点P(1，3)且斜率为k，与连接两点A(－1，－4)，B(2，－3)的线段有公共点，则kPA＝，kPB＝－6，由图可知，k∈∪时，直线与线段有交点，根据选项，可知AD符合．故选AD． 7．已知点A(－1，4)，B(2，7)在直线l上，则直线l的倾斜角的大小为________． 答案： 解析：直线l的斜率为k＝＝1，设直线l的倾斜角为α，则tan α＝1，因为0≤α＜π，所以α＝. 8．已知直线l经过三点A(5，－3)，B(4，y)，C(－1，9)，则y＝________． 答案：－1 解析：因为直线l经过三点A(5，－3)，B(4，y)，C(－1，9)，所以kAB＝kAC，即＝，解得y＝－1. 9．若经过点A(1－t，1＋t)和点B(3，2t)的直线的倾斜角为钝角，则实数t的取值范围是________． 答案：(－2，1) 解析：由题意知，kAB＝＝.因为直线的倾斜角为钝角，所以kAB＝＜0，解得－2＜t＜1. 10．(10分)如图，已知三点A(2，1)，B(5，2)，C(4，3)． (1)求直线AB，BC，CA的斜率； (2)求直线BC，CA的倾斜角． 解：(1)直线AB的斜率kAB＝＝； 直线BC的斜率kBC＝＝－1； 直线CA的斜率kCA＝＝1. (2)设直线BC的倾斜角为α∈[0，π)，由tan α＝kBC＝－1，则倾斜角α＝. 设直线CA的倾斜角为β∈[0，π)，由tan β＝kCA＝1，则倾斜角β＝. (11—13每小题5分，共15分) 11．向量a＝(1，2)，b＝(3，4)，在直线l方向向量上的投影向量相等，则直线l的斜率为(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 答案：B 解析：设直线l的方向向量为v＝(x，y)，a＝(1，2)在v＝(x，y)上的投影向量为·v，b＝(3，4)在v＝(x，y)上的投影向量为·v，所以·v＝·v，所以＝，即(x，y)·(1，2)＝(x，y)·(3，4)，整理可得x＋2y＝3x＋4y，所以y＝－x，直线斜率为－1.故选B． 12．(多选)已知直线l1，l2，l3的倾斜角分别为θ1，θ2，θ3，斜率分别是k1，k2，k3，若θ1＜θ2＜θ3，则k1，k2，k3的大小关系可能是(　　) A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k2＜k1 C．k3＜k1＜k2 D．k2＜k3＜k1 答案：ACD 解析：由k＝tan x在，分别单调递增，且x∈时，k＞0；x∈时，k＜0，若0＜θ1＜θ2＜θ3＜，或＜θ1＜θ2＜θ3＜π，则k1＜k2＜k3，故A正确；若0＜θ1＜θ2＜＜θ3＜π，则k3＜k1＜k2，故C 正确；若0＜θ1＜＜θ2＜θ3＜π，则k2＜k3＜k1，故D正确，无论哪种条件下，B都不成立．故选ACD． 13．已知直线l的方向向量n＝(2，4)且与x轴交于点A，直线l绕点A逆时针旋转60˚得到直线l′，则直线l′的斜率为________． 答案：－ 解析：设直线l，l′的倾斜角分别为α，β，由直线l的方向向量n＝(2，4)可得直线l的斜率为2，即tan α＝2＞0，α为锐角，又因为直线l绕点A逆时针旋转60˚得到直线l′，所以β＝α＋60˚，所以直线l′的斜率为k＝tan β＝tan(α＋60˚)＝＝＝－. 14．(12分)已知A(3，1)，B(2，4)，C(m，2)三点． (1)若直线BC的倾斜角为135˚，求m的值； (2)是否存在m，使得A，B，C三点共线？若存在，求m的值；若不存在，说明理由． 解：(1)因为B(2，4)，C(m，2)，直线BC的倾斜角为135˚， 所以kBC＝－1＝，解得m＝4，故m的值为4. (2)因为A(3，1)，B(2，4)，C(m，2)三点， 所以当A，B，C三点共线时，kAB＝kBC，即＝，解得m＝. 所以存在m使得A，B，C三点共线，此时m＝. 15．(5分)(新情境)函数y＝f(x)的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n(n≥2)个不同的数x1，x2，…，xn，使得＝＝…＝，则n的取值集合为(　　) A．{3，4} B．{2，3，4} C．{3，4，5} D．{2，3} 答案：B 解析：如图，＝＝…＝的几何意义是：曲线上存在n个点与坐标原点连线的斜率相等，即n指的是过原点的直线与曲线的交点个数，由图可得n的值可以为2，3，4.故选B． 16．(13分)已知点M(x，y)在函数y＝2x＋8的图象上，当x∈时，求： (1)的取值范围； (2)的取值范围． 解：(1)因为点M在函数y＝2x＋8的图象上，且x∈，记点A(－3，2)，B(5，18)． 由题意可知点M(x，y)在线段AB上移动．记点N(－1，－1)， 则可看作过点M(x，y)与点N(－1，－1)的直线的斜率， 又因为kNA＝－，kNB＝， 由于－1∈，可知线段AB上存在点与N点连线的斜率不存在， 所以的取值范围为∪. (2)因为＝2×，记点P， 则可看作过点M(x，y)与点P的直线的斜率， 又因为kPA＝－，kPB＝－，所以的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$