1.4.1 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版2019）

1.4　空间向量的应用 1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 [学习目标] 知识 层面 1.能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量．　 2．会求直线的方向向量与平面的法向量. 素养 层面 通过空间中点、直线和平面的向量表示，培养学生的直观想象素养；通过求直线的方向向量和平面的法向量，提升数学运算素养. 知识点一　空间中点、直线的向量表示 请回答以下问题： 问题1．甲乙两人在不同地方观察到空中一个热气球，甲说热气球在他的左上方，而乙说热气球在他的右上方，可能吗？ 提示：　可能，热气球的位置受观察点的影响． 问题2．要求经过甲村某地点修建一条与某段笔直的河流平行的铁路，有几种修法？ 提示：　一条，过直线外一点作一条与它平行的直线，有且只有一条． 1. 点的位置向量 在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示，我们把向量称为点P的位置向量． 2. 空间直线的向量表示式 (1)设a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，① 将＝a代入①式，得＝＋t，② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式． (2)性质：空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定． [微思考]　直线l的方向向量唯一吗？ 提示：　 不唯一，空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合． 棱长为1的正方体ABCD -A1B1C1D1在空间直角坐标系中的位置如图所示． (1)求直线DB1的一个方向向量； (2)点P是过D点且以为方向向量的直线上的一点，且||＝1，求点P的坐标． 解：(1)由题意知D(0，0，0)，B1(1，1，1)，所以＝(1，1，1)，即直线DB1的一个方向向量是(1，1，1)． (2)设P(x，y，z)，则＝(x，y，z) 因为点P在以为方向向量的直线上， 所以∥，所以＝λ，即有 (x，y，z)＝λ(1，1，1)， 所以x＝y＝z＝λ，又因为||＝1， 所以＝1，即＝1， 所以＝1，所以λ＝±， 所以点P的坐标是或. 学生用书第22页 规律方法 理解直线方向向量的概念 1．直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量． 2．直线的方向向量不唯一．　　 对点练1．(1)若点A(－1，0，2)，B(1，4，10)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　) A．(1，2，4) B．(1，4，2) C．(0，2，－1) D．(0，4，12) (2)若向量a＝(x，－2，1)，b＝(－1，y，2)都是直线l的方向向量，则x＋y＝________． 答案：(1)A　(2)－ 解析：(1)由＝(2，4，8)，l的方向向量与平行，只有选项A满足题意．故选A． (2)因为a，b都是直线l的方向向量，所以a∥b.因此＝＝，解得x＝－，y＝－4，所以x＋y＝－－4＝－. 知识点二　空间中平面的向量表示 油纸伞是世界上最早的雨伞，纯手工制成，全部取材于天然，是中国古人智慧的结晶．油纸伞舞蹈表演，更是传承几百年，用来伴舞，美轮美奂． 问题3．当伞柄的方向改变时，伞面的位置也改变，为什么？ 提示：伞柄与伞面是垂直关系，过直线外一点有且只有一个平面与该直线垂直，所以伞柄的方向改变时，伞面的位置也随之改变． 1．空间平面的向量表示式 (1)取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y．③ 我们把③式称为空间平面ABC的向量表示式． (2)性质：空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 2．平面的法向量 如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·＝0}． [微思考]　过空间一点作平面的法向量，法向量唯一吗？ 提示：　过空间一点作平面的垂线有且只有一条，但法向量有无限多个，它们是共线向量． (1)(多选)在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体，下列结论正确的是(　　) A．平面CDD1C1的一个法向量为(0，1，0) B．平面A1BC的一个法向量为(1，1，1) C．平面B1CD1的一个法向量为(1，1，1) D．平面ABC1D1的一个法向量为(0，1，1) (2)已知平面α经过点O(0，0，0)，且e＝(1，2，－3)是α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是________． 答案：(1)AC 　(2)x＋2y－3z＝0 解析：(1)对于A，由AD⊥平面CDD1C1知＝(0，1，0)是平面CDD1C1的一个法向量，故A正确；对于B，由AB1⊥平面A1BC知AB1＝(1，0，1)是平面A1BC的一个法向量，故B错误；对于C，由AC1⊥平面B1CD1知AC1＝(1，1，1)是平面B1CD1的一个法向量，故C正确；对于D，由DA1⊥平面ABC1D1知DA1＝(0，－1，1)是平面ABC1D1的一个法向量，故D错误．故选AC． (2)由题意得e⊥，则·e＝(x，y，z)·(1，2，－3)＝0，故x＋2y－3z＝0. 规律方法 1．如果n为平面α的一个法向量，A为平面α的一个已知的点，则对于平面α上任意一点B，向量一定与向量n垂直，即·n＝0.从而可知平面α的位置可由n和A唯一确定． 2．一个平面的法向量不是唯一的，一个平面的所有法向量共线．在应用时，可以根据需要进行选取．　　 对点练2．(1)若n＝(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是(　　) A．(0，－3，1) B．(2，0，1) C．(－2，－3，1) D．(－2，3，－1) (2)已知n＝(－3，1，2)是平面α的一个法向量，点A(0，－3，1)，B(k，2k，4)在平面α内，则k＝______． 答案：(1)D　(2)9 解析：(1)求与n共线的一个向量．易知(2，－3，1)＝－(－2，3，－1)．故选D． (2)由A(0，－3，1)，B(k，2k，4)，得＝(k，2k＋3，3)，因为n＝(－3，1，2)是平面α的一个法向量，点A，B在平面α内，所以n⊥，所以n·＝(－3，1，2)·(k，2k＋3，3)＝－3k＋2k＋3＋6＝0，解得k＝9. 学生用书第23页 求平面的法向量 如图所示，四棱锥P -ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，F为BC的中点．AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面PFD的一个法向量． 解：因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形， 所以AB，AD，AP两两垂直． 如图，以A为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系，则D(0，，0)，P(0，0，1)， F，所以＝，＝(0，，－1)． 设平面PFD的法向量为n＝(x，y，z)， 所以即 令y＝，所以z＝3，x＝. 所以n＝. 所以平面PFD的一个法向量为n＝. 规律方法 利用待定系数法求平面法向量的步骤 第一步(设向量)：设平面的法向量为n＝(x，y，z)； 第二步(选向量)：在平面内选取两个不共线向量，；　　 第三步(列方程组)：由列出方程组； 第四步(解方程组)； 第五步(赋非零值)：取其中一个为非零值(常取±1)； 第六步(得结论)：得到平面的一个法向量．　　 对点练3．如图所示，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，试建立适当的坐标系，求： (1)平面ABCD的一个法向量； (2)平面SAB的一个法向量； (3)平面SCD的一个法向量． 解：以点A为原点，AD，AB，AS所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，D，S(0，0，1)． (1)因为SA⊥平面ABCD， 所以＝(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量． (2)因为AD⊥AB，AD⊥SA，AB∩SA＝A，AB，SA⊂平面SAB， 所以AD⊥平面SAB， 所以＝是平面SAB的一个法向量． (3)在平面SCD中，＝，＝(1，1，－1)． 设平面SCD的法向量是n＝(x，y，z)， 则n⊥，n⊥， 所以得方程组 所以令y＝－1，得x＝2，z＝1，所以n＝(2，－1，1)． 所以n＝(2，－1，1)是平面SCD的一个法向量． 知识 1.空间点、直线、平面的向量表示.2.直线的方向向量.3.平面的法向量 方法 待定系数法、赋值法 易错误区 不理解直线的方向向量与平面的法向量的不唯一性 1．若A(2，1，1)，B(1，2，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　) A．(2，1，1) B．(－2，2，2) C．(－3，2，1) D．(2，1，－1) 答案：B 解析：因为＝(－1，1，1)，而与共线的非零向量都可以作为直线l的方向向量．故选B． 2．过空间三点A(1，1，0)，B(1，0，1)，C(0，1，1)的平面的一个法向量是(　　) A．(1，1，1) B．(1，1，－1) C．(1，0，1) D．(－1，0，1) 答案：A 解析：＝(0，－1，1)，＝(－1，0，1)．设该平面的法向量为a＝(x，y，z)，由题意知所以即令z＝1，得平面的一个法向量是(1，1，1)．故选A． 3．已知向量a＝(2，－1，3)，b＝(－4，2x2，6x)都是直线l的方向向量，则x的值是(　　) A．－1 B．1或－1 C．－3 D．1 答案：A 解析：由题意可得a∥b，所以b＝λa，则(－4，2x2，6x)＝λ(2，－1，3)＝(2λ，－λ，3λ)，所以解得x＝－1.故选A． 4．已知直线l的一个方向向量为a＝(2，1，1)，且过点M(1，0，－1)．若平面α过直线l与点N(1，2，3)，则平面α的一个法向量是__________． 答案：(1，－4，2) 解析：依题意，＝(0，2，4)，显然与a不共线，设平面α的一个法向量为n＝(x，y，z), 则取z＝2，得y＝－4，x＝1，因此n＝(1，－4，2)是平面α的一个法向量． 课时测评6　空间中点、直线和平面的向量表示 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1，3)，且直线l过点A(0，a，3)和B(－1，2，b)两点，则a＋b＝(　　) A．0 B．1 C． D．3 答案：D 解析：因为直线l过点A(0，a，3)和B(－1，2，b)两点，所以＝(－1，2－a，b－3)，又直线l的一个方向向量m＝(2，－1，3)，所以∥m，所以＝λm，所以(－1，2－a，b－3)＝(2λ，－λ，3λ)，所以解得所以a＋b＝3.故选D． 2．(多选)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是(　　) A． B． C． D． 答案：BC 3．若n＝(1，－1，－2)是平面α的一个法向量，则下列向量能作为平面α的法向量的是(　　) A．(0，0，0) B．(－2，－2，4) C． D． 答案：D 解析：因为法向量不是零向量，所以A错误；因为≠≠，所以B错误；因为＝≠，所以C错误；因为n′＝＝－(1，－1，－2)，所以n′∥n，所以也为平面α的法向量，所以D正确．故选D． 4．已知a＝(2，0，2)，b＝(3，0，0)分别是平面α，β的法向量，则平面α，β交线的方向向量可以是(　　) A．(1，0，0) B．(0，1，0) C．(0，0，1) D．(1，1，1) 答案：B 解析：因为四个选项中，只有a·(0，1，0)＝(2，0，2)·(0，1，0)＝0，b·(0，1，0)＝(3，0，0)·(0，1，0)＝0，所以平面α，β交线的方向向量可以是(0，1，0)．故选B． 5．(2024·江苏苏州高二质量调研)在空间直角坐标系Oxyz中，已知平面α＝，其中点P0(1，2，3)，法向量n＝(1，1，1)，则下列各点中不在平面α内的是(　　) A．(3，2，1) B．(－2，5，4) C．(－3，4，5) D．(2，－4，8) 答案：B 解析：对于B，若点P(－2，5，4)，则＝(－3，3，1)，则n·＝－3＋3＋1＝1≠0，所以点(－2，5，4)不在平面α内．故选B． 6．(多选)如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1为正方体，则下列结论正确的是(　　) A．直线DD1的一个方向向量为(0，0，1) B．直线BC1的一个方向向量为(0，1，1) C．平面ABB1A1的一个法向量为(0，1，0) D．平面B1CD的一个法向量为(1，1，1) 答案：ABC 解析：设正方体的棱长为1，因为AA1∥DD1，且＝(0，0，1)，所以A正确；因为AD1∥BC1， ＝(0，1，1)，所以B正确；因为AD⊥平面ABB1A1，＝(0，1，0)，所以C正确；因为＝(1，1，1)，但AC1与平面B1CD不垂直，所以D错误．故选ABC． 7．(开放题)已知A(1，2，3)，B(－2，2，1)在直线l上，写出直线l的一个方向向量n＝__________(坐标表示)． 答案：(－3，0，－2)(答案不唯一) 解析：由题意，在直线l中，A(1，2，3)，B(－2，2，1)，所以直线l的一个方向向量n＝＝(－3，0，－2)． 8．(开放题)空间直角坐标系Oxyz中，已知点A(2，0，2)，B(2，1，0)，C(0，2，0)，则平面ABC的一个法向量n＝__________(坐标表示)． 答案：(1，2，1)(答案不唯一) 解析：由题知＝(0，1，－2)，＝(－2，1，0)，设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，所以所以即令x＝1得n＝(1，2，1)，所以平面ABC的一个法向量可以是n＝(1，2，1)． 9．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，分别以长方体的两个顶点为始点和终点的向量中： (1)直线AB的方向向量有________个； (2)平面AA1B1B的法向量有________个． 答案：(1)8　(2)8 解析：(1)直线AB的方向向量有：，，，，，，，，共8个．(2)平面AA1B1B的法向量有：，，，，，，，，共8个． 10．(10分)已知A(2，2，2)，B(2，0，0)，C(0，2，－2)． (1)写出直线BC的一个方向向量； (2)设平面α经过点A，且是α的法向量，M(x，y，z)是平面α内的任意一点，试写出x，y，z满足的关系式． 解： (1)因为B(2，0，0)，C(0，2，－2)， 所以＝(－2，2，－2)，即(－2，2，－2)为直线BC的一个方向向量． (2)由题意＝(x－2，y－2，z－2)， 因为BC⊥平面α，AM⊂α， 所以⊥， 所以(－2，2，－2)·(x－2，y－2，z－2)＝0， 所以－2(x－2)＋2(y－2)－2(z－2)＝0， 所以x－y＋z＝2. (11—13每小题5分，共15分) 11．已知＝(2，2，1)，＝(4，5，3)，则平面ABC的一个单位法向量为(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，1)，所以所以解得所以n＝.又因为|n|＝＝，所以单位法向量为±＝±.故选B． 12．在三棱锥P-ABC中，CP，CA，CB两两垂直，AC＝CB＝1，PC＝2，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量是平面PAB的法向量的是(　　) A． B．(1，，1) C．(1，1，1) D．(2，－2，1) 答案：A 解析：因为＝(1，0，0)－(0，0，2)＝(1，0，－2)，＝(0，1，0)－(1，0，0)＝(－1，1，0)，设平面PAB的一个法向量为n＝(x，y，1)，由则解得所以n＝(2，2，1)．又＝n，因此平面PAB的一个法向量为. 故选A． 13．(多选)已知空间中三点A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(－1，3，1)，则下列结论正确的是(　　) A．与是共线向量 B．与同向的单位向量是 C．与夹角的余弦值是 D．平面ABC的一个法向量是(1，－2，5) 答案：BD 解析：对于A，＝(2，1，0)，＝(－1，2，1)，因为≠，所以与不是共线向量，故A错误；对于B，＝(2，1，0)，则与同向的单位向量是＝(2，1，0)＝，故B正确；对于C，＝(2，1，0)，＝(－3，1，1)，所以cos〈，〉＝＝＝－，故C错误；对于D，＝(2，1，0)，＝(－1，2，1)，设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则所以取x＝1，则得n＝(1，－2，5)，故D正确．故选BD． 14．(12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，△PAB是边长为1的正三角形，ABCD是菱形，∠ABC＝60°，E是PC的中点，F是AB的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面DEF的一个法向量． 解：如图，连接PF，CF. 因为PA＝PB，F为AB的中点， 所以PF⊥AB， 又因为平面PAB⊥平面ABCD， 平面PAB∩平面ABCD＝AB，PF⊂平面PAB， 所以PF⊥平面ABCD． 因为AB＝BC，∠ABC＝60°， 所以△ABC是等边三角形， 所以CF⊥AB． 以F为坐标原点，BF，CF，PF所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系(如图所示)． 由题意得F(0，0，0)，P，D， C，E. 所以＝，＝. 设平面DEF的一个法向量为m＝(x，y，z)， 则即 所以令y＝2，则x＝，z＝－2. 所以平面DEF的一个法向量为m＝(，2，－2)(答案不唯一)． 15．(5分)(多选)已知平面α内两向量a＝(1，1，1)，b＝(0，2，－1)，且c＝ma＋nb＋(4，－4，1)，若c为平面α的一个法向量，则下列结论正确的是(　　) A．m＝－1 B．m＝1 C．n＝2 D．n＝－2 答案：AC 解析：c＝ma＋nb＋(4，－4，1)＝(m，m，m)＋(0，2n，－n)＋(4，－4，1)＝(m＋4，m＋2n－4，m－n＋1)，由c为平面α的一个法向量，得得 解得故选AC． 16．(13分)已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)． (1)求证：是平面ABCD的法向量； (2)求平行四边形ABCD的面积． 解：(1)证明：·＝(－1，2，－1)·(2，－1，－4)＝0， ·＝(－1，2，－1)·(4，2，0)＝0， 所以AP⊥AB，AP⊥AD． 又AB∩AD＝A，所以AP⊥平面ABCD． 所以是平面ABCD的法向量． (2)因为||＝＝， ||＝＝2， ·＝(2，－1，－4)·(4，2，0)＝6， 所以cos 〈，〉＝＝， 故sin 〈，〉＝， S□ABCD＝||·||sin 〈，〉＝×2×＝8. 学生用书第24页 学科网（北京）股份有限公司 $$