1.2 空间向量基本定理-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

1.2　空间向量基本定理 　 第一章　空间向量与立体几何 知识层面 1．了解空间向量基本定理及其意义，并会用基底表示空间向量，掌握空间向量的正交分解．　 2．初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的方法． 素养层面 通过用空间向量基本定理解决简单的立体几何问题，提升直观想象、数学运算、逻辑推理等素养. 课时测评 3 综合应用 1 内容索引 随堂演练 2 类比平面向量基本定理，对于空间向量a，b，c是空间三个不共面的向量，p是空间任意一个向量，是否可以用向量a，b，c来表示向量p? 问题导思 1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得_________________． 2．基底 (1)定义：如果三个向量a，b，c________，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}，这个集合可看作由向量a，b，c生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个______，a，b，c都叫做________． (2)性质：空间任意三个________的向量都可以构成空间的一个基底． 新知构建 p＝xa＋yb＋zc 不共面 基底 基向量 不共面 3．正交分解 (1)单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量__________，且长度都为___，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示． (2)正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使_____________．像这样，把一个空间向量分解为三个__________的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 两两垂直 1 a＝xi＋yj＋zk 两两垂直 (1)基底中能不能有零向量？ 提示：不能，因为零向量与任意一个非零向量都为共线向量，与任意两个非零向量都共面． (2)选取不同的基底对同一向量的表达式有无影响？ 提示：有影响，不同基底下，同一向量的表达式不同． (3)基底和基向量是同一概念吗？有什么区别？ 提示：一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念． 微思考 角度1　基底的判断 (1)(2024·北京通州高二期中)如图，在平行六面体 ABCD -A1B1C1D1中，可以作为空间向量的一个基底的是 例1 √ (2)若{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且向量{a＝e1＋e2， b＝e2＋e3，c＝e1＋te3}不能构成空间的一个基底， 则t＝__________． －1 基底的判断思路 1．判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底． 2．判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断． 规律方法 所以2e1－e2＋3e3＝(x－3y＋z)e1＋(2x＋y＋z)e2＋(－x＋2y－z)e3， 角度2　用基底表示向量 例2 解：因为点M为□A′B′C′D′的对角线的交点， 解：因为点M为□A′B′C′D′的对角线的交点， 用基底表示任一向量的方法 1．线性运算法：用基底表示空间向量，一般要用到向量加法、减法、数乘的运算法则，尤其是向量加法的平行四边形法则，向量加法、减法的三角形法则及向量的一些代数运算，将所求向量逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示． 2．待定系数法：利用待定系数法解决有关问题时，先利用未知系数确定向量的线性表示，再根据空间向量基本定理建立对应系数之间的关系，将问题转化为方程(组)问题求解． 注意：若没给定基底时，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求． 规律方法 返回 综合应用 返回 应用一　证明平行、共面问题 (链教材P13例3)如图，在平行六面体ABCD -A′B′C′D′中， E，F，G分别是A′D′，DD′，D′C′的中点，请选择恰当的基底 向量证明： (1)EG∥AC； 例3 又EG，AC无公共点，所以EG∥AC． (2)平面EFG∥平面AB′C． 又FG，AB′无公共点，所以FG∥AB′. 又FG⊄平面AB′C，AB′⊂平面AB′C， 所以FG∥平面AB′C． 又由(1)知EG∥AC，AC⊂平面AB′C，EG⊄平面AB′C，可得EG∥平面AB′C， 又FG∩EG＝G，FG，EG⊂平面EFG， 所以平面EFG∥平面AB′C． 证明平行、共面问题的思路 1．利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行． 2．利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行．　　 规律方法 对点练3．如图，在底面ABCD为菱形的平行六面体ABCD -A1B1C1D1中，M，N分别在棱AA1，CC1上，且A1M＝ AA1，CN＝ CC1. (2)求证：D，M，B1，N共面． 应用二　计算夹角、垂直问题 (链教材P13例2)如图，正方体ABCD -A′B′C′D′的棱长为a. (1)求A′B和B′C的夹角； 例4 由于正方体ABCD -A′B′C′D′的棱长为a， 所以|a|＝|b|＝|c|＝a，且〈a，b〉＝90°，〈a，c〉＝90°，〈b，c〉＝90°. 所以A′B与B′C的夹角为60°. (2)求证：A′B⊥AC′. 用基向量法解决夹角、垂直、长度问题的步骤 第一步：设出基向量； 第二步：用基向量表示出直线的方向向量； 规律方法 对点练4．已知空间四边形OABC 的各边及对角线的长都相等， M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点． (1)求证：OG⊥BC； 解：证明：连接ON，AN，如图所示： 因为M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点， 因为空间四边形OABC 的各边及对角线的长都相等， (2)求异面直线ON与BM所成角的余弦值． 解：如图所示： 设空间四边形OABC的各边及对角线的长都为1， 设异面直线ON与BM所成角为θ， 返回 课堂小结 知识 空间向量的基本定理及其应用 方法 转化法，数形结合思想 易错 误区 1．忽视基向量的条件. 2．利用基向量表示向量时，没有转化目标，不理解空间向量基本定理的意义. 3．向量夹角和线线角的范围不同，不要混淆 随堂演练 返回 √ 2．(多选)设{a，b，c}构成空间的一个基底，下列说法正确的是 A．a，b，c两两不共线，但两两共面 B．对空间任一向量p，总存在有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc C．a，a－c，a＋c能构成空间另一个基底 D．若xa＋yb＋zc＝0，则实数x，y，z全为零 因为{a，b，c}构成空间的一个基底，所以a，b，c两两不共线，但两两共面，故A正确；对空间任一向量p，总存在有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc，故B正确；因为(a－c)＋(a＋c)＝2a，所以a，a－c，a＋c共面，故不能构成空间的一个基底，故C错误；根据空间向量基本定理可知，若xa＋yb＋zc＝0，则实数x，y，z全为零，故D正确．故选ABD． √ √ √ 4．在长方体ABCD -A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝ ，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为__________． 返回 课时测评 返回 1．若p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 空间不共面的三个向量可以作为空间的一个基底，若a，b，c是三个共面的非零向量，则{a，b，c}不能作为空间的一个基底，不满足充分性；若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c不共面，即a，b，c是三个非零向量，所以p是q的必要不充分条件．故选B． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3．(2024·山东东营高二质量监测)《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵ABC-A1B1C1中，M，N分别是A1C1，BB1的中点，G是MN的中点， √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5．在正方体ABCD -A1B1C1D1中，棱长为2，O是底面 正方形ABCD的中心，点M在DD1上运动，N是A1B1上 靠近A1的三等分点，当直线ON与AM垂直时，DM的长为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6．(多选)若向量{a，b，c}是空间的一个基底，向量m＝a＋b，n＝a－b，那么可以与m，n构成空间的一组基底的向量是 A．a B．b C．a＋c D．c √ √ 对于A选项，因为m＋n＝(a＋b)＋(a－b)＝2a，故a与m，n是共面向量，不能构成一组基底，故A错误；对于B选项，m－n＝(a＋b)－(a－b)＝2b，故b与m，n是共面向量，不能构成一组基底，故B错误；对于C选项，由于向量a，b，c是空间的一个基底，故a，b与c不共面，则m＝a＋b，n＝a－b与a＋c不共面，故可构成一组基底，C正确；对于D选项，由于向量a，b，c是空间的一个基底，故a，b与c不共面，则m＝a＋b，n＝a－b与c不共面，故可构成一组基底，故D正确．故选CD． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.{a，b，c}是空间的一个基底，向量p＝3a＋b＋c，{a＋b，a－b，c}是空间的另一个基底，向量p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋c，则x＋y＝________． 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8．在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，底面ABC为正三角形，PA＝AB，则异面直线PB与AC所成角的余弦值为__________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝CD＝2，∠ACD＝90°，把△ADC沿对角线AC折起，使 夹角为120°，则BD＝________． 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10．(10分)如图所示，正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G，G1分别是棱CC1，BC，CD，A1B1的中点．求证： (1)AD1⊥G1G； 则|a|＝|b|＝|c|＝1且a·b＝b·c＝a·c＝0. 所以 ⊥G1G，所以AD1⊥G1G. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则|a|＝|b|＝|c|＝1且a·b＝b·c＝a·c＝0. (2)AD1∥EF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12．(多选)在三棱锥P -ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝3，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2，则下列说法正确的是 A．EG⊥PG B．EG⊥BC C．FG∥BC D．FG⊥EF √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15．(5分)(新角度)(多选)如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD -A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，则下列说法中正确的是 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16．(13分)如图所示，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点． (1)求证：DE∥平面ACF； 又直线DE不在平面ACF内，所以DE∥平面ACF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求证：BD⊥AE； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回 假设在线段EO上存在点G，使CG⊥平面BDE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 一 章 　 空 间 向 量 与 立 体 几 何 返回 提示：可以．如图，设为在i，j所确定 的平面上的投影向量，则＝＋. 又向量，k共线，因此存在唯一的实数z， 使得＝zk，从而＝＋zk. 在i，j确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝xi＋yj.从而＝＋zk＝xi＋yj＋zk.同理可知，向量a，b，c可以表示向量p. 因为{a＝e1＋e2，b＝e2＋e3，c＝e1＋te3}不能构成空间的一个基底，所以存在实数x，y使得c＝xa＋yb，即e1＋te3＝x(e1＋e2)＋y(e2＋e3)，即e1＋te3＝xe1＋(x＋y)e2＋ye3，因为{e1，e2，e3}是空间的一个基底，则解得 对点练1．已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝2e1－e2＋3e3，＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，问：{}能否构成空间的一个基底？若能，试用这一组基向量表示；若不能，请说明理由． (链教材P12例1)如图所示，在平行六面体ABCD -A′B′C′D′中，点M是□A′B′C′D′的对角线的交点，点N是棱BC的中点．如果＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示. 因为＝＋＝＋，＝＋ ＝2，所以∥， 解：设＝a，＝b，＝c. 解：证明：由(1)知＝a－c，＝＋＋ ＝＋＋＝a＋b＋c， 第三步：用cos θ＝求夹角，用a·b＝0⇔a⊥b(a，b为非零向量)证垂直，用|a|＝＝求长度．　　 ·＝·＝·－2＋·－·＝－＋－＝－. 所以cos θ＝＝＝＝＝. 则·＝·＝·＝1×1×cos60°＝. 因为＝＋，＝－＝－， 所以||＝＝＝＝， ||＝＝＝. 3．如图，在三棱锥O -ABC中，设＝a，＝b， ＝c，若＝，＝2，则＝_____________ (用a，b，c表示)． a＋b－c 设＝a，＝b，＝c，以{a，b，c}为基底，则＝＋＝－a＋c，＝＋＋＝a＋b＋c.又||＝2，||＝，所以cos〈，〉＝＝＝ ＝.即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为. 若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝ 连接AM，AN，如图：由于G是MN的中点，所以＝(＋)＝＝＋＋.根据题 意知＝x＋y＋z，所以x＋y＋z＝.故选C． 4．在正方体ABCD -A1B1C1D1中，向量在向量上的投影向量是 A． B． C． D． ＝＋＋＝－(＋)＋＋＝－－，＝＋，设＝λ(0≤λ≤1)，·＝·(＋λ)＝λ·－2＝4λ－2＝0，所以λ＝，即＝，所以||＝＝1.故选A． 与 因为＝b＋c，G1G＝＋A1A＋＋＝－a－c＋b＋a＝b－c， 所以·＝(b＋c)·(b－c)＝b2－c2＝0， 因为＝b＋c，＝－＝－＝－b－c， 所以＝－，所以AD1∥EF. 如图，设＝a，＝b，＝c，则{a，b，c}是空间的 一个正交基底，则a·b＝a·c＝b·c＝0，取AB的中点H， 则＝＝×(a＋b)＝a＋b，＝＋＝＋ ＝＋(－)＝c＋b，＝－＝a＋b－b－c＝a－b－c，＝c－b，＝－＝a＋b－b＝a，＝－＝b－＝－c－b，所以·＝a2－b2＝0，故A正确；·＝－c2＋b2＝0，故B正确；≠λ(λ∈R)，故C不正确；·＝0，故D正确．故选ABD． 13．在平行六面体ABCD -A1B1C1D1中，F为棱DD1的中点，E为棱BB1上一点．记＝x＋y＋z，若x＋y＋z＝，则＝__________． 如图所示：设＝λ，因为＝＋＋＋ ＝－λ－＋＋＝－λ－＋＋ ＝－＋＋，又已知＝x＋ y＋z，所以x＝－1，y＝1，z＝－λ.又因为x＋y＋z＝－λ＝，所以λ＝. 证明：连接AG并延长交BC于点H(图略)，由题意， 可令{，，}为空间的一个基底， ＝＝(＋)＝＋×＝＋×( ＋)＝＋(－)＋(－)＝＋＋. A．AC1＝6 B．AC1⊥DB C．向量与的夹角是60° D．BD1与AC所成角的余弦值为 因为以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，所以·＝·＝·＝6×6×cos 60°＝18，(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝36＋36＋36＋3×2×18＝216，则||＝|＋＋|＝6，故A正确；·＝(＋＋)·(－)＝·－·＋2－·＋·－2＝0，故B正确；显然△AA1D为等边三角形，则∠AA1D＝60°.因为＝，且向量与的夹角是120°，所以与的夹角是120°，故C不正确；因为＝＋－，＝＋，所以||＝＝6，||＝＝6，又·＝(＋－)·(＋)＝36， 所以cos〈，〉＝＝＝，故D不正确．故选AB． 解：证明：设＝a，＝b，＝c，则{a，b，c}构成空间的 一个基底，且|a|＝|b|，a·b＝b·c＝c·a＝0. 解：证明：依题意得＝＋＝b－a，＝＋ ＝＋＋＝－a－b＋c＝c－a－b， 则一定有CG⊥DE，而＝c－b， (3)若AB＝CE，在线段EO上是否存在点G，使CG⊥平面BDE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 解：由AB＝CE，设|a|＝|b|＝2，则|c|＝， 由O，G，E三点共线，设＝(1－λ)＋λ＝λa＋λb＋(1－λ)c(0≤λ≤1)， $$