第三章 圆锥曲线的方程 章末综合提升-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

章末综合提升 　 第三章　圆锥曲线的方程 概念梳理 建体系 1 分层探究 提能力 2 教考衔接 明考向 3 内容索引 单元检测卷 4 概念梳理 建体系 返回 返回 分层探究 提能力 返回 (1)(多选)已知平面上点A(－2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)，以下叙述正确的是 A．若|MA|2－|MB|2＝3，则M的轨迹是一条直线 B．若|MA|－|MB|＝4，则M的轨迹是双曲线的一支 C．若|MA|＝k|MB|(k为正常数，且k≠1)，则M的轨迹一定是圆 D．若|MA|＋|MB|＝8，则M的轨迹是椭圆 例1 √ √ √ 探究点一　圆锥曲线的定义与应用 (2)已知抛物线x2＝2py(p＞0)在第一象限内的一点A(a，2)到抛物线焦点F的距离为3，若P为抛物线准线上任意一点，则当△PAF的周长最小时，直线AP的斜率为________． 由抛物线x2＝2py(p＞0)在第一象限内的点A(a，2)到 抛物线焦点F的距离为3， 1．涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合图形解题． 2．求抛物线的最值问题时，常利用定义把抛物线上一点到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形解题． 规律方法 对点练1．(1)(2021·新高考Ⅰ卷)已知F1，F2是椭圆C： ＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为 A．13 B．12 C．9 D．6 √ (2)已知动圆C与圆C1：(x－3)2＋y2＝4，圆C2：(x＋3)2＋y2＝4中的一个外切、一个内切，求动圆圆心C的轨迹方程为____________． 探究点二　圆锥曲线的方程 (1)2023年3月27日，贵州省首届“美丽乡村”篮球联赛总决赛火爆开赛，被网友称为“村BA”．从某个角度观察篮球(如图①)，可以得到一个对称的平面图形，如图②所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，AB＝BC＝CD＝2，视AD所在直线为x轴，则双曲线的方程为 √ 例2 (2)在△ABC中，若A(－4，0)，B(4，0)，△ABC的周长是18，则顶点C的轨迹方程是________________． 求圆锥曲线方程的步骤 第二步(定量)：由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程组得到量的大小． 规律方法 √ 探究点三　圆锥曲线的几何性质 (1)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线E： ＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过F作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为M，直线MF与另一渐近线交于点N，若M是FN的中点，则双曲线的离心率为 A． B．2 C． D．3 √ 例3 应用圆锥曲线的性质时，要注意数形结合、方程等数学思想的综合应用． 规律方法 √ √ (2)抛物线有一条重要的光学性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．已知抛物线C：y2＝2x，一条光线从点P(4，2)沿平行于x轴的方向射出，与抛物线相交于点M，经点M反射后与C交于另一点N，则△MON的面积为________． 则lMN：4x－3y－2＝0， 设N(x0，y0)，y0＜0. 探究点四　直线与圆锥曲线的位置关系 设点O为坐标原点，P是圆A：(x＋2)2＋y2＝4上任意一点，点B(2，0)，线段BP的垂直平分线与直线AP交于点Q，记点Q的轨迹为曲线C． (1)求C的方程； 例4 则Q的轨迹为以A，B为焦点的双曲线， (2)设直线l与曲线C(在y轴右侧)恰有一个公共点，且l与直线y＝± x分别交于M，N两点，求△BMN面积S的最小值． 解：设l：x＝my＋n，代入曲线C的方程得(3m2－1)y2＋6mny＋3n2－3＝0， 由已知得3m2－1≠0且Δ＝36m2n2－4(3m2－1)(3n2－3)＝0， 即3m2＋n2＝1， 易知直线l与x轴交点为(n，0)， 由3m2＋n2＝1得n2≤1，即－1≤n≤1，n≠0， 求解直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、切线、最值等问题，一般是将几何关系用坐标表示，建立方程(组)，利用根与系数的关系求解，体现了“设而不求”的思想． 规律方法 (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知过右焦点F的直线l与C交于A，B两点，在x轴上是否存在一个定点P，使∠OPA＝∠OPB？若存在，求出定点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解：存在定点P(4，0)，使∠OPA＝∠OPB．理由如下： 由(1)知，c2＝12－3＝9，则点F(3，0)． 设在x轴上存在定点P(t，0)，使∠OPA＝∠OPB成立． 当直线l斜率为0时，过右焦点F的直线l即x轴与C交于长轴两端点， 当直线l斜率不为0时，设直线l的方程为x＝my＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 因为∠OPA＝∠OPB， 所以kPA＋kPB＝0， 即y1(x2－t)＋y2(x1－t)＝0， 所以y1(my2＋3－t)＋y2(my1＋3－t)＝0， 即2my1y2＋3(y1＋y2)－t(y1＋y2)＝0， 综上所述，存在定点P(4，0)，使∠OPA＝∠OPB． 探究点五　圆锥曲线中的证明问题 例5 (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点P(4，0)作一条斜率不为0的直线与椭圆C相交于A，B两点(A在B，P之间)，直线BF与椭圆C的另一个交点为D，求证：点A，D关于x轴对称． 证明：根据椭圆的对称性，欲证A，D关于x轴对称， 只需证kFA＝－kFD，即证kFA＋kFB＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB方程为x＝my＋4， 所以kFA＋kFB＝0，即A，D关于x轴对称． 解决证明问题时，主要根据直线与圆锥曲线的位置关系、圆锥曲线的性质等，通过相关性质的应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明． 规律方法 对点练5．双曲线C： ＝1(a＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作与x轴垂直的直线交双曲线C于A，B两点，△F1AB的面积为12，抛物线E：y2＝2px(p＞0)以双曲线C的右顶点为焦点． (1)求抛物线E的方程； 所以抛物线E的方程为y2＝4x. (2)如图，点P (t≠0)为抛物线E的准线上一点， 过点P作y轴的垂线交抛物线于点M，连接PO并延长 交抛物线于点N，求证：直线MN过定点． 所以此时直线MN过定点(1，0)． 当t2＝4时，直线MN的方程为x＝1，此时仍过点(1，0)， 综上，直线MN过定点(1，0)． 返回 教考衔接 明考向 返回 真题 1 √ 真题 2 √ (多选)(2023·新课标Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线y＝－ (x－1)过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则 A．p＝2 B．|MN|＝ C．以MN为直径的圆与l相切 D．△OMN为等腰三角形 真题 3 √ √ 真题 4 真题 5 (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4，0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P，证明：点P在定直线上． 证明：由(1)可得A1(－2，0)，A2(2，0)， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 据此可得点P在定直线 x＝－1上． 返回 单元检测卷 返回 1．(2024·山东淄博高二质量检测)抛物线y＝2x2的准线方程为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 A．6 B．8 C．10 D．12 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 11．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，经过点F且斜率为 的直线与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，若|AF|＝4，D(0，1)，则以下结论正确的是 A．p＝4 B．|AF|＝3|BF| C．若E为C上的动点，其在l上的射影为E1，则|ED|＋ D．过点D且与C有且仅有一个公共点的直线有3条 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 12．(2024·山东东营高二质量监测)抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，且抛物线C与椭圆 ＋y2＝1在第一象限的交点为A，若AF⊥x轴，则p＝__________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 14．已知椭圆C1和双曲线C2有公共焦点，且左，右焦点分别为F1，F2，C1与C2在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|＝10，C1与C2的离心率分别为e1，e2，则2e1＋e2的取值范围是____________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 15．(13分)已知椭圆C：x2＋2y2＝2，左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作倾斜角为 的直线l交椭圆于A，B两点． (1)求AB的长； c2＝a2－b2＝1，即F1(－1，0)， 所以直线l的方程为y＝x＋1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)求△ABF2的面积． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (1)求C的方程； 又由题意可知双曲线的焦点(c，0)到渐近线的距离d＝ ＝1⇒c2＝2＝a2＋b2⇒a2＝b2＝1， 所以双曲线的标准方程为x2－y2＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)是否存在直线l，经过点M(1，4)且与双曲线C交于A，B两点，M为线段AB的中点，若存在，求l的方程；若不存在，说明理由． 解：假设存在， 由题意知：该直线的斜率存在，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的斜率 为k， 则x1＋x2＝2，y1＋y2＝8， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 即x－4y＋15＝0， 得(4y－15)2－y2－1＝15y2－120y＋224＝0⇒Δ＝1202－60×224＝60×(240－224)＞0， 即直线l：x－4y＋15＝0与双曲线C有两个交点，满足条件， 所以存在直线l，其方程为x－4y＋15＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17．(15分)(2024·贵州铜仁高二质量监测)如图，是抛物线型拱桥，当水面在l时，水面宽16米，拱桥顶部离水面8米． (1)当拱顶离水面2米时，水面宽多少米？ 解：如图建立平面直角坐标系xOy，设抛 物线型拱桥的方程为x2＝ay(a＜0)， 由题意，可知抛物线经过点G(8，－8)， 代入抛物线方程可得64＝－8a，即得a＝－8， 所以抛物线方程为x2＝－8y. 当拱顶离水面2米时，即y＝－2，代入抛物线方程可得x＝±4，即水面宽为8米． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)现有一艘船，可近似为长方体的船体高4.2米，吃水深2.7米(即水上部分高1.5米)，船体宽为12米，前后长为80米，若河水足够深，要使这艘船能安全通过，则水面宽度至少应为多少米？(计算结果保留至小数点后一位，参考数据： ≈1.732) 解：由于船体宽12米，则当船体恰好能通过时，令x＝6米， 代入抛物线方程中，则36＝－8y， 解得y＝－4.5米， 即拱顶与船顶的最近距离为4.5米． 又因为船在水面上部分高为1.5米， 故拱顶离水面6米． 在抛物线方程x2＝－8y中，令y＝－6， 所以水面宽度至少应为13.9米． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (1)求双曲线Γ的方程； 解得a＝2，b＝1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)过点A(2，0)的两条直线AP，AQ分别与双曲线Γ交于P，Q两点(不与点A重合)，且两条直线的斜率之和为1，求证：直线PQ过定点． 证明：依题意可知PQ斜率存在，设方程为y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2) 则Δ＝64k2m2＋4(1－4k2)(4m2＋4)＞0，即m2＋1－4k2＞0①， 设直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，由题意知k1＋k2＝1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 整理得(m＋2k)(m＋2k－1)＝0. 当m＋2k＝0⇒PQ：y＝kx－2k，过A(2，0)舍去， 当m＋2k－1＝0⇒PQ：y＝kx－2k＋1，过点(2，1)， 此时，将m＝1－2k代入①得(1－2k)2＋1－4k2＝2－4k＞0，得k＜ ，满足题意． 所以直线PQ过定点M(2，1)． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (1)求椭圆C的标准方程； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解：由题可得直线斜率存在，由(1)知F2(1，0)，设直线l的方程为y＝k(x－1)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 谢 谢 观 看 ！ 第 三 章 　 圆 锥 曲 线 的 方 程 返回 ＋ 由椭圆C：＋＝1，得|MF1|＋|MF2|＝2×3＝6，则|MF1|·|MF2|≤ ＝32＝9，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时等号成立．故选C． －＝1 A．x2－＝1 B．2x2－y2＝1 C．x2－＝1 D．x2－＝1 依题意，设双曲线方程为－ ＝1(a＞0，b＞0)，因为BC＝2， 则a＝1，显然圆O的半径为3， 又因为坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，双曲线与圆O交于第一象限内的点为，于是2－＝1，解得b2＝，所以双曲线的方程为x2－＝1.故选A． ＋＝1，x≠±5 第一步(定位)：指的是圆锥曲线的焦点位置与对称轴的位置．根据 “位”设方程的形式，例如焦点在x轴上的椭圆可设为＋＝1(a＞b＞0)，焦点在y轴上的椭圆可设为＋＝1(a＞b＞0)，焦点不确定在哪个坐标轴上就设mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0)； 依题意知PF1⊥PF2，设以OF2为直径的圆与直线 PF1相切于点N，圆心为M，则MN⊥PF1，因此 Rt△PF1F2∽Rt△NF1M，所以＝|F1F2|.设双曲线 的焦距为2c，则＝，解得|PF2|＝， 由勾股定理可得|PF1|＝＝＝，于是＝8，c＝3，又因为双曲线C与抛物线y2＝2px有共同的右焦点F2，则＝3，所以2p＝12，即抛物线方程为y2＝12x.故选A． －＝1 － 如图所示，由题意可知，∠AOF＝∠COF1， 又因为M是FN的中点，OM⊥FN，所以∠AOF ＝∠AOC，所以3∠AOF＝π，∠AOF＝，根据 双曲线的性质，双曲线的渐近线方程为y＝±x， OF＝c，tan∠AOF＝，所以＝，因为a2＋b2＝c2，所以e＝＝＝2.故选B． 由椭圆的对称性及∠F1BF2＝得∠OBF2＝， 因为＝＝＝a，所以 cos∠OBF2＝＝，设D(m，n)，则＋＝1， 即n2＝b2，则kBD·kCD＝·＝＝＝－＝－，因为∠OBF2＝，所以∠OF2B＝，所以tan∠OF2B＝，所以kBD＝－，故kCD＝＝. 如图，依题意，由抛物线的光学性质知直线MN过 焦点．而M(2，2)，F， 由得2y2－3y－2＝0.又y0＜0，所以y0＝－，x0＝.则S△MON＝|OF|·＝××＝. －－＋＝＝0恒成立， － 所以S△F1AB＝×2c×2＝＝12，所以a＝1， (2023·新课标Ⅰ卷)设椭圆C1：＋y2＝1(a＞1)，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝e1，则a＝ A． B． C． D． (2023·新课标Ⅱ卷)已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB 面积的2倍，则m＝ A． B． C．－ D．－ 对于A选项，直线y＝－(x－1)过点(1，0)，所以抛物线C：y2＝2px(p＞0) 的焦点F(1，0)，所以＝1，p＝2，2p＝4，抛物线C的方程为y2＝4x，故A 选项正确；对于B选项，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由消去 y并化简得3x2－10x＋3＝(x－3)(3x－1)＝0，解得x1＝3，x2＝，所以|MN|＝x1 ＋x2＋p＝3＋＋2＝，故B选项错误；对于C选项，设MN的中点为A，M，N，A到直线l的距离分别为d1，d2，d，因为d＝(d1＋d2)＝(|MF|＋|NF|)＝|MN|，即A到直线l的距离等于MN的一半，所以以MN为直径的圆与直线l相切，故C选项正确；对于D选项，直线y＝－(x－1)，所以y1＝－×(3－1)＝－2，y2＝－×＝，所以|OM|＝＝，|ON|＝＝，又|MN|＝，所以△OMN不是等腰三角形，故D选项错误．故选AC． 法一：依题意，设|AF2|＝2m，则|BF2|＝3m＝|BF1|， |AF1|＝2a＋2m，|AB|＝5m，在Rt△ABF1中，9m2 ＋(2a＋2m)2＝25m2，则(a＋3m)(a－m)＝0，故a ＝m或a＝－3m(舍去)，所以|AF1|＝4a，|AF2|＝2a， |BF2|＝|BF1|＝3a，则|AB|＝5a，故cos∠F1AF2 ＝＝＝，所以在△AF1F2中，cos∠F1AF2 ＝＝，整理得5c2＝9a2，故e＝＝. 5．已知双曲线E：－y2＝1，直线l：y＝kx＋1，若直线l与双曲线E的两个交点分别在双曲线的两支上，则k的取值范围是 A．k＜－，或k＞ B．－＜k＜ C．k＜－，或k＞ D．－＜k＜ 由消去y并整理得(1－3k2)x2－6kx－6＝0，由直线l与双曲线E的两个交点分别在双曲线的两支上，得解得－＜k＜，所以k的取值范围是－＜k＜.故选B． 6．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F与椭圆＋＝1的右焦点重合．斜率为k(k＞0)的直线l经过点F，且与C的交点为A，B．若|AF|＝2|BF|，则直线l的斜率为 A．1 B． C． D．2 7．已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点P在椭圆上，且在第一象限，过F2作∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为A，O为坐标原点，若|OA|＝b，则该椭圆的离心率为 A． B． C． D． 由题设知|AF2|－|AF1|＝|BF1|－|BF2|＝2a＝10，令|BF2| ＝x，则|AF1|＝x＋15－10＝x＋5，|BF1|＝x＋10， △ABF1中，|AB|＝15，∠F1AF2＝，则cos∠F1AF2 ＝＝，所以 ＝，则x＝3，故|AF1|＝8，则|AF2|＝18，所以|AF1|＋|AF2|＝26.故选B． 由C：＋y2＝1可得a＝2，b＝1，c＝，对于A选项， △PF1F2的周长为2a＋2c＝4＋2，故A错误；对于B选项， 由余弦定理可得|F1F2|2＝2＋|PF2|2－2|PF2||F1P|cos＝2 ＋2－＝(|F1P|＋|PF2|)2－3，故4c2＝4a2 －3⇒3＝4a2－4c2＝4b2＝4，所以S△PF1F2＝sin＝××＝，故B正确；对于C选项，S△PF1F2＝＝(4＋2)r，所以r＝－1，故C正确；对于D选项，S△PF1F2＝＝×2c×＝×2×，所以＝，所以x＝4(1－y)＝4＝，所以|OP|＝＝＝＝，故D错误．故选BC． ≥ 联立得12x2－20px＋3p2＝0，解得xA＝，xB＝，由|AF| ＝xA＋＝2p＝4，得p＝2，故A错误；对于B，由于|BF|＝xB＋＝p， 则|AF|＝3|BF|，故B正确；对于C，如图所示，抛物线C：y2＝4x的 焦点为F(1，0)，|ED|＋＝|ED|＋|EF|≥|DF|＝，当且仅当D，E，F三点共线时取等号，故C正确；对于D，当直线斜率不存在时，直线方程为x＝0，与抛物线只有一个公共点；当直线斜率存在时，设直线方程为y＝kx＋1，联立消去x得ky2－4y＋4＝0，当k＝0时，方程的解为y＝1，此时直线与抛物线只有一个交点；当k≠0时，则Δ＝16－16k＝0，解得k＝1，综上所述，过点D与C有且仅有一个公共点的直线有3条，故D正确．故选BCD． 13．(2024·山东淄博高二质量检测)已知F1，F2分别为椭圆＋＝1的左、右焦点，以F2为圆心且过椭圆左顶点的圆与直线x－y＋8＝0相切．P为椭圆上一点，I为△PF1F2的内心，且S△IPF1＝λS△IF1F2－S△IPF2，则λ的值为________． 设F1(－c，0)，F2(c，0)，F2为圆心且过椭圆左顶点的圆的半径为R＝a＋c＝3＋c，根据题意可知R＝，解得c＝2.设△PF1F2的内切圆半径为r，则S△IPF1＝·r，S△IF1F2＝ |F1F2|·r，S△IPF2＝|PF2|·r，故|PF1|·r＝|F1F2|·r－|PF2|·r，化简可得|PF1|＋|PF2|＝λ|F1F2|，即2a＝λ·2c，解得λ＝. 设椭圆C1和双曲线C2的半焦距为c，|PF1|＝m，|PF2| ＝n，m＞n，由于△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形， |PF1|＝10，则m＝10，n＝2c，令椭圆C1的长半轴长为a1， 双曲线C2的实半轴为a2，由椭圆的定义得m＋n＝2a1，由 双曲线的定义得m－n＝2a2，则a1＝＝5＋c，a2＝＝5－c，相减得a1－a2＝2c，即－＝2，得e1＝＝－，因此2e1＋e2＝1－＋e2，e2＞1，显然f(e2)＝1－＋e2在(1，＋∞)上单调递增，于是f(e2)＞f(1)＝，所以2e1＋e2的取值范围是. ⇒(1－4k2)x2－8kmx－4m2－4＝0， 故有k1＋k2＝＋＝ $$