2.2.1 直线的点斜式方程-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

2.2.1　直线的点斜式方程 　 第二章　2.2　直线的方程 知识层面 1．了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程．　 2．掌握直线的点斜式方程与斜截式方程． 3．会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关的问题． 素养层面 通过学习直线的点斜式方程及斜截式方程，提升逻辑推理及数学运算素养. 知识点一　直线的点斜式方程 1 知识点二　直线的斜截式方程 2 课时测评 5 综合应用 3 内容索引 随堂演练 4 知识点一　直线的点斜式方程 返回 问题1．(1)在平面内，过点P0(x0，y0)的直线有多少条？斜率为k的直线有多少条？ 提示：无数条；无数条． (2)在平面内，过点P0(x0，y0)且斜率为k的直线有多少条？ 提示：有且只有一条． 问题导思 新知构建   点斜式 已知条件 点P0(x0，y0)和_______ 图示 方程形式 y－y0＝__________ 适用条件 斜率存在 斜率k k(x－x0) (1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式．(2)点斜式方程中的点只要是这条直线上的点，哪一个都可以． 微提醒 (1)过点P0(x0，y0)，分别平行于x轴和y轴的直线方程是什么？ 提示：当直线与x轴平行时，方程可简写为y＝y0；当直线与y轴平行时，不能应用点斜式方程，此时可将方程写成x＝x0. 提示：不是．前者缺少一个点P0(x0，y0)，后者才是整条的直线． 微思考 (链教材P60例1，P61T1)写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点A(－2，3)，斜率为3； 解：由题意可知，将A(－2，3)和斜率3直接代入直线点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可得，直线的点斜式方程为y－3＝3(x＋2)． 例1 求直线的点斜式方程的思路 注意：只有在斜率存在的情况下才可以使用点斜式方程．　　 规律方法 对点练1．(1)已知直线的方程是y＋7＝－x－3，则 A．直线经过点(－3，7)，斜率为－1 B．直线经过点(7，－1)，斜率为－1 C．直线经过点(－3，－7)，斜率为－1 D．直线经过点(－7，－3)，斜率为1 根据已知可得出直线的点斜式方程为y－(－7)＝－[x－(－3)]，所以直线经过点(－3，－7)，斜率为－1.故选C． √ (2)已知过定点(4，5)的直线m的一个方向向量是d＝(3，2)，则直线m的点斜式方程为____________． 因为直线的一个方向向量d＝(3，2)，所以直线的斜率为 .又直线过点(4，5)，所以直线的点斜式方程为y－5＝ (x－4)． 返回 知识点二　直线的斜截式方程 返回 问题2．直线l上给定一个点P0(0，b)和斜率k，你能否得出直线l的方程呢？ 提示：y＝kx＋b. 问题导思 新知构建   斜截式 已知条件 斜率k和直线在y轴上的截距b 图示 方程形式 __________ 适用条件 斜率存在 y＝kx＋b (1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况．(2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它的横截距和纵截距都为0.(3)由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和纵截距，如直线y＝2x－1的斜率k＝2，纵截距为－1. 微提醒 (链教材P62T3)写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距为－1； 解：由题意得k＝2，b＝－1，由斜截式得直线方程为y＝2x－1. 例2 所以其倾斜角为60°， (3)倾斜角为60°，在y轴上的截距为3. 解：因为直线的倾斜角为60°， 因为在y轴上的截距为3， 所以直线在y轴上的截距b＝3. 变式探究　(变条件)若本例(3)变为：倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 解：因为直线的倾斜角为60°， 因为直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3， 所以直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3. 求直线的斜截式方程的策略 1．直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存在，只要点斜式中的点在y轴上，就可以直接用斜截式表示．　　 2．直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程，只需知道参数k，b的值即可． 3．利用直线的斜截式求方程务必灵活，如果已知斜率k，只需引入参数b；同理如果已知截距b，只需引入参数k. 规律方法 √ √ (2)直线l过点(2，－1)，且斜率为3，则直线l的斜截式方程为__________；在y轴上的截距为_____． y＝3x－7 －7 直线l过点(2，－1)，且l的斜率为3，由直线的点斜式方程得：y＋1＝3(x－2)，即y＝3x－7，当x＝0时，y＝－7，则l在y轴上的截距为－7. 返回 综合应用 返回 两直线的平行与垂直问题 (链教材P61例2)直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2. (1)当a为何值时，l1∥l2； 例3 故当a＝－1时，直线l1与直线l2平行． (2)当a为何值时，l1⊥l2. 解：要使l1⊥l2，则需满足(a2－2)×(－1)＝－1， 两条直线平行和垂直的判定 1．平行的判定 2．垂直的判定 规律方法 对点练3．(1)已知直线l1：y＝2x＋3a，l2：y＝(a2＋1)x＋3，若l1∥l2，则a＝ A．0 B．－1 C．1 D．±1 √ 因为l1∥l2，所以a2＋1＝2，a2＝1，所以a＝±1，又l1∥l2，两直线l1与l2不能重合，则3a≠3，即a≠1，故a＝－1.故选B． (2)直线l：y＝－x＋1的倾斜角为________，经过点(1，3)且与直线l垂直的直线的斜截式方程为____________． 因为直线l：y＝－x＋1的斜率为－1，设倾斜角为α，所以tan α＝－1，因为0°≤α＜180°，所以α＝135°，与直线l垂直的直线的斜率为1，则所求直线方程为y－3＝1×(x－1)，即y＝x＋2. 135° y＝x＋2 返回 课堂小结 知识 1．直线的点斜式方程. 2．直线的斜截式方程 方法 待定系数法、数形结合法 易错误区 求直线方程时忽视斜率不存在的情况；混淆截距与距离 随堂演练 返回 A．30° B．60° C．90° D．120° √ 2．(多选)直线l1：y＝ax＋b与l2：y＝bx＋a在同一平面直角坐标系内的位置可能是 √ √ 对于A选项，两条直线的斜率和截距均大于0，且其中一条直线的斜率和截距均大于另一条直线的斜率和截距，不符合题意，故A不正确；对于B选项，当ab＜0时，符合题意，故B正确；对于C选项， 时，符合题意，故C正确；对于D选项，其中一条直线斜率不存在，不符合题意，故D不正确．故选BC． 3．(2024·山东东营高二质量监测)已知直线l1：y＝x－2，l2：y＝kx＋2 024，若l1∥l2，则实数k＝ A．－2 B．－1 C．0 D．1 已知直线l1：y＝x－2，l2：y＝kx＋2 024，因为l1∥l2，所以k＝1.故选D． √ 4．经过点A(1，2)，倾斜角为 的直线的斜截式方程为____________． y＝x＋1 返回 课时测评 返回 1．已知直线l1：y－3＝2(x－2)，则l1在y轴上的截距为 A．(0，1) B．(0，－1) C．1 D．－1 在方程y－3＝2(x－2)中，令x＝0，得y＝－1，所以l1在y轴上的截距为－1.故选D． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3．已知两条直线l1：y－3＝k1(x－1)，l2：y－3＝k2(x－2)，则下列说法正确的是 A．l1与l2一定相交 B．l1与l2一定平行 C．l1与l2一定相交或平行 D．以上均不对 √ 当k1＝k2＝0时，l1与l2重合；当k1＝k2≠0时，l1与l2平行；当k1≠k2时，l1与l2相交．故选D． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4．直线l过点A(1，1)，且l在y轴上的截距的取值范围为(0，2)，则直线l的斜率的取值范围为 A．(－1，3) B．(1，3) C．(0，1) D．(－1，1) 设直线l的斜率为k，则其方程为y－1＝k(x－1)，可化为y＝kx＋1－k，由l在y轴上的截距的取值范围为(0，2)，可得0＜1－k＜2，解得－1＜k＜1.故选D． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5．已知直线l1和l2互相垂直且都过点A(1，1)，若l1过原点O(0，0)，则l2与y轴交点的坐标为 A．(2，0) B．(0，2) C．(0，1) D．(1，0) √ 由题意得直线l1的斜率k＝ ＝1，由直线l1和l2互相垂直可得直线l2的斜率为－1，所以直线l2的方程为y－1＝－(x－1)，即y＝－x＋2，令x＝0得y＝2，故直线l2与y轴交点的坐标为(0，2)．故选B． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A．－2 B．1 C．2 D．－1 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7．经过点(0，－2)且与直线y＝3x－5垂直的直线的斜截式方程为__________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9．如果直线l的斜率和在y轴上的截距分别为直线y＝ x＋2的斜率的一半和在y轴上截距的两倍，那么直线l的方程是____________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)求直线l的方程； (2)若直线l1过点A，且倾斜角是直线l的一半，求直线l1的方程． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11．已知直线l1：y＝ x＋2，直线l2是直线l1绕点P(－2，1)逆时针旋转45°得到的直线．则直线l2的方程是 A．y＝x＋3 B．y＝－2x－3 C．y＝4x＋9 D．y＝3x＋7 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12．(多选)设点A(－1，0)，B(1，0)，直线y＝－2x＋b与线段AB相交，则b可取的值有 A．－1 B．0 C．2 D．3 √ √ b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x＋b过点A(－1，0)和点B(1，0)时，b分别取得 最小值和最大值，当直线y＝－2x＋b过点A(－1，0) 时，0＝－2×(－1)＋b，解得b＝－2，当直线y＝－2x＋b过点B(1，0)时，0＝－2×1＋b，解得b＝2，所以b的取值范围是[－2，2]. 故选ABC． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13．已知直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a＝________． 因为直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，所以a(a＋2)＝－1，解得a＝－1. －1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14．(12分)已知直线方程为y＋2＝k(x＋1)． (1)若直线的倾斜角为135°，求k的值； 解：直线方程为y＋2＝k(x＋1)， 因为直线的倾斜角为135°， 所以斜率k＝tan 135°＝－1. (2)若k＝－2，直线分别与x轴、y轴交于A，B两点，O为坐标原点，求△AOB面积． 解：当k＝－2时，y＋2＝－2(x＋1)， 即y＝－2x－4， 当x＝0时，y＝－4， 当y＝0时，x＝－2， 所以A(－2，0)，B(0，－4)， 所以△AOB的面积为 ×2×4＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15．(5分)(新情境)若光线沿倾斜角为120°的直线射向y轴上的点A(0，－4)，则经y轴反射后，反射光线所在的直线方程为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16．(13分)如图所示，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，边AB，AD分别在x轴，y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合．将矩形折叠，使点A落在线段DC上．若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在的直线方程． 解：当k＝0时，A与D重合， 当k≠0时，点A关于折痕EF的对称点G在DC上． 设点G的坐标为(t，1)，A(0，0)，则由AG⊥EF，得 ·k＝－1，所以t＝－k，所以G(－k，1)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回 当k＝0时也满足上式． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 二 章 　 直 线 和 圆 的 方 程 返回 y－5＝(x－4) 当 或 由直线y＝ax－，得a≠0，直线的斜率k＝a，直线在y轴上的截距为－，当a＞0时，－＜0，则直线经过第一象限和第三象限，且与y轴相交于x轴下方；当a＜0时，－＞0，则直线经过第二象限和第四象限，且与y轴相交于x轴上方；只有B选项的图象符合题意．故选B． y＝－x－2 8．将直线y＝x＋－1绕其上一点(1，)沿逆时针方向旋转15°，所得到的直线的点斜式方程是________________． y－＝(x－1) y＝x＋4 因为直线l的斜率为，所以tan α＝，解得α＝，β＝，所以tan β＝， 所以由点斜式知直线l1的方程为y－(－2)＝(x－)，即x－y－3 ＝0. $$