1.1.2 空间向量的数量积运算-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版2019）

1.1.2　空间向量的数量积运算 [学习目标] 知识 层面 1.了解空间向量的夹角；掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法．　 2．了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义．　 3．掌握两个向量的数量积在判断垂直中的应用，掌握利用向量数量积求空间两点间的距离． 素养 层面 借助投影向量概念的学习，培养直观想象素养；借助利用空间向量的数量积证明垂直关系、求夹角和距离运算，提升逻辑推理和数学运算素养. 知识点一　空间向量的夹角 问题1．类比两个平面向量a和b的夹角的定义，那么对于两个空间向量a和b，它们的夹角又该如何定义呢？ 提示：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． 定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉 图示 范围 0≤〈a，b〉≤π 向量垂直 如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b [微提醒]　因为向量是自由向量，空间中的任意两个向量都能平移到同一平面内，因此，空间中两向量的夹角的实质就是平面内两向量的夹角． 如图，在正方体ABCD -A′B′C′D′中，求向量分别与向量，，，，的夹角． 解：连接BD(图略)， 则在正方体ABCD -A′B′C′D′中，AC⊥BD，∠BAC＝45°，AC＝AD′＝CD′， 所以〈，〉＝〈，〉＝45°， 〈，〉＝180°－〈，〉＝135°， 〈，〉＝∠D′AC＝60°， 〈，〉＝180°－〈，〉＝180°－60°＝120°， 〈，〉＝〈，〉＝90°. 规律方法 对空间任意两个非零向量a，b有：①〈a，b〉＝〈b，a〉；②〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉；③〈－a，－b〉＝〈a，b〉．　　 对点练1．(1)对于空间任意两个非零向量a，b，“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)在正四面体ABCD中，与的夹角等于________；与的夹角等于________． 答案：(1)B　(2)120°　60° 解析：(1)因为a∥b，包括向量a和b同向共线和反向共线两种情况，所以当a∥b时，有〈a，b〉＝0或〈a，b〉＝π，不能得到〈a，b〉＝0，充分性不成立；〈a，b〉＝0，则a和b方向相同，有a∥b，必要性成立，故“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的必要不充分条件．故选B． (2)由正四面体每个面都是正三角形可知，〈，〉＝180°－〈，〉＝180°－60°＝120°；〈，〉＝〈，〉＝60°. 学生用书第7页 知识点二　空间向量的数量积 问题2．类比平面向量的数量积的定义，你能给出空间两向量数量积的定义吗？空间向量的数量积运算满足哪些运算律？ 提示：能给出空间两向量数量积的定义，即已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 空间向量的数量积运算满足：(1)数乘向量与向量数量积的结合律：(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R；(2)交换律：a·b＝b·a；(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 1．定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos__〈a，b〉．规定：零向量与任意向量的数量积为__0__． 2．数量积的运算律 数乘向量与向量 数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R 交换律 a·b＝b·a 分配律 (a＋b)·c＝a·c＋b·c 3．数量积的性质 向量数量 积的性质 垂直 若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0 共线 同向：则a·b＝|a|·|b| 反向：a·b＝－|a|·|b| 模 a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2，|a|＝，|a·b|≤|a|·|b| 夹角 θ为a，b的夹角，则cos θ＝ [微思考]　对于向量a，b，c，(a·b)·c＝a·(b·c)成立吗？为什么？ 提示：不成立．例如，任取三个不共面向量a，b，c，(a·b)·c是一个数与向量c作数乘，a·(b·c)是一个数与向量a作数乘，而a，c不在同一个方向上，所以(a·b)·c与a·(b·c)不相等． 4．投影向量 (1)向量a在向量b上的投影 先将向量a与向量b平移到同一平面α内，如图①，向量c称为向量a在向量b上的投影向量，c＝|a|cos〈a，b〉． (2)向量a在直线l上的投影 如图②，向量c称为向量a在直线l上的投影向量． (3)向量a在平面β上的投影 如图③，分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，则向量(a′)称为向量a在平面β上的投影向量．向量a与向量a′的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． [微提醒]　(1)向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或者ab.(2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，它可以是正数、负数或零，其符号由夹角θ的范围决定．①当θ为锐角时，a·b＞0；但当a·b＞0时，θ不一定为锐角，因为θ也可能为0.②当θ为钝角时，a·b＜0；但当a·b＜0时，θ不一定为钝角，因为θ也可能为π. 如图所示长方体ABCD -A′B′C′D′中，E是AA′的中点，AA′＝AD＝2，AB＝4，求： (1)·； (2)·. 解：(1)因为是长方体，而且AA′＝AD＝2， 所以〈，〉＝∠B′BC′＝45°， ||＝AA′＝1，＝BC′＝＝2， 因此·＝||cos〈，〉＝2×1×＝2. (2)依题意知，＝＋＋，＝＝， 所以·＝(＋＋)·＝－2＋·＋·， 因为⊥，⊥，所以·＝0，·＝0， 所以·＝－2＝－2. 学生用书第8页 [变式探究] 　(变条件，变结论)若P是C′D′的中点．试确定向量在直线B′C′上的投影向量，并求·. 解：因为A′B′⊥B′C′，PC′⊥B′C′，所以向量在直线B′C′上的投影向量为，故·＝2＝4. 规律方法 求空间向量数量积的步骤 第一步：将待求数量积的两向量的模长及它们的夹角理清； 第二步：利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角余弦值的乘积； 第三步：代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．　　 对点练2．(1)设正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为(　　) A．1 B． C．2 D．4 (2)已知空间向量a，b满足|a|＝8，|b|＝3，a与b的夹角为，则b在a方向上的投影向量是________． 答案：(1)A　(2)a 解析：(1)依题意，||＝||＝||＝2，〈，〉＝〈，〉＝60°，故·＝·＝||||cos〈，〉＝2×2×＝2，所以·＝(＋)·＝(·＋·)＝(2＋2)＝1.故选A． (2) 因为|a|＝8，|b|＝3，a与b的夹角为，所以b在a方向上的投影向量是|a|cos〈a，b〉·＝3×·＝a. 应用一　利用数量积证明垂直问题 如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都为a，点M，N分别是AB，CD的中点．证明：MN⊥AB． 证明：由题意可知，||＝||＝||＝a，且向量，，两两的夹角均为60°，连接AN(图略)， 则＝－＝(＋)－， 所以·＝(·＋·－2) ＝(a2cos 60°＋a2cos 60°－a2)＝0， 所以⊥，即MN⊥AB． 规律方法 用向量法证明空间线线、线面垂直的思路 1．要证两直线垂直，可分别构造与两直线平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可． 2．证明线面垂直，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量数量积证明线线垂直即可． 　　 对点练3．如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，∠BAC＝90°.求证：AB⊥AC1. 证明：因为AA1⊥平面ABC，∠BAC＝90°，AB⊂平面ABC， 所以AA1⊥AB，AB⊥AC， 因为＝＋， 所以·＝(＋)·＝·＋·＝0， 所以⊥，即AB⊥AC1. 学生用书第9页 应用二　利用数量积求夹角和模 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA＝90°，CA＝CB＝1，棱AA1＝2. 求cos〈，〉的值． 解：由题意可知，·＝·＝·1＝0， 因为＝－＝＋1－，＝＋1， 所以||2＝2＝(＋1－)2＝2＋12＋2＝12＋22＋12＝6，即||＝， ||2＝2＝(＋1)2＝2＋12＝12＋22＝5，即||＝， ·＝(＋1－)·(＋1)＝12－2＝22－12＝3， 所以cos 〈，〉＝＝＝. [变式探究]　(变结论)本例中条件不变，求异面直线CA1与AB夹角的余弦值． 解：由已知得||＝||＝1，|1|＝2， ·1＝·1＝·＝0. 因为||2＝2＝(＋1)2＝2＋12＝12＋22＝5， 所以||＝. 因为||2＝2＝(－)2＝2＋2＝12＋12＝2， 所以||＝， 又因为·＝(＋1)·(－)＝－2＝－1， 所以cos 〈，〉＝＝＝－. 所以异面直线CA1与AB夹角的余弦值为. (链教材P7例2)如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿着它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°角，求此时B，D间的距离． 解：因为∠ACD＝90°，所以·＝0，同理可得·＝0. 因为AB与CD成60°角， 所以〈，〉＝60°或〈，〉＝120°. 又＝＋＋， 所以||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝3＋2×1×1×cos〈，〉． 所以当〈，〉＝60°时，||2＝3＋2cos 60°＝4，此时B，D间的距离为2； 当〈，〉＝120°时，||2＝3＋2cos 120°＝2， 此时B，D间的距离为. 综上所述，BD间的距离为2或. 规律方法 1．利用数量积求夹角或其余弦值的步骤 2．利用数量积求两点间的距离或线段的长度的步骤 第一步：将此线段用向量表示； 第二步：用其他已知夹角和模的向量表示该向量； 第三步：利用|a|＝，计算出|a|，即得所求距离．　　 对点练4．如图，平行六面体ABCD -A1B1C1D1的底面是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°，CD＝CC1＝2. (1)求AC1的长； (2)求异面直线CA1与DC1所成角的余弦值． 解：(1)设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝2，〈a，b〉＝〈a，c〉＝〈b，c〉＝60°， 因为＝－(＋)＝c－(a＋b)， 所以2＝2＝2 ＝c2＋a2＋b2－2a·c－2b·c＋2a·b ＝12－2×2×2×cos 60°＝8， 所以AC1＝2. (2)因为＝a＋b＋c，＝c－a， 所以·＝(a＋b＋c)·(c－a)＝c2－a2＋b·c－a·b＝0， 所以⊥， 所以异面直线CA1与DC1所成的角为90°，余弦值为0. 知识 1.空间向量的夹角.2.数量积的定义、投影有关定义、数量积的性质及运算律 方法 化归转化法、类比法 易错 误区 1.向量的夹角只注重角度大小，而忽视向量的方向.2.数量积的运算不满足结合律，更不存在“消去律”.3.当a≠0时，由a·b＝0可得a⊥b或b＝0 学生用书第10页 1．在空间四边形ABCD中，·＋·＋·等于(　　) A．－1 B．0 C．1 D．不确定 答案：B 解析：令＝a，＝b，＝c，则·＋·＋·＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0.故选B． 2．(多选)设a，b为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有(　　) A．＝ B．a2＝|a|2 C．(a·b)2＝a2·b2 D．(a－b)2＝a2－2a·b＋b2 答案：BD 解析：对于A选项，向量不能作除法，故A错误；对于B选项，a2＝|a|2，故B正确；对于C选项，(a·b)2＝(|a|·|b|cos〈a，b〉)2＝|a|2|b|2cos2〈a，b〉≤a2·b2，故C错误；对于D选项，(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，故D正确．故选BD． 3．平行六面体ABCD -A1B1C1D1的底面是菱形，AB＝2，AA1＝4，∠A1AB＝∠A1AD＝60°，线段AC1的长度为2，则cos∠BAD＝________． 答案： 解析：因为＝＋＋，所以2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·，因为AB＝AD＝2，AA1＝4，∠A1AB＝∠A1AD＝60°，AC1＝2，所以4＋4＋16＋8cos∠BAD＋16cos 60°＋16cos 60°＝44，解得cos∠BAD＝. 4．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是 C1D1的中点，则与所成角的大小为________；·＝________． 答案：60°　1 解析：法一：连接A1D(图略)，则∠PA1D就是与所成的角，连接PD，在△PA1D中，易得PA1＝DA1＝PD＝，即△PA1D为等边三角形，从而∠PA1D＝60°，即与所成角的大小为60°，因此·＝××cos 60°＝1. 法二：根据向量的线性运算可得·＝(＋)·＝2＝1.由题意可得PA1＝B1C＝，则××cos〈，〉＝1，cos〈，〉＝，从而〈，〉＝60°. 课时测评2　空间向量的数量积运算 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．已知空间向量a，b的夹角为60°，且|a|＝1，|b|＝2，那么等于(　　) A． B．2 C． D．7 答案：C 解析：由题意可得a·b＝|a||b|cos 60°＝1×2×＝1，＝＝＝＝.故选C． 2．已知a，b是异面直线，a⊥b，e1，e2分别为取自直线a，b上的单位向量，且m＝2e1＋3e2，n＝ke1－4e2，m⊥n，则实数k的值为(　　) A．－6 B．6 C．3 D．－3 答案：B 解析：因为a，b是异面直线，a⊥b，e1，e2分别为取自直线a，b上的单位向量，所以e1⊥e2，则e1·e2＝0，因为m⊥n，所以m·n＝0，即(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，所以2ke－8e1·e2＋3ke1·e2－12e＝0，所以2k－12＝0，解得k＝6.故选B． 3．如图，在正四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，AA1＝2AB，H为AA1的中点，P1，P2，P3，P4分别是A1D1，D1C1，C1B1，B1A1的中点，则集合M＝{m|m＝}(i＝1，2，3，4)中元素的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：A 解析：由于AA1⊥平面A1B1C1D1，A1Pi⊂平面A1B1C1D1，所以AA1⊥A1Pi，·＝·＝·(＋)＝2＋·＝2(其中i＝1，2，3，4)，所以集合M中元素的个数是1.故选A． 4．在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1＝AB＝AC＝BC＝1，M是B1C1的中点，则AM＝(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：如图所示，＝＋＋＝＋＋(－)＝＋＋，故||2＝2＝||2＋2＋||2＋·＋·＋·， 因为AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥AC，AA1⊥AB， 在△ABC中，由AB＝AC＝BC，得∠BAC＝60°，又AA1＝AB＝AC＝1，则||2＝＋1＋＋×1×1×＝，则AM＝.故选C． 5．(多选)下列四个结论正确的有(　　) A．对于任意两个向量a，b，若a·b＝0，则a＝0或b＝0或a⊥b B．对于任意两个向量a，b，(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2 C．空间中任意三个向量a，b，c 都满足(a·b)·c－a·(b·c)＝0 D．对于任意两个向量a，b，都有＝|a||b| 答案：AB 解析：对于选项A，若a·b＝0，则a＝0或b＝0或a⊥b，故A正确；对于选项B，向量的运算满足平方差公式，所以(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2，故B正确；对于选项C，若a，b，c为空间向量中的单位向量，且a，b夹角为90°，b，c的夹角为60°，则(a·b)·c＝0，a·(b·c)＝a，(a·b)·c－a·(b·c)≠0，故C错误；对于选项D，因为＝|a||b|，故仅当cos θ＝±1时，＝|a||b|，故D错误．故选AB． 6．(多选)已知空间四边形ABCD的四条边和两条对角线的长都为a，且E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列选项中运算结果为－a2的是(　　) A．2· B．2· C．2· D．2· 答案：AC 解析：如图所示，2·＝2||||cos 120°＝2a·a cos 120°＝－a2，故A正确；2·＝2||||·cos 60°＝2a·a cos 60°＝a2，故B错误；2·＝2||||cos 180°＝2··a cos 180°＝－a2，故C正确；2·＝2||||cos 120°＝2··a cos 120°＝－，故D错误．故选AC． 7．已知|a|＝4，|b|＝3，a·b＝－12，则a与b的夹角〈a，b〉＝________． 答案： 解析：cos〈a，b〉＝＝＝－，由〈a，b〉的范围为，所以〈a，b〉＝. 8．已知空间向量a，b满足|a|＝3，|b|＝4且向量a，b的夹角为，则2a＋b在a方向上的投影向量为________． 答案：a 解析：因为|a|＝3，|b|＝4且向量a，b的夹角为，所以a·b＝|a||b|·cos＝3×4×＝6，所以2a＋b在a方向上的投影向量为·＝·a＝a＝a. 9．如图，已知线段AB，BD在平面α内，BD⊥AB，AC⊥α，且AB＝4，BD＝3，AC＝5，则CD＝__________． 答案：5 解析：由于AC⊥α，AB，BD在平面α内，所以AC⊥AB，AC⊥BD，又BD⊥AB， 所以·＝0，·＝0，·＝0, 由于＝＋＋，所以||2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝25＋16＋9＝50，所以CD＝||＝5. 10．(10分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为3的菱形，PC＝4，∠ABC＝∠BCP＝∠DCP＝120°. (1)利用空间向量证明PA⊥BD； (2)求AP的长． 解：(1)证明：设＝a，＝b，＝c， 则＝－＝b－a， ＝＋＋＝a＋b＋c， 所以·＝(b－a)·(a＋b＋c)＝b2－a2＋b·c－a·c＝32－32＋3×4cos 60°－3×4cos 60°＝0，所以⊥，故PA⊥BD． (2)由(1)知＝a＋b＋c， 所以2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c ＝32＋32＋42＋2×3×3cos 60°＋2×3×4cos 60°＋2×3×4cos 60°＝9＋9＋16＋9＋12＋12＝67. 所以AP＝||＝. (11—13每小题5分，共15分) 11．已知点P在棱长为2的正方体表面上运动，AB是该正方体外接球的一条直径，则· 的最大值为(　　) A．－2 B．－3 C．－1 D．0 答案：D 解析：由题可得，正方体外接球的直径|AB|＝2，设O为正方体外接球的球心，则O为AB的中点，则有＝－，且||＝||＝，·＝(－)·(－)＝·－(＋)·＋2＝－||·||＋||2＝||2－3，由于||≤＝，所以·的最大值为0.故选D． 12．(多选)(2024·河北张家口高二期中)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设＝a，＝b，＝c，若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，则下列说法中正确的是(　　) A．＝a＋b＋c B．||＝ C．直线AB1和直线BC1相互垂直 D．直线AB1和直线BC1所成角的余弦值为 答案：ABD 解析：对于A，＝＋＋＝＋＋＝－＋＋＋(－)＝＋＋，又＝a，＝b，＝c，所以＝a＋b＋c，故A正确；对于B，因为AB＝AC＝AA1＝1，所以|a|＝|b|＝|c|＝1.因为∠BAC＝90°，所以a·b＝0.因为∠BAA1＝∠CAA1＝60°，所以a·c＝b·c＝，所以||2＝(a＋b＋c)2＝(a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c)＝(3＋1＋1)＝，所以||＝，故B正确；对于C，D，＝a＋c，＝c＋b－a，cos〈，〉＝＝ ＝＝，故D正确，C错误．故选ABD． 13．在四面体OABC中，已知OA，OB，OC两两垂直，且OA＝3，OB＝6，OC＝9，若G是△ABC的重心，则OG＝________． 答案： 解析： 如图所示，取BC的中点D，根据三角形重心的性质，可得AG＝AD，根据向量的运算法则，可得＝＋＝＋＝＋ ＝＋＝(＋＋)，所以||2＝(2＋2＋2＋2·＋2·＋2·)＝(9＋36＋81＋0＋0＋0)＝14，所以||＝，即OG＝. 14．(12分)已知长方体ABCD -A1B1C1D1中，点Q是BC上的动点，点P是B1C1上的动点，AB＝BC＝2，AA1＝1. (1)求·； (2)求·的取值范围． 解：(1)·＝(＋＋)· ＝·＋·＋·， 因为AD⊥AB，AD⊥AA1， 所以⊥，⊥， 即·＝0，·＝0， 因此·＝2＝||2＝4. (2)·＝(＋＋)·(＋) ＝·＋·＋·＋·＋·＋·， 因为AA1⊥AB，C1P⊥AB，AA1⊥BQ，AB⊥BQ， 所以·＝0，·＝0，·＝0，·＝0， 因此·＝·＋· ＝||2－·||， 设＝x，||＝y, 0≤x≤2，0≤y≤2， 则·＝4－xy， 由于0≤xy≤4，所以－4≤－xy≤0， 所以0≤4－xy≤4， 故·的取值范围为. 15．(5分)(新情境)如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点C处，已知水库底与水坝斜面所成的二面角为120°，测得从D，C到水库底与水坝斜面的交线的距离分别为DA＝30 m，CB＝40 m，若AB＝20 m，则甲、乙两人相距(　　) A．70 m B．70 m C．90 m D．90 m 答案：A 解析：由于＝＋＋，所以||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·)＝302＋(20)2＋402＋2×(0＋0＋30×40×cos 60°)＝4 900，所以||＝70，故甲、乙两人相距70 m．故选A． 16．(13分)如图，在矩形ABCD和ABEF中，AB＝4，AD＝AF＝3，∠DAF＝，＝λ，＝λ，0＜λ＜1，记＝a，＝b，＝c. (1)将用a，b，c表示出来，并求||的最小值； (2)是否存在λ使得MN⊥平面ABCD？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由． 解：(1)＝－＝－(＋)＝λ－(＋λ) ＝λ(a＋c)－[b＋λ(a－b)]＝(λ－1)b＋λc. 所以||＝ ＝ ＝ ＝3， 故当λ＝时，||有最小值为. (2)假设存在λ使得MN⊥平面ABCD，故MN⊥AB，MN⊥AD． 因为·＝[(λ－1)b＋λc]·a＝0， 所以MN⊥AB恒成立； 由·＝0，得[(λ－1)b＋λc]·b＝0， 即(λ－1)b2＋λb·c＝0， 所以9(λ－1)＋λ＝0，解得λ＝，满足条件． 故存在λ＝使得MN⊥平面ABCD． 学科网（北京）股份有限公司 $$