3.3.2 第2课时 抛物线的方程及性质的应用-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

第2课时　抛物线的方程及性质的应用 　 第三章　3.3　3.3.2　抛物线的简单几何性质 知识层面 1．掌握直线与抛物线的位置关系． 2．会解决与抛物线有关的焦点弦、中点弦问题． 素养层面 通过直线与抛物线的位置关系、焦点弦和中点弦等问题的学习，提升逻辑推理、直观想象及数学运算素养. 知识点一　直线与抛物线的位置关系 1 知识点二　弦长问题 2 课时测评 5 综合应用 3 内容索引 随堂演练 4 知识点一　直线与抛物线的位置关系 返回 问题1．类比椭圆、双曲线与直线的位置关系，探究抛物线与直线的位置关系． 提示：如图所示，抛物线与直线有三种位置关系：相离、相切、相交． 问题导思 设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p＞0)，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0. (1)若k≠0，当_______时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当_______时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当_______时，直线与抛物线相离，没有交点． (2)若k＝0，直线与抛物线有______交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合． 新知构建 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 一个 直线与抛物线只有一个公共点，就是直线与抛物线相切吗？ 提示：不一定，当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，只有一个公共点，直线与抛物线是相交的情况． 微思考 已知抛物线的方程为x2＝4y，直线l过定点(－1，－2)，斜率为k.当k为何值时，直线l与抛物线有一个公共点，有两个公共点，没有公共点？ 解：由题意知，可设直线l的方程为y＋2＝k(x＋1)，即y＝kx＋k－2， 则Δ＝(－4k)2－4(8－4k)＝16(k2＋k－2)， 当Δ＝0时，即k2＋k－2＝0，解得k＝－2，或k＝1，此时方程只有一个实数解， 即直线与抛物线只有一个公共点； 当Δ＞0时，即k2＋k－2＞0，解得k＜－2，或k＞1，此时方程有两个不等的实数解， 即直线与抛物线有两个公共点； 当Δ＜0时，即k2＋k－2＜0，解得－2＜k＜1，此时方程没有实数解， 即直线与抛物线没有公共点． 综上可得：当k＝－2，或k＝1时，直线与抛物线只有一个公共点； 当k＜－2，或k＞1时，直线与抛物线有两个公共点； 当－2＜k＜1时，直线与抛物线没有公共点． 例1 直线与抛物线交点问题的解题思路 1．判断直线与抛物线的交点个数时，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0.若该方程为一元二次方程，则利用判别式判断方程解的个数． 2．直线与抛物线有一个公共点时有两种情形：①直线与抛物线的对称轴重合或平行；②直线与抛物线相切． 判断直线与抛物线的位置关系的方法：联立方程组消元，当二次项系数不等于零时，用判别式Δ来判定；当二次项系数等于0时，直线与抛物线相交于一点． 规律方法 对点练1．已知点A(0，2)和抛物线C：y2＝6x，求过点A且与抛物线只有一个公共点的直线l的方程． 解：当过点A(0，2)的直线的斜率不存在时，此时过点A(0，2)的直线方程为x＝0， 因为x＝0和抛物线C：y2＝6x只有1个公共点，故满足要求； 当过点A(0，2)的直线斜率存在时，设y＝kx＋2， 与y2＝6x联立得：k2x2＋(4k－6)x＋4＝0， 当k＝0时，过点A(0，2)的直线方程为y＝2，此时与抛物线只有一个公共点，满足要求； 当k≠0时，由Δ＝(4k－6)2－16k2＝0，解得k＝ ， 故过点A(0，2)的直线方程为y＝ x＋2，即3x－4y＋8＝0. 故过点A且与抛物线只有一个公共点的直线l的方程为x＝0，或y＝2，或3x－4y＋8＝0. 返回 知识点二　弦长问题 返回 问题2．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点的直线交抛物 线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么线段AB叫做焦 点弦，如图所示，如何求弦AB的长度？ 提示：(1)用弦长公式．(2)根据抛物线的定义|AB| ＝x1＋x2＋p. 问题导思 直线与抛物线相交的弦长问题 1．一般弦长 2．焦点弦长 已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，则称AB为抛物线的焦点弦．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知，|AF|＝_________，|BF|＝_________，故|AB|＝___________． 新知构建 x1＋x2＋p 已知抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝ p，求AB所在的直线方程． 例2 所以直线AB的斜率存在，设为k， 法一：消去x，整理得ky2－2py－kp2＝0. 所以AB所在的直线方程为2x－y－p＝0，或2x＋y－p＝0. 即2x－y－p＝0，或2x＋y－p＝0. 变式探究 (变设问)若本例条件不变，求弦AB的中点M到y轴的距离． 求弦长问题的方法 2．焦点弦长：设过焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p. 规律方法 对点练2．已知y＝x＋m与抛物线y2＝8x交于A，B两点． (1)若|AB|＝10，求实数m的值； 得x2＋(2m－8)x＋m2＝0. 由Δ＝(2m－8)2－4m2＝64－32m＞0，得m＜2. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝8－2m，x1x2＝m2， y1y2＝m(x1＋x2)＋x1x2＋m2＝8m. (2)若OA⊥OB，求实数m的值． 得x2＋(2m－8)x＋m2＝0. 由Δ＝(2m－8)2－4m2＝64－32m＞0，得m＜2. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝8－2m，x1x2＝m2， y1y2＝m(x1＋x2)＋x1x2＋m2＝8m. 因为OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝m2＋8m＝0， 解得m＝－8或m＝0(舍去)． 所以m＝－8，经检验符合题意． 返回 综合应用 返回 应用一　与抛物线有关的焦点弦的相关结论 (1)已知抛物线y2＝8x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝6，则|BF|＝ A．1 B．2 C．3 D．4 例3 √ (2)已知抛物线C的方程为y2＝2px(p＞0)，若倾斜角为锐角的直线l过抛物线的焦点F，与抛物线交于A，B两点，且|AF|＝3|BF|，则直线l的倾斜角为________． 如图所示，直线m为抛物线的准线，过点A，B分别 作AM，BN垂直于m，作BE⊥AM，因为|AF|＝|AM|， |BF|＝|BN|，且|AF|＝3|BF|，所以|AM|＝3|BN|， 则|AB|＝4|BF|，|AE|＝|AM|－|ME|＝3|BF|－|BF|＝2|BF|， 所以cos∠BAE＝ 则∠BAE＝60°， 即直线l的倾斜角为60°. 60° 解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解． 规律方法 抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦的常用结论 如图，AB是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦， A(x1，y1)，B(x2，y2)，点F是焦点，直线AB的倾 斜角为θ，准线l交x轴于点N，过A，B分别作准 线l的垂线AC，BD，垂足分别为C，D．连接AN， BN，CF，DF，AO，BO. 规律方法 规律方法 对点练3．(多选)已知抛物线y2＝2px(p＞0)经过点M(1，2)，其焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，则下列结论正确的是 A．p＝2 B．|AB|≥4 C． ＝－4 D．k1k2＝－4 √ √ √ 应用二　中点弦问题 已知直线l与抛物线C：y＝2x2相交于A，B两点，若线段AB的中点坐标为(1，4)，则直线l的方程为 A．4x－y＝0 B．2x－y＝0 C．8x－y－6＝0 D．x－2y＋3＝0 √ 例4 中点弦问题的解题策略 规律方法 对点练4．(1)已知直线l与抛物线C：y＝3x2相交于A，B两点，若线段AB的中点坐标为(2，4)，则直线l的方程为 A．12x－y－20＝0 B．12x－y＝0 C．6x－y－10＝0 D．x－2y＋3＝0 √ (2)若A，B是抛物线y2＝4x上的不同两点，弦AB(不平行于y轴)的垂直平分线与x轴相交于点P(4，0)，则弦AB中点的横坐标为______． 2 返回 课堂小结 知识 1．直线与抛物线的位置关系. 2．弦长问题及中点弦、焦点弦问题 方法 待定系数法、数形结合法、点差法 易错 误区 混淆焦点弦长公式与一般的弦长公式 随堂演练 返回 1．直线y＝2与抛物线y2＝8x的公共点的个数为 A．0 B．1 C．2 D．无数 因为直线y＝2与抛物线y2＝8x的对称轴平行，故直线与抛物线只有一个公共点．故选B． √ 2．(多选)直线y＝x－2与抛物线C：y2＝2x相交于A，B两点，下列说法正确的是 A．抛物线C的准线方程为y＝－ B．拋物线C的焦点为 C．若O为原点，则∠AOB＝90° D．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋1 √ √ 3．已知抛物线y2＝4x与过焦点的一条直线相交于A，B两点，若弦AB的中点M的横坐标为3，则弦AB的长|AB|＝________． 8 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线方程为y2＝4x，知p＝2，又弦AB中点M的横坐标为3，所以x1＋x2＝6，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8. 4．已知抛物线C的顶点为坐标原点，准线为x＝－1，直线l与抛物线C交于M，N两点，若线段MN的中点为(1，1)，则直线l的方程为____________． 2x－y－1＝0 返回 课时测评 返回 1．已知命题p：k＜1，命题q：直线kx－y＋1＝0与抛物线y＝x2有两个公共点，则p是q的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2．(2024·安徽芜湖高二质量监控)抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A为准线上一点，则线段FA的中垂线与抛物线的位置关系为 A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3．若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为 ，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝4，则弦AB的中点到y轴的距离为 A． B．2 C．3 D．4 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4．已知直线y＝x－2与抛物线y2＝4x交于A，B两点，若D为线段AB的中点，O为坐标原点，则直线OD的斜率为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5．已知点P在直线y＝x－2上，点Q在曲线x2＝4y上，则|PQ|的最小值为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6．(多选)已知抛物线y2＝8x的焦点为F，过F且倾斜角为45°的直线l交抛物线于A，B两点，以下结论中正确的有 A．直线l的方程为x－y－2＝0 B．原点到直线l的距离为 C．|AB|＝16 D．以AB为直径的圆过原点 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7．直线y＝x＋t与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，且以AB为直径的圆过坐标原点，则t＝________． 0或－4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8．已知抛物线C：x2＝2y的焦点为F， 过点P(0，－2)作C的一条切线，切点为Q， 则△FPQ的面积为___． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9．过抛物线M：y2＝4x的焦点F作两条相互垂直的弦AB，CD，分别交M于A，B，C，D，则|AB|＋|CD|的最小值为________． 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10．(10分)(2024·安徽合肥高二期末)已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M(2，－2 )． (1)求抛物线的标准方程； 解：抛物线经过点M(2，－2 )， 设抛物线的方程为y2＝2px，则(－2 )2＝2p×2，p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x. (2)若斜率为1的直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段|AB|的长． 解：抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)， 直线l的方程为y＝x－1， x1＋x2＝6，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11．已知点P(－3，3)，过点M(3，0)作直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则k1＋k2＝ A．－1 B．1 C．－2 D．2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12．(多选)已知直线l过抛物线E：y2＝4x的焦点F，与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，分别过A，B作抛物线的准线l1的垂线，垂足分别为A1，B1，以线段A1B1为直径作圆M，O为坐标原点，下列正确的判断有 A．x1＋x2≥2 B．△AOB为钝角三角形 C．点F在圆M外部 D．直线A1F平分∠AFO √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，抛物线上两点A，B在第一象限，且满足|AF|＝3，|BF|＝7，|AB|＝5，则直线AB的斜率为_______． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14．(12分)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，抛物线上一点P的横坐标为3，且点P到焦点F的距离为5. (1)求抛物线C的方程； 由抛物线定义可知：点P到焦点F的距离即为点P到准线的距离， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)过点(2，0)作直线交抛物线于点A，B，求△AOB面积的最小值(其中O为坐标原点)． 解：由(1)知，抛物线C：y2＝8x，直线AB过(2，0), 可设直线AB的方程为x＝ty＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，不妨设y1＞0， 所以△AOB面积的最小值为8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15．(5分)已知抛物线C1：y2＝12x的焦点为F，圆C2：x2＋y2－6x＝0，过点F的直线l与抛物线C1交于A，B两点，与圆C2交于M，N两点，且点A，M在同一象限，则|AM|＋4|BN|的最小值为 A．5 B．12 C．16 D．20 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16．(13分)过抛物线y2＝2px(p＞0)的顶点O作两条互相垂直的弦交抛物线于A，B两点，求证： (1)A，B两点的横坐标之积、纵坐标之积分别为定值； 证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)． 因为OA⊥OB， 所以kOA·kOB＝－1， 所以x1x2＋y1y2＝0， 因为y1≠0，y2≠0， 所以y1y2＝－4p2， 所以x1x2＝4p2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)直线AB过定点． 证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)． 当直线AB的斜率存在时， 所以(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以直线AB过定点(2p，0)． 当直线AB的斜率不存在时，则kOA＝1， 所以直线OA：y＝x，与抛物线方程联立，得x2＝2px， 所以A(2p，2p)，故直线AB过定点(2p，0)． 综上，直线AB过定点(2p，0)． 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 三 章 　 圆 锥 曲 线 的 方 程 返回 x1＋ x2＋ 解：如图所示，过A，B，M分别作准线的垂线， 垂足分别为C，D，E.由定义知|AC|＋|BD|＝p， 则梯形ABDC的中位线|ME|＝p，所以点M到y 轴的距离为p－＝p. ＝＝， 则有：(1)|AF|＝x1＋＝，|BF|＝x2＋＝. (2)＋＝. (3)|AB|＝x1＋x2＋p＝. (4)S△AOB＝. (5)以AB为直径的圆与准线l相切，以AF为直径的圆与y轴相切． (6)∠ANB＝90°，∠CFD＝90°. (7)y1y2＝－p2，x1x2＝.　　 · 因为抛物线y2＝2px(p＞0)经过点M(1，2)，所以22＝2p，解得p＝2，故A正确；所以抛物线方程为y2＝4x，则焦点F(1，0)，设直线l：x＝my＋1，联立消去x整理得y2－4my－4＝0，则Δ＝16m2＋16＞0，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，则x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝4m2＋2，x1x2＝(my1＋1)(my2＋1)＝m2y1y2＋m(y1＋y2)＋1＝1，所以|AB|＝x1＋x2＋2＝4m2＋4≥4，故B正确；所以＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，所以·＝x1x2＋y1y2＝－3，故C错误；k1k2＝·＝－4，故D正确．故选ABD． 由C：y2＝2x，则其焦点为F，准线方程为 x＝－，故A错误，B正确；联立直线与拋物线得 y2－2y－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2， y1y2＝－4，而x1x2＝＝4，由·＝x1x2＋y1y2＝0，即⊥，故C正确；显然直线y＝x－2不过焦点F，由拋物线定义有|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，所以|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋1＞|AB|，故D错误．故选BC． 因为抛物线C的顶点为坐标原点，准线为x＝－1， 所以易得抛物线的方程为y2＝4x，设M(x1，y1)， N(x2，y2)，因为线段MN的中点为Q(1，1)，故x1 ＋x2＝2，y1＋y2＝2，则x1≠x2，联立两 式相减得y－y＝4(x1－x2)，所以＝＝2，故直线l的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0. 由题意知，联立消去y整理可得x2－kx－1＝0，则Δ＝k2＋4＞0恒成立，则直线kx－y＋1＝0与抛物线y＝x2必定有两个交点，则 p⇒q显然成立，q⇒p不成立．故选A． 设y＝x＋C与y＝x－2平行，且与x2＝4y相切，则y＝x＋C与y＝x－2的距离即为|PQ|的最小值，联立y＝x＋C与x2＝4y得x2－4x－4C＝0，由Δ＝16＋16C＝0，解得C＝－1，故|PQ|的最小值为＝.故选D． 如图所示，对于选项A，抛物线的焦点为F(2，0)， 所以直线l的方程为y＝x－2，即x－y－2＝0，故 A正确；对于选项B，d＝＝，故B正确；对于 选项C，联立⇒x2－12x＋4＝0，设A(x1，y1)， B(x2，y2)，则x1＋x2＝12，x1x2＝4，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝12＋4＝16，故C正确；对于选项D，·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1－2)(x1－2)＝2x1x2－2(x1＋x2)＋4＝2×4－2×12＋4＝－12＜0，故D错误．故选ABC． 如图所示，对于选项A，由抛物线的焦半径公式可知|AB| ＝x1＋x2＋2≥2p＝4，所以x1＋x2≥2，故A正确；对于选 项B，·＝x1x2＋y1y2＝＋y1y2，令直线l的方程 为x＝my＋1，代入y2＝4x得y2－4my－4＝0，所以y1y2＝ －4，所以·＝－3＜0，所以△AOB是钝角三角形，故B正确；对于选项C，D，由＝|AF|可知∠AA1F＝∠AFA1，又AA1∥OF，所以∠AA1F＝∠OFA1＝∠AFA1，所以直线FA1平分∠AFO，同理可得FB1平分∠BFO，所以A1F⊥B1F，即∠A1FB1＝90°，所以圆M经过点F，故C错误，D正确．故选ABD． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题可知AB的斜率存在，设AB的斜率为k.因为A，B都在x轴上方，由题意知k＞0，由抛物线定义|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，则所以＝4，又因为|AB| ＝·＝5，所以＝，解得k＝. kOA＝，kOB＝， $$