1.3.1 空间直角坐标系-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版2019）

1.3　空间向量及其运算的坐标表示 1.3.1　空间直角坐标系 [学习目标] 知识层面 1．在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性．　 2．掌握空间直角坐标系中点的坐标和向量的坐标的概念；能在空间直角坐标系中表示空间中点的坐标和向量的坐标． 素养层面 通过建立空间直角坐标系，确定点及向量坐标，提升数学抽象、直观想象、数学运算核心素养. 知识点一　空间直角坐标系 问题1．我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现代化问题》中指出：“数学研究数量关系与空间形式，简单讲就是形与数，欧几里得几何体系的特点是排除了数量关系，对于研究空间形式，你要真正的‘腾飞’，不通过数量关系，我想不出有什么好的办法．”这段话的含义是什么？ 提示：吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是“数量化”，也就是坐标系的引入，使得几何问题“代数化”，为了使得空间几何“代数化”，我们引入了坐标及其运算． 1．建系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以 它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了一个空间直角坐标系Oxyz. 2．有关概念 坐标轴 x轴、y轴、z轴 原点 点O 坐标向量 i，j，k 坐标平面 Oxy平面、Oyz平面和Ozx平面，它们把空间分成八个部分 3．建系的常用规则 (1)画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°. (2)在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 知识点二　空间中点的坐标和空间向量的坐标 问题2．在空间直角坐标系中，如何定义点A的坐标？ 提示：在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)． 1．点的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj 学生用书第15页 ＋zk，则(x，y，z)叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 2．给定向量a，若＝a，则a＝xi＋yj＋zk，有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，记作a＝(x，y，z)． [微思考]　空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标有什么特点？ 提示： 点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 坐标的形式 (x，0，0) (0，y，0) (0，0，z) 点的位置 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内 坐标的形式 (x，y，0) (0，y，z) (x，0，z) 角度1　求空间中点的坐标 画一个正方体ABCD -A1B1C1D1，若以A为坐标原点，以棱AB，AD，AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系，则 ①顶点A，D1的坐标分别为______________； ②棱C1C中点的坐标为__________； ③正方形AA1B1B对角线的交点的坐标为__________． 答案：①(0，0，0)，(0，1，1)　②　③ 已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标． 解：因为正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为10， 所以正四棱锥的高为＝2. 以正四棱锥的底面中心为原点，平行于BC，AB所在的直线分别为x轴、y轴，垂直于平面ABCD的直线为z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则正四棱锥各顶点的坐标分别为A(2，－2，0)，B(2，2，0)，C(－2，2，0)，D(－2，－2，0)，P(0，0，2)． 答案不唯一． 规律方法 1．建立空间直角坐标系的原则 (1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内． (2)充分利用几何图形的对称性． 2．求点的坐标的方法 求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一坐标轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)进而确定第三个坐标．　　 对点练1．在棱长均为2a的正四棱锥P-ABCD中，建立恰当的空间直角坐标系． (1)写出正四棱锥P-ABCD各顶点的坐标； (2)写出棱PB的中点M的坐标． 解：如图，连接AC，BD交于点O，连接PO. 因为四棱锥P-ABCD为正四棱锥，且棱长均为2a， 所以四边形ABCD为正方形，且PO⊥平面ABCD． 所以OA＝a， PO＝ ＝ ＝a. 所以以点O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图． (1)正四棱锥P-ABCD中各顶点坐标分别为A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(－a，0，0)，D(0，－a，0)，P(0，0，a)． (2)因为M为棱PB的中点， 所以M，即M. 角度2　求空间向量的坐标 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系． (1)写出A，B1，M，N的坐标； (2)写出向量，，的坐标． 解：(1)由题意知CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC⊥BC，以点C为原点，分别以CA，CB，CC1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系C-xyz，如图所示． 则A(1，0，0)，B1(0，1，2)，M，N(1，0，1)． (2)由(1)可得B(0，1，0)，A1(1，0，2)，N(1，0，1)， 所以＝(1，－1，1)，＝(1，－1，2)，＝(－1，1，－2)． 规律方法 坐标表示空间向量的步骤 　　 学生用书第16页 对点练2．棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱DD1，D1C1，BC的中点，以{，，}为正交基底，建系如图所示，求下列向量的坐标： (1)，，； (2)，，. 解：在正交基底{，，}下， (1)＝＋，＝＋＋， ＝＋， 所以＝，＝，＝. (2)＝＋＝＋， 所以＝； ＝－＝＋－－＝－－， 所以＝； ＝＋＝－，所以＝. 求对称点的坐标 在空间直角坐标系中，点P(－2，1，4)． (1)求点P关于x轴的对称点的坐标； (2)求点P关于Oxy平面的对称点的坐标； (3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标． 解：(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数， 所以对称点为P1(－2，－1，－4)． (2)由于点P关于Oxy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数， 所以对称点为P2(－2，1，－4)． (3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点．由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12， 所以P3(6，－3，－12)． 规律方法 空间点对称问题的解题策略 1．空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．　　 2．对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．　　 对点练3．已知点P(2，3，－1)关于坐标平面Oxy的对称点为P1，点P1关于坐标平面Oyz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为____________． 答案：(2，－3，1) 解析：点P(2，3，－1)关于坐标平面Oxy的对称点P1的坐标为(2，3，1)，点P1关于坐标平面Oyz的对称点P2的坐标为(－2，3，1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2，－3，1)． 知识 1.空间直角坐标系的概念.2.空间点的坐标.3.空间向量的坐标 方法 数形结合思想、类比法、转化法 易错误区 混淆空间点的坐标和向量坐标的概念，只有起点在原点的向量的坐标才和终点的坐标相同 1．如图，在长方体OABC-O1A1B1C1中，OA＝3，OC＝5，OO1＝4，点P是B1C1的中点，则点P的坐标为(　　) A．(3，5，4)　　　　 B． C． D． 答案：C 解析：由题图知，点P在x轴、y轴、z轴上的射影分别为P1，P2，P3，它们在坐标轴上的坐标分别是，5，4，故点P的坐标是.故选C． 2．已知点A(3，2，－3)，则点A关于y轴的对称点的坐标是(　　) A．(－3，－2，3) B．(－3，2，－3) C．(－3，2，3) D．(－3，－2，－3) 答案：C 解析：点A关于y轴对称后，它在y轴上的分量不变，在x轴，z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点的坐标为(－3，2，3)．故选C． 3．(多选)下列命题中正确的是(　　) A．在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c) B．在空间直角坐标系中，在Oyz平面上的点的坐标一定是(0，b，c) C．在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标可记作(0，0，c) D．在空间直角坐标系中，在Ozx平面上的点的坐标是(a，0，c) 答案：BCD 解析：空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标是(a，0，0)．故A错误，B，C，D正确．故选BCD． 4．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，则的坐标为________，的坐标为________． 答案：(1，0，0)　(1，0，1) 解析：由题图可知，A(0，0，0)，B(1，0，0)，A1(0，0，1)，所以＝(1，0，0)，＝＋＝(0，0，1)＋(1，0，0)＝(1，0，1)． 课时测评4　空间直角坐标系 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．在如图所示的长方体ABCD -A1B1C1D1中，点D1(0，2，2)，B(3，0，0)，则点C1的坐标为(　　) A．(3，3，2) B．(3，2，2) C．(3，2，3) D．(2，2，3) 答案：B 解析：因为点D1(0，2，2)，B(3，0，0)，所以AB＝3，AD＝2，AA1＝2，所以点C1的坐标为(3，2，2)．故选B． 2．已知e1，e2，e3是空间直角坐标系Oxyz中与x，y，z轴的正方向相同的单位向量，若＝－e1＋e2－e3，则B点的坐标为(　　) A．(－1，1，－1) B．(－e1，e2，－e3) C．(1，－1，－1) D．不确定 答案：D 解析：向量的坐标与B点的坐标不同，由于A点的坐标未知，故无法确定B点的坐标．故选D． 3．在空间直角坐标系中，点P(－1，－2，－3)到平面Oyz的距离是(　　) A．1 B．2 C．3 D． 答案：A 解析：点到平面Oyz的距离就是点的横坐标的绝对值．故选A． 4．在空间直角坐标系中，已知点P(1，，)，过点P作平面Oyz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为(　　) A．(0，，0) B．(0，，) C．(1，0，) D．(1，，0) 答案：B 解析：由于垂足在平面Oyz上，所以纵坐标，竖坐标不变，横坐标为0.故选B． 5．如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，B1E＝A1B1，则等于(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：{，，}为单位正交基，＝＋B1E＝－＋＝－(0，1，0)＋(0，0，1)＝，所以＝.故选C． 6．(多选)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是(　　) A．点B1的坐标为(4，5，3) B．点C1关于点B对称的点为(5，8，－3) C．点A关于直线BD1对称的点为(0，5，3) D．点C关于平面ABB1A1对称的点为(8，5，0) 答案：ACD 解析：依据空间中点的坐标的定义可知，点B1(4，5，3)，点C1(0，5，3)，点A(4，0，0)，点C(0，5，0)，故A正确；设点C1关于点B(4，5，0)的对称点为(x1，y1，z1)，由中点坐标公式得x1＝4×2－0＝8，y1＝5×2－5＝5，z1＝0×2－3＝－3，所以C1关于点B对称的点为(8，5，－3)，故B错误；由AB＝5，AD＝4，AA1＝3，易知四边形ABC1D1是正方形，所以点A关于直线BD1对称的点为C1(0，5，3)，故C正确；点C关于平面ABB1A1的对称点就是点C关于点B的对称点，坐标为(8，5，0)，故D正确．故选ACD． 7．设{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，a＝2i－4j＋5k，b＝i＋2j－3k，则向量a，b的坐标分别为________． 答案：(2，－4，5)，(1，2，－3) 解析：由空间向量坐标概念知a＝(2，－4，5)，b＝(1，2，－3)． 8．在空间直角坐标系Oxyz中，点M(－1，0，2)，N(3，2，－4)，则MN的中点Q在平面Oxy内的射影的坐标是____________． 答案：(1，1，0) 解析：因为M(－1，0，2)，N(3，2，－4)，所以Q(1，1，－1)，所以点Q在平面Oxy内的射影的坐标是(1，1，0)． 9．三棱锥P-ABC中，∠ABC＝90°，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M，N分别是PC，AC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，则向量的坐标为________． 答案： 解析：＝－＝(＋)－(＋)＝－＝(1，0，0)－(0，0，1)＝，故＝. 10．(10分)建立空间直角坐标系如图所示，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为a，E，F，G，H，I，J分别是棱C′D′，D′A′，A′A，AB，BC，CC′的中点，写出正六边形EFGHIJ各顶点的坐标． 解：正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为a，且E，F，G，H，I，J分别是棱C′D′，D′A′，A′A，AB，BC，CC′的中点，所以正六边形EFGHIJ各顶点的坐标为E，F，G，H，I，J. (11—13每小题5分，共15分) 11．在空间直角坐标系中，点M(1，2，3)到z轴的距离为(　　) A． B．3 C． D． 答案：A 解析：空间直角坐标系中，点M(1，2，3)到z轴的距离为＝.故选A． 12．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(2，1，－1)，则p在基底{2a，b，－c}下的坐标为________；在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为________． 答案：(1，1，1)　 解析：由题意知p＝2a＋b－c，则向量p在基底{2a，b，－c}下的坐标为(1，1，1)．设向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x，y，z)，则p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc.又因为p＝2a＋b－c，所以解得x＝，y＝，z＝－1，所以p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为. 13．如图所示，正四面体ABCD的棱长为1，G是△BCD的中心，建立如图所示的空间直角坐标系，则的坐标为________，的坐标为________． 答案： 解析：由题意可知，BG＝BE＝×＝，所以AG＝＝＝，所以＝－k＝－(0，0，1)＝，＝－＝－j－k＝－(0，1，0)－(0，0，1)＝. 14．(12分)如图所示，AF，DE分别是⊙O，⊙O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8.BC是⊙O的直径，AB＝AC＝6，OE∥AD，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A，B，C，D，E，F的坐标． 解：因为AD与两圆所在的平面均垂直，OE∥AD，所以OE与两圆所在的平面也都垂直． 又因为AB＝AC＝6，BC是⊙O的直径， 所以△BAC为等腰直角三角形，且AF⊥BC，BC＝6. 所以以O为原点，OB，OF，OE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A，B，C，D，E，F各个点的坐标分别为A(0，－3，0)，B(3，0，0)，C(－3，0，0)，D(0，－3，8)，E(0，0，8)，F(0，3，0)． 15．(5分)(新定义)(多选)已知单位向量i，j，k两两的夹角均为θ，若空间向量a满足a＝xi＋yj＋zk(x，y，z∈R)，则有序实数组(x，y，z)称为向量a在“仿射”坐标系Oxyz(O为坐标原点)下的“仿射”坐标，记作a＝(x，y，z)θ，则下列命题是真命题的有(　　) A．已知a＝(1，3，－2)θ，b＝(4，0，2)θ，则a·b＝0 B．已知a＝(x，y，0)，b＝(0，0，z)，其中x，y，z＞0，则当且仅当x＝y时，向量a，b的夹角取得最小值 C．已知a＝(x1，y1，z1)θ，b＝(x2，y2，z2)θ，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)θ D．已知＝(1，0，0)，＝(0，1，0)，＝(0，0，1)，则三棱锥O-ABC的表面积S＝ 答案：BC 解析：a·b＝(1，3，－2)θ·(4，0，2)θ＝(i＋3j－2k)·(4i＋2k)＝4＋2i·k＋12i·j＋6j·k－8k·i－4＝12cos θ，因为0＜θ＜π，且θ≠， 所以a·b≠0，故A错误；如图所示，设＝b，＝a，则点A在平面Oxy上，点B在z轴上，由图易知当x＝y时，∠AOB取得最小值，即向量a与b的夹角取得最小值，故B正确；根据“仿射”坐标的定义可得，a＋b＝(x1，y1，z1)θ＋(x2，y2，z2)θ＝(x1i＋y1j＋z1k)＋(x2i＋y2j＋z2k)＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j＋(z1＋z2)k＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)θ，故C正确；由已知可得三棱锥O-ABC为正四面体，棱长为1，其表面积S＝4××12×＝，故D错误．故选BC． 16．(13分)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1.以D为原点，正方体的三条棱所在的直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.有一动点P在正方体各个面上运动． (1)当点P分别在平行于坐标轴的各条棱上运动时，探究动点P的坐标特征； (2)当点P分别在各个面对角线上运动时，探究动点P的坐标特征． 解：(1)当点P分别在平行于横轴的棱A1D1，B1C1，BC上运动时，动点P的纵、竖坐标不变，横坐标在[0，1]取值； 当点P分别在平行于纵轴的棱AB，A1B1，D1C1上运动时，动点P的横、竖坐标不变，纵坐标在[0，1]取值； 当点P分别在平行于竖轴的棱AA1，BB1，CC1上运动时，动点P的横、纵坐标不变，竖坐标在[0，1]取值． (2)当点P分别在面对角线BC1，B1C，AD1，A1D上运动时，动点P的纵坐标不变，横、竖坐标在[0，1]取值； 当点P分别在面对角线A1B，AB1，D1C，DC1上运动时，动点P的横坐标不变，纵、竖坐标在[0，1]取值； 当点P分别在面对角线A1C1，B1D1，AC，BD上运动时，动点P的竖坐标不变，横、纵坐标在[0，1]取值． 学生用书第17页 学科网（北京）股份有限公司 $$