第三章 重点题型强化(四) 离心率的计算-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

重点题型强化(四)离心率的计算 　 第三章　圆锥曲线的方程 知识层面 1．掌握圆锥曲线的离心率求法． 2．会求圆锥曲线的离心率的最值及范围问题． 素养层面 借助于圆锥曲线的离心率，进一步提升直观想象、逻辑推理及数学运算素养. 技法一　定义法求离心率 1 技法二　几何法求离心率 2 技法三　齐次式法求离心率 3 课时测评 5 内容索引 技法四　代数法、几何法求离心率的最值(取值范围) 4 技法一　定义法求离心率 返回 例1 √ 根据椭圆或双曲线的定义，求出a，c或列出关于a，c的等式，得到关于e的方程，进而求出e. 规律方法 √ 返回 技法二　几何法求离心率 返回 例2 √ 涉及到焦点三角形的题目往往利用圆锥曲线的定义及三角形中的正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等来求得 的值． 规律方法 2 返回 技法三　齐次式法求离心率 返回 例3 √ 根据条件及几何图形建立a，b，c满足的关系式，化为a，c的齐次方程，然后将等式两边同时除以a的n次方(一般除以a或a2)，从而转化为关于e的方程，解方程即可．此时要注意椭圆的离心率e满足0＜e＜1，双曲线的离心率e满足e＞1. 规律方法 √ 返回 技法四　代数法、几何法求离心率的最值(取值范围) 返回 例4 √ (2)已知两定点A(－2，0)和B(2，0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为 √ 求离心率范围的常用思路 1．通过几何方法如圆锥曲线上点的坐标的范围、三角形中的不等关系等转化为求离心率的取值范围． 2．通过代数方法如基本不等式、函数最值求得离心率的取值范围．　　 规律方法 √ 返回 课时测评 返回 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 内任何一个值均可) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)求双曲线C的离心率； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解：因为F1(－2，0)，F2(2，0)，M(x0，y0)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12．(多选)已知曲线C：x2＋y2cos α＝1，α∈[0，π]，则下列结论正确的是 A．曲线C可能是圆，也可能是两条直线 B．曲线C可能是焦点在y轴上的椭圆 C．当曲线C表示椭圆时，则α越大，椭圆越圆 D．当曲线C表示双曲线时，它的离心率有最小值，且最小值为 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13．设F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝60°，若双曲线的离心率为 ，则椭圆的离心率为________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14．(12分)如图，椭圆 ＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A，B分别是椭圆的右顶点和上顶点，若线段AB上存在点P，使得PF1⊥PF2，求椭圆离心率的取值范围． 解：由题意可知A(a，0)，B(0，b)， 若直线AB上存在点P，使得PF1⊥PF2， 则以O点为圆心，OF1为半径的圆总和线段AB有公共点， 即O点到直线AB的距离d≤|OF1|＝|OF2|＝c， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又a2－b2＝c2， 所以a2(a2－c2)≤a2c2＋c2(a2－c2)， 整理得(a2－c2)2≤a2c2，即a2－c2≤ac， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，|F1F2|＝2c，由椭圆的定义可得m＋n＝2a1， 由双曲线的定义可得m－n＝2a2，解得m＝a1＋a2，n＝a1－a2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 三 章 　 圆 锥 曲 线 的 方 程 返回 如图所示：因为M是双曲线C右支上的一点，F1M交双曲线 C的左支于点N，若|NF1|∶|MN|∶|MF2|＝1∶2∶2，由双曲线 的定义，可得2a＝|MF1|－|MF2|＝|NF1|＋|MN|－|MF2|＝|NF1|， |NF2|－|NF1|＝2a，则|NF2|＝2a＋|NF1|＝4a，所以|MN|＝|MF2|＝ 2|NF1|＝4a＝|NF2|，故△MNF2为等边三角形，则∠F1MF2＝， 在△MF1F2中，|MF1|＝6a，|MF2|＝4a，∠F1MF2＝，由余弦定理可得2c＝|F1F2| ＝＝＝2a，因此双曲线C的离心率为e＝＝. 如图所示，设PF1的中点为M，连接PF2.因为O为F1F2的中点，所以OM为△PF1F2的中位线．所以OM∥PF2，所以∠PF2F1＝∠MOF1＝90°.因为∠PF1F2＝30°，所以|PF1|＝2|PF2|，|F1F2|＝|PF2|.由椭圆定义得2a＝|PF1|＋|PF2|＝3|PF2|，即a＝，2c＝|F1F2|＝|PF2|， 即c＝，则e＝＝·＝.故选A． 设点B位于第一象限，如图所示，因为＝，则A为线段F1B的中点，又因为O为F1F2的中点，则OA∥F2B，因为·＝0，则F1B⊥F2B，所以OA⊥BF1，所以|OB|＝|OF1|，则∠AOF1＝∠AOB，又因为∠AOF1＝∠BOF2，所以∠AOF1＋∠AOB＋∠BOF2＝3∠BOF2＝π，可得∠BOF2＝，易知直线OB的方程为y＝x，则＝tan＝， 因此该双曲线的离心率为e＝＝＝＝2. ＋2 如图所示，设直线方程为y＝(x－c)，与双曲线方程 －＝1(a＞0，b＞0)联立，解得x＝，y＝－， 因为|AB|＝2b，所以2×＝2b，所以b2＝2ac， 所以c2－2ac－a2＝0，即e2－2e－1＝0，解得e＝＋2. 由题意可知cos∠AOF＝，且∠AOF为锐角， 故sin∠AOF＝＝，而|OA|＝|OF| ＝c，故A，将A代入 C：－＝1(a＞0，b＞0)中，得－＝1，结合b2＝c2－a2整理得13c4－98a2c2＋49a4＝0，即13e4－98e2＋49＝0，解得e2＝7，或e2＝，由于双曲线离心率e＞1，故舍去e2＝，故e＝.故选D． 依题意|BF|＝，|AF|＝a＋c，因为cos∠BAF＝， 所以tan∠BAF＝，所以＝，因为a2＝b2＋c2， 所以＝，所以7a2－12c2－5ac＝0，因为e＝ ∈(0，1)，所以12e2＋5e－7＝0，解得e＝. 由题意得，2c＝|AB|＝4.所以c＝2，2a＝|PA|＋|PB|，当a取最小值时，椭圆C的离心率有最大值．设点A(－2，0)关于直线l：y＝x＋3的对称点为A′(x，y)，则解得所以A′(－3，1)，则2a＝|PA|＋|PB|＝＝，所以当a＝时， 椭圆有最大离心率，此时e＝＝＝.故选B． 设PF1与y轴交于Q点，连接QF2，则QF1＝QF2，所以 ∠QF1F2＝∠QF2F1，因为∠PF2F1＝3∠PF1F2，故P点 在双曲线右支上，且∠PF2Q＝∠PQF2＝2∠PF1F2，故 |PQ|＝|PF2|，而|PF1|－|PF2|＝2a，故|PF1|－|PF2|＝|PF1| －|PQ|＝|QF1|＝2a，在Rt△QOF1中，|QF1|＞|OF1|，即2a＞c，故e＝＜2，由∠PF2F1＝3∠PF1F2，且三角形内角和为180°，故∠PF1F2＜＝45°，则cos∠PF1F2＝＞cos45°，即＞，即e＝＞，所以C的离心率的取值范围为(，2)．故选A． 由题意，在双曲线C: －＝1(a＞0，b＞0)中， 右焦点为F，FN垂直于x轴，由题意可知F(c，0)， B(0，b)，N，因为M是BF中点，则M， 可得＝，＝，且O，M，N三点共 线，则∥，可得×＝c×，即a＝b，所以e＝＝＝. 故选A． 7．椭圆C：＋＝1(b＞0)其中一个顶点坐标为(－2，0)，则椭圆C的离心率为____． 8．(开放题)记双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为e，写出满足条件“直线y＝x与C无公共点”的e的一个值为________________ ________________________． 2(注：填区间 如图，|F2H|＝a，因为∠F1MF2＝60°，所以|MH|＝， |MF2|＝a，因为|MF1|＋|MF2|＝2a，所以|MF1|＝2a－|MF2| ＝a，进而|HF1|＝|MF1|－|MH|＝a－a＝a，又因为|HF1|2 ＋|HF2|2＝|F1F2|2，即a2＋2＝4c2，化简得a2＝3c2，所以e＝. 所以·＝(－2－x0，－y0)·(2－x0，－y0)＝(－2－x0)·(2－x0)＋(－y0)2＝x＋y－4， 由双曲线的对称性可知|F1A|＝|F2B|，|F1B|＝|F2A|，则四边形AF1BF2为平行四边形，令|F1A|＝|F2B|＝m，则|F1B|＝|F2A|＝2m，由双曲线定义可知|F2A|－|F1A|＝2a，故有2m－m＝2a，即m＝2a，即|F1A|＝|F2B|＝m＝2a，|F1B|＝|F2A|＝4a，·＝·cos∠AF2B＝4a×2acos∠AF2B＝4a2，则cos∠AF2B＝，即∠AF2B＝，故∠F2BF1＝，则有cos∠F2BF1＝＝＝－，即＝－， 即－＝－，则e2＝7，由e＞1，故e＝.故选D． 设m＝cos α ∈，故曲线C的方程可表示为x2＋my2＝1(－1≤m≤1)，对于A，当m＝0时，曲线C的方程为x2＝1，可得x＝±1，此时曲线C为两条直线；当m＝1时，曲线C的方程为x2＋y2＝1，此时曲线C是一个圆．故A正确；对于B，当0＜m＜1时，＞1，曲线C的方程为x2＋＝1，此时曲线C为焦点在y轴上的椭圆，故B正确；对于C，当曲线C表示椭圆时，离心率为e＝＝＝，则α越大，椭圆越扁，故C错误；对于D，当－1≤m＜0时，－≥1，曲线C的方程为x2－＝1，此时曲线C为焦点在x轴上的双曲线，此时离心率为e＝＝，由－1≤m＜0，可得e＝≥，即它的离心率有最小值，且最小值为，故D正确．故选ABD． ＋ 由题意可设所求双曲线方程为x2－y2＝λ，因为双曲线C过点(3，)，所以×32－()2＝λ，即λ＝1，则双曲线C的方程为－y2＝1，故A正确；由双曲线方程可知a＝，b＝1，c＝2，则离心率为e＝＝＝，故B正确；双曲线的右焦点坐标为(2，0)，满足y＝ex－2－1＝x－2－1，故C正确；由消去x整理得y2－2y＋2＝0，由Δ＝(－2)2－4×2＝0，知直线与双曲线C只有一个交点，故D错误．故选ABC． $$