1.3.2 空间向量运算的坐标表示-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

1.3.2　空间向量运算的坐标表示 　 第一章　1.3　空间向量及其运算的坐标表示 知识层面 1．掌握空间向量运算的坐标表示，并据此会判断两个向量是否共线或垂直．　 2．掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题． 素养层面 通过空间向量的坐标运算，提升数学运算素养；通过空间向量坐标运算的应用，提升直观想象、逻辑推理素养. 知识点一　空间向量运算的坐标表示 1 知识点二　空间向量运算的平行与垂直 2 知识点三　夹角与距离 3 课时测评 6 综合应用 4 内容索引 随堂演练 5 知识点一　空间向量运算的坐标表示 返回 问题1．平面向量运算的坐标表示：设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a±b＝(a1±b1，a2±b2)，λa＝(λa1，λa2)(λ∈R)，a·b＝a1b1＋a2b2. 你能由平面向量运算的坐标表示类比得到空间向量运算的坐标表示吗？它们是否成立？为什么？ 提示：能．空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示完全一致．即设向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，那么a±b＝(a1±b1，a2±b2，a3±b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)，a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3. 问题导思 设向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，那么 由上述结论可知，空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示完全一致．例如，我们有：一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的__________减去__________．即设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 ＝__________________________． 新知构建 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b __________________________ 减法 a－b __________________________ 数乘 λa ____________________ 数量积 a·b __________________ (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) (a1－b1，a2－b2，a3－b3) (λa1，λa2，λa3) a1b1＋a2b2＋a3b3 终点坐标 起点坐标 (x2－x1，y2－y1，z2－z1) (1)运用公式可以简化运算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(2)向量线性运算的结果仍是向量，数量积的结果为数量． 微提醒 (1)求顶点B，C的坐标； 解：设B(x，y，z)，C(x1，y1，z1)， 例1 所以点B的坐标为(6，－4，5)． 所以点C的坐标为(9，－6，10)． 解：设P(x2，y2，z2)， 空间向量坐标运算的规律及注意点 1．由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定． 2．直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算． 3．由条件求向量或点的坐标：把向量坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标． 规律方法 对点练1．已知空间四点A，B，C，D的坐标分别是(－1，2，1)，(1，3，4)，(0，－1，4)，(2，－1，－2)．若p＝ 求下列各式的值： (1)p＋2q； 解：由于A(－1，2，1)，B(1，3，4)，C(0，－1，4)，D(2，－1，－2)， p＋2q＝(2，1，3)＋2(2，0，－6)＝(6，1，－9)． (2)3p－q； 解：由于A(－1，2，1)，B(1，3，4)，C(0，－1，4)，D(2，－1，－2)， 3p－q＝3(2，1，3)－(2，0，－6) ＝(6，3，9)－(2，0，－6)＝(4，3，15)． (3)(p－q)·(p＋q)． 解：由于A(－1，2，1)，B(1，3，4)，C(0，－1，4)，D(2，－1，－2)， (p－q)·(p＋q)＝p2－q2＝|p|2－|q|2 ＝(22＋12＋32)－[22＋02＋(－6)2]＝－26. 返回 知识点二　空间向量运算的平行与垂直 返回 问题2．如何用平面向量的坐标运算刻画平面向量的平行和垂直？这个结论在空间向量还成立吗？ 提示：设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，当b≠0时，a∥b的充要条件是a＝λb (λ∈R)，即a1b2－a2b1＝0，a⊥b的充要条件是a·b＝a1b1＋a2b2＝0(a≠0，b≠0).上述充要条件在空间中仍成立，设空间向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，当b≠0时，a∥b的充要条件是a＝λb，λ∈R，可以用坐标表示为(a1，a2，a3)＝λ(b1，b2，b3)，得到方程组 (λ∈R)，这就是空间向量平行的充要条件的坐标表示． a⊥b的充要条件是a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)． 问题导思 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有 平行关系：当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔__________，__________，__________(λ∈R)； 垂直关系：a⊥b⇔a·b＝0⇔_____________________． 新知构建 a1＝λb1 a2＝λb2 a3＝λb3 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 微思考 例2 所以2a－b＝(3，2，－2)， 所以2a－b＝－2c， 所以(2a－b)∥c. (2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k. 所以ka＋b＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)． 又因为(ka＋b)⊥(ka－2b)， 所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0， 即(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0， 变式探究(变条件)将本例(2)中“若ka＋b与ka－2b互相垂直”改为“若ka＋b与a＋kb互相平行”，其他条件不变，求k的值． 解：因为a＝(－1＋2，1－0，2－2)＝(1，1，0)， b＝(－3＋2，0－0，4－2)＝(－1，0，2)， 所以ka＋b＝(k，k，0)＋(－1，0，2)＝(k－1，k，2)， a＋kb＝(1，1，0)＋(－k，0，2k)＝(1－k，1，2k)． 因为ka＋b与a＋kb平行， 所以ka＋b＝λ(a＋kb)， 即(k－1，k，2)＝λ(1－k，1，2k)， 判断空间向量垂直或平行的步骤 第一步：向量化：将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行； 第二步：对于a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，根据两向量坐标间的关系判断两向量是否垂直；根据x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)或 (x2，y2，z2都不为0)判断两向量是否平行．　　 规律方法 对点练2．已知a＝(λ＋1，1，2λ)，b＝(6，2m－1，2)． (1)若a∥b，分别求λ与m的值； 解：因为a∥b，所以设(λ＋1，1，2λ)＝k(6，2m－1，2)， 所以a＝(0，1，－2)． 返回 知识点三　夹角与距离 返回 问题3．你能利用空间向量运算的坐标表示 推导空间两点间的距离公式吗？ 提示：如图，建立空间直角坐标系Oxyz， 问题导思 空间向量的模、夹角与两点间的距离公式 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 新知构建 模   夹角 公式   两点 间的 距离 公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则 ＝________________________； P1P2＝| |＝__________________________. (x2－x1，y2－y1，z2－z1) (1)空间两点间的距离公式类似于平面中的两点之间的距离公式，可以类比记忆．(2)若O(0，0，0)，P(x，y，z)， 微提醒 (链教材P21例3)如图所示，三棱柱ABC-A′B′C′中， 侧棱与底面垂直，CA＝CB＝1，∠BCA＝ ，棱AA′＝2， 点M，N分别是A′B′和A′A的中点． 例3 解：如图所示，以点C为原点，CA，CB，CC′所在直线分 别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． 由题意，得B(0，1，0)， N(1，0，1)． 解：如图所示，以点C为原点，CA，CB，CC′所 在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． 由题意，得B(0，1，0)，C(0，0，0)，A′(1，0，2)，B′(0，1，2)． 解：如图所示，以点C为原点，CA，CB，CC′所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． 利用空间向量的坐标运算解决夹角和距离问题的一般步骤 第一步，建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系； 第二步，求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标； 第三步，计算：结合公式进行计算； 第四步，转化：转化为夹角与距离问题．　　 规律方法 对点练3．如图所示，在四棱锥S -ABCD中，底面ABCD是 矩形，AB＝a，AD＝2，SA＝1，且SA⊥底面ABCD，若边 BC上存在异于B，C的一点P使得PS⊥PD． (1)求a的最大值； 解：如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AS所在直线分别为 x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 设BP＝x(0＜x＜2)，则A(0，0，0)，S(0，0，1)，D(0，2，0)， P(a，x，0)， 所以a2－x(2－x)＝0，即a2＝－(x－1)2＋1， 所以当x＝1时，a取得最大值1. (2)当a取得最大值时，求异面直线AP与SD所成角的余弦值． 解：如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AS所在 直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 设BP＝x(0＜x＜2)，则A(0，0，0)，S(0，0，1)， D(0，2，0)，P(a，x，0)， 返回 综合应用 返回 利用空间向量的坐标运算证明平行或垂直 (链教材P20例2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E，F，G，H分别是CC1，BC，CD和A1C1的中点．求证： (1)AB1∥GE，AB1⊥EH； 证明：如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在 直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系． 设正方体的棱长为1，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，C1(1，1，1)． 例4 (2)A1G⊥平面EFD． 证明：如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线 分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系． 设正方体的棱长为1，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，C1(1，1，1)． 所以A1G⊥DF，A1G⊥DE，因为DF∩DE＝D，所以A1G⊥平面EFD． 利用向量的坐标运算证明平行或垂直，要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明．　　 规律方法 对点练4．如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD， △ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点． (1)求证：AF∥平面BCE； 证明：设AD＝DE＝2AB＝2a，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz， 因为点F为CD的中点， 又AF⊄平面BCE，所以AF∥平面BCE. (2)求证：平面BCE⊥平面CDE. 证明：设AD＝DE＝2AB＝2a，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz， 因为点F为CD的中点， 又CD∩ED＝D，所以AF⊥平面CDE. 又AF∥平面BCE，所以平面BCE⊥平面CDE. 返回 课堂小结 知识 1．空间向量运算的坐标表示. 2．空间向量的平行与垂直. 3．空间向量求夹角与距离 方法 数形结合思想、类比法、转化法 易错 误区 1．由两向量共线直接得到两向量对应坐标的比相等. 2．求异面直线所成的角时易忽略范围；讨论向量夹角忽略向量共线的情况 随堂演练 返回 1．已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3，2)，则下列结论正确的是 A．a＋b＝(10，－5，－6) B．a－b＝(2，－1，－6) C．a·b＝10 D．|a|＝6 √ 2．(多选)已知a＝(2，3，－1)，b＝(2，0，4)，c＝(－4，－6，2)，则下列结论错误的是 A．b∥c B．a∥b C．a⊥b D．a⊥c √ √ √ 返回 课时测评 返回 1．已知a＝(1，－2，1)，a＋b＝(－1，2，－1)，则b等于 A．(2，－4，2) B．(－2，4，－2) C．(－2，0，－2) D．(2，1，－3) b＝(a＋b)－a＝(－1，2，－1)－(1，－2，1)＝(－2，4，－2)．故选B． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2．(2024·四川广安摸底)已知空间向量a＝(3，0，1)，b＝(－2，1，n)，c＝(1，2，3)，且(a－c)·b＝2，则a与b夹角的余弦值为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4．在空间直角坐标系中，已知A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是 A．垂直 B．平行 C．异面 D．相交但不垂直 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5．(多选)在空间直角坐标系中，向量a＝(m，2，2)，b＝(－2，1，1)，则下列结论正确的是 A．|b|＝ B．若m＝－4，则a∥b C．若m＝1，则a－b＝(－3，－1，－1) D．若m＝2，则a⊥b √ 由b＝(－2，1，1)可知|b| 即A正确；当m＝－4时，则a＝(－4，2，2)，b＝(－2，1，1)，满足a＝2b，因此a∥b，即B正确；当m＝1时，易知a＝(1，2，2)，b＝(－2，1，1)，所以a－b＝(3，1，1)，可知C错误；当m＝2时，可得a＝(2，2，2)，b＝(－2，1，1)，满足a·b＝－2×2＋1×2＋1×2＝0，可知a⊥b，即D正确．故选ABD． √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6．(多选)在空间直角坐标系中，向量a＝(－2，－1，1)，b＝(3，4，5)，则下列结论正确的是 A．(2a＋b)∥a B．5|a|＝ |b| C．a⊥(5a＋6b) D．a与b夹角的余弦值为 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7．若ABCD为平行四边形，且已知点A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C(－3，7，－5)，则顶点D的坐标为________________． (－1，13，－3) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8．(2024·广东八校高二调研)已知向量a＝(2，－1，3)，b＝(－4，2，t)的夹角为钝角，则实数t的取值范围为______________________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9．已知向量a＝(1，2，－1)，b＝(m，m2＋3m－6，n)，若向量a，b同向，则m＋n＝________． 0 当m＝－3，n＝3时，b＝(－3，－6，3)＝－3a，向量a，b反向，不符合题意，舍去；当m＝2，n＝－2时，b＝(2，4，－2)＝2a，向量a，b同向，符合题意．综上，m＝2，n＝－2，故m＋n＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10．(10分)已知向量a＝(2，1，－2)，c＝(－1，0，1)，若向量b同时满足下列三个条件：①a·b＝－1；②|b|＝3；③b与c垂直． (1)求|a＋2c|； 解：因为a＝(2，1，－2)，c＝(－1，0，1)， 所以a＋2c＝(0，1，0)，所以|a＋2c|＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求向量b的坐标． 解：设b＝(x，y，z)，由题意可得 所以b＝(2，－1，2)或b＝(－2，－1，－2)． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11．已知a＝(1，0，－1)，b＝(0，1，1)，存在实数λ＞2，μ＞2，使得(a＋λb)⊥(μa＋b)，则λμ的最小值是 A．16 B．5＋8 C．15 D．7＋4 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12．已知空间三点A(0，1，2)，B(－4，－1，8)，C(2，－5，6)，则以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13．如图，正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为2，E是AB的中点，点M，N分别在直线D1E，CD上，则线段MN的最小值为________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14．(12分)在四棱锥P -ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60°，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2. (1)求BP的长； 解：如图，建立空间直角坐标系． 因为∠ADC＝∠DAB＝90°， AB＝4，CD＝1，AD＝2， 所以A(2，0，0)，C(0，1，0)，B(2，4，0)． 由PD⊥平面ABCD，得 ∠PAD为PA与平面ABCD所成的角，所以∠PAD＝60°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求异面直线PA与BC所成的角的余弦值． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15．(5分)(新角度)如图所示的正方体是一个三阶魔方(由27个全等的棱长为1的小正方体构成)，正方形ABCD是上底面正中间的一个正方形，正方形A1B1C1D1是下底面最大的正方形，已知点P是线段AC上的动点，点Q是线段B1D上的动点，则线段PQ长度的最小值为________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16．(13分)(新情境)如图所示，在四棱锥P -ABCD中， PA⊥底面ABCD．在四边形ABCD中，AB⊥AD，AB ＋AD＝4，CD＝ ，∠CDA＝45°.设AB＝AP，在 线段AD上是否存在一点G，使得点G到点P，B，C， D的距离都相等？说明理由． 解：因为PA⊥平面ABCD，且AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD， 所以PA⊥AB，PA⊥AD． 因为AB⊥AD，所以AP，AB，AD两两垂直． 所以以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz. 在平面ABCD内，作CE∥AB交AD于点E，则CE⊥AD． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在Rt△CDE中，因为∠CDA＝45°，CD＝ ， 所以DE＝CE＝1. 设AB＝AP＝t，则B(t，0，0)，P(0，0，t)． 由AB＋AD＝4，得AD＝4－t， 所以E(0，3－t，0)，C(1，3－t，0)，D(0，4－t，0)． 假设在线段AD上存在一点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等． 返回 由①②消去t，化简得m2－3m＋4＝0.③ 由于方程③没有实数根，所以在线段AD上不存在一点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 一 章 　 空 间 向 量 与 立 体 几 何 返回 在△ABC中，A(2，－5，3)，＝(4，1，2)，＝(3，－2，5)． 于是有(x2－2，y2＋5，z2－3)＝(9－x2，－6－y2，10－z2)， ，q＝， 已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设＝a，＝b. (1)设向量c＝，试判断2a－b与c是否平行？ ＝＝ (2)若|a|＝，且a与c＝(2，－2λ，－λ)垂直，求a. 解：因为|a|＝且a⊥c， 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，＝－＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)，于是||＝＝，所以P1P2＝||＝. |a|＝＝__________________ cos 〈a，b〉＝＝__________________________ 则||＝. 则＝(1，－1，1)，||＝＝. cos 〈，〉＝＝＝. 故cos 〈，〉的值为. 所以||＝＝，||＝＝， 证明：由题意，得A′(1，0，2)，B(0，1，0)，C′(0， 0，2)，M. 所以＝(－a，－x，1)，＝(－a，2－x，0)． 由中点坐标公式，得E，F，G，H. ＝(1，0，1)，＝，＝. 因为＝2，·＝1×＋1×＝0， 所以∥，⊥，又AB1与GE不共线，所以AB1∥GE，AB1⊥EH. 所以⊥，⊥， 由中点坐标公式，得E，F，G，H. ＝，＝，＝. 因为·＝－＋0＝0， ·＝＋0－＝0， 则A(0，0，0)，C(2a，0，0)，B(0，0，a)，D(a，a，0)，E(a，a，2a)． 因为＝，＝(a，a，a)， ＝(2a，0，－a)，所以＝(＋)， 所以F. 则A(0，0，0)，C(2a，0，0)，B(0，0，a)，D(a，a，0)，E(a，a，2a)． 所以F. 因为＝，＝(－a，a，0)，＝(0，0，－2a)， 3．已知A(3，－2，4)，B(0，5，－1)，若＝(O为坐标原点)，则C的坐标是_____________． ＝＝， 2a＋b＝(－1，2，7)，a＝(－2，－1，1)，而≠≠，故A错误；|a|＝，|b|＝5，所以5|a|＝|b|，故B正确；a·(5a＋6b)＝5a2＋6a·b＝5×(4＋1＋1)＋6×(－6－4＋5)＝0，故C正确；a·b＝－5，cos〈a，b〉＝＝－，故D错误．故选BC． (－∞，－6)∪ 28 建立如图所示的空间直角坐标系， 则D1(0，0，2)，E(2，1，0)，＝(2，1，－2)．设N(0，n，0)，＝λ＝(2λ，λ，－2λ)，则M(2λ，λ，2－2λ)，故|MN|＝ ＝.当λ＝n＝时， MN取得最小值，最小值为. 以B1为坐标原点，B1C1，B1A1所在直线分别为x，y轴过B1垂直于底面的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B1(0，0，0)，A(1，2，3)，C(2，1，3)，D(2，2，3)，设＝λ，＝μ，λ，μ∈[0，1]，则＝λ(2，2，3)＝(2λ，2λ，3λ)，B1P＝＋＝＋μ＝(1，2，3)＋μ(1，－1，0)＝(1＋μ，2－μ，3)，所以＝－＝(1＋μ－2λ，2－μ－2λ，3－3λ)．所以||2＝(1＋μ－2λ)2＋(2－μ－2λ)2＋(3－3λ)2＝17λ2－30λ＋2μ2－2μ＋14＝172＋22＋.当λ＝且μ＝时，||2取得 最小值，所以线段PQ长度的最小值为. 由||＝||，得(4－t－m)2＝m2＋t2.② 设G(0，m，0)(其中0≤m≤4－t)，则＝(1，3－t－m，0)，＝(0，4－t－m，0)，＝(0，－m，t)，＝(t，－m，0)． 由||＝||，得12＋(3－t－m)2＝(4－t－m)2，即t＝3－m.① $$