专题02 一次函数的图象与性质重难点题型专训（18大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

专题02 一次函数的图象与性质重难点题型专训（18大题型+15道拓展培优） 题型一 正比例函数的定义、图象 题型二 正比例函数的性质 题型三 根据一次函数的定义求参数 题型四 求一次函数自变量或函数值 题型五 列一次函数解析式并求值 题型六 根据一次函数解析式判断其经过的象限 题型七 已知函数经过的象限求参数范围 题型八 一次函数图象与坐标轴的交点问题 题型九 一次函数的图象问题 题型十 一次函数图象平移问题 题型十一 根据一次函数增减性求参数 题型十二 比较一次函数值的大小 题型十三 一次函数的规律探索问题 题型十四 已知直线与坐标轴交点求方程的解 题型十五 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 题型十六 利用图象法解一元一次方程 题型十七 一次函数中的最值问题 题型十八 一次函数与几何图形的综合 【知识点一：一次函数的概念】 一般地，形如（，是常数，≠0）的函数，叫做一次函数. 要点诠释：当＝0时，即，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数，的要求，一次函数也被称为线性函数. 一次函数有三种表示方法，如下： 1、解析式法 用含自变量x的式子表示函数的方法叫做解析式法。 2、列表法 把一系列x的值对应的函数值y列成一个表来表示的函数关系的方法叫做列表法。 3、图像法 用图象来表示函数关系的方法叫做图象法。 【知识点二：一次函数的图像与性质】 1.函数（、为常数，且≠0）的图象是一条直线 ； 当＞0时，直线是由直线向上平移个单位长度得到的； 当＜0时，直线是由直线向下平移||个单位长度得到的. 2.一次函数（、为常数，且≠0）的图象与性质： 3. 、对一次函数的图象和性质的影响： 决定直线从左向右的趋势，决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限． 4. 两条直线：和：的位置关系可由其系数确定： （1）与相交； （2），且与平行； 直线y=kx+b的图象和性质与k、b的关系如下表所示： k>0，b>0：经过第一、二、三象限 k>0，b<0：经过第一、三、四象限 k>0，b=0：经过第一、三象限（经过原点） 结论：k>0时，图象从左到右上升，y随x的增大而增大。 k<0，b>0：经过第一、二、四象限 k<0，b<0：经过第二、三、四象限 k<0，b=0：经过第二、四象限（经过原点） 结论：k<0时，图象从左到右下降，y随x的增大而减小。 总结： 1、y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k。 即：y=kx+b（k≠0）（k不等于0，且k，b为常数）。 2、当x=0时，b为函数在y轴上的交点，坐标为（0，b）。 当y=0时，该函数图象在x轴上的交点坐标为（-b/k，0）。 3、当b=0时（即y=kx），一次函数图象变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。 4、函数图象性质：当k相同，且b不相等，图像平行； 当k不同，且b相等，图象相交于Y轴； 当k互为负倒数时，两直线垂直。 5、平移时：上加下减在末尾，左加右减在中间。 【知识点三：待定系数法求一次函数解析式】 一次函数（，是常数，≠0）中有两个待定系数，，需要两个独立条件确定两个关于，的方程，这两个条件通常为两个点或两对，的值. 要点诠释：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数中有和两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以和为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式. 分段函数 对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题. 要点诠释：对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围. 【经典例题一 正比例函数的定义、图象】 【例1】（23-24八年级上·上海·单元测试）下列说法中正确的有（    ） ①当时，是正比例函数； ②如果是正比例函数，那么； ③如果与成正比例，那么是的正比例函数； ④如果，那么与成正比例． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数的定义，一般地，形如（k是常数，）的函数叫做正比例函数，由此即可判断． 【详解】①当时，是正比例函数，说法正确； ②如果是正比例函数，那么，说法错误； ③如果与成正比例，那么不是的正比例函数，说法错误； ④如果，那么与成正比例，说法正确． ∴正确的有2个， 故选：C． 1．（23-24八年级下·北京平谷·期末）如果函数是正比例函数，那么（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数的概念，根据正比例函数定义可得且，再解即可，解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数的定义条件是：为常数且，自变量次数为． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴且， 解得：， 故选：． 2．（24-25九年级上·山东淄博·开学考试）规定：表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，表示最接近的整数（，为整数），例如：，，．则下列说法正确的是 ．（写出所有正确说法的序号） ①当时，； ②当时，； ③方程的解为； ④当时，函数的图象与正比例函数的图象有两个交点． 【答案】③ 【分析】本题考查了新定义，正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键．根据定义依次代入数据即可判断①②，当时，代入求解即可判断③，分时，当时，当时，当时，当时，求解，再结合图象求解判断④． 【详解】解：①当时， ，故①错误； ②当时， ，故②错误； ③当时， ，故③正确； ④∵时， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∵，则时，得，不符合题意； 时，得，符合题意； 当，则，符合题意， 当，解得：，符合题意， 当，解得：，不符合题意； 如图， ∴当时，函数的图象与正比例函数的图象有三个交点，故④错误， 故答案为③． 3．（24-25八年级上·上海·期中）已知如下三个正比例函数：，，． (1)当时，对于任意的，均有，直接写出的取值范围_________； (2)如果直线与顺次交于点、点、点，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是正比例函数的图象与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键； （1）先画出，的图象，结合，可得的图象位置，从而可得答案； （2）先设设，，，再结合图象与直线的交点位置，利用，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图， 当时，的图象在图象的上方满足， 结合图象可得：； （2）解：设，，． 如图，当时， ， ． 解得：． 如图，当时， ， ． 解得：． 综上：． 【经典例题二 正比例函数的性质】 【例2】（2024·河北·模拟预测）下图表示光从空气进入水中的入水前与入水后的光路图，若按如图所示的方式建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的函数解析式分别为，，则关于与的关系，下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数的图像与性质，解题关键是熟练掌握正比例函数的图像与性质．根据函数图像的增减性，判断选项A、B；利用两个函数图像的位置关系，取横坐标相同的点和，利用纵坐标的大小列出不等式，即可判断选项C、D． 【详解】解：由图像可知，随的增大而减小，随的增大而减小， 所以，故选项A、B错误，不符合题意； 如下图，在两个图像上分别取横坐标为的两个点和（）， 则，， ∵，即 ∴， 又∵， ∴，，故选项C错误，不符合题意，而选项D正确，符合题意． 故选：D 1．（23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，点在直线上，过点作轴于点，作轴与直线交于点，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正比例函数的图象与性质，设，得出，结合得出，从而得出，代入，计算即可得出答案，熟练掌握一次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：设， 点在直线上， ， ， ， ， ， ， 点在上， ， ， 故选：D． 2．（23-24九年级·浙江·自主招生）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是正比例函数图象上一动点，点是轴上一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形性质，勾股定理，轴对称确定最短路线问题．作点关于直线的对称点，关于轴的对称点连接交直线于，交轴于，此时的周长最小，据此求解即可． 【详解】解：作点关于直线的对称点，关于轴的对称点，连接交直线于，交轴于，如图： ，， ， 、、、四点共线， 最小，即周长最小，最小值为的长度， 由知，， ， 周长最小为， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·湖南郴州·期末）已知是的正比例函数，当时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)当时，求的最大值． 【答案】(1) (2)当时，的最大值为 【分析】本题考查了求正比例函数解析式，正比例函数的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据正比例函数的性质计算即可得出答案． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， ∵当时，， ∴， 解得：， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：由（1）可得， ∴随的增大而减小， ∵， ∴当时，取得最大值，为， ∴当时，的最大值为． 【经典例题三 根据一次函数的定义求参数】 【例3】（23-24八年级上·湖北宜昌·期中）如果是一次函数，那么m的值是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数定义：①含有一个未知数；②未知数最高次数为1次；③整式方程，并且注意，一次项系数不能为，列式求解即可得到答案． 【详解】解：∵是一次函数， ∴，且，解得， 故选：B． 【点睛】本题考查根据一次函数定义求参数，掌握一次函数定义：①含有一个未知数；②未知数最高次数为1次；③整式方程，并且注意，一次项系数不能为，准确列式是解决问题的关键． 1．（23-24八年级上·广西崇左·期末）新定义：为一次函数（a，b为常数，且）关联数．若关联数所对应的一次函数是正比例函数，则关于x的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先依据题意得到函数关系式，然后依据正比例函数的定义求得m的值，最后解一元一次方程即可． 【详解】解：∵[a，b]为一次函数y=ax+b（a，b为实数，且a≠0）的关联数， ∴关联数[1，m+2]所对应的一次函数是y=x+m+2． 又∵该函数为正比例函数， ∴m+2=0，解得m=-2． ∴方程可变形为：， 解得：x=1， ∴方程的解为x=1． 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是正比例函数的定义，解一元一次方程，求得m的值是解题的关键． 2．（23-24八年级上·山东青岛·期中）已知是关于x的一次函数，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数的定义，根据一次函数的定义，形如的式子是一次函数解答． 【详解】根据题意，，， 解得，且， 所以， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）与的函数关系式为； (1)当，为何值时，是关于的一次函数？ (2)当，为何值时，是关于的正比例函数？ 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的定义，解题的关键是掌握一次函数和正比例函数的定义． （1）根据一次函数的定义：形如（，为常数）叫作一次函数，即可求解； （2）根据正比例函数的定义：形如，其中为常数，叫作正比例函数，据此求解即可． 【详解】（1）解：若是关于的一次函数， 则， 解得：，， 即当，时，是关于的一次函数； （2）解：若是关于的正比例函数， 则， 解得：，， 即当，时，是关于的正比例函数． 【经典例题四 求一次函数自变量或函数值】 【例4】（23-24八年级下·福建泉州·期中）若点在直线上，则代数式的值为（    ） A．3 B． C．2 D．0 【答案】A 【分析】把点代入，得出，将其代入进行计算即可． 【详解】解：把点代入得， 整理得：， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，求代数式的值，解题的关键是掌握一次函数图象上点的坐标都符合一次函数表达式，以及整式添加括号，若括号前为负号，要变号． 1．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）已知一次函数（k为常数，且），无论k取何值，该函数的图像总经过一个定点，则这个定点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将一次函数解析式变形为，即可确定定点坐标． 【详解】解：∵， 当时，， ∴无论k取何值，该函数的图像总经过一个定点； 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，将一次函数变形为是解题的关键． 2．（23-24八年级下·甘肃天水·期末）已知点是直线上一点，其横坐标为3，若点与点关于轴对称，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数点的特征、关于坐标轴对称的点的规律，根据“点是直线上一点，其横坐标为3”求出点A的坐标，最后根据“点与点关于轴对称，”求解即可． 【详解】解：∵点是直线上一点，其横坐标为3， ∴ ∴ ∵点与点关于轴对称， ∴ 故答案为： 3．（2024八年级上·全国·专题练习）请根据函数相关知识，对函数的图像与性质进行探究，并解决相关问题． ①列表；②描点；③连线 x … 0 1 2 3 4 5 6 … y … 4 3 2 1 0 1 m 3 4 … (1)表格中：______； (2)在平面直角坐标系中，画出该函数图像； 【答案】(1)2 (2)图形见解析 【分析】本题主要考查绝对值函数的性质，熟练掌握绝对值函数的性质是解题的关键． （1）将代入即可得到答案； （2）采用描点、连线的方法画出图像即可． 【详解】（1）解：将代入，得； （2）解：函数图像如图所示． 【经典例题五 列一次函数解析式并求值】 【例5】（23-24八年级下·福建福州·期末）一次函数图象经过点，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式”是解题的关键．利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出，解之即可得出的值． 【详解】解：一次函数图象经过点， 解得： 故选：C 1．（23-24八年级下·河北保定·期末）已知正比例函数的图象经过点，如果和在该函数的图象上，那么a和b的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将点（-2，4）代入y=kx，求出k，即可得出函数关系式，然后将两个坐标代入求出字母的值，比较即可． 【详解】因为点（-2，4）在函数y=kx的图象上， 所以， 解得， 所以函数关系式为． 因为点（1，a）和点（-1，b）在该函数图像上， 所以，， 所以． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了求正比例函数关系式，求函数值等，求出关系式是解题的关键．本题也可以先判断正比例函数图象的性质，再比较即可． 2．（23-24八年级上·福建三明·阶段练习）已知汽车油箱内有油，每行驶耗油，那么汽车行驶过程中油箱内剩余的油量与行驶路程之间的关系式是 ； 【答案】Q=50-0.10s． 【分析】根据题意，每千米需耗油=0.10升，根据题意可得，汽车行驶过程中油箱内剩余的油量Q （L）与行驶路程s（km）之间的函数表达式是Q=50-0.10s即可． 【详解】解：∵每行驶耗油， ∴每千米需耗油=0.10升， ∴s（km）耗油=0.10s升， ∴油箱内剩余的油量与行驶路程之间的关系式是Q=50-0.10s． 故答案为：Q=50-0.10s． 【点睛】本题考查一次函数在生活中应用，掌握列一次函数的方法是解题关键． 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，甲、乙两地相距，现有一列火车从乙地出发，以的速度向丙地行驶．    设表示火车行驶的时间，表示火车与甲地的距离． （1）写出与之间的关系式，并判断是否为的一次函数； （2）当时，求的值． 【答案】（1），是的一次函数；（2）140 【分析】（1）根据题意，首先计算得出y与x之间的关系式，再根据一次函数的性质分析，即可得到答案； （2）根据（1）的结论，将x=0.5代入到一次函数并计算，即可得到答案． 【详解】（1）根据题意，火车与乙地的距离表示为：80x（km） ∵甲、乙两地相距100km ∴火车与甲地的距离表示为：（100+80x）km ∴y=100+80x ∴y是x的一次函数； （2）当时，得：y=100+80×0.5=140． 【点睛】本题考查了一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，从而完成求解． 【经典例题六 根据一次函数解析式判断其经过的象限】 【例6】（2024七年级上·全国·专题练习）若将直线向下平移3个单位长度后得到直线，则下列关于直线说法正确的是（　　） A．经过第一、二、四象限 B．与轴交于 C．与轴交于 D．随的增大而减小 【答案】D 【分析】此题主要考查了一次函数图象的平移以及一次函数的性质，正利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可． 【详解】解：将直线向下平移3个单位长度后得到直线， A、直线经过第二、三、四象限，故本选项错误； B、直线与轴交于，故本选项错误； C、直线与轴交于，故本选项错误； D、直线，随的增大而减小，故本选项正确． 故选：D． 1．（24-25八年级上·四川达州·期中）关于直线l： ，下列说法不正确的是（      ） A．点在l上 B．l经过第二、三、四象限 C．l经过定点 D．当时，y随x 的增大而减小 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质．解题的关键是熟练掌握一次函数的图象和性质． 对于A，C两选项，根据函数图象上的点一定满足函数解析式，分别将两点的横坐标代入解析式，计算y值看是否等于纵坐标，即可； 再利用一次函数的k值的正负决定图象经过的象限及增减性，即可判断B、D的正误． 【详解】解：A、当时，，即点在l上，故A正确，不符合题意； B、当时，经过第一、二、三象限，故B不正确，符合题意； C、当时，，即经过定点，故C正确，不符合题意； D、当时，随的增大而减小，故D正确，不符合题意． 故选：B． 2．（23-24八年级下·山东聊城·期末）一次函数 与 的图象如图所示， ①随x的增大而减小 ②函数的图象不经过第二象限 ③ ④ 以上结论正确的是 . 【答案】①②③ 【分析】此题考查了一次函数交点问题，一次函数的性质，根据一次函数的图象及交点分别判断即可得到答案，正确理解函数图象是解题的关键． 【详解】解：由图象得过一，二，三象限；过二，三，四象限； ∴, ∴随x的增大而减小，故①正确； 函数的图象不经过第二象限，故②正确； ∵两图象交点横坐标为， ∴ ∴，故③正确； 当时，，故 ∴，故④错误； 故正确的是①②③． 3．（23-24八年级上·浙江温州·开学考试）已知关于x的一次函数． (1)当k满足什么条件时，它的图象经过原点？ (2)当k满足什么条件时，y随x的增大而减小？ (3)当k满足什么条件时，它的图象经过第一、二、四象限？ 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】此题考查了一次函数的定义与性质，是基础知识，需熟练掌握． （1）由一次函数经过原点可得，由此求出满足条件的k值； （2）根据一次函数图象的性质可知，据此求出k满足的条件； （3）由该函数的图象经过第一、二、四象限，可得且，解不等式组即可确定k的取值． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象过原点， ∴， 解得； （2）解：∵一次函数的图象y随x的增大而减小， ∴， 解得； （3）解：∵该函数的图象经过第一、二、四象限， ∴且， 解得 【经典例题七 已知函数经过的象限求参数范围】 【例7】（23-24八年级下·河北张家口·期末）若直线经过第二、三、四象限，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数图象与系数的关系，掌握一次函数，k与b对函数图象的影响是解题的关键． 根据一次函数，，时图象经过第二、三、四象限，据此列出不等式组求解即可 【详解】解：∵经过第二、三、四象限． ∴． 故选A． 1．（23-24八年级下·山东济宁·阶段练习）已知一次函数的图象经过第一、二、三象限，则m、n的收值范围是（   ） A． ， B． ， C．， D． ， 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质．熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 由一次函数的图象经过第一、二、三象限，可得，计算求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、三象限， ∴， 解得，， 故选：B． 2．（23-24九年级下·江苏宿迁·自主招生）在平面直角坐标系内有两点，，若一次函数的图象与线段AB有公共点，则k的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查一次函数的图象，能够确定一次函数与线段相交时的两个临界情况，并由一次函数的特点确定k的范围是解题的关键． 分别求出线段的端点经过一次函数图象时的k的值，再由一次函数经过定点，求得k的范围即可． 【详解】解：当在一次函数的图象上时，， 当在一次函数的图象上时，， ∵一次函数的图象经过定点， ∴或． 故答案为或． 3．（23-24八年级下·江西赣州·期末）已知关于的函数． (1)若这个函数的图象平行于直线，求的值； (2)若这个函数是一次函数，且图象经过第一、二、四象限，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据函数的图象平行于直线，得，求的值即可； （）根据这个函数是一次函数，且图象经过第一、二、四象限，得到，求的取值范围即可； 本题考查了一次函数图象与性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）由题意得：， 解得：， ∴的值为； （2）由题意得：， 解得：， ∴的取值范围是． 【经典例题八 一次函数图象与坐标轴的交点问题】 【例8】（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期末）关于一次函数，下列结论不正确的是（    ） A．图象与直线平行 B．图象与y轴的交点坐标是 C．图象经过第二、三、四象限 D．y随自变量x的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是一次函数图象的性质，根据一次函数图象的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、∵一次函数与直线的k相等， ∴一次函数图象与直线平行，故本选项不符合题意； B、令，则， ∴一次函数图象与y轴的交点坐标是，故本选项错误，符合题意； C、∵， ∴一次函数图象经过第二、三、四象限，故本选项不符合题意； D、∵， ∴一次函数中，y随自变量x的增大而减小，故本选项不符合题意； 故选：B． 1．（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图，已知直线交x轴于点A，交y轴于点B，点C是x轴上的一点，若的面积为6，则点C的坐标是（       ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及解含绝对值符号的一元一次方程，利用一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，找出关于的含绝对值符号的一元一次方程是解题的关键． 利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点的坐标，设点的坐标为，根据的面积为6，可列出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之可得出的值，进而可得出点的坐标． 【详解】解：当时，， ∴点的坐标为， ， 当时，， 解得：， ∴点的坐标为． 设点的坐标为，则， 解得：或， ∴点的坐标为或． 故选：C． 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫作整点．直线与坐标轴围成的三角形内(不包含边界)有 个整点，三角形的边上有 个整点．若直线与坐标轴围成的三角形内(不包含边界)有且仅有6个整点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查一次函数的图象与性质，一次函数图象与坐标轴交点坐标，根据题意画出函数图象，进而求解即可，若直线与坐标轴围成的三角形内部不包含边界有且只有个整点，则这个整点是，，，，，，因此此时的的取值范围应介于这两条直线的的值之间． 【详解】解：当时，， 直线与轴交于点； 当时，，解得， 直线与轴交于点； 画出图象如下： 由图象可得，直线与坐标轴围成的三角形内不包含边界有个整点，三角形的边上有个整点． 如图，直线一定过点， 把代入得，， 把代入得，， 直线与坐标轴围成的三角形内部不包含边界有且只有个整点， 的取值范围是， 故答案为：，，． 3．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）已知函数， (1)画出这个函数的图象； (2)写出函数与轴的交点坐标，与轴的交点坐标； (3)求此函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)函数与轴的交点坐标为，轴的交点坐标； (3) 【分析】本题考查了画一次函数图象，一次函数图象与坐标轴交点，坐标与图形，掌握一次函数的图象和性质，利用数形结合的思想是解题关键． （1）利用描点法画出函数图象即可； （2）根据（1）作答即可； （3）根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：， 当时，；当时，， 描点画图如下： （2）解：由（1）可知，函数与轴的交点坐标为，轴的交点坐标； （3）解：此函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积为． 【经典例题九 一次函数的图象问题】 【例9】（24-25八年级上·安徽·期中）在同一坐标系中，函数与的图象大致是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象，依据正比例函数的图象从左往右下降，则，进而得到一次函数的图象与轴交于负半轴，故A选项正确． 【详解】解：A、若正比例函数的图象从左往右下降，则，此时，一次函数 的图象与轴交于负半轴，故A选项符合题意； B、若正比例函数的图象从左往右下降，则，此时，一次函数 的图象应该与轴交于负半轴，故B选项不符合题意； C、若正比例函数的图象从左往右上升，则，此时，一次函数 的图象与应该轴交于正半轴，且从左往右上升，故C选项不符合题意； D、正比例函数的图象应该要过原点，明显D选项不符合题意． 故选：A． 1．（2024·安徽·模拟预测）已知与是一次函数．若，那么如图所示的个图中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的图象，其图象是直线，要求学生掌握通过函数的解析式，判断直线的位置及与坐标轴的交点． 联立方程，得出两直线的交点为，依次分析选项可得答案． 【详解】解：联立方程，可解得，故两直线的交点为， 选项中交点纵坐标是0，即，但根据图象可得，故选项不符合题意； 而选项中交点横坐标是负数，故选项不符合题意； 选项中交点横坐标是负数，选项不符合题意； 选项中交点横坐标是正数，纵坐标是正数，即，根据图象可得，故选项符合题意； 故选：． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，四个一次函数，，，的图象如图所示，则a，b，c，d 的大小关系是 ． 【答案】 【分析】此题考查函数的图象，根据一次函数图象的性质分析，了解一次函数图象的性质：当时，图象经过一、三象限，随的增大而增大；当时，图象经过二、四象限，随的增大而减小．同时注意直线越陡，则越大． 【详解】解：由图象可得：，，，， 由于直线比陡，直线比陡， ，， ， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·陕西渭南·期末）请根据函数的学习路径，对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题． x 0 1 2 3 4 5 6 y 5 m 1 1 3 n (1)表格中：______，______． (2)根据表格已有数据，描点，连线．在平而直角坐标系中画出该函数图象（可依据题意补方格）． (3)观察图象，回答问题： ①当x_____时，y随x的增大而减小； ②该函数的最小值为______； ③已知直线过点和，直接写出当的x取值范围是______． 【答案】(1)3，5 (2)见解析 (3)①；②；③ 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象，一次函数的性质，函数的值，正确地识别图形是解题的关键． （1）将和分别代入解析式求得和的值； （2）根据表格已有数据，描点，连线，得到函数图象； （3）根据函数图象即可得到结论． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 故答案为：3，5； （2）解：根据表中数据，描点，连线如图所示： （3）解：①由图可知，由图可知，当时，随的增大而减小， 故答案为：； ②当时，函数值最小，最小值为． 故答案为：； ③直线过点和，如图所示，   当的取值范围是， 故答案为：． 【经典例题十 一次函数图象平移问题】 【例10】（2024·贵州贵阳·一模）如图，已知的顶点的坐标分别为，若一次函数的图象与的边有交点，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数图象与几何图形的综合，掌握一次函数图象的性质，平移的性质是解题的关键． 结合图形可知，一次函数的图象沿轴向上运动时，最先经过点，最后经过点， 所以当一次函数的图象经过点时，有最小值；当一次函数的图象经过点时，有最大值；由此即可求解． 【详解】解：的顶点的坐标分别为， ∴， 将代入中， 解得； 将代入中， 解得； ∴若一次函数的图象与的边有交点，则的取值范围为， 故选：A． 1．（23-24八年级下·河南信阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴，轴交于，两点，将直线向左平移后与轴，轴分别交于点，．若，则直线的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据题意，则，则，根据，全等三角形的判定和性质，则，得到，；根据一次函数经过点，，求出，的值，即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵一次函数分别与轴，轴交于，两点， ∴，， ∴，， ∴，即点，，即， ∴一次函数向左平移了个单位长度， ∴直线的解析式为：． 故选：A． 2．（23-24八年级下·广西桂林·期末）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，将直线沿轴向上平移4个单位，与轴、轴分别交于点、，则线段的长为 ． 【答案】/2.5 【分析】本题主要考查了一次函数平移变换，正确记忆一次函数平移规律是解题关键．利用一次函数平移规律，上加下减得出平移后函数解析式，变形后即可求得线段的长度． 【详解】解：把直线沿轴向上平移4个单位，得到直线为， 当时，， 解得 ，即． 故答案为：． 3．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，，，，且． (1)直接写出点A，B的坐标及c的值； (2)如图1，若三角形的面积为9，求点C的坐标； (3)如图2，将线段向右平移m个单位长度得到线段（点A与D对应，点B与E对应），若直线恰好经过点C，求m，n之间的数量关系． 【答案】(1)，， (2)或 (3) 【分析】（1）由，可得，计算求解，然后作答即可； （2）由，，可知轴，则，计算求解，然后作答即可； （3）待定系数法求直线的解析式为，则平移后的解析式为，将代入得，，整理即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得，， ∴，，； （2）解：∵，， ∴轴， ∴， 解得，或， ∴或； （3）解：设直线的解析式为， 将，代入得， 解得，， ∴直线的解析式为， ∴平移后的解析式为， 将代入得，，整理得，． 【点睛】本题考查了算术平方根、绝对值的非负性， 坐标与图形，一次函数解析式，一次函数图象的平移．熟练掌握算术平方根、绝对值的非负性， 坐标与图形，一次函数解析式，一次函数图象的平移是解题的关键． 【经典例题十一 根据一次函数增减性求参数】 【例11】（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）已知点、点在一次函数图象上，，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，牢记“，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小”是解题的关键． 由且，可得出y随x的增大而减小，结合一次函数的性质可得出求解即可． 【详解】解：∵点、点在一次函数图象上，，， ∴y随x的增大而减小， ∴，解得：， ∴m的取值范围是． 故选A． 1．（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知点，是一次函数图象上不同的两个点，若记，则当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握点与解析式的关系是解题的关键．将，代入函数，求出，再表示出，由即可求解． 【详解】点，是一次函数图象上不同的两个点， ， ， ， ， 即， ， 故选：D． 2．（23-24八年级下·上海·阶段练习）若函数是一次函数，且在轴上截距为，随着增大而减小，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据题意，得到，进而求出的值即可． 【详解】解：∵函数一次函数，且在轴上截距为，随着增大而减小， ∴， 解得：； 故答案为：． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知函数 (1)填空：若函数图象经过原点，则的值为______ (2)是一次函数，且图象经过二、三、四象限，求的取值范围． (3)是一次函数，且y随x的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． （1）由函数图象经过原点得出，求解即可得出答案； （2）由题意得出，计算即可得出答案； （3）由题意得出，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵函数图象经过原点， ∴， ∴； （2）解：∵函数是一次函数，且图象经过二、三、四象限， ∴， 解得：； （3）解：∵函数是一次函数，且y随x的增大而增大， ∴， 解得：． 【经典例题十二 比较一次函数值的大小】 【例12】（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）一次函数的图象经过第一、二、四象限，若点在该一次函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判定 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，掌握一次函数的图象和系数的关系以及增减性是解题关键．根据一次函数图象经过的象限，得出，再利用一次函数的增减性，即可判断出函数值的大小． 【详解】解：一次函数的图象经过第一、二、四象限， ，， 随的增大而减小， ， ， 故选：A． 1．（23-24八年级下·福建厦门·期末）已知一次函数的图象经过点，，，若，则下列一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质．由可知随的增大而减小，然后利用一次函数的性质即可得到． 【详解】解：一次函数的图象经过点，，，若， 随的增大而减小， 时，，且， ， 故选：D． 2．（23-24八年级上·浙江金华·期中）已知是直线（为常数）上的三个点，则的大小关系 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，解题的关键是掌握一次函数，当时，y随x的增大而增大；反之，y随x的增大而减小．据此即可解答． 【详解】解：∵，， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）已知函数． (1)当时，利用描点，连线的方法在直角坐标系中画出该函数的图象； (2)当时，函数随着的增大而减小，求的取值范围； (3)已知该函数经过点，，，且，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数的性质，画一次函数图像，一次函数与不等式； （1）当时，，根据列表，描点，连线的方法画函数图像； （2）根据函数图像，即可求解； （3）由（2）可得，函数的图像，关于对称，离对称轴越远，函数值越大，据此分，，三种情况，结合题意，列出不等式，解不等式，即可求解． 【详解】（1）解：当时， 列表如下， -3 -2 -1 0 1 3 2 1 2 3 （2）根据函数图像可得，当时，函数随着的增大而减小， 的取值范围为； （3）由（2）可得，函数的图像，关于对称， 当时，，得 当时，，得 当时，不符合要求   ∴或 【经典例题十三 一次函数的规律探索问题】 【例13】（24-25九年级上·重庆北碚·开学考试）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，正方形．使得点在直线上，点在轴正半轴上，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与坐标规律，分别求出、、、、的坐标，找到对应的、、、、，得到规律，，再用这规律解决问题即可． 【详解】当时，有，解得， ， 四边形是正方形， ， 当时，解得， ∴， 同理可得出：，，， 对应的点，．，， ，， 点的坐标为． 故选：B． 1．（23-24八年级下·广东云浮·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数和 的图象分别为直线，，过点 作轴的垂线交 于点， 过点作轴的垂线交于点， 过点作轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，，依次进行下去，则点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了一次函数图象上的点的坐标，以及点的坐标的变化规律，根据题意可得点与的横坐标相同，与的纵坐标相同，再根据可求出 ，，，，，，，，通过观察这些点的坐标可得出的横坐标为，然后根据可得出答案，找出点的坐标的变化规律是解题的关键． 【详解】解：依题意得：与的横坐标相同，与的纵坐标相同， ∵， ∴对于，当时，， ∴点， 对于，当时，， ∴点， 同理可得：，，，，，， 观察这些点的坐标可得出：的横坐标为， ∵， ∴点的横坐标为， 故选：． 2．（23-24八年级下·四川广安·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点，点，，…在直线l上，点，…在x轴的正半轴上．若，，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第2023个等腰直角三角形顶点的横坐标为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了坐标规律探索，先求出，得出，，，从而得出…，由，…得出的坐标为，当时可得结论． 【详解】解：把代入得：，解得：， 把代入得：， ∴， ∴， ∴…， 又，…， ∴的坐标为， 当时，顶点的横坐标为 故答案为：． 3．（23-24八年级下·北京丰台·期中）小东根据学习一次函数的经验，对函数y=|2x﹣1|的图象和性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完成： （1）函数y=|2x﹣1|的自变量x的取值范围是　 　； （2）已知： ①当x=时，y=|2x﹣1|=0； ②当x＞时，y=|2x﹣1|=2x﹣1 ③当x＜时，y=|2x﹣1|=1﹣2x； 显然，②和③均为某个一次函数的一部分． （3）由（2）的分析，取5个点可画出此函数的图象，请你帮小东确定下表中第5个点的坐标（m，n），其中m=　 　；n=　 　；： x … ﹣2 0 1 m … y … 5 1 0 1 n … （4）在平面直角坐标系xOy中，作出函数y=|2x﹣1|的图象； （5）根据函数的图象，写出函数y=|2x﹣1|的一条性质． 【答案】（1）全体实数；（3）3，5；（4）图象见解析；（5）函数y的图象关于x=对称，答案不唯一． 【分析】（1）函数y=|2x-1|的自变量x的取值范围是全体实数； （3）取m=3把x=3代入y=|2x-1|计算即可； （4）根据（3）中的表格描点连线即可； （5）根据函数的图象，即可求解. 【详解】解：（1）函数y=|2x-1|的自变量x的取值范围是全体实数； 故答案为全体实数； （3）m、n的取值不唯一，取m=3，把x=3代入y=|2x-1|，得n=|2×3-1|=5， 即m=3，n=5. 故答案为3，5. （4）图象如图所示；（要求描点、连线正确）     （5）函数y的图象关于x=对称，答案不唯一，符合函数y的性质均可. 【点睛】此题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的性质是解题的关键. 【经典例题十四 已知直线与坐标轴交点求方程的解】 【例14】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）下列关于一次函数的判断，正确的是（       ） A．当时，该函数图象经过一、三、四象限 B．点，点在该函数的图象上，若，则 C．若该函数的图象向右平移2个单位后经过原点，则 D．若关于的方程的解是，则的图象恒过点 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数的增减性，一次函数的平移等知识，利用一次函数的性质判断选项A；利用一次函数的增减性判断选项B；利用一次函数的平移判断选项C；利用一次函数与一元一次方程的关系判断选项D即可． 【详解】解：一次函数中，，则函数图象经过二、四象限，当时，该函数图象与y轴交于负半轴，该函数图象经过二、三、四象限，故选项A错误； 一次函数中，，则y随x的增大而减小，由，得，但是、的值与0的大小不能比较，故选项B错误； 函数的图象向右平移2个单位后，新函数解析式为，由新函数图象经过原点，得，解得，故选项C错误； 若关于的方程的解是，则的图象恒过点，故选项D正确． 故选：D． 1．（23-24八年级下·河南开封·期末）已知一次函数（，为常数，）的图象如图所示，下列说法正确的是（　　）    A．， B．随的增大而减小 C．时， D．方程的解是 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，根据函数图象逐项判断即可得出答案，熟练掌握一次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得： ，，故A选项错误，不符合题意； 随的增大而增大，故B选项错误，不符合题意； 当时，，故C选项错误，不符合题意； 方程的解是，故D选项正确，符合题意； 故选：D． 2．（23-24八年级上·山东济南·期中）直线过点，，则关于x的方程的解为 ． 【答案】 【分析】所求方程的解，即函数图像与轴的交点横坐标，确定出解即可． 【详解】解：关于x的方程的解，即为函数图像与轴的交点横坐标， 直线过点， 方程的解为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了一次函数与一元一次方程，掌握任何一元一次方程都可以转化为(，为常数，)的形式，所以解一元一次方程可以转化为，当某个一次函数的值为时，求相应的自变量的值.从图像上看，相当于已知直线确定它与轴的交点的横坐标的值，是解答本题的关键． 3．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于，两点给出如下定义：若点的横、纵坐标之和等于点的横、纵坐标之和，则称，两点为同和点，下图中的，两点即为同和点． (1)已知点的坐标为． ①在点，，中，为点的同和点的是 　　． ②若点在轴上，且，两点为同和点，则点的坐标为 　　． (2)直线与轴、轴分别交于点，，点为线段上一点． ①若点与点为同和点，求点坐标； ②若存在点与点为同和点，求的取值范围． 【答案】(1)（1）①，；②； (2)①点坐标为；②． 【分析】（1）①由同和点的定义可求解；②由同和点的定义可求解； （2）①由同和点的定义，列出等式可求解；②由同和点的定义，列出等式可得，即可求解． 【详解】（1）解：①点的坐标为， ， 点，，， ，，， 点的同和点的是，， 故答案为：，； ②点在轴上，且，两点为同和点， 点， 故答案为：； （2）解：①直线与轴、轴分别交于点，， 点，点， 点与点为同和点， 设点， ， ， 点坐标为； ②设点坐标为， 点与点为同和点， ， ， 点为线段上一点， ， ． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，理解“同和点”的定义并运用是解题的关键． 【经典例题十五 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点】 【例15】（23-24八年级上·重庆·阶段练习）将直线向上平移2个单位长度后得到直线y=kx+b，则下列关于直线y=kx+b的说法正确的是（  ） A．直线经过一、三、四象限 B．y随x的增大而减小 C．与y轴交于（1， 0） D．与x轴交于（－3， 0） 【答案】D 【分析】根据平移的性质，得；根据代数式的性质，得直线与y轴交于（0， 1）；根据一元一次方程的性质，得直线与x轴交于（-3， 0），根据直角坐标系的性质，得直线经过一、二、四象限，即可得到答案． 【详解】直线向上平移2个单位长度后得到直线y=kx+b ∴ ∴y随x的增大而增大， 当时，，即直线与y轴交于（0， 1） 当时，得： ∴，即直线与x轴交于（-3， 0） ∴直线经过一、二、四象限， ∴选项A、B、C错误，选项D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数、平移、一元一次方程、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数和平移的性质，从而完成求解． 1．（18-19八年级·广东深圳·期末）如图是一次函数＝与＝的图象，则下列结论：①；②；③：④方程＝的解是＝，错误的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】根据一次函数的性质和一次函数与一元一次方程的关系进行判断即可； 【详解】∵一次函数＝经过第一、二、四象限， ∴，，故①③正确； ∵直线＝的图象与y轴的交点在x轴下方， ∴，故②错误； ∵一次函数＝与＝的图象的交点横坐标为3， ∴当时，＝，故④正确； 综上所述，错误的有1个． 故答案选A． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，准确分析判断是解题的关键． 2．（2024·山东聊城·一模）将直线沿轴向下平移3个单位长度得到直线，此时原点到直线的距离为3，则的值为 ． 【答案】 【分析】设直线l交x轴于A，交y轴于B，过O作于H，将直线沿y轴向下平移3个单位长度得到直线l的解析式为，求出，，可知是等腰直角三角形，故，即可解得答案． 【详解】解：设直线l交x轴于A，交y轴于B，过O作于H，如图： 将直线沿y轴向下平移3个单位长度得到直线l的解析式为， 在中，令得，令得， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴或； 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数图象与几何变换，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是由原点O到直线l的距离为3得到． 3．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，它与坐标轴分别交于、两点，已知点的纵坐标为． (1)求出A点的坐标． (2)在第一象限的角平分线上是否存在点使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点P为y轴上一点，连结AP，若，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用点代入直线，求出直线解析式，然后求直线与x轴交点坐标； （2）点Q在第一象限角平分线上，设，已知给出了指定角，利用勾股定理列方程，即可求出点的标； （3）根据已知条件画出图形，由，，得出，设，又，，根据勾股定理表示出，进而即可求解，根据轴对称的性质求得负半轴的另一个交点． 【详解】（1）∵点的纵坐标为，且点在轴上， 将点代入直线的解析式得：， ∴直线的解析式为： 令得：， ∴． （2）存在． ∵在第一象限的角平分线上， 设且， 根据勾股定理： ， ， 解得， 故． （3）解：当点在正半轴时，如图所示， ∵， ∴， ∴， 设，又， ∴ 解得： ∴ 根据对称性可得另一个点的坐标为， 综上所述，或 【点睛】本题考查了坐标与图形，一次函数与坐标轴交点问题，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键． 【经典例题十六 利用图象法解一元一次方程】 【例16】（23-24八年级下·陕西商洛·阶段练习）如图，一次函数（且为常数）与的图像相交于点，且点的纵坐标为7，则关于的方程的解是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解与一次函数图像的交点坐标，熟练掌握相关知识是解题关键．先求出点的坐标，由图像可知，当时，两个函数的函数值是相等的，即可求解． 【详解】解：根据题意得，点的纵坐标为7， 把代入， 可得，解得， ∴点的坐标为， ∵一次函数（且a为常数）与的图像相交于点， ∴关于的方程的解是． 故选：B 1．（2024·广东广州·二模）高斯函数也称取整函数，记作，表示不超过的最大整数．例如，．已知函数，若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了对高斯函数的理解，以及对方程的解和函数图象交点之间联系的理解，解题的关键在于利用数形结合的方式找出临界点．根据题意可得与有三个不同的交点，恒过点，画出函数图象，找出临界点，即可求出实数的取值范围． 【详解】解：关于的方程有三个不同的实根， 与有三个不同的交点， 有恒过点， 如下图： 当过点时，， 当过点时，， 当过点时，， 当过点时，， 关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是或 ． 故选：D． 2．（23-24九年级上·辽宁本溪·阶段练习）如图，直线与相交于点，则关于x的方程的解是 . 【答案】 【分析】首先利用函数解析式求出的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于的方程的解可得答案． 【详解】解：直线与相交于点， ， ， ， 当时，， 关于的方程的解是， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是求得两函数图象的交点坐标． 3．（23-24八年级下·北京东城·期末）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．请运用积累的经验和方法，对函数的图像与性质进行探究，并解决相关问题． (1)列表： … … … … 表格中：__________； (2)在乎面直角坐标系中画出该函数图象； (3)观察图象： ①方程有__________个解； ②当时，的取值范围是__________； (4)进一步研究：若点，是函数图像上任意两点，若对于，，都有，则的取值范围是__________． 【答案】(1) (2)图像见解析 (3)①；② (4) 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，解题的关键是数形结合． （1）把代入中，即可求解； （2）根据表格画出图像即可； （3）①根据函数与轴的交点个数即可求解；②根据函数图像即可求解； （4）根据对于，，都有，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ， 故答案为：； （2）画出函数图像如下： （3）①由（2）中的图像可知，函数的图像与轴有两个交点，即方程有个解， 故答案为：； ②由（2）中的图像可知，当时，的取值范围是， 故答案为：； （4）点，是函数图像上任意两点，若对于，，都有，则的取值范围是， 故答案为：． 【经典例题十七 一次函数中的最值问题】 【例17】（23-24八年级上·全国·单元测试）（1）将直线向右平移2个单位长度后的解析式为 ； （2）在平面直角坐标系中，，，在x轴上求一点C，使最小，则C点坐标为： ． 【答案】（1）（2） 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移，轴对称几何最值问题等，解决问题的关键是熟练掌握函数图象平移法则，图象水平移动自变量左加右减，图象上下移动函数上加下减，成轴对称两点的特征，对称轴上的点到两个对称点的距离相等，两点之间线段最短． （1）根据平移规则，左加右减，求出平移后的解析式即可； （2）找出点，关于轴的对称点，设直线的解析式为， ，代入得到，解得，，得到，推出C的坐标为即可． 【详解】（1）将直线向右平移2个单位长度后的解析式为，； 故答案为：； （2）∵点，， ∴点关于轴的对称点为， ∴， ∴当三点共线时，的值最小， 设直线的解析式为， 则， 解得，， ∴， 当时，，， ∴C的坐标为． 故答案为：． 1．（23-24八年级上·山西太原·阶段练习）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在线段AB上，且到x轴的距离为1． (1)点B的坐标为__________，点C的坐标为__________； (2)若点P是x轴上的一个动点，画图说明并求出当点P运动到什么位置时，的值最小，直接写出最小值． 【答案】(1)， (2)当点P运动到时，的值最小，最小为 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，轴对称求线段和最小值； （1）分别令、求解即可； （2）点关于x轴的对称点为，连接交x轴相交，当点P运动到与x轴的交点处时，连接BP，此时的值最小，据此求解即可． 【详解】（1）∵点C在线段AB上，且到x轴的距离为1． ∴点C纵坐标为1， 当时，解得， ∴， 当时，解得， ∴， 故答案为：， ； （2）点关于x轴的对称点为，则， 连接交x轴相交，当点P运动到与x轴的交点处时， 连接BP，此时的值最小， 设直线的表达式为 将点和点分别代入上式，得 解得， ∴直线的表达式为 当时，解得， ∴点P的坐标为 当点P运动到时，的值最小，最小值为． 2．（23-24八年级下·重庆渝北·期中）如图，点A（1，4）在正比例函数的图象上，点B（3，n）在正比例函数的图象上． (1)求m，n的值； (2)在x轴找一点P，使得PA＋PB的值最小，请求出PA＋PB的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解m、n值即可； （2）作点A关于x轴对称的点，连接，交x轴于点P，此时PA＋PB的值最小， 最小值为PA＋PB＝．过点作∥x轴，过点B作∥y轴，和相交于点H，求出的长即可． 【详解】（1）解：∵点A（1，4）在正比例函数的图象上，点B（3，n）在正比例函数的图象上． ∴ ∴． （2）解：作点A（1，4）关于x轴对称的点，连接，交x轴于点P，此时PA＋PB的值最小， PA＋PB＝． 过点作∥x轴，过点B作∥y轴，和相交于点H， 在Rt△中，∠H＝90°， 则， ∴PA＋PB的最小值为 ． 【点睛】本题考查正比例函数图象上点的坐标特征、最短路径问题、坐标与图形变化、勾股定理，熟练掌握最短路径的解题方法是解答的关键． 3．（23-24八年级下·四川广安·期末）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是，，关于y轴对称的图形为．    (1)画出并写出点的坐标为 ； (2)写出的面积为 ； (3)点P在x轴上，使的值最小，写出点P的坐标为 ． 【答案】(1)画图见解析； (2) (3) 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，一次函数图象与坐标轴的交点问题，熟练掌握利用轴对称变换作图是解题的关键． （1）求出点A、B关于y轴的对称点的坐标，再与O顺次连接即可； （2）利用三角形所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积列式计算即可得解；（3）找出点A关于x轴的对称点的位置，连接，根据轴对称确定最短路线问题与x轴的交点即为所求的点P，再根据待定系数法求出直线的解析式，最后求出直线与x轴的交点坐标，即得答案． 【详解】（1）关于y轴对称的图形为，，， ，， 如图，就是所求作的图形； 故答案为：． （2）的面积； 故答案为：． （3）作点A关于x轴的对称点，连结，与x轴交于点P，此时的值最小， 可求得， 设直线的解析式为， 将，代入得， 解得， 直线的解析式为， 令，则， 解得， ． 故答案为：．    【经典例题十八 一次函数与几何图形的综合】 【例18】（2023·陕西咸阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线l：经过点A，点A的横坐标为，点A与点B关于y轴对称． (1)求点的坐标； (2)将直线沿轴向下平移得到直线，与轴交于点，若的面积为，求平移后的直线的函数表达式． 【答案】(1)点的坐标为 (2)或 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，轴对称的性质，三角形的面积，正确把握变换规律是解题关键． （1）把代入直线的解析式求得A的坐标，然后根据轴对称的性质求得点B的坐标； （2）由的面积为3，求得，从而求得点C的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线的函数表达式． 【详解】（1）解：把代入直线l： 得：， 点， A与点B关于y轴对称， 点 B 的坐标为； （2）由，可知 ， 如图，设与y轴的交点为D，得． ， ， ， ， 直线是由直线l平移得到， 可设直线的函数表达式为， ①当点C在上方时，点C的坐标为， 将代入，得， 直线的函数表达式为； ②当点C在下方时，点的坐标为， 将代入，得， 直线的函数表达式为． 综上，平移后的直线的函数表达式为：或． 1．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图，平面直角坐标系中，点，，，且a，b满足． (1)求A、B两点的坐标； (2)如图1，将线段以1个单位长度秒的速度向右平移至（点P与点A对应），运动时间为t秒，当三角形的面积不大于6时，求t的取值范围； (3)如图2，M为第三象限的一动点，且轴，连接并延长交直线于点N，设点M、N的横坐标分别为m、n，直接写出___________．（用含n的式子表示） 【答案】(1)， (2)的取值范围是或 (3) 【分析】（1）根据二次根式及绝对值的非负性即得答案； （2）过点作，交轴于点，在直线上取，过点作轴于点，连接，设点，则，根据列方程，解得，再根据三角形的面积不大于6列出不等式，求得，即可求的得答案； （3）过点作于点，连接，用待定系数法求出直线的解析式为，则，再根据，即得关于m、n的关系式，化简整理即得答案． 【详解】（1）解：， ，， ，， 又，， ，； （2）解：过点作，交轴于点， 在直线上取，过点作轴于点，连接， 设点，则， ， ， 解得， ， ， ， ，且点不与点重合， 或， 的取值范围是或； （3）解：过点作于点，连接， 设直线的解析式为， 将，代入得， 解得， 直线的解析式为， 点的坐标为， ， ， ， ， 整理，得， ． 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了图形与坐标，二次根式及绝对值的非负性，一次函数的面积问题，一元一次不等式的应用，求一次函数的解析式，熟练掌握一次函数的面积问题的解法是解题的关键． 2．（23-24八年级下·广东肇庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处． (1)求的长； (2)求点和点的坐标． 【答案】(1)5 (2)， 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，折叠的性质，勾股定理： （1）先求出直线与坐标轴的交点坐标，再利用勾股定理解即可； （2）由折叠知，可得点的坐标，设， 则，利用勾股定理解求出x的值可得点的坐标． 【详解】（1）解：中， 令，得：， ， ， 令，得：， 解得：， ． ． 在中，． （2）解：由折叠知：， ， ． 设，则． 在中，， 即， 解得：， ． 3．（23-24八年级下·陕西西安·期末）如图一次函数与的图象交于点，其中直线分别交，轴于，两点，直线分别交，轴于，两点． (1)求点的坐标． (2)连接，若点为图象上不同于点的任意一点，且，求点坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）解析式联立成方程组，解方程组即可求得； （2）利用直线的解析式求得，即可求得，，利用三角形面积求得，，然后分两种情况讨论，设的纵坐标为，列出关于的方程，解方程组求得的纵坐标，把纵坐标代入函数解析式求得横坐标即可． 本题是两条直线相交问题，考查了交点的求法，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解， 得：， 一次函数与的图象交点为． （2）由可知， 由 可知， ， ， ， ， 设的纵坐标为， 当在的上方，则， 解得， 当在的下方，则， 解得， 把代入，得， 把代入，得， 点的坐标为或． 1．（2024八年级上·全国·专题练习）下列有关一次函数的说法中，正确的是（ ） A．的值随着值的增大而增大 B．函数图象与轴的交点坐标为 C．当时， D．函数图象经过第二、三、四象限 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的性质，一次函数与坐标轴的交点，根据一次函数的增减性可判断；令解方程可判断；根据一次函数的增减性和与轴的交点可判断和，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴当值增大时，的值随着增大而减小，故选项不正确，不符合题意； 、∵当时，， ∴函数图象与轴的交点坐标为，故选项不正确，不符合题意； 、∵的值随着增大而减小，函数图象与轴的交点坐标为， ∴当时，，故选项不正确，不符合题意； 、∵的值随着增大而减小，函数图象与轴的交点坐标为， ∴图象经过第二、三、四象限，故选项正确，符合题意； 故选：． 2．（24-25八年级上·全国·期中）正方形、、按如图所示的方式放置．点、、和点、、分别在直线和轴上，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标的特征，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，能够找出坐标的变化规律是解题的关键． 分别求出、、、、，探究坐标的变化规律，进而得出的坐标，做出选择即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ，是等腰直角三角形， 同理可得：，，都是等腰直角三角形， 于是：，，，， ， ． 故选：． 3．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）如图，直角三角形的两直角边、分别与x轴、y轴平行，且，顶点A的坐标为，若某正比例函数的图象经过点B，则此正比例函数的表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求正比例函数的解析式，正确求出点的坐标是解题关键．先求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得． 【详解】解：∵直角三角形的两直角边与轴平行，且，顶点的坐标为， ∴， 又∵直角三角形的两直角边与轴平行，且， ∴， 设这个正比例函数的表达式为， 将点代入得：， 解得， 则这个正比例函数的表达式为， 故选：A． 4．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图所示，已知点，直线与两坐标轴分别交于两点，分别是上的动点，则周长的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，轴对称最短线段问题，勾股定理，如图所示，作点关于轴的对称点，点关于直线的对称点为，连接 交 于点，交于点，则此时的周长最小，且最小值等于的长，由一次函数解析式可得，，进而得，再根据轴对称得，，即得，最后利用勾股定理求出的长即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图所示，作点关于轴的对称点，点关于直线的对称点为，连接 交 于点，交于点，则此时的周长最小，且最小值等于的长， ∵直线， ∴，， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∴， ∵点关于直线的对称点为 ∴，， ， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴ 周长的最小值是 ， 故选：． 5．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）若一次函数在的范围内的最大值比最小值大，则下列说法正确的是（    ） A．k的值为2或－2 B．的值随的增大而减小 C．k的值为1或－1 D．在的范围内，的最大值为 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：当时， 当时， 当时，随的增大而增大 则由题意可得： 此时在的范围内，的最大值为 当时，随的增大而减小 则由题意可得： 此时在的范围内，的最大值为 故选：． 6．（24-25八年级上·广东深圳·期中）已知一次函数，随x的增大而减小，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的定义，一次函数的性质，利用一次函数的定义、函数的增减性可以判定其比例系数的符号，从而确定m的值． 【详解】解：∵一次函数，y随x的增大而减小， ∴， 解得， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）如果正比例函数 的图象位于第二、四象限内，那么满足条件的正整数k是 ． 【答案】1或2 【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知正比例函数中，当时，函数的图象在二、四象限是解答此题的关键． 先根据正比例函数的图象在第二、四象限内可得出关于的不等式，求出的取值范围即可求解． 【详解】解：正比例函数的图象在第二、四象限内， ，解得． 为正整数， 或2， 故答案为：1或2． 8．（24-25八年级上·甘肃白银·期中）在函数的学习中，认识了函数图象的画法，并能结合图象研究函数的性质．已知函数，分析得到了下列4个结论：①它的图象由直线向下平移2个单位所得．②y随着x的增大而增大．③当时，y随着x的增大而减小．④函数有最小值． 其中正确的是 【答案】③④ 【分析】本题考查了一次函数图象性质以及应用，根据当时，；当时，作图，再根据图象逐项判断即可． 【详解】解：当时，， 当时，， 如图： 函数是分段函数，不能由直线向下平移2个单位所得， 故①错误； 结合图象，当时，y随着x的增大而减小，当时，y随着x的增大而增大． 故②错误，③正确； 结合图象，函数有最小值． 故④正确； 综上可知，正确的是③④， 故答案为：③④． 9．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，直线：，直线：分别交y轴于A，B两点，过B作y轴垂线交直线于，过作垂线交于，再过，作垂线交直线于，过作垂线交于，…依次类推，则的坐标是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一次函数的图象及一次函数图象上点的坐标，先求出点，点，由轴，得点的纵坐标为，进而得点的横坐标为，再由得点的横坐标为，进而得点的纵坐标为同理：点的纵坐标为，横坐标为，点的横坐标为，纵坐标为点的纵坐标为，横坐标为，点的横坐标为，纵坐标为依次类推，的纵坐标为，则的纵坐标为然后根据点在直线上即可求出点的坐标，准确地找出点的纵坐标为是解决问题的关键． 【详解】解：对于当时， ∴点的坐标为， 对于当时， ∴点的坐标为， 轴， ∴点的纵坐标为， 对于当时， ∴点的横坐标为， ∴点的横坐标为， 对于当时， ∴点的纵坐标为 同理：点的纵坐标为，横坐标为， 点的横坐标为，纵坐标为 点的纵坐标为，横坐标为， 点的横坐标为，纵坐标为 依次类推，的纵坐标为 的纵坐标为 ∵点在直线上， ∴当时， 解得： ∴点的坐标为， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图所示，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，是轴上一动点，连接，将沿所在的直线折叠，当点落在轴上时，点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，翻折变换，勾股定理，根据勾股定理得到，如图1，当点A落在y轴的正半轴上时，如图2，当点A落在y轴的负半轴上时，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B， 当时， 解得，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴由勾股定理得，， 如图1，当点A落在y轴的正半轴上时， 设点C的坐标为， ∵将沿所在的直线折叠，当点A落在y轴上时， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 如图2，当点A落在y轴的负半轴上时， 设点C的坐标为， ∵将沿所在的直线折叠，当点A落在y轴上时， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 综上所述，当点A落在y轴上时，点C的坐标为或， 故答案为：或． 11．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）如图，直线与轴，轴分别相交于点和点B，M是上一点，若将沿折叠，则点恰好落在轴上的点处．求： (1)求A、B的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查一次函数的综合应用，熟练掌握一次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）分别令，求出A、B的坐标即可； （2）设，勾股定理求出的长，等积法求出的值，再利用面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，，解得， ∴，； （2）解：∵，， ∴，， ∵翻折， ∴，， ∴， 设，则：， ∴， 解：， ∴． 12．（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处． (1)求的长； (2)求点C和点D的坐标； (3)y轴上是否存在一点P，使得？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5 (2) (3)存在，或 【分析】（1）分别令，可求得；令，可求得，根据，计算求解即可； （2）由折叠的性质可知，，，则，即；设，则，，依题意得，，计算求解，然后作答即可； （3）由，可得，可求，进而可求点坐标． 【详解】（1）解：当时，，即； 当时，， 解得，， ∴， ∴， ∴的长为5； （2）解：由折叠的性质可知，，， ∴，即； 设，则，， ∴，即， 解得，， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， 解得，， ∴存在，点坐标为或． 【点睛】本题考查了直线与坐标轴的交点，勾股定理，折叠的性质，坐标与图形等知识．熟练掌握直线与坐标轴的交点，勾股定理，折叠的性质，坐标与图形是解题的关键． 13．（24-25八年级上·山西运城·期中）在平面直角坐标系中，已知一次函数． (1)若一次函数的图象经过原点，求k的值． (2)若一次函数的图象经过点，且y的值随x值的增大而减小，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是一次函数的性质，一次函数的图象与系数的关系，掌握一次函数的图象与系数的关系是关键． （1）经过原点，则且，再进一步求解即可； （2）根据一次函数的图象经过点，且y的值随x的增大而减小，，且，从而可以求解； 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过原点， ∴且， ∴． （2）解：∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴， 解得：， ∵y的值随x值的增大而减小， ∴， 解得：， ∴． 14．（24-25八年级上·全国·期中）如图，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点 B． (1)直接写出的面积； (2)若C为y轴上一点，且的面积是，求点C的坐标； (3)若P是x轴上一点，且，求P的坐标． 【答案】(1)9 (2)点C的坐标为或 (3)点或 【分析】（1）先求出点，点坐标，由三角形的面积公式可求解； （2）由三角形的面积公式可求解； （3）由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】（1）解：直线与轴相交于点，与轴相交于点， 点，点， ，， 的面积； （2）解：设点， 的面积是12， ， ， ，， 点坐标为或； （3）解：，， ， ， 点或． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积公式，勾股定理等知识，解答此题的关键是熟知一次函数与坐标轴的交点坐标的求法． 15．（24-25八年级上·河南郑州·期中）请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题． (1)填空：①当时， ． ②当时， ． ③当时， ． (2)在平面直角坐标系中作出函数的图象 (3)进一步探究函数图象发现： ①函数图象与x轴有_____个交点，方程有____个解： ②方程有_____个解： ③若关于x的方程无解，则a的取值范围是 ． 【答案】(1)①；②；③ (2)见解析 (3)①2，2；②1；③ 【分析】此题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数与方程的关系，正确数形结合分析是解题关键． （1）直接利用绝对值的性质进而化简得出答案； （2）直接利用（1）中所求得出函数函数解析式，即可画出图象； （3）直接利用函数图象得出答案． 【详解】（1）解：①当时，； ②当时，； ③当时，； 故答案为：；，； （2）解：函数的图象，如图所示： （3）解：从函数图象得到： ①函数图象与轴有2个交点，方程有2个解； ②方程有1个解； ③若关于的方程无解，则的取值范围是． 故答案为：2，2；1；． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一次函数的图象与性质重难点题型专训（18大题型+15道拓展培优） 题型一 正比例函数的定义、图象 题型二 正比例函数的性质 题型三 根据一次函数的定义求参数 题型四 求一次函数自变量或函数值 题型五 列一次函数解析式并求值 题型六 根据一次函数解析式判断其经过的象限 题型七 已知函数经过的象限求参数范围 题型八 一次函数图象与坐标轴的交点问题 题型九 一次函数的图象问题 题型十 一次函数图象平移问题 题型十一 根据一次函数增减性求参数 题型十二 比较一次函数值的大小 题型十三 一次函数的规律探索问题 题型十四 已知直线与坐标轴交点求方程的解 题型十五 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 题型十六 利用图象法解一元一次方程 题型十七 一次函数中的最值问题 题型十八 一次函数与几何图形的综合 【知识点一：一次函数的概念】 一般地，形如（，是常数，≠0）的函数，叫做一次函数. 当＝0时，即，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数，的要求，一次函数也被称为线性函数. 一次函数有三种表示方法，如下： 1、解析式法 用含自变量x的式子表示函数的方法叫做解析式法。 2、列表法 把一系列x的值对应的函数值y列成一个表来表示的函数关系的方法叫做列表法。 3、图像法 用图象来表示函数关系的方法叫做图象法。 【知识点二：一次函数的图像与性质】 1.函数（、为常数，且≠0）的图象是一条直线 ； 当＞0时，直线是由直线向上平移个单位长度得到的； 当＜0时，直线是由直线向下平移||个单位长度得到的. 2.一次函数（、为常数，且≠0）的图象与性质： 3. 、对一次函数的图象和性质的影响： 决定直线从左向右的趋势，决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限． 4. 两条直线：和：的位置关系可由其系数确定： （1）与相交； （2），且与平行； 直线y=kx+b的图象和性质与k、b的关系如下表所示： k>0，b>0：经过第一、二、三象限 k>0，b<0：经过第一、三、四象限 k>0，b=0：经过第一、三象限（经过原点） 结论：k>0时，图象从左到右上升，y随x的增大而增大。 k<0，b>0：经过第一、二、四象限 k<0，b<0：经过第二、三、四象限 k<0，b=0：经过第二、四象限（经过原点） 结论：k<0时，图象从左到右下降，y随x的增大而减小。 总结： 1、y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k。 即：y=kx+b（k≠0）（k不等于0，且k，b为常数）。 2、当x=0时，b为函数在y轴上的交点，坐标为（0，b）。 当y=0时，该函数图象在x轴上的交点坐标为（-b/k，0）。 3、当b=0时（即y=kx），一次函数图象变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。 4、函数图象性质：当k相同，且b不相等，图像平行； 当k不同，且b相等，图象相交于Y轴； 当k互为负倒数时，两直线垂直。 5、平移时：上加下减在末尾，左加右减在中间。 【知识点三：待定系数法求一次函数解析式】 一次函数（，是常数，≠0）中有两个待定系数，，需要两个独立条件确定两个关于，的方程，这两个条件通常为两个点或两对，的值. 先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数中有和两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以和为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式. 对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题. 对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围. 【经典例题一 正比例函数的定义、图象】 【例1】（23-24八年级上·上海·单元测试）下列说法中正确的有（    ） ①当时，是正比例函数； ②如果是正比例函数，那么； ③如果与成正比例，那么是的正比例函数； ④如果，那么与成正比例． A．个 B．个 C．个 D．个 1．（23-24八年级下·北京平谷·期末）如果函数是正比例函数，那么（    ） A．或 B． C． D． 2．（24-25九年级上·山东淄博·开学考试）规定：表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，表示最接近的整数（，为整数），例如：，，．则下列说法正确的是 ．（写出所有正确说法的序号） ①当时，； ②当时，； ③方程的解为； ④当时，函数的图象与正比例函数的图象有两个交点． 3．（24-25八年级上·上海·期中）已知如下三个正比例函数：，，． (1)当时，对于任意的，均有，直接写出的取值范围_________； (2)如果直线与顺次交于点、点、点，且，求的值． 【经典例题二 正比例函数的性质】 【例2】（2024·河北·模拟预测）下图表示光从空气进入水中的入水前与入水后的光路图，若按如图所示的方式建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的函数解析式分别为，，则关于与的关系，下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，点在直线上，过点作轴于点，作轴与直线交于点，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级·浙江·自主招生）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是正比例函数图象上一动点，点是轴上一动点，则周长的最小值为 ． 3．（23-24八年级下·湖南郴州·期末）已知是的正比例函数，当时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)当时，求的最大值． 【经典例题三 根据一次函数的定义求参数】 【例3】（23-24八年级上·湖北宜昌·期中）如果是一次函数，那么m的值是（　　） A．2 B． C． D． 1．（23-24八年级上·广西崇左·期末）新定义：为一次函数（a，b为常数，且）关联数．若关联数所对应的一次函数是正比例函数，则关于x的方程的解为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·山东青岛·期中）已知是关于x的一次函数，则k的值为 ． 3．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）与的函数关系式为； (1)当，为何值时，是关于的一次函数？ (2)当，为何值时，是关于的正比例函数？ 【经典例题四 求一次函数自变量或函数值】 【例4】（23-24八年级下·福建泉州·期中）若点在直线上，则代数式的值为（    ） A．3 B． C．2 D．0 1．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）已知一次函数（k为常数，且），无论k取何值，该函数的图像总经过一个定点，则这个定点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·甘肃天水·期末）已知点是直线上一点，其横坐标为3，若点与点关于轴对称，则点的坐标为 ． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）请根据函数相关知识，对函数的图像与性质进行探究，并解决相关问题． ①列表；②描点；③连线 x … 0 1 2 3 4 5 6 … y … 4 3 2 1 0 1 m 3 4 … (1)表格中：______； (2)在平面直角坐标系中，画出该函数图像； 【经典例题五 列一次函数解析式并求值】 【例5】（23-24八年级下·福建福州·期末）一次函数图象经过点，则的值是（　　） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·河北保定·期末）已知正比例函数的图象经过点，如果和在该函数的图象上，那么a和b的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·福建三明·阶段练习）已知汽车油箱内有油，每行驶耗油，那么汽车行驶过程中油箱内剩余的油量与行驶路程之间的关系式是 ； 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，甲、乙两地相距，现有一列火车从乙地出发，以的速度向丙地行驶．    设表示火车行驶的时间，表示火车与甲地的距离． （1）写出与之间的关系式，并判断是否为的一次函数； （2）当时，求的值． 【经典例题六 根据一次函数解析式判断其经过的象限】 【例6】（2024七年级上·全国·专题练习）若将直线向下平移3个单位长度后得到直线，则下列关于直线说法正确的是（　　） A．经过第一、二、四象限 B．与轴交于 C．与轴交于 D．随的增大而减小 1．（24-25八年级上·四川达州·期中）关于直线l： ，下列说法不正确的是（      ） A．点在l上 B．l经过第二、三、四象限 C．l经过定点 D．当时，y随x 的增大而减小 2．（23-24八年级下·山东聊城·期末）一次函数 与 的图象如图所示， ①随x的增大而减小 ②函数的图象不经过第二象限 ③ ④ 以上结论正确的是 . 3．（23-24八年级上·浙江温州·开学考试）已知关于x的一次函数． (1)当k满足什么条件时，它的图象经过原点？ (2)当k满足什么条件时，y随x的增大而减小？ (3)当k满足什么条件时，它的图象经过第一、二、四象限？ 【经典例题七 已知函数经过的象限求参数范围】 【例7】（23-24八年级下·河北张家口·期末）若直线经过第二、三、四象限，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·山东济宁·阶段练习）已知一次函数的图象经过第一、二、三象限，则m、n的收值范围是（   ） A． ， B． ， C．， D． ， 2．（23-24九年级下·江苏宿迁·自主招生）在平面直角坐标系内有两点，，若一次函数的图象与线段AB有公共点，则k的取值范围为 ． 3．（23-24八年级下·江西赣州·期末）已知关于的函数． (1)若这个函数的图象平行于直线，求的值； (2)若这个函数是一次函数，且图象经过第一、二、四象限，求的取值范围． 【经典例题八 一次函数图象与坐标轴的交点问题】 【例8】（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期末）关于一次函数，下列结论不正确的是（    ） A．图象与直线平行 B．图象与y轴的交点坐标是 C．图象经过第二、三、四象限 D．y随自变量x的增大而减小 1．（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图，已知直线交x轴于点A，交y轴于点B，点C是x轴上的一点，若的面积为6，则点C的坐标是（       ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫作整点．直线与坐标轴围成的三角形内(不包含边界)有 个整点，三角形的边上有 个整点．若直线与坐标轴围成的三角形内(不包含边界)有且仅有6个整点，则的取值范围是 ． 3．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）已知函数， (1)画出这个函数的图象； (2)写出函数与轴的交点坐标，与轴的交点坐标； (3)求此函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积． 【经典例题九 一次函数的图象问题】 【例9】（24-25八年级上·安徽·期中）在同一坐标系中，函数与的图象大致是（　　） A．   B．   C．   D．   1．（2024·安徽·模拟预测）已知与是一次函数．若，那么如图所示的个图中正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，四个一次函数，，，的图象如图所示，则a，b，c，d 的大小关系是 ． 3．（23-24八年级下·陕西渭南·期末）请根据函数的学习路径，对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题． x 0 1 2 3 4 5 6 y 5 m 1 1 3 n (1)表格中：______，______． (2)根据表格已有数据，描点，连线．在平而直角坐标系中画出该函数图象（可依据题意补方格）． (3)观察图象，回答问题： ①当x_____时，y随x的增大而减小； ②该函数的最小值为______； ③已知直线过点和，直接写出当的x取值范围是______． 【经典例题十 一次函数图象平移问题】 【例10】（2024·贵州贵阳·一模）如图，已知的顶点的坐标分别为，若一次函数的图象与的边有交点，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·河南信阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴，轴交于，两点，将直线向左平移后与轴，轴分别交于点，．若，则直线的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·广西桂林·期末）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，将直线沿轴向上平移4个单位，与轴、轴分别交于点、，则线段的长为 ． 3．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，，，，且． (1)直接写出点A，B的坐标及c的值； (2)如图1，若三角形的面积为9，求点C的坐标； (3)如图2，将线段向右平移m个单位长度得到线段（点A与D对应，点B与E对应），若直线恰好经过点C，求m，n之间的数量关系． 【经典例题十一 根据一次函数增减性求参数】 【例11】（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）已知点、点在一次函数图象上，，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知点，是一次函数图象上不同的两个点，若记，则当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·上海·阶段练习）若函数是一次函数，且在轴上截距为，随着增大而减小，则 ． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知函数 (1)填空：若函数图象经过原点，则的值为______ (2)是一次函数，且图象经过二、三、四象限，求的取值范围． (3)是一次函数，且y随x的增大而增大，求的取值范围． 【经典例题十二 比较一次函数值的大小】 【例12】（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）一次函数的图象经过第一、二、四象限，若点在该一次函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判定 1．（23-24八年级下·福建厦门·期末）已知一次函数的图象经过点，，，若，则下列一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·浙江金华·期中）已知是直线（为常数）上的三个点，则的大小关系 ． 3．（23-24八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）已知函数． (1)当时，利用描点，连线的方法在直角坐标系中画出该函数的图象； (2)当时，函数随着的增大而减小，求的取值范围； (3)已知该函数经过点，，，且，求的取值范围． 【经典例题十三 一次函数的规律探索问题】 【例13】（24-25九年级上·重庆北碚·开学考试）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，正方形．使得点在直线上，点在轴正半轴上，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·广东云浮·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数和 的图象分别为直线，，过点 作轴的垂线交 于点， 过点作轴的垂线交于点， 过点作轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，，依次进行下去，则点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·四川广安·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点，点，，…在直线l上，点，…在x轴的正半轴上．若，，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第2023个等腰直角三角形顶点的横坐标为 ． 3．（23-24八年级下·北京丰台·期中）小东根据学习一次函数的经验，对函数y=|2x﹣1|的图象和性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完成： （1）函数y=|2x﹣1|的自变量x的取值范围是　 　； （2）已知： ①当x=时，y=|2x﹣1|=0； ②当x＞时，y=|2x﹣1|=2x﹣1 ③当x＜时，y=|2x﹣1|=1﹣2x； 显然，②和③均为某个一次函数的一部分． （3）由（2）的分析，取5个点可画出此函数的图象，请你帮小东确定下表中第5个点的坐标（m，n），其中m=　 　；n=　 　；： x … ﹣2 0 1 m … y … 5 1 0 1 n … （4）在平面直角坐标系xOy中，作出函数y=|2x﹣1|的图象； （5）根据函数的图象，写出函数y=|2x﹣1|的一条性质． 【经典例题十四 已知直线与坐标轴交点求方程的解】 【例14】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）下列关于一次函数的判断，正确的是（       ） A．当时，该函数图象经过一、三、四象限 B．点，点在该函数的图象上，若，则 C．若该函数的图象向右平移2个单位后经过原点，则 D．若关于的方程的解是，则的图象恒过点 1．（23-24八年级下·河南开封·期末）已知一次函数（，为常数，）的图象如图所示，下列说法正确的是（　　）    A．， B．随的增大而减小 C．时， D．方程的解是 2．（23-24八年级上·山东济南·期中）直线过点，，则关于x的方程的解为 ． 3．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于，两点给出如下定义：若点的横、纵坐标之和等于点的横、纵坐标之和，则称，两点为同和点，下图中的，两点即为同和点． (1)已知点的坐标为． ①在点，，中，为点的同和点的是 　　． ②若点在轴上，且，两点为同和点，则点的坐标为 　　． (2)直线与轴、轴分别交于点，，点为线段上一点． ①若点与点为同和点，求点坐标； ②若存在点与点为同和点，求的取值范围． 【经典例题十五 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点】 【例15】（23-24八年级上·重庆·阶段练习）将直线向上平移2个单位长度后得到直线y=kx+b，则下列关于直线y=kx+b的说法正确的是（  ） A．直线经过一、三、四象限 B．y随x的增大而减小 C．与y轴交于（1， 0） D．与x轴交于（－3， 0） 1．（18-19八年级·广东深圳·期末）如图是一次函数＝与＝的图象，则下列结论：①；②；③：④方程＝的解是＝，错误的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（2024·山东聊城·一模）将直线沿轴向下平移3个单位长度得到直线，此时原点到直线的距离为3，则的值为 ． 3．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，它与坐标轴分别交于、两点，已知点的纵坐标为． (1)求出A点的坐标． (2)在第一象限的角平分线上是否存在点使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点P为y轴上一点，连结AP，若，求点P的坐标． 【经典例题十六 利用图象法解一元一次方程】 【例16】（23-24八年级下·陕西商洛·阶段练习）如图，一次函数（且为常数）与的图像相交于点，且点的纵坐标为7，则关于的方程的解是（    ）    A． B． C． D． 1．（2024·广东广州·二模）高斯函数也称取整函数，记作，表示不超过的最大整数．例如，．已知函数，若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 2．（23-24九年级上·辽宁本溪·阶段练习）如图，直线与相交于点，则关于x的方程的解是 . 3．（23-24八年级下·北京东城·期末）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．请运用积累的经验和方法，对函数的图像与性质进行探究，并解决相关问题． (1)列表： … … … … 表格中：__________； (2)在乎面直角坐标系中画出该函数图象； (3)观察图象： ①方程有__________个解； ②当时，的取值范围是__________； (4)进一步研究：若点，是函数图像上任意两点，若对于，，都有，则的取值范围是__________． 【经典例题十七 一次函数中的最值问题】 【例17】（23-24八年级上·全国·单元测试）（1）将直线向右平移2个单位长度后的解析式为 ； （2）在平面直角坐标系中，，，在x轴上求一点C，使最小，则C点坐标为： ． 1．（23-24八年级上·山西太原·阶段练习）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在线段AB上，且到x轴的距离为1． (1)点B的坐标为__________，点C的坐标为__________； (2)若点P是x轴上的一个动点，画图说明并求出当点P运动到什么位置时，的值最小，直接写出最小值． 2．（23-24八年级下·重庆渝北·期中）如图，点A（1，4）在正比例函数的图象上，点B（3，n）在正比例函数的图象上． (1)求m，n的值； (2)在x轴找一点P，使得PA＋PB的值最小，请求出PA＋PB的最小值． 3．（23-24八年级下·四川广安·期末）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是，，关于y轴对称的图形为．    (1)画出并写出点的坐标为 ； (2)写出的面积为 ； (3)点P在x轴上，使的值最小，写出点P的坐标为 ． 【经典例题十八 一次函数与几何图形的综合】 【例18】（2023·陕西咸阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线l：经过点A，点A的横坐标为，点A与点B关于y轴对称． (1)求点的坐标； (2)将直线沿轴向下平移得到直线，与轴交于点，若的面积为，求平移后的直线的函数表达式． 1．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图，平面直角坐标系中，点，，，且a，b满足． (1)求A、B两点的坐标； (2)如图1，将线段以1个单位长度秒的速度向右平移至（点P与点A对应），运动时间为t秒，当三角形的面积不大于6时，求t的取值范围； (3)如图2，M为第三象限的一动点，且轴，连接并延长交直线于点N，设点M、N的横坐标分别为m、n，直接写出___________．（用含n的式子表示） 2．（23-24八年级下·广东肇庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处． (1)求的长； (2)求点和点的坐标． 3．（23-24八年级下·陕西西安·期末）如图一次函数与的图象交于点，其中直线分别交，轴于，两点，直线分别交，轴于，两点． (1)求点的坐标． (2)连接，若点为图象上不同于点的任意一点，且，求点坐标． 1．（2024八年级上·全国·专题练习）下列有关一次函数的说法中，正确的是（ ） A．的值随着值的增大而增大 B．函数图象与轴的交点坐标为 C．当时， D．函数图象经过第二、三、四象限 2．（24-25八年级上·全国·期中）正方形、、按如图所示的方式放置．点、、和点、、分别在直线和轴上，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）如图，直角三角形的两直角边、分别与x轴、y轴平行，且，顶点A的坐标为，若某正比例函数的图象经过点B，则此正比例函数的表达式为（     ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图所示，已知点，直线与两坐标轴分别交于两点，分别是上的动点，则周长的最小值是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）若一次函数在的范围内的最大值比最小值大，则下列说法正确的是（    ） A．k的值为2或－2 B．的值随的增大而减小 C．k的值为1或－1 D．在的范围内，的最大值为 6．（24-25八年级上·广东深圳·期中）已知一次函数，随x的增大而减小，则m的值为 ． 7．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）如果正比例函数 的图象位于第二、四象限内，那么满足条件的正整数k是 ． 8．（24-25八年级上·甘肃白银·期中）在函数的学习中，认识了函数图象的画法，并能结合图象研究函数的性质．已知函数，分析得到了下列4个结论：①它的图象由直线向下平移2个单位所得．②y随着x的增大而增大．③当时，y随着x的增大而减小．④函数有最小值． 其中正确的是 9．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，直线：，直线：分别交y轴于A，B两点，过B作y轴垂线交直线于，过作垂线交于，再过，作垂线交直线于，过作垂线交于，…依次类推，则的坐标是 ． 10．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图所示，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，是轴上一动点，连接，将沿所在的直线折叠，当点落在轴上时，点的坐标为 ． 11．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）如图，直线与轴，轴分别相交于点和点B，M是上一点，若将沿折叠，则点恰好落在轴上的点处．求： (1)求A、B的坐标； (2)求的面积． 12．（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处． (1)求的长； (2)求点C和点D的坐标； (3)y轴上是否存在一点P，使得？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 13．（24-25八年级上·山西运城·期中）在平面直角坐标系中，已知一次函数． (1)若一次函数的图象经过原点，求k的值． (2)若一次函数的图象经过点，且y的值随x值的增大而减小，求k的值． 14．（24-25八年级上·全国·期中）如图，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点 B． (1)直接写出的面积； (2)若C为y轴上一点，且的面积是，求点C的坐标； (3)若P是x轴上一点，且，求P的坐标． 15．（24-25八年级上·河南郑州·期中）请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题． (1)填空：①当时， ． ②当时， ． ③当时， ． (2)在平面直角坐标系中作出函数的图象 (3)进一步探究函数图象发现： ①函数图象与x轴有_____个交点，方程有____个解： ②方程有_____个解： ③若关于x的方程无解，则a的取值范围是 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$