1.2 空间向量基本定理-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版2019）

1.2　空间向量基本定理 [学习目标] 知识层面 1．了解空间向量基本定理及其意义，并会用基底表示空间向量，掌握空间向量的正交分解．　 2．初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的方法． 素养层面 通过用空间向量基本定理解决简单的立体几何问题，提升直观想象、数学运算、逻辑推理等素养. 类比平面向量基本定理，对于空间向量a，b，c是空间三个不共面的向量，p是空间任意一个向量，是否可以用向量a，b，c来表示向量p? 提示：可以．如图，设为在i，j所确定的平面上的投影向量，则＝＋. 又向量，k共线，因此存在唯一的实数z，使得＝zk，从而＝＋zk. 在i，j确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝xi＋yj.从而＝＋zk＝xi＋yj＋zk.同理可知，向量a，b，c可以表示向量p. 1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc． 2．基底 (1)定义：如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}，这个集合可看作由向量a，b，c生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． (2)性质：空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． 3．正交分解 (1)单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示． (2)正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使a＝xi＋yj＋zk．像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 学生用书第11页 [微思考]　(1)基底中能不能有零向量？(2)选取不同的基底对同一向量的表达式有无影响？(3)基底和基向量是同一概念吗？有什么区别？ 提示：(1)不能，因为零向量与任意一个非零向量都为共线向量，与任意两个非零向量都共面．(2)有影响，不同基底下，同一向量的表达式不同．(3)一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念． 角度1　基底的判断 (1)(2024·北京通州高二期中)如图，在平行六面体ABCD -A1B1C1D1中，可以作为空间向量的一个基底的是(　　) A．，， B．，， C．，， D．，， (2)若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则t＝__________． 答案：(1)C　(2)－1 解析：(1)因为，，共面，故A错误；因为，，共面，故B错误；因为，，共面，故D错误；因为，，三个向量是不共面的，可以作为一个基底，故C正确．故选C． (2)因为不能构成空间的一个基底，所以存在实数x，y使得c＝xa＋yb，即e1＋te3＝x(e1＋e2)＋y(e2＋e3)，即e1＋te3＝xe1＋(x＋y)e2＋ye3，因为是空间的一个基底，则解得 规律方法 基底的判断思路 1．判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底． 2．判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断． 　　 对点练1．已知是空间的一个基底，且＝2e1－e2＋3e3，＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，问：{}能否构成空间的一个基底？若能，试用这一组基向量表示；若不能，请说明理由． 解：假设向量，，共面，则存在实数m，n，使＝m＋n， 即e1＋2e2－e3＝m(－3e1＋e2＋2e3)＋n(e1＋e2－e3)， 所以方程组无解， 所以向量，，不共面，因此{}可以构成空间的一个基底． 设＝x＋y＋z，则2e1－e2＋3e3＝x(e1＋2e2－e3)＋y(－3e1＋e2＋2e3)＋z(e1＋e2－e3)， 所以2e1－e2＋3e3＝(x－3y＋z)e1＋(2x＋y＋z)e2＋(－x＋2y－z)e3， 所以 所以 所以＝17－5－30. 角度2　用基底表示向量 (链教材P12例1)如图所示，在平行六面体ABCD -A′B′C′D′中，点M是□A′B′C′D′的对角线的交点，点N是棱BC的中点．如果＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示. 解：因为点M为□A′B′C′D′的对角线的交点， 所以＝－＝－(＋)＝－(b＋a)． 又＝－c，＝a，＝＝b， 所以＝＋＋＋ ＝－(b＋a)－c＋a＋b＝a－c. [变式探究](变条件)若把本例中“＝a”改为“＝a”，其他条件不变，则结果是什么？ 解：因为点M为□A′B′C′D′的对角线的交点， 所以＝＋＝－c＋a， 所以＝(a－c)． 又＝b，所以＝－b， 所以＝＋＋ ＝(a－c)－c－b ＝a－b－c. 学生用书第12页 规律方法 用基底表示任一向量的方法 1．线性运算法：用基底表示空间向量，一般要用到向量加法、减法、数乘的运算法则，尤其是向量加法的平行四边形法则，向量加法、减法的三角形法则及向量的一些代数运算，将所求向量逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示． 2．待定系数法：利用待定系数法解决有关问题时，先利用未知系数确定向量的线性表示，再根据空间向量基本定理建立对应系数之间的关系，将问题转化为方程(组)问题求解． 注意：若没给定基底时，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求． 　　 对点练2．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AP的长为2，且与，的夹角都等于60°，M在棱PC上，＝，设＝a，＝b，＝c. (1)试用a，b，c表示出向量； (2)求·. 解：(1)由题图知：＝－＝c－a，＝＝b， ＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝(c－a)＋b＝－a＋b＋c. (2)·＝·c＝－a·c＋b·c＋c2 ＝－×1×2×cos 60°＋×1×2×cos 60°＋×4＝－＋＋＝. 应用一　证明平行、共面问题 (链教材P13例3)如图，在平行六面体ABCD -A′B′C′D′中，E，F，G分别是A′D′，DD′，D′C′的中点，请选择恰当的基底向量证明： (1)EG∥AC； (2)平面EFG∥平面AB′C． 证明：取基底{，，}， (1)因为＝＋＝＋，＝＋＝2，所以∥， 又EG，AC无公共点，所以EG∥AC． (2)因为＝＋＝＋，＝＋＝2，所以∥， 又FG，AB′无公共点，所以FG∥AB′. 又FG⊄平面AB′C，AB′⊂平面AB′C， 所以FG∥平面AB′C． 又由(1)知EG∥AC，AC⊂平面AB′C，EG⊄平面AB′C，可得EG∥平面AB′C， 又FG∩EG＝G，FG，EG⊂平面EFG， 所以平面EFG∥平面AB′C． 规律方法 证明平行、共面问题的思路 1．利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行． 2．利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行．　　 对点练3．如图，在底面ABCD为菱形的平行六面体ABCD -A1B1C1D1中，M，N分别在棱AA1，CC1上，且A1M＝AA1，CN＝CC1. (1)用向量，，表示向量； (2)求证：D，M，B1，N共面． 解：(1)＝＋＋＋＝－＋＋＋＝＋－. (2)证明：因为＝－＝－， ＝－＝－， 所以＝，又DM，NB1无公共点，所以DM∥NB1，所以D，M，B1，N共面． 学生用书第13页 应用二　计算夹角、垂直问题 (链教材P13例2)如图，正方体ABCD -A′B′C′D′的棱长为a. (1)求A′B和B′C的夹角； (2)求证：A′B⊥AC′. 解：(1)设＝a，＝b，＝c. 由于正方体ABCD -A′B′C′D′的棱长为a， 所以|a|＝|b|＝|c|＝a，且〈a，b〉＝90°，〈a，c〉＝90°，〈b，c〉＝90°. 因为＝－＝a－c，＝＝－＝b－c， 所以·＝(a－c)·(b－c)＝a·b－a·c－b·c＋c2＝0－0－0＋c2＝a2. 又＝a，＝a， 所以cos〈，〉＝＝＝. 又0°≤〈，〉≤180°， 所以〈，〉＝60°， 所以A′B与B′C的夹角为60°. (2)证明：由(1)知＝a－c，＝＋＋＝＋＋＝a＋b＋c， 所以·＝(a－c)·(a＋b＋c)＝a2＋a·b＋a·c－c·a－c·b－c2 ＝a2＋0＋0－0－0－a2＝0， 所以⊥，所以A′B⊥AC′. 规律方法 用基向量法解决夹角、垂直、长度问题的步骤 第一步：设出基向量； 第二步：用基向量表示出直线的方向向量； 第三步：用cos θ＝求夹角，用a·b＝0⇔a⊥b(a，b为非零向量)证垂直，用|a|＝＝求长度．　　 对点练4．已知空间四边形OABC 的各边及对角线的长都相等， M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点． (1)求证：OG⊥BC； (2)求异面直线ON与BM所成角的余弦值． 解：(1)证明：连接ON，AN，如图所示： 因为M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点， 所以＝＋＝＋＝(＋)＋＝＋. 因为空间四边形OABC 的各边及对角线的长都相等， 所以⊥，⊥， 所以·＝·＝·＋·＝0， 所以⊥，即OG⊥BC． (2)如图所示： 设空间四边形OABC的各边及对角线的长都为1， 则·＝·＝·＝1×1×cos60°＝. 因为＝＋，＝－＝－， 所以||＝＝ ＝＝， ||＝＝＝. ·＝·＝·－2＋·－·＝－＋－＝－. 设异面直线ON与BM所成角为θ， 所以cos θ＝＝＝＝＝. 知识 空间向量的基本定理及其应用 方法 转化法，数形结合思想 易错 误区 1.忽视基向量的条件.2.利用基向量表示向量时，没有转化目标，不理解空间向量基本定理的意义.3.向量夹角和线线角的范围不同，不要混淆 1．已知{a，b，c}是空间的一个基底，其中＝2a－3b，＝a－c，＝2b＋λc.若A，B，C，D四点共面，则λ＝(　　) A．－ B． C． D．－ 答案：D 解析：由题意，设存在唯一的实数对(x，y)，使得＝x＋y，即2a－3b＝x(a－c)＋y(2b＋λc)，则2a－3b＝xa＋2yb＋(λy－x)c，则x＝2，y＝－，λy－x＝0，解得λ＝－.故选D． 2．(多选)设{a，b，c}构成空间的一个基底，下列说法正确的是(　　) A．a，b，c两两不共线，但两两共面 B．对空间任一向量p，总存在有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc C．a，a－c，a＋c能构成空间另一个基底 D．若xa＋yb＋zc＝0，则实数x，y，z全为零 答案：ABD 解析：因为{a，b，c}构成空间的一个基底，所以a，b，c两两不共线，但两两共面，故A正确；对空间任一向量p，总存在有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc，故B正确；因为(a－c)＋(a＋c)＝2a，所以a，a－c，a＋c共面，故不能构成空间的一个基底，故C错误；根据空间向量基本定理可知，若xa＋yb＋zc＝0，则实数x，y，z全为零，故D正确．故选ABD． 3．如图，在三棱锥O -ABC中，设＝a，＝b，＝c，若＝，＝2，则＝________(用a，b，c表示)． 答案：a＋b－c 解析： 因为＝，＝2，所以＝－＝－＝(－)－(－)＝－－＋＝＋－，因为＝a，＝b，＝c，所以＝a＋b－c. 4．在长方体ABCD -A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为__________． 答案： 解析：设＝a，＝b，＝c，以{a，b，c}为基底，则＝＋＝－a＋c，＝＋＋＝a＋b＋c.又||＝2，||＝，所以cos〈，〉＝＝＝＝.即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为. 课时测评3　空间向量基本定理 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．若p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 解析：空间不共面的三个向量可以作为空间的一个基底，若a，b，c是三个共面的非零向量，则{a，b，c}不能作为空间的一个基底，不满足充分性；若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c不共面，即a，b，c是三个非零向量，所以p是q的必要不充分条件．故选B． 2．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E为棱A1C1的中点．设＝a，＝b，＝c，则＝(　　) A．a＋b＋c B．a＋b＋c C．a＋b＋c D．a＋b＋c 答案：A 解析：由题意可得＝＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＋(－)＝＋＋＝a＋b＋c.故选A． 3．(2024·山东东营高二质量监测)《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵ABC-A1B1C1中，M，N分别是A1C1，BB1的中点，G是MN的中点，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝(　　) A．1 B． C． D． 答案：C 解析：连接AM，AN，如图：由于G是MN的中点，所以＝(＋)＝＝＋＋.根据题意知＝x＋y＋z，所以x＋y＋z＝.故选C． 4．在正方体ABCD -A1B1C1D1中，向量在向量上的投影向量是(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：设正方体的棱长为1, ＝a，＝b，＝c, 则|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝b·c＝c·a＝0，＝＋＋＝－a＋b＋c，＝－b，||＝1，·＝(－a＋b＋c)·(－b)＝a·b－b2－c·b＝－1，向量在向量上的投影向量是cos〈，〉·＝·＝－＝.故选D． 5．在正方体ABCD -A1B1C1D1中，棱长为2，O是底面正方形ABCD的中心，点M在DD1上运动，N是A1B1上靠近A1的三等分点，当直线ON与AM垂直时，DM的长为(　　) A．1 B． C． D． 答案：A 解析：＝＋＋＝－(＋)＋＋＝－－，＝＋，设＝λ(0≤λ≤1)，·＝·(＋λ)＝λ·－2＝4λ－2＝0，所以λ＝，即＝，所以||＝＝1.故选A． 6．(多选)若向量{a，b，c}是空间的一个基底，向量m＝a＋b，n＝a－b，那么可以与m，n构成空间的一组基底的向量是(　　) A．a B．b C．a＋c D．c 答案：CD 解析：对于A选项，因为m＋n＝(a＋b)＋(a－b)＝2a，故a与m，n是共面向量，不能构成一组基底，故A错误；对于B选项，m－n＝(a＋b)－(a－b)＝2b，故b与m，n是共面向量，不能构成一组基底，故B错误；对于C选项，由于向量a，b，c是空间的一个基底，故a，b与c不共面，则m＝a＋b，n＝a－b与a＋c不共面，故可构成一组基底，C正确；对于D选项，由于向量a，b，c是空间的一个基底，故a，b与c不共面，则m＝a＋b，n＝a－b与c不共面，故可构成一组基底，故D正确．故选CD． 7.{a，b，c}是空间的一个基底，向量p＝3a＋b＋c，{a＋b，a－b，c}是空间的另一个基底，向量p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋c，则x＋y＝________． 答案：3 解析：因为p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋c＝(x＋y)a＋(x－y)b＋c，且p＝3a＋b＋c，所以解得所以x＋y＝3. 8．在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，底面ABC为正三角形，PA＝AB，则异面直线PB与AC所成角的余弦值为__________． 答案： 解析：设AB＝m，则·＝(＋)·＝·＋·＝m2cos＝m2 ，所以cos〈，〉＝＝＝. 9．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝CD＝2，∠ACD＝90°，把△ADC沿对角线AC折起，使与夹角为120°，则BD＝________． 答案：4 解析：由题意得＝－＋＋，其中AB⊥AC，故2＝(－＋＋)2＝2＋2＋2－2·－2·＋2·＝22＋22＋22－0－2||||cos 120°＋0＝12＋4＝16，故BD＝||＝4. 10．(10分)如图所示，正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G，G1分别是棱CC1，BC，CD，A1B1的中点．求证： (1)AD1⊥G1G； (2)AD1∥EF. 证明：设＝a，＝b，AA1＝c， 则|a|＝|b|＝|c|＝1且a·b＝b·c＝a·c＝0. (1)因为＝b＋c，G1G＝＋A1A＋＋＝－a－c＋b＋a＝b－c， 所以·＝(b＋c)·(b－c)＝b2－c2＝0， 所以⊥G1G，所以AD1⊥G1G. (2)因为＝b＋c，＝－＝－＝－b－c， 所以＝－，所以AD1∥EF. (11—13每小题5分，共15分) 11．在长方体ABCD -A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝2，A1A＝3，M为空间内一点，N为底面ABCD内一点，且满足＝λ＋λ－(λ∈R)，异面直线A1A与B1N所成角为30°，则当线段MN的长度取最小值时，λ的值为(　　) A．－ B．－ C． D． 答案：B 解析：由＝λ＋λ－(λ∈R)，得＋＝λ(＋)，即＝λ，所以点M在直线AC上．又异面直线A1A与B1N所成的角为30°，N为底面ABCD内一点，所以点N在以点B为圆心，半径为的圆上，因此要使MN长度最小，则B，N，M共线，且BM⊥AC．因为AB＝4，BC＝2，所以AC＝＝2，BM＝＝＝，此时AM＝＝，又因为与反向，所以λ＝－.故选B． 12．(多选)在三棱锥P -ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝3，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2，则下列说法正确的是(　　) A．EG⊥PG B．EG⊥BC C．FG∥BC D．FG⊥EF 答案：ABD 解析：如图，设＝a，＝b，＝c，则{a，b，c}是空间的一个正交基底，则a·b＝a·c＝b·c＝0，取AB的中点H，则＝＝×(a＋b)＝a＋b，＝＋＝＋＝＋(－)＝c＋b，＝－＝a＋b－b－c＝a－b－c，＝c－b，＝－＝a＋b－b＝a，＝－＝b－＝－c－b，所以·＝a2－b2＝0，故A正确；·＝－c2＋b2＝0，故B正确；≠λ(λ∈R)，故C不正确；·＝0，故D正确．故选ABD． 13．在平行六面体ABCD -A1B1C1D1中，F为棱DD1的中点，E为棱BB1上一点．记＝x＋y＋z，若x＋y＋z＝，则＝__________． 答案： 解析：如图所示：设＝λ，因为＝＋＋＋＝－λ－＋＋＝－λ－＋＋＝－＋＋，又已知＝x＋y＋z，所以x＝－1，y＝1，z＝－λ.又因为x＋y＋z＝－λ＝，所以λ＝. 14．(12分)如图所示，在三棱锥P-ABC中，点G为△ABC的重心，点M在PG上，且PM＝3MG，过点M任意作一个平面分别交线段PA，PB，PC于点D，E，F，若＝m，＝n，＝t，求证：＋＋为定值，并求出该定值． 证明：连接AG并延长交BC于点H(图略)，由题意，可令{，，}为空间的一个基底， ＝＝(＋)＝＋×＝＋×(＋)＝＋(－)＋(－)＝＋＋. 连接DM(图略)．因为点D，E，F，M共面，所以存在实数λ，μ，使得＝λ＋μ，即－＝λ(－)＋μ(－)， 所以＝(1－λ－μ)＋λ＋μ＝(1－λ－μ)m＋λn＋μt. 由空间向量基本定理，知＝(1－λ－μ)m， ＝λn，＝μt，所以＋＋＝4(1－λ－μ)＋4λ＋4μ＝4，为定值． 15．(5分)(新角度)(多选)如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD -A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，则下列说法中正确的是(　　) A．AC1＝6 B．AC1⊥DB C．向量与的夹角是60° D．BD1与AC所成角的余弦值为 答案：AB 解析：因为以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，所以·＝·＝·＝6×6×cos 60°＝18，(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝36＋36＋36＋3×2×18＝216，则||＝|＋＋|＝6，故A正确；·＝(＋＋)·(－)＝·－·＋2－·＋·－2＝0，故B正确；显然△AA1D为等边三角形，则∠AA1D＝60°.因为＝，且向量与的夹角是120°，所以与的夹角是120°，故C不正确；因为＝＋－，＝＋，所以||＝＝6，||＝＝6，又·＝(＋－)·(＋)＝36，所以cos〈，〉＝＝＝，故D不正确．故选AB． 16．(13分)如图所示，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点． (1)求证：DE∥平面ACF； (2)求证：BD⊥AE； (3)若AB＝CE，在线段EO上是否存在点G，使CG⊥平面BDE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 解：(1)证明：设＝a，＝b，＝c，则{a，b，c}构成空间的一个基底，且|a|＝|b|，a·b＝b·c＝c·a＝0. 依题意得＝－＝c－b，＝＋＝a＋b，＝(＋)＝a＋c. 设＝x＋y(x，y∈R)，则c－b＝x(a＋b)＋y＝a＋xb＋yc， 因此解得 又与不共线，所以，，共面． 又直线DE不在平面ACF内， 所以DE∥平面ACF. (2)证明：依题意得＝＋＝b－a，＝＋＝＋＋＝－a－b＋c＝c－a－b， 则·＝(b－a)·(c－a－b)＝－b2＋a2＝0， 因此⊥，从而BD⊥AE. (3)由AB＝CE，设|a|＝|b|＝2，则|c|＝， 假设在线段EO上存在点G，使CG⊥平面BDE. 由O，G，E三点共线，设＝(1－λ)＋λ＝λa＋λb＋(1－λ)c(0≤λ≤1)， 则一定有CG⊥DE，而＝c－b， 所以·＝·(c－b)＝(1－λ)c2－λb2＝2－4λ＝0，解得λ＝， 易知CG⊥BD，所以点G是线段EO的中点时，满足题意，此时＝. 学生用书第14页 学科网（北京）股份有限公司 $$