2.3.1 两条直线的交点坐标-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

2.3.1　两条直线的交点坐标 　 第二章　2.3　直线的交点坐标与距离公式 知识层面 1．能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标．　 2．会根据方程解的个数判断两条直线的位置关系． 素养层面 通过求两直线交点坐标和位置关系的判断，提升逻辑推理、数学运算素养. 课时测评 3 综合应用 1 内容索引 随堂演练 2 问题1．已知两条直线l1：x＋y－5＝0，l2：x－y－3＝0，画出两条直线的图象，分析交点坐标M与直线l1，l2的方程有什么关系？ 提示：直线l1，l2的图象如图所示．点M既在直线l1上，也在直线l2上．满足直线l1的方程x＋y－5＝0，也满足直线l2的方程x－y－3＝0. 问题导思 提示：加减消元法或代入消元法． 1．两条直线的交点 已知两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设这两条直线的交点为P，则点P既在直线____上，也在直线____上．所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标是方程组 的解．解这个方程组就可以得到这两条直线的__________． 新知构建 l1 l2 A1x＋B1y＋C1＝0 A2x＋B2y＋C2＝0 交点坐标 2．两直线的位置关系和方程组解的个数的关系 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)；l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)的位置关系如表所示． 一组 无数组 无解 直线l1和l2公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1和l2的位置关系 ______ ______ ______ 相交 重合 平行 (1)判断两直线位置关系的方法，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况． 有唯一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0，即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0.(2)虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用． 微提醒 (链教材P71例2)判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标： (1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0； 例1 所以l1与l2相交，交点坐标为(－1，－1)． (2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0； ①×2－②得1＝0，矛盾． 这个方程组无解， 所以直线l1与l2无公共点，l1∥l2. (3)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋2＝0. ①×2得2x－2y＋2＝0. ①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l1与l2重合． 两条直线相交的判断方法 1．联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交． 2．两直线斜率都存在且斜率不相等． 3．两直线的斜率一个存在，另一个不存在． 规律方法 对点练1．(1)已知直线l1：y ＝ kx － 4与直线l2：x ＋ 2y ＋ 2 ＝ 0的交点在第三象限，则实数k的取值范围为 A．(－∞，－2) B．(－2，＋∞) C． D．(－2，0) √ (2)已知直线ax＋4y－2＝0与2x－5y＋b＝0互相垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c的值是________． －4 返回 综合应用 返回 应用一　直线系过定点问题 无论m为何值，直线l：(m＋1)x－y－7m－4＝0恒过一定点P，求点P的坐标． 解：法一：因为(m＋1)x－y－7m－4＝0， 所以m(x－7)＋(x－y－4)＝0， 例2 所以点P的坐标为(7，3)． 法二：令m＋1＝0，即m＝－1时，有－y＋7－4＝0，所以y＝3，令m＝0时，有x－y－4＝0， 解含参数的直线恒过定点问题的三个策略 1．任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，求得这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解． 2．含有参数的直线方程若能整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则该直线必过定点(x0，y0)． 规律方法 对点练2．已知(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0为直线l的方程，求证：不论k取何实数，直线l必过第四象限． 证明：整理直线l的方程得(x＋y)＋k(x－y－2)＝0. 所以直线l经过定点M(1，－1)， 因为M(1，－1)在第四象限内，所以直线l必过第四象限． 应用二　相交直线系问题 求经过原点，且经过直线2x＋3y＋8＝0和x－y－1＝0的交点的直线l的方程． 解：法一：解方程组 所以直线2x＋3y＋8＝0和x－y－1＝0的交点坐标为(－1，－2)． 又直线l经过原点，所以直线l的方程为 例3 法二：设所求直线方程为2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0， 因为直线过原点(0，0)，所以8－λ＝0，解得λ＝8， 所以直线方程为2x＋3y＋8＋8x－8y－8＝0，即2x－y＝0. 变式探究 (变条件)将本例“经过原点”改为“与3x－4y＋5＝0垂直”，求直线方程． 解：设所求直线方程为2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0，即(2＋λ)x＋(3－λ)y＋(8－λ)＝0. 因为该直线与3x－4y＋5＝0垂直， 所以3(2＋λ)－4×(3－λ)＝0， 解得λ＝ ，所以所求直线方程为4x＋3y＋10＝0. 求与已知两直线的交点有关的问题的解法 1．先求出两直线交点，将问题转化为过定点的直线，然后再依据其他条件求解． 2．运用过两直线交点的直线系方程：若两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0有交点，则过l1与l2交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为待定常数，不包括直线l2)，设出方程后再利用其他条件求解． 规律方法 对点练3．已知两直线l1：x＋2y－6＝0和l2：x－2y＋2＝0的交点为P.求： (1)过点P与Q(1，4)的直线方程； 解：设过直线l1和l2交点的直线方程为x＋2y－6＋m(x－2y＋2)＝0， 即(m＋1)x＋(2－2m)y＋(2m－6)＝0.① (2)过点P且与直线x－3y－1＝0平行的直线方程． 解：由两直线平行，得－3(m＋1)＝2－2m，得m＝－5， 所以所求直线的方程为－4x＋12y－16＝0，即x－3y＋4＝0. 返回 课堂小结 知识 1．两条直线的交点. 2．直线系过定点 方法 消元法、直线系法 易错误区 对两直线相交条件认识模糊 随堂演练 返回 1．两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为(　　 ) A．(3，2) B．(2，3) C．(－2，－3) D．(－3，－2) √ 2．(多选)两条直线l1：2x＋3y－m＝0与l2：x－my＋12＝0的交点在y轴上，那么m的值为 A．－24 B．6 C．－6 D．0 √ √ 3．直线y＝k(x－2)－1(k∈R)经过定点________． (2，－1) 因为y＝k(x－2)－1(k∈R)，令x－2＝0，即x＝2，y＝－1，所以过定点(2，－1)． 4．经过直线l1：x＋3y－4＝0与l2：5x＋2y＋6＝0的交点，且过点A(2，3)的直线方程是_______________． x－4y＋10＝0 返回 课时测评 返回 1．直线2x＋y＋1＝0与直线x－y＋2＝0的交点在 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2．已知直线x＋my－3－2m＝0恒过定点Q，Q点在直线l上，则l的方程可以是 A．x＋y－3＝0 B．x－y－1＝0 C．2x＋y－7＝0 D．x＋2y－5＝0 √ 由题意知x＋my－3－2m＝0可化为m(y－2)＝－(x－3)，则直线l恒过定点Q(3，2)，验证选项得直线l的方程可以为x－y－1＝0.故选B． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3．直线2x＋y＋2＝0与ax＋4y－2＝0互相垂直，则这两条直线的交点坐标为 A．(1，－4) B．(0，－2) C．(－1，0) D． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4．(2024·山东淄博高二质量检测)经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线的一个方向向量v＝(3，2)的直线方程为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5．直线l1：x＋my－6＝0与l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0只有一个公共点，则 A．m≠－1且m≠3 B．m≠－1且m≠－3 C．m≠1且m≠3 D．m≠1且m≠－1 √ 因为直线l1：x＋my－6＝0与直线l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0只有一个公共点，所以两条直线不平行也不重合，所以m(m－2)≠3，解得m≠－1，m≠3，所以m的取值范围是m≠－1且m≠3.故选A． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6．(多选)若两条直线y＝kx＋2k＋1和x＋2y－4＝0的交点在第四象限，则k的取值可以是 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7．三条直线ax＋2y－8＝0，4x＋3y＝10与2x－y＝10相交于一点，则a的值为________． 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8．若a∈R，则直线(a－1)x－y＋2a－1＝0恒过定点________． (－2，1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9．经过直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为__________________________． x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10．(10分)如图，△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为 x－2y＋1＝0，∠BAC的平分线所在直线的方程为y＝0，若 点B的坐标为(1，2)，点A在x轴上，求点A和点C的坐标． 因为∠BAC的平分线所在直线的方程为y＝0， 所以直线AC的斜率为－1，AC所在直线的方程为y＝－(x＋1)． 因为BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0， 所以kBC＝－2. 又点B的坐标为(1，2)， 所以BC所在直线的方程为y＝－2(x－1)＋2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11．(2024·黑龙江哈尔滨高二月考)已知P1(a1，b1)与P2(a2，b2)是直线y＝kx＋1(k为常数)上两个不同的点，则关于直线l1：a1x＋b1y－1＝0和l2：a2x＋b2y－1＝0的交点情况说法正确的是 A．存在k，P1，P2使之无交点 B．存在k，P1，P2使之有无穷多交点 C．无论k，P1，P2如何，总是无交点 D．无论k，P1，P2如何，总有唯一交点 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12．(多选)已知直线l1：x－y－1＝0和直线l2：(k＋1)x＋ky＋k＝0(k∈R)，则下列结论正确的是 A．存在实数k，使得直线l2的倾斜角为 B．对任意的实数k，直线l1与直线l2都有公共点 C．对任意的实数k，直线l1与直线l2都不重合 D．对任意的实数k，直线l1与直线l2都不垂直 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13．若三条直线l1：3x＋my－1＝0，l2：3x－2y－5＝0，l3：6x＋y－5＝0不能围成三角形，则实数m的值为______________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14．(12分)已知直线m：(a＋2)x＋(1－2a)y＋4－3a＝0. (1)求证：直线m过定点M； 证明：方程(a＋2)x＋(1－2a)y＋4－3a＝0化为a(x－2y－3)＋(2x＋y＋4) ＝0， 故直线m恒过定点M(－1，－2)． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)过点M作直线n使直线与两负半轴围成的三角形AOB的面积等于4，求直线n的方程． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15．(5分)(新角度)若点A(2，－3)是直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0的公共点，则相异两点(a1，b1)和(a2，b2)所确定的直线方程是 A．2x－3y＋1＝0 B．3x－2y＋1＝0 C．2x－3y－1＝0 D．3x－2y－1＝0 √ 因为A(2，－3)是直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0的公共点，所以2a1－3b1＋1＝0，且2a2－3b2＋1＝0，所以两点(a1，b1)和(a2，b2)都在同一条直线2x－3y＋1＝0上，故两点(a1，b1)和(a2，b2)所确定的直线方程是2x－3y＋1＝0.故选A． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16．(13分)已知△ABC的顶点A(4，3)，AB边上的高所在直线为x－y－3＝0，D为AC的中点，且BD所在直线方程为3x＋y－7＝0. (1)求顶点B的坐标； 解：由A(4，3)及AB边上的高所在直线为x－y－3＝0， 得AB所在直线方程的斜率为－1， 则直线AB的方程为y－3＝－(x－4)，即x＋y－7＝0. 又BD所在直线方程为3x＋y－7＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求BC边所在的直线方程． 返回 化简得直线BC的方程为19x＋y－7＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 二 章 　 直 线 和 圆 的 方 程 返回 问题2．关于x，y的二元一次方程组 的解如何求？ 方程组的解 3．含有参数的直线方程若能整理成A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，则该直线必过定点，其定点可由方程组解得． 法一：联立直线方程，解方程组得故l1，l2的交点坐标为(－2，2)，由两点式得所求直线的方程为＝，即x－4y＋10＝0. 法二：易知直线5x＋2y＋6＝0不符合所求方程，设所求直线方程为x＋3y－4＋λ(5x＋2y＋6)＝0(λ∈R)，将点A(2，3)的坐标代入，得2＋3×3－4＋λ(5×2＋2×3＋6)＝0，解得λ＝－，故所求直线方程为x＋3y－4－(5x＋2y＋6)＝0，整理得x－4y＋10＝0. 解：由方程组得顶点A(－1，0)，则边AB 所在直线的斜率kAB＝＝1. 2或－2或 $$