1.4.1 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 　 第一章　1.4　1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 知识层面 1．能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量．　 2．会求直线的方向向量与平面的法向量. 素养层面 通过空间中点、直线和平面的向量表示，培养学生的直观想象素养；通过求直线的方向向量和平面的法向量，提升数学运算素养. 知识点一　空间中点、直线的向量表示 1 知识点二　空间中平面的向量表示 2 课时测评 5 综合应用 3 内容索引 随堂演练 4 知识点一　空间中点、直线的向量表示 返回 请回答以下问题： 问题1．甲乙两人在不同地方观察到空中一个热气球，甲说热 气球在他的左上方，而乙说热气球在他的右上方，可能吗？ 提示：　可能，热气球的位置受观察点的影响． 问题2．要求经过甲村某地点修建一条与某段笔直的河流平 行的铁路，有几种修法？ 提示：　一条，过直线外一点作一条与它平行的直线，有且只有一条． 问题导思 1．点的位置向量 在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量 来表示，我们把向量 称为点P的__________． 2．空间直线的向量表示式 (1)设a是直线l的方向向量，在直线l上取 ＝a，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使___________，① 将 ＝a代入①式，得________________，② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式． (2)性质：空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量______确定． 新知构建 位置向量 唯一 直线l的方向向量唯一吗？ 提示：不唯一，空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合． 微思考 棱长为1的正方体ABCD -A1B1C1D1在 空间直角坐标系中的位置如图所示． (1)求直线DB1的一个方向向量； 解：由题意知D(0，0，0)，B1(1，1，1)，所以 ＝(1，1，1)，即直线DB1的一个方向向量是(1，1，1)． 例1 理解直线方向向量的概念 1．直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量． 2．直线的方向向量不唯一．　　 规律方法 对点练1．(1)若点A(－1，0，2)，B(1，4，10)在直线l上，则直线l的一个方向向量为 A．(1，2，4) B．(1，4，2) C．(0，2，－1) D．(0，4，12) √ (2)若向量a＝(x，－2，1)，b＝(－1，y，2)都是直线l的方向向量，则x＋y＝________． 返回 知识点二　空间中平面的向量表示 返回 油纸伞是世界上最早的雨伞，纯手工制成，全部 取材于天然，是中国古人智慧的结晶．油纸伞舞蹈 表演，更是传承几百年，用来伴舞，美轮美奂． 问题3．当伞柄的方向改变时，伞面的位置也改变，为什么？ 提示：伞柄与伞面是垂直关系，过直线外一点有且只有一个平面与该直线垂直，所以伞柄的方向改变时，伞面的位置也随之改变． 问题导思 1．空间平面的向量表示式 (1)取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使____________________．③ 我们把③式称为空间平面ABC的向量表示式． (2)性质：空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量______确定． 2．平面的法向量 如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称 向量a为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a， 那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定， 可以表示为集合_________________． 新知构建 唯一 过空间一点作平面的法向量，法向量唯一吗？ 提示：过空间一点作平面的垂线有且只有一条，但法向量有无限多个，它们是共线向量． 微思考 (1)(多选)在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体，下列结论正确的是 A．平面CDD1C1的一个法向量为(0，1，0) B．平面A1BC的一个法向量为(1，1，1) C．平面B1CD1的一个法向量为(1，1，1) D．平面ABC1D1的一个法向量为(0，1，1) 例2 √ 对于A，由AD⊥平面CDD1C1知 ＝(0，1，0)是平面CDD1C1的一个法向量，故A正确；对于B，由AB1⊥平面A1BC知 ＝(1，0，1)是平面A1BC的一个法向量，故B错误；对于C，由AC1⊥平面B1CD1知 ＝(1，1，1)是平面B1CD1的一个法向量，故C正确；对于D，由DA1⊥平面ABC1D1知 ＝(0，－1，1)是平面ABC1D1的一个法向量，故D错误．故选AC． √ (2)已知平面α经过点O(0，0，0)，且e＝(1，2，－3)是α的一个法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是______________． x＋2y－3z＝0 1．如果n为平面α的一个法向量，A为平面α的一个已知的点，则对于平面α上任意一点B，向量 一定与向量n垂直，即 ·n＝0.从而可知平面α的位置可由n和A唯一确定． 2．一个平面的法向量不是唯一的，一个平面的所有法向量共线．在应用时，可以根据需要进行选取．　　 规律方法 对点练2．(1)若n＝(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是 A．(0，－3，1) B．(2，0，1) C．(－2，－3，1) D．(－2，3，－1) √ 求与n共线的一个向量．易知(2，－3，1)＝－(－2，3，－1)．故选D． (2)已知n＝(－3，1，2)是平面α的一个法向量，点A(0，－3，1)，B(k，2k，4)在平面α内，则k＝______． 9 返回 综合应用 返回 求平面的法向量 如图所示，四棱锥P -ABCD中，底面ABCD为矩形， PA⊥平面ABCD，F为BC的中点．AB＝AP＝1，AD＝ ， 试建立恰当的空间直角坐标系，求平面PFD的一个法向量． 解：因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形， 所以AB，AD，AP两两垂直． 例3 设平面PFD的法向量为n＝(x，y，z)， 利用待定系数法求平面法向量的步骤 第一步(设向量)：设平面的法向量为n＝(x，y，z)； 第四步(解方程组)； 第五步(赋非零值)：取其中一个为非零值(常取±1)； 第六步(得结论)：得到平面的一个法向量．　　 规律方法 对点练3．如图所示，已知四边形ABCD是直角梯形， AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB ＝BC＝1，AD＝ ，试建立适当的坐标系，求： (1)平面ABCD的一个法向量； 解：以点A为原点，AD，AB，AS所在的直线分别为x轴， y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为SA⊥平面ABCD， (2)平面SAB的一个法向量； 解：以点A为原点，AD，AB，AS所在的直线分别为x轴， y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为AD⊥AB，AD⊥SA，AB∩SA＝A，AB，SA⊂平面SAB， 所以AD⊥平面SAB， (3)平面SCD的一个法向量． 解：以点A为原点，AD，AB，AS所在的直线分别为x轴， y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以n＝(2，－1，1)是平面SCD的一个法向量． 返回 课堂小结 知识 1．空间点、直线、平面的向量表示. 2．直线的方向向量. 3．平面的法向量 方法 待定系数法、赋值法 易错误区 不理解直线的方向向量与平面的法向量的不唯一性 随堂演练 返回 1．若A(2，1，1)，B(1，2，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量为 A．(2，1，1) B．(－2，2，2) C．(－3，2，1) D．(2，1，－1) √ 2．过空间三点A(1，1，0)，B(1，0，1)，C(0，1，1)的平面的一个法向量是 A．(1，1，1) B．(1，1，－1) C．(1，0，1) D．(－1，0，1) √ 3．已知向量a＝(2，－1，3)，b＝(－4，2x2，6x)都是直线l的方向向量，则x的值是 A．－1 B．1或－1 C．－3 D．1 √ 4．已知直线l的一个方向向量为a＝(2，1，1)，且过点M(1，0，－1)．若平面α过直线l与点N(1，2，3)，则平面α的一个法向量是____________． 返回 (1，－4，2) 课时测评 返回 1．已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1，3)，且直线l过点A(0，a，3)和B(－1，2，b)两点，则a＋b＝ A．0 B．1 C． D．3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2．(多选)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量 的是 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3．若n＝(1，－1，－2)是平面α的一个法向量，则下列向量能作为平面α的法向量的是 A．(0，0，0) B．(－2，－2，4) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4．已知a＝(2，0，2)，b＝(3，0，0)分别是平面α，β的法向量，则平面α，β交线的方向向量可以是 A．(1，0，0) B．(0，1，0) C．(0，0，1) D．(1，1，1) √ 因为四个选项中，只有a·(0，1，0)＝(2，0，2)·(0，1，0)＝0，b·(0，1，0)＝(3，0，0)·(0，1，0)＝0，所以平面α，β交线的方向向量可以是(0，1，0)．故选B． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5．(2024·江苏苏州高二质量调研)在空间直角坐标系Oxyz中，已知平面α＝ ，其中点P0(1，2，3)，法向量n＝(1，1，1)，则下列各点中不在平面α内的是 A．(3，2，1) B．(－2，5，4) C．(－3，4，5) D．(2，－4，8) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6．(多选)如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1为正方体，则下列结论正确的是 A．直线DD1的一个方向向量为(0，0，1) B．直线BC1的一个方向向量为(0，1，1) C．平面ABB1A1的一个法向量为(0，1，0) D．平面B1CD的一个法向量为(1，1，1) √ √ √ 设正方体的棱长为1，因为AA1∥DD1，且 ＝(0，0，1)，所以A正确；因为AD1∥BC1， ＝(0，1，1)，所以B正确；因为AD⊥平面ABB1A1， ＝(0，1，0)，所以C正确；因为 ＝(1，1，1)，但AC1与平面B1CD不垂直，所以D错误．故选ABC． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7．(开放题)已知A(1，2，3)，B(－2，2，1)在直线l上，写出直线l的一个方向向量n＝______________________________(坐标表示)． 由题意，在直线l中，A(1，2，3)，B(－2，2，1)，所以直线l的一个方向向量n＝ ＝(－3，0，－2)． (－3，0，－2)(答案不唯一) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8．(开放题)空间直角坐标系Oxyz中，已知点A(2，0，2)，B(2，1，0)，C(0，2，0)，则平面ABC的一个法向量n＝_________________________(坐标表示)． (1，2，1)(答案不唯一) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，分别以长 方体的两个顶点为始点和终点的向量中： (1)直线AB的方向向量有________个； 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)平面AA1B1B的法向量有________个． 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10．(10分)已知A(2，2，2)，B(2，0，0)，C(0，2，－2)． (1)写出直线BC的一个方向向量； 解：因为B(2，0，0)，C(0，2，－2)， (2)设平面α经过点A，且 是α的法向量，M(x，y，z)是平面α内的任意一点，试写出x，y，z满足的关系式． 因为BC⊥平面α，AM⊂α， 所以(－2，2，－2)·(x－2，y－2，z－2)＝0， 所以－2(x－2)＋2(y－2)－2(z－2)＝0， 所以x－y＋z＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12．在三棱锥P-ABC中，CP，CA，CB两两垂直，AC＝CB＝1，PC＝2，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量是平面PAB的法向量的是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13．(多选)已知空间中三点A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(－1，3，1)，则下列结论正确的是 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14．(12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，△PAB是边长为1的正三角形，ABCD是菱形，∠ABC＝60°，E是PC的中点，F是AB的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面DEF的一个法向量． 解：如图，连接PF，CF. 因为PA＝PB，F为AB的中点， 所以PF⊥AB， 又因为平面PAB⊥平面ABCD， 平面PAB∩平面ABCD＝AB，PF⊂平面PAB， 所以PF⊥平面ABCD． 因为AB＝BC，∠ABC＝60°， 所以△ABC是等边三角形， 所以CF⊥AB． 以F为坐标原点，BF，CF，PF所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系(如图所示)． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设平面DEF的一个法向量为m＝(x，y，z)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15．(5分)(多选)已知平面α内两向量a＝(1，1，1)，b＝(0，2，－1)，且c＝ma＋nb＋(4，－4，1)，若c为平面α的一个法向量，则下列结论正确的是 A．m＝－1 B．m＝1 C．n＝2 D．n＝－2 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以AP⊥AB，AP⊥AD． 又AB∩AD＝A，所以AP⊥平面ABCD． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求平行四边形ABCD的面积． 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 一 章 　 空 间 向 量 与 立 体 几 何 返回 ＝＋ta ＝＋t － ＝＋x＋y {P|a·＝0} 如图，以A为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立 空间直角坐标系，则D(0，，0)，P(0，0，1)， F，所以＝，＝(0，，－1)． 第二步(选向量)：在平面内选取两个不共线向量，； 第三步(列方程组)：由列出方程组； 则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，D， S(0，0，1)． 则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，D， S(0，0，1)． 则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，D，S(0，0，1)． 因为直线l过点A(0，a，3)和B(－1，2，b)两点，所以＝(－1，2－a，b－3)，又直线l的一个方向向量m＝(2，－1，3)，所以∥m，所以＝λm，所以(－1，2－a，b－3)＝(2λ，－λ，3λ)，所以解得所以a＋b＝3.故选D． 直线AB的方向向量有：，，，，，，，，共8个． 平面AA1B1B的法向量有：，，，，，，，，共8个． 解：由题意＝(x－2，y－2，z－2)， A． B．(1，，1) C．(1，1，1) D．(2，－2，1) 因为＝(1，0，0)－(0，0，2)＝(1，0，－2)，＝(0，1，0)－(1，0，0)＝(－1，1，0)，设平面PAB的一个法向量为n＝(x，y，1)，由则解得所以n＝(2，2，1)．又＝n，因此平面PAB的一个法向量为. 故选A． 解：因为||＝＝， ||＝＝2， 所以cos 〈，〉＝＝， $$