2.1.1 倾斜角与斜率-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

2.1.1　倾斜角与斜率 　 第二章　2.1　直线的倾斜角与斜率 知识层面 1．在平面直角坐标系中，结合具体图形探索确定直线位置的几何要素．　 2．理解直线的倾斜角和斜率的概念．　 3．经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式． 素养层面 通过倾斜角概念的学习，提升数学抽象素养；通过斜率和直线方向向量的学习，培养逻辑推理和数学运算素养. 知识点一　直线的倾斜角 1 知识点二　直线的斜率和方向向量 2 课时测评 5 综合应用 3 内容索引 随堂演练 4 知识点一　直线的倾斜角 返回 问题1．在平面中，怎样才能确定一条直线？ 提示：两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线． 问题2．在平面直角坐标系中，规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向，图中过点P的直线有什么区别？ 提示：直线的方向不同，相对于x轴的倾斜程度不同． 问题导思 直线的倾斜角 新知构建 倾斜角 的定义 当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴______与直线l______的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角0° 特例 当直线l与x轴平行或重合时，倾斜角为_____ 倾斜角α 的范围 ________________ 正向 向上 0° 0°≤α＜180° (1)从运动变化的观点来看，当直线l与x轴相交时，直线l的倾斜角是由x轴绕直线l与x轴的交点按逆时针方向旋转到与直线l重合时所得到的最小正角．(2)倾斜角从“形”的方面直观地体现了直线对x轴正向的倾斜程度． 微提醒 任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？ 提示：由倾斜角的定义可以知道，任何一条直线都有倾斜角；不同的直线其倾斜角有可能相同，如平行的直线其倾斜角是相同的． 微思考 (1)如图，直线l的倾斜角为 A．60° B．120° C．30° D．150° 例1 由题图易知l的倾斜角为45°＋105°＝150°.故选D． √ (2)设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为_________________． 如图①所示，当0°≤α＜135°时，l1的 倾斜角是α＋45°，如图②所示，当135° ≤α＜180°时，结合图形和倾斜角的概念， 即可得到l1的倾斜角为α－135°. α＋45°或α－135° 求直线倾斜角的关键及两点注意 1．关键：依据平面几何知识判断直线向上的方向与x轴正向之间所成的角． 2．注意：(1)当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°；当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.(2)直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. 规律方法 对点练1．(1)直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角范围是 A．0°≤α＜90° B．90°≤α＜180° C．90°＜α＜180° D．0°＜α＜180° 直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角范围是90°＜α＜180°.故选C． √ (2)一束光线射到x轴上并经x轴反射．已知入射光线的倾斜角α1＝30°，则反射光线的倾斜角α2＝________． 作出入射光线和反射光线，如图．因为入射 光线的倾斜角α1＝30°，所以入射角为60°. 又反射角等于入射角，由图易知，反射光线 的倾斜角为60°＋60°＋30°＝150°. 150° 返回 知识点二　直线的斜率和方向向量 返回 问题导思 提示：可以利用倾斜角的正切值来定义直线的倾斜程度． 1．斜率的定义 一条直线的倾斜角α的______值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝_________． 2．斜率公式 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝______． 当x1＝x2时，直线P1P2没有斜率． 3．直线的方向向量 设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)是直线l上的两点，则向量 ＝(x2－x1，y2－y1)以及与它平行的非零向量都是直线的__________．若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝__． 新知构建 正切 tan α 方向向量 (1)所有的直线都有倾斜角与斜率，对吗？请说明理由． 提示：不对．所有的直线都有倾斜角，但当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°，直线斜率不存在． (2)计算直线的斜率k时与从该直线上所选取的两点P1，P2的位置有关吗？ 提示：无关． 微思考 (1)已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为 例2 √ (2)过点A(3，0)，B(5，－2)的直线的倾斜角为____________. (3)若直线l1的斜率为－1，直线l2的倾斜角比直线l1的倾斜角小30°，则直线l2的斜率为________． 变式探究　(变条件)将本例(3)中直线l1的斜率改为－ ，且直线l1的倾斜角是直线l2的倾斜角的2倍，则直线l2的斜率为____． 3 应用斜率公式求斜率时应注意的问题 1．运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率不存在． 2．斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置． 3．在0°≤α＜180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记． 规律方法 √ (2)已知直线l过A(3，m＋1)，B(4，2m＋1)两点且倾斜角为 ，则m的值为____． 1 返回 综合应用 返回 应用一　三点共线问题 经过两点A(m，2)，B(－m，2m－1)的直线的倾斜角为45°.若点C(m＋1，n)在直线AB上，求m，n的值． 例3 规律方法 用斜率公式解决三点共线的方法 对点练3．已知A(a＋2，a)，B(1，－a)，C(a－4，a－1)三点构成一个三角形，求实数a的取值范围． 解：因为A(a＋2，a)，B(1，－a)，C(a－4，a－1)， 当a＋2＝1，即a＝－1，此时A(1，－1)，B(1，1)，C(－5，－2)，则AB的斜率不存在， 此时A，B，C三点能构成一个三角形， 应用二　求解范围问题 已知点A(－1，2)，B(2， )，P(1，0)，点Q是线段AB上的动点．求： (1)直线PQ的斜率的范围； 例4 (2)直线PQ的倾斜角的范围． 1．过定点和线段有交点的直线的斜率的取值范围问题 已知一条线段AB的端点及线段外一点P，求过点P的直线l与线段AB有交点的情况下直线l的斜率的取值范围，若直线PA，PB的斜率均存在，则步骤为： 第一步：连接PA，PB； 第三步：结合图形即可写出满足条件的直线l的斜率的取值范围． 规律方法 2．直线的倾斜角和斜率的关系 直线的斜率也反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程度．当0°≤α＜90°时，斜率越大，直线的倾斜角越大；当90°＜α＜180°时，斜率越大，直线的倾斜角也越大． 规律方法 对点练4．已知A(1，3)，B(3，－2)，直线l过原点且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围为________． 返回 课堂小结 知识 1．直线的倾斜角及其范围. 2．直线的斜率的定义和斜率公式. 3．直线的方向向量 方法 数形结合法 易错 误区 忽视倾斜角的范围、图形理解不清 随堂演练 返回 1．如图所示，直线l与y轴的夹角为45°，则l的倾斜角为 A．45° B．135° C．0° D．无法计算 根据倾斜角的定义知，l的倾斜角为90°＋45°＝135°.故选B． √ √ √ 3．已知经过A(1－a，1＋a)，B(3，2a)两点的直线l的方向向量为(1，－2)，则实数a的值为________． －1 返回 课时测评 返回 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2．在下列四个命题中，正确的是 A．若一条直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α B．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α C．一条直线的倾斜角可以为－30° D．若直线的倾斜角为α，则sin α≥0 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3．(2024·河南豫南名校高二联考)如图所示，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则下列结论正确的是 A．k1＞k2＞k3 B．k3＞k1＞k2 C．k2＞k1＞k3 D．k2＞k3＞k1 √ 由k＝tan α，结合y＝tan x的函数图象，直线l3对应的 倾斜角为钝角， 则k3＜0，直线l1与l2都为锐角，且l2 的倾斜角大于l1的倾斜角，则k2＞k1＞0，故k2＞k1＞k3. 故选C． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4．(2024·江苏南京高二期中)若将直线l沿x轴正方向平移2个单位，再沿y轴负方向平移3个单位，又回到了原来的位置，则l的斜率是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6．(多选)直线l过点P(1，3)且斜率为k，若直线l与线段AB有公共点， A(－1，－4)，B(2，－3)，则k可以取 A．－8 B．－5 C．3 D．4 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7．已知点A(－1，4)，B(2，7)在直线l上，则直线l的倾斜角的大小为________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8．已知直线l经过三点A(5，－3)，B(4，y)，C(－1，9)，则y＝________． －1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9．若经过点A(1－t，1＋t)和点B(3，2t)的直线的倾斜角为钝角，则实数t的取值范围是________． (－2，1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10．(10分)如图，已知三点A(2，1)，B(5，2)，C(4，3)． (1)求直线AB，BC，CA的斜率； (2)求直线BC，CA的倾斜角． 解：设直线BC的倾斜角为α∈[0，π)，由tan α＝kBC＝－1，则倾斜角α＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11．向量a＝(1，2)，b＝(3，4)，在直线l方向向量上的投影向量相等，则直线l的斜率为 A．1 B．－1 C．2 D．－2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12．(多选)已知直线l1，l2，l3的倾斜角分别为θ1，θ2，θ3，斜率分别是k1，k2，k3，若θ1＜θ2＜θ3，则k1，k2，k3的大小关系可能是 A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k2＜k1 C．k3＜k1＜k2 D．k2＜k3＜k1 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13．已知直线l的方向向量n＝(2，4)且与x轴交于点A，直线l绕点A逆时针旋转60°得到直线l′，则直线l′的斜率为________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14．(12分)已知A(3，1)，B(2，4)，C(m，2)三点． (1)若直线BC的倾斜角为135°，求m的值； 解：因为B(2，4)，C(m，2)，直线BC的倾斜角为135°， (2)是否存在m，使得A，B，C三点共线？若存在，求m的值；若不存在，说明理由． 解：因为A(3，1)，B(2，4)，C(m，2)三点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15．(5分)(新情境)函数y＝f(x)的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n(n≥2)个不同的数x1，x2，…，xn，使得 则n的取值集合为 A．{3，4} B．{2，3，4} C．{3，4，5} D．{2，3} √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16．(13分)已知点M(x，y)在函数y＝2x＋8的图象上，当x∈[－3，5]时，求： 解：因为点M在函数y＝2x＋8的图象上，且x∈[－3，5]，记点A(－3，2)，B(5，18)． 由题意可知点M(x，y)在线段AB上移动．记点N(－1，－1)， 由于－1∈[－3，5]，可知线段AB上存在点与N点连线的斜率不存在， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 二 章 　 直 线 和 圆 的 方 程 返回 π(或135°) －2－ 第二步：由k＝，求出kPA，kPB； 如图，当直线l分别经过A，B时为临界情况，又kOA ＝＝3，kOB＝＝－， 当直线从OA位置顺时针转动到OB位置时，由倾斜角 和斜率的关系可知k∈. 4．直线l的斜率k的取值范围是，则倾斜角α的范围是 ______________． α∈∪ 因为k＝tan α，又斜率k的取值范围是， 所以－≤tan α≤，又α∈，tan α＝时， α＝，tan α＝－时，α＝，由图可得， α∈∪. 由于直线l过点P(1，3)且斜率为k，与连接两点A(－1， －4)，B(2，－3)的线段有公共点，则kPA＝，kPB ＝－6，由图可知，k∈∪时， 直线与线段有交点，根据选项，可知AD符合．故选AD． 因为直线l经过三点A(5，－3)，B(4，y)，C(－1，9)，所以kAB＝kAC，　　　　即＝，解得y＝－1. . － ＝＝…＝， 如图，＝＝…＝的几何意义是：曲线上存在 n个点与坐标原点连线的斜率相等，即n指的是过原点的 直线与曲线的交点个数，由图可得n的值可以为2，3，4. 故选B． $$