1.4.1 第2课时 空间中直线、平面的平行-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

第2课时　空间中直线、平面的平行 　 第一章　1.4　1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 知识层面 1．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系. 2．能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行关系． 素养层面 通过直线的方向向量和平面的法向量解决平行问题，提升数学运算及逻辑推理素养. 知识点一　空间中直线和直线的平行 1 知识点二　直线和平面平行 2 知识点三　平面和平面平行 3 课时测评 6 综合应用 4 内容索引 随堂演练 5 知识点一　空间中直线和直线的平行 返回 问题1．观察图片，旗杆底部的平台和地面平行， 旗杆所在的直线和护旗战士所在的直线平行．旗杆 所在直线的方向向量和护旗战士所在直线的方向向 量有什么关系？ 提示：平行． 问题导思 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得________． 新知构建 (1)此处不考虑线线重合的情况．(2)设u1＝(a1，b1，c1)，u2＝(a2，b2，c2)分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)． 微提醒 u1＝λu2 在长方体ABCD -A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，点M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点．求证：MN∥RS. 证明：法一：如图所示，建立空间直角坐标系， 例1 因为M∉RS，所以MN∥RS. 又R∉MN，所以MN∥RS. 向量法证明直线平行的两种思路 规律方法 对点练1．如图所示，在四棱锥P -ABCD中，底面ABCD为矩形， PD⊥平面ABCD，E为CP的中点，N为DE的中点，DM＝ DB， DA＝DP＝1，CD＝2.求证：MN∥AP. 证明：法一：由题意知，直线DA，DC，DP两两垂直．如图所示， 以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴， 返回 知识点二　直线和平面平行 返回 问题2．观察下图，直线l与平面α平行，u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，u与n有什么关系？ 提示：垂直． 问题导思 设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔________． 新知构建 (1)证明线面平行的关键是证直线的方向向量与平面的法向量垂直．(2)特别强调直线在平面外．(3)设u＝(a1，b1，c1)是直线l的方向向量，n＝(a2，b2，c2)是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0. 微提醒 u·n＝0 在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．证明：PA∥平面EDB． 证明：如图所示，建立空间直角坐标系，D是坐标原点， 设PD＝DC＝a. 连接AC，交BD于点G，连接EG， 例2 法一：设平面EDB的法向量为n＝(x，y，z)， 又PA⊄平面EDB，所以PA∥平面EDB． 法二：因为四边形ABCD是正方形， 所以G是此正方形的中心， 而EG⊂平面EDB，且PA⊄平面EDB， 所以PA∥平面EDB． 所以PA∥平面EDB． 利用空间向量证明线面平行的三种方法 1．先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直． 2．证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证． 3．证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示．　　 规律方法 对点练2． 在正方体ABCD -A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，C1B1的中点．求证：MN∥平面A1BD． 证明：法一：如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分 别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)， 取x＝1，则y＝－1，z＝－1， 所以平面A1BD的一个法向量为n＝(1，－1，－1)． 又MN⊄平面A1BD，所以MN∥平面A1BD． 又MN⊄平面A1BD，所以MN∥平面A1BD． 又MN⊄平面A1BD，故MN∥平面A1BD． 返回 知识点三　平面和平面平行 返回 问题3．观察下图，平面α，β平行，n1，n2分别是 平面α，β的法向量，n1与n2具有什么关系？ 提示：平行． 问题导思 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使________． 新知构建 设n1＝(a1，b1，c1)，n2＝(a2，b2，c2)分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)． 微提醒 n1＝λn2 已知正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点． 求证：平面ADE∥平面B1C1F. 证明：建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0，0，0)，A(2，0，0)，C1(0，2，2)， E(2，2，1)，F(0，0，1)，B1(2，2，2)， 例3 设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量， 令z1＝2，则y1＝－1， 所以可取n1＝(0，－1，2)． 同理，设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的法向量， 令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1，2)． 因为n1＝n2，即n1∥n2， 所以平面ADE∥平面B1C1F. 证明面面平行问题的方法 1．转化为相应的线线平行或线面平行． 2．分别求出这两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行．　　 规律方法 对点练3．已知正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为a，M，N，E，F分别是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点． 求证：平面AMN∥平面BDEF. 证明：如图所示，以点D为原点，分别以 为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系， 设n1＝(x1，y1，z1)是平面AMN的法向量， 取z1＝1，得x1＝2，y1＝－2，则n1＝(2，－2，1)． 设n2＝(x2，y2，z2)是平面BDEF的法向量， 取z2＝1，得y2＝－2，x2＝2，则n2＝(2，－2，1)＝n1. 故平面AMN∥平面BDEF. 返回 综合应用 返回 平行关系中的探索性问题 (链教材P30例3)如图所示，在四棱锥P –ABCD 中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，AC∩BD ＝O，且AB＝PA＝2, 在棱PD上是否存在一点E(P，D 除外)，使PB∥平面ACE，如果存在，请确定点E的 位置，并写出证明过程；如果不存在，请说明理由． 解：由题意，以A为坐标原点，建立如图所示的空间 直角坐标系A-xyz. 因为PA＝2，AB＝AD＝BC＝CD＝2，则A(0，0，0)， B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)． 例4 所以当点E为线段PD的中点时，PB∥平面ACE. 变式探究 (变条件，变设问)如图，在四棱锥P -ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝AB＝BC＝ AD＝1.问：在棱PD上是否存在一点E，使得CE∥平面PAB？若存在，求出E点的位置，若不存在，请说明理由． 解：分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z 轴建立空间直角坐标系，如图． 则P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(0，2，0)． 假设在棱PD上存在符合题意的点E， 所以－y－2(z－1)＝0.① 所以(－1，y－1，z)·(0，2，0)＝2(y－1)＝0， 所以y＝1，代入①式得z＝ . 所以E是PD的中点，即存在点E为PD的中点时，CE∥平面PAB． 1．求点的坐标：可设出对应点的坐标，根据面面平行的判定定理转化为向量共线问题或者利用两个平面的法向量共线，进而建立与所求点的坐标有关的等式． 2．由结论推应具备的条件的逆向推理是逻辑推理中的一种基本形式，通过应用推理的方式与方法，能较好地培养学生合乎逻辑的思维品质．　　 规律方法 对点练4．如图，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，O为 底面ABCD的中心，P是DD1的中点．在棱CC1上是 否存在一点Q，使得平面D1BQ∥平面PAO？若存在， 指出点Q的位置；若不存在，请说明理由． 解：当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO. 证明如下：以D为坐标原点，建立如图所示的空间 直角坐标系D-xyz， 设正方体的棱长为2，Q(0，2，c)(0≤c≤2)符合题 意．连接D1B，D1Q，BQ. 则O(1，1，0)，A(2，0，0)，P(0，0，1)，B(2，2，0)，D1(0，0，2)， 令x＝1，则y＝1，z＝2，所以平面PAO的一个法向量为n1＝(1，1，2)． 若平面D1BQ∥平面PAO，则n1也是平面D1BQ的一个法向量． 设平面PAO的法向量为n1＝(x，y，z)， 所以c＝1， 所以当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO. 返回 课堂小结 知识 1．线线平行的向量表示. 2．线面平行的向量表示. 3．面面平行的向量表示 方法 坐标系法、基向量法、转化化归思想 易错误区 通过向量和平面平行直接得到线面平行，忽略条件直线不在平面内 随堂演练 返回 1．若不重合的直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1，2，－2)，b＝(－3，－6，6)，则下列结论正确的是 A．l1∥l2 B．l1⊥l2 C．l1，l2相交但不垂直 D．不能确定 √ 2．(多选)若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是 A．a＝(1，0，0)，n＝(0，－2，0) B．a＝(1，3，5)，n＝(1，0，1) C．a＝(0，2，1)，n＝(－1，0，－1) D．a＝(1，－1，3)，n＝(0，3，1) 若l∥α，则a·n＝0.而A中a·n＝0，B中a·n＝1＋5＝6，C中a·n＝－1，D中a·n＝－3＋3＝0. 故选AD． √ √ 3．设平面α的法向量为(1，2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝ A．2 B．－4 C．4 D．－2 √ 4．若平面α外的一条直线l的一个方向向量是n＝(－1，2，－3)，平面α的一个法向量为m＝(4，－1，－2)，则l与α的位置关系是________． 平行 n·m＝(－1，2，－3)·(4，－1，－2)＝0，所以n⊥m.又l⊄α，所以直线l与平面α平行，即l∥α. 返回 课时测评 返回 1．与向量a＝(1，－3，2)平行的一个向量的坐标是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2．若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为n＝(－2，1，1)，则下列结论正确的是 A．l∥α B．l⊥α C．l⊂α或l∥α D．l与α斜交 √ 因为a＝(1，0，2)，n＝(－2，1，1)，所以a·n＝1×(－2)＋0×1＋2×1＝0，所以l⊂α或l∥α.故选C． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A．相交 B．平行 C．直线在平面内 D．平行或直线在平面内 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A．α∥β B．α⊥β C．α与β相交但不垂直 D．α∥β或α与β重合 因为n＝－3m，所以m∥n，所以α∥β或α与β重合．故选D． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5．(多选)设a，b分别是不重合直线l1，l2的方向向量，则根据下列条件能判断l1∥l2的是 B．a＝(4，6，－2)，b＝(－2，－3，1) C．a＝(5，0，2)，b＝(0，1，0) D．a＝(－2，－1，1)，b＝(4，－2，－8) √ 对于A，易知a＝－ b，所以l1∥l2，故A正确；对于B，a＝－2b，所以l1∥l2，故B正确；对于选项CD，由于a与b不共线，所以不能判断l1∥l2.故选AB． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6．(多选)已知v1，v2分别为直线l1，l2的方向向量(l1，l2不重合)，n1，n2分别为平面α，β的法向量(α，β不重合)，则下列说法中，正确的是 A．v1∥v2⇔l1⊥l2 B．v1⊥v2⇔l1⊥l2 C．n1∥n2⇔α⊥β D．n1⊥n2⇔α⊥β √ 两直线的方向向量平行，而两直线不重合，则它们平行，故A错误；两直线的方向向量垂直，则它们也垂直，故B正确；两个平面的法向量平行，则这两个不重合的平面平行，故C错误；两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂直，故D正确．故选BD． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7．两条不同直线l1，l2的方向向量分别为m＝(2，1，－2)，n＝(1，1，1)，则这两条直线的位置关系是____________． 因为m＝(2，1，－2)，n＝(1，1，1)，m·n＝2×1＋1×1－2×1＝1≠0，故直线l1，l2不垂直， 故直线l1，l2不平行，所以两条直线相交或异面. 相交或异面 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为n1· ＝(2，－3，1)·(1，0，－2)＝0，n1· ＝(2，－3，1)·(1，1，1)＝0，AB∩AC＝A，所以n1也是平面ABC的法向量，又平面α与平面ABC不重合，所以平面α与平面ABC平行． 平行 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10．(10分)如图，已知在正方体ABCD -A1B1C1D1中， M，N，P分别是AD1，BD，B1C的中点．证明： (1)MN∥平面CC1D1D； 设正方体的棱长为2，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，D (0，0，0)，M(1，0，1)，N(1，1，0)，P(1，2，1)． 由正方体的性质，知AD⊥平面CC1D1D， 又MN⊄平面CC1D1D，所以MN∥平面CC1D1D． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)平面MNP∥平面CC1D1D． 所以平面MNP∥平面CC1D1D． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11．(多选)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等．下列结论中正确的是 A．A1M∥D1P B．A1M∥B1Q C．A1M∥平面DCC1D1 D．A1M∥平面D1PQB1 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13．如图， PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，PA＝AB＝2，若OG∥平面EFC，则AG＝________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14．(12分)如图所示，平面PAD⊥平面ABCD， 四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形， 且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD， CD的中点．求证：平面EFG∥平面PBC． 证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为 正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD， 所以AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD， AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间 直角坐标系， 则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0)． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令z1＝1，则x1＝1，y1＝0，所以n1＝(1，0，1)． 设n2＝(x2，y2，z2)是平面PBC的一个法向量． 令z2＝1，得x2＝1，y2＝0，所以n2＝(1，0，1)． 所以n1＝n2，所以平面EFG∥平面PBC． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15．(5分)如图，在长方体ABCD -A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝4.E，M，N分别是棱C1D1，AB，BC的中点．若点P是平面AA1D1D内的动点，且满足PE∥平面B1MN，则线段PE长度的最小值为__________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16．(13分)如图，在三棱柱ABC -A1B1C1中，侧面 AA1C1C⊥底面ABC，AA1＝A1C＝AC＝2，AB＝BC， 且AB⊥BC，O为AC的中点．在线段BC1上是否存在 一点E，使得OE∥平面A1AB？若不存在，说明理由； 若存在，确定点E的位置． 解：连接OA1，因为AA1＝A1C，且O为AC的中点，所以A1O⊥AC， 又平面AA1C1C⊥平面ABC，交线为AC，且A1O⊂平面AA1C1C， 所以A1O⊥平面ABC． 连接OB，由AB＝BC，得OB⊥AC， 以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x轴， y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回 所以存在这样的点E，且E为BC1的中点． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 一 章 　 空 间 向 量 与 立 体 几 何 返回 建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，2，0)， C(0，2，0)，P(0，0，1)，E，N，M， 依题意得D(0，0，0)，A(a，0，0)，P(0，0，a)， E，B(a，a，0)． 则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，M，N，于是＝(1，0，1)，＝(1，1，0)，＝. 则即所以 法二：＝－＝－＝(－) ＝，所以∥， 法三：＝－＝－＝－＝(＋)－(＋)＝－． 即可用与线性表示，故与，是共面向量， ，， 则 D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，M， N，E，F. 又≠≠， 8．若a＝是平面α的一个法向量，且b＝(－1，2，1)，c＝均与平面α平行，则向量a＝__________________． 证明：以D为坐标原点，，，的方向分别 为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系． 证明：因为＝(2，0，0)为平面CC1D1D的一个法向量， 如图所示，以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴， y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则 B(1，0，0)，E，D1(0，1，1)，C1(1，1，1)，A1(0， 0，1)，可得＝(－1，0，1)，＝，设n＝(x，y，z)是平面A1BE的法向量，则即令z＝2，则x＝2，y＝1，即n＝(2，1，2)，由＝(1，0，0)，且＝λ，可得F(λ，1，1)(0≤λ≤1)，又因为B1(1，0，1)，则＝(λ－1，1，0)，由B1F∥平面A1BE，可得n·＝2(λ－1)＋1×1＋0×2＝0，解得λ＝.故选C． 如图所示，以A为坐标原点，，， 的方向分别为x， y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，由题意可得 P(0，0，2)， B(2，0，0)，D(0，2，0)，C(2，2，0)，O(1，1，0)，则F(1，0， 1)，E(0，1，1)，所以＝(1，2，－1)，＝(－1，1，0)，设平面EFC的法向量为n＝(x，y，z)，则⇒解得 令x＝1，则y＝1，z＝3，所以平面EFC的一个法向量为n＝(1，1，3)．因为OG∥平面EFC，则n·＝0，设G(0，0，a)，则＝(－1，－1，a)，所以－1－1＋3a＝0，解得a＝，所以G，即AG＝. 建立如图所示的空间直角坐标系，因为AD＝AA1＝2，AB ＝4.E，M，N分别是棱C1D1，AB，BC的中点，所以B1(2， 4，2)，M(2，2，0)，N(1，4，0)，E(0，2，2)，因为点P 是平面AA1D1D内的动点，所以设P(x，0，z)，设平面B1MN 的法向量为m＝(a，b，c)，＝(0，－2，－2)，＝(－1，0，－2)，＝(x，－2，z－2)，所以有⇒⇒m＝(－2，－1，1)，因为PE∥平面B1MN，所以·m＝－2x＋2＋z－2＝0⇒z＝2x，即＝(x，－2，2x－2)，||＝＝＝，所以当x＝，z＝时，线段PE长度有最小值 ＝. $$