第三章 重点题型强化(五) 圆锥曲线中的“定”问题-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

重点题型强化(五)圆锥曲线中的“定”问题 　 第三章　圆锥曲线的方程 知识层面 1．通过圆锥曲线方程的学习，进一步体会数形结合思想的应用． 2．能根据圆锥曲线的有关性质解决综合问题． 素养层面 借助于圆锥曲线的“定”问题，进一步提升直观想象、逻辑推理及数学运算素养. 题型一　定值问题 1 题型二　定点问题 2 题型三　定直线问题 3 课时测评 4 内容索引 题型一　定值问题 返回 (1)求椭圆C的方程； 例1 (2)若A，B为椭圆的左右顶点，直线x＝t交椭圆于M，N两点，设直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，求证：k1·k2为定值． 证明：由椭圆方程可知，A(－2，0)，B(2，0)， 定值问题的解题策略 选好参数，求出题目所需的代数表达式，然后对表达式进行直接推理、计算，并在推理计算的过程中消去变量，从而得到定值，这种方法可简记为：一选(选好参变量)、二求(对运算能力要求颇高)、三定值(确定定值)．　　 规律方法 对点练1．已知抛物线的顶点是坐标原点O，焦点在x轴上，且抛物线上的点M(4，m)到焦点的距离是5. (1)求该抛物线的标准方程； 解：因为抛物线焦点在x轴上，且过点M(4，m)， 所以设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)， 由抛物线定义知，点M到焦点的距离等于5， 即点M到准线的距离等于5， 则4＋ ＝5，所以p＝2， 所以抛物线方程为y2＝4x. 证明：显然直线l的斜率不为0，又由于直线过点(2，0)，所以可设直线l的方程为x＝ty＋2, 返回 题型二　定点问题 返回 (1)求双曲线的标准方程； 例2 所以设双曲线的方程为x2－y2＝a2， 故双曲线的方程为x2－y2＝6. (2)过定点C(3，0)的直线l与双曲线交于A，B两点，在x轴上是否存在定点N，使得∠ANC＝∠BNC，若存在，求出定点N的坐标；若不存在，请说明理由． 解：由直线l过定点C(3，0)，当斜率为0时，符合条件， 则当斜率不为0时，设直线l为：x＝my＋3， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l代入双曲线得 由kAN＋kBN＝0，则2my1y2＋(3－t)(y1＋y2)＝0，即6m(t－2)＝0， 要对任意的m都成立，则t＝2. 所以在x轴上存在点N(2，0)，使得∠ANC＝∠BNC． 定点问题的两种解法 1．特殊到一般法：从特殊入手，求出定点，再进行一般性的证明． 2．引进参数法：把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把相关的参数整理在一起，同时方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点． 规律方法 (1)求椭圆C的方程； 解：由题知c＝1，A(－a，0)，B(a，0)，P(0，b)， (2)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于不同的两点M，N，点Q(2，0)，若直线MQ的斜率与直线NQ的斜率互为相反数，求证：直线l过定点． 由题知kMQ＋kNQ＝0， 即2kx1x2＋(m－2k)(x1＋x2)－4m＝0⇒2k(2m2－2)－4km(m－2k)－4m(2k2＋1) ＝0，解得k＝－m， 所以直线l的方程为y＝k(x－1)，故直线l恒过定点(1，0)． 返回 题型三　定直线问题 返回 已知抛物线C：y2＝2x，A(x1，y1)，B(x2，y2)是C上两个不同的点． (1)求证：直线y1y＝x1＋x与C相切； 例3 证明：由(1)知，设P(x0，y0)，切线PA的方程为y1y＝x1＋x，切线PB的方程为y2y＝x2＋x， 解得y1y2＝－2，所以x0＝－1. 故点P在定直线x＝－1上． 证明圆锥曲线中的动点在定直线上的方法 1．参数法：即先利用题设条件探求出动点的坐标(包含参数)，再消去参数，即得动点在定直线上． 2．相关点法：即先设出动点T的坐标，根据条件得到已知曲线上的动点R的坐标，用T点坐标表示R的坐标，代入已知曲线方程中求得动点T在定直线上． 规律方法 (1)求实数a的值； 解：如图所示，因为点P坐标为(0，4)，且过点P的 动直线l与双曲线右支交于不同的两点M，N，所以 可设直线l的方程为x＝t(y－4)(t≠0)， 点M，N，H的坐标依次为(x1，y1)，(x2，y2)，(x0，y0) (y2＜y0＜y1＜4)， 所以4y0－4y2－y1y0＋y1y2＝4y1－4y0－y1y2＋y2y0， 返回 课时测评 返回 1．已知O为坐标原点，双曲线： ＝1(a＞0，b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，过点F向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为P，且FP＝OA，直线AP与双曲线的左支交于点B，则∠PFB的大小为 A．30° B．45° C．60° D．75° √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A．(5，0) B．(1，0) C．(3，0) D．(2，0) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意结合双曲线定义可知 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7．以抛物线y2＝4x上任意一点P为圆心，P到直线x＝－1的距离为半径的所有的圆过定点________． 根据抛物线的定义可知，P到直线x＝－1的距离等于P到抛物线焦点F的距离，即F到圆心的距离总等于半径，所以F在以P为圆心，P到直线x＝－1的距离为半径的所有的圆上，由抛物线方程y2＝4x可知F(1，0)． (1，0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10．(10分)已知双曲线 －y2＝1的渐近线倾斜角分别为30°和150°，F为其左焦点，P为双曲线右支上一个动点． (1)求双曲线方程； 所以a2＝3， (2)过点P分别作两渐近线的垂线，垂足分别为Q，R，求证：|PQ|·|PR|为定值． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14．(12分)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2px(p＞0)上一点P的横坐标为4，且点P到焦点F的距离为5. (1)求抛物线的方程； 解：由题可知，点P到抛物线准线的距离为5， 所以抛物线的方程为y2＝4x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则Δ＝16m2＋16t＞0，且y1＋y2＝4m，y1y2＝－4t＜0，即t＞0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15．(5分)过抛物线y2＝2px(p＞0)的对称轴上的定点M(m，0)(m＞0)，作直线AB与抛物线相交于A，B两点．若点N是定直线l：x＝－m上的任一点，设这三条直线AN，MN，BN的斜率依次为k1，k2，k3，则下列关系式正确的是 A．k2＝k1＋k3 B．2k2＝k1＋k3 C．k ＝k1k3 D．k2＝k1k3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)求椭圆C的标准方程； 解：设F1(－c，0)，F2(c，0)，(c＞0)， 则(c＋1)2＝4，解得c＝1(c＝－3舍去)， 则a2－b2＝1，① 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解：依题意，M(－2，0)，N(2，0)， Δ＝36m2＋36(3m2＋4)＝144(1＋m2)＞0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 所以2my1y2＋3(y1＋y2)＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 故点D在直线x＝－4上． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解得xD＝－4， 故点D在直线x＝－4上． 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 三 章 　 圆 锥 曲 线 的 方 程 返回 (2024·湖南长沙重点校高二联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，且双曲线过点(4，－)． － 3．已知双曲线C：－＝1(b＞0)的离心率为2，则C上任意一点到两条渐近线的距离之积为 A． B． C．2 D．3 且|AB|＝2|BF2|，不妨设|BF2| ＝m，则|AB|＝2m，|BF1|＝m＋2a，|AF1|＝|BF1|－|AB| ＝2a－m，|AF2|＝4a－m.在△ABF2中，cos∠F1BF2＝， 由余弦定理得|AF2|2＝|AB|2＋|BF2|2－2|AB|·|BF2|·cos∠F1BF2， 即(4a－m)2＝4m2＋m2－4m2×，即3m2＋8am－ 16a2＝0，解得m＝a.在△F1BF2中，由余弦定理 得|F1F2|2＝|BF1|2＋|BF2|2－2|BF1|·|BF2|·cos∠F1BF2， 即4c2＝(m＋2a)2＋m2－2(m＋2a)m×，即8c2＝3m2＋6ma＋8a2，结合m＝a，即得3c2＝8a2，故得3(a2＋b2)＝8a2，即3b2＝5a2.又可设B(x0，y0)，则－＝1，所以y＝(x－a2)，而A1(－a，0)，A2(a，0)，故kA1B·kA2B＝·＝＝＝.故选A． y＝±x 9．P，Q是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上两点，且∠POQ＝，则＋＝________． ＋ 由A(3，2)在y2＝2px上，有12＝2p×3，得p＝2， 所以F(1，0)，|AF|＝＝4，过点A作 l的垂线，垂足为H，由抛物线的定义可知|AH|＝|AF| ＝4，设l与x轴交于点G，则|FG|＝2，有|AH|＝2|FG|， 又AH∥FG，所以F为AB中点，有|AF|＝|BF|，＝1.故选A． 12．(多选)(2024·河南南阳高二联考)已知曲线C：＋＝1(mn≠0)，则下列结论正确的是 A．若m＝n＞0，则C是圆，半径为 B．若m＜0，n＞0，且m＝－2n，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±x C．若m＞0，n＞0，且m＝2n，则C是椭圆，若A1，A2是曲线C的左、右顶点，P是曲线C上除A1，A2以外的任意一点，则kPA1·kPA2＝－ D．若m＞0，n＜0，则C是双曲线，若P是曲线C上的任意点，则P到两条渐近线的距离之积为 16．(13分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点P在椭圆C上，且＝，直线l过点F1且与椭圆C交于A，B两点． (2)已知＝，＝，若直线AM，BN交于点D，探究：点D是否在某定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由． 设直线l：x＝my－1，联立 整理得(3m2＋4)y2－6my－9＝0， 法一：联立 ＝2 ＝2 ＝2＝－4， $$